2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.6.2直線與平面垂直學(xué)案含解析新人教A版必修第二冊

PAGE8.6.2學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解直線與平面垂直的定義．(重點)2.理解直線與平面垂直的判定定理，并會用其推斷直線與平面垂直．(難點)3.理解直線與平面所成角的概念，并能解決簡潔的線面角問題．(易錯點)4.能利用直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進行證明．(重點)1.通過學(xué)習(xí)直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).2.通過學(xué)習(xí)直線與平面所成的角，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).木工要檢查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)檢查兩次，如圖．假如兩次檢查時，曲尺的兩邊都分別與木棒和板面密合，便可以判定木棒與板面垂直．問題：(1)用“L”形木尺檢查一次能判定木棒與板面垂直嗎？(2)上述問題說明白直線與平面垂直的條件是什么？直線與平面垂直的定義定義假如直線l與平面α內(nèi)的隨意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α相互垂直記法l⊥α有關(guān)概念直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，它們唯一的公共點P叫做垂足畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直圖示性質(zhì)過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條垂線段與點面距過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離2.直線與平面垂直的判定定理文字語言假如一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直符號語言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α圖形語言3.直線和平面所成的角有關(guān)概念對應(yīng)圖形斜線一條直線l與一個平面α相交，但不與這個平面α垂直，圖中直線PA斜足斜線和平面的交點，圖中點A射影過斜線上斜足以外的一點P向平面α引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影直線和平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°取值范圍[0°，90°]思索：直線與平面垂直定義中的關(guān)鍵詞“隨意一條直線”是否可以換成“全部直線”“多數(shù)條直線”？[提示]定義中的“隨意一條直線”與“全部直線”是等效的，但是不行說成“多數(shù)條直線”，因為一條直線與某平面內(nèi)多數(shù)條平行直線垂直，該直線與這個平面不肯定垂直．4．直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線平行符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b圖形語言作用①線面垂直?線線平行②作平行線5.直線與平面、平面與平面的距離(1)直線與平面的距離一條直線與一個平面平行時，這條直線上隨意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離．(2)平面與平面的距離假如兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的隨意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離．1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)假如一條直線垂直于平面內(nèi)的多數(shù)條直線，那么這條直線和這個平面垂直． ()(2)若直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線與平面垂直． ()(3)若直線垂直于梯形的兩腰所在的直線，則這條直線垂直于兩底邊所在的直線． ()(4)若直線垂直于梯形的兩底邊所在的直線，則這條直線垂直于兩腰所在的直線． ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于()A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABCC[由線面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.]3．在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，若點A1到平面ABCD的距離為4，則直線A1B1到平面ABCD的距離為______，平面ABCD到平面A1B1C1D44[依據(jù)直線與平面的距離、平面與平面的距離的概念可知，直線A1B1到平面ABCD的距離為4，平面ABCD到平面A1B1C1D14．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AB1與平面ABCD45°[如圖所示，因為正方體ABCD-A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即為AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即為直線AB1與平面ABCD所成的角．由題意知，∠B1AB＝45°，故所求角為45°.]直線與平面垂直的判定【例1】如圖，在三棱錐S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點，且SA＝SB＝SC．(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC．[證明](1)因為SA＝SC，D是AC的中點，所以SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD．又AC∩BD＝D，AC，BD?平面ABC，所以SD⊥平面ABC．(2)因為AB＝BC，D為AC的中點，所以BD⊥AC．由(1)知SD⊥BD．又因為SD∩AC＝D，SD，AC?平面SAC，所以BD⊥平面SAC．證線面垂直的方法1線線垂直證明線面垂直：①定義法不常用，但由線面垂直可得出線線垂直；②判定定理最常用：要著力找尋平面內(nèi)哪兩條相交直線有時作協(xié)助線；結(jié)合平面圖形的性質(zhì)如勾股定理逆定理、等腰三角形底邊中線等及一條直線與平行線中一條垂直，也與另一條垂直等結(jié)論來論證線線垂直.2平行轉(zhuǎn)化法利用推論：①a∥b，a⊥α?b⊥α；②α∥β，a⊥α?a⊥β.eq\o([跟進訓(xùn)練])1．如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，M是圓周上隨意一點，AN⊥PM，垂足為N.求證：AN⊥平面PBM.[證明]設(shè)圓O所在的平面為α，∵PA⊥α，且BM?α，∴PA⊥BM.又∵AB為⊙O的直徑，點M為圓周上一點，∴AM⊥BM.由于直線PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM，而AN?平面PAM，∴BM⊥AN.∴AN與PM、BM兩條相交直線相互垂直．故AN⊥平面PBM.直線與平面所成的角[探究問題]1．若圖中的∠POA是斜線PO與平面α所成的角，則需具備哪些條件？[提示]須要PA⊥α，A為垂足，OA為斜線PO的射影，這樣∠POA就是斜線PO與平面α所成的角．2．空間幾何體中，確定線面角的關(guān)鍵是什么？[提示]在空間幾何體中確定線面角時，過斜線上一點向平面作垂線，確定垂足位置是關(guān)鍵，垂足確定，則射影確定，線面角確定．【例2】在正方體ABCD-A1B1C1D1(1)求直線A1C與平面ABCD(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角．[證明](1)∵直線A1A⊥平面ABCD∴∠A1CA為直線A1C與平面ABCD設(shè)A1A＝1，則AC＝eq\r(2)，∴tan∠A1CA＝eq\f(\r(2),2).(2)連接A1C1交B1D1于O在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1∴BB1⊥A1C1又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足為O∴∠A1BO為直線A1B與平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)A1B，∴∠A1BO＝30°，即A1B與平面BDD1B1所成的角為30°.在本例正方體中，若E為棱AB的中點，求直線B1E與平面BB1D1D所成角的正切值．[解]連接AC交BD于點O，過E作EO1∥AC交BD于點O1，易證AC⊥平面BB1D1D，∴EO1⊥平面BB1D1D，∴B1O1是B1E在平面BB1D1D內(nèi)的射影，∴∠EB1O1為B1E與平面BB1D1D所成的角．設(shè)正方體的棱長為a，∵E是AB的中點，EO1∥AC，∴O1是BO的中點，∴EO1＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2)a,2)＝eq\f(\r(2)a,4)，B1O1＝eq\r(BO\o\al(2,1)＋BB\o\al(2,1))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,4)))eq\s\up12(2)＋a2)＝eq\f(3\r(2)a,4)，∴tan∠EB1O1＝eq\f(EO1,B1O1)＝eq\f(\f(\r(2)a,4),\f(3\r(2)a,4))＝eq\f(1,3).求斜線與平面所成角的步驟1作圖：作或找出斜線在平面內(nèi)的射影，作射影要過斜線上一點作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線，留意斜線上點的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關(guān)，才能便于計算.2證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角.3計算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計算.線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用【例3】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC．求證：MN∥AD[證明]因為四邊形ADD1A1所以AD1⊥A1D．又因為CD⊥平面ADD1A1所以CD⊥AD1.因為A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC．又因為MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.證明線線平行常用的方法1利用線線平行定義：證共面且無公共點；2利用三線平行公理：證兩線同時平行于第三條直線；3利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行；4利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直；5利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.eq\o([跟進訓(xùn)練])2．如圖，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，直線a?β，a⊥AB．求證：a∥l.[證明]因為EA⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA．同理l⊥EB．又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB．因為EB⊥β，a?β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB．由線面垂直的性質(zhì)定理，得a∥l.一、學(xué)問必備線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化二、方法必備1．證明線面垂直的方法：(1)線面垂直的定義．(2)線面垂直的判定定理．(3)假如兩條平行直線的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．(4)假如一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面．2．線面垂直的性質(zhì)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，供應(yīng)了“垂直”與“平行”關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的依據(jù)．1．已知直線a，b，平面α，且a⊥α，下列條件中，能推出a∥b的是()A．b∥α B．b?αC．b⊥α D．b與α相交C[由線面垂直的性質(zhì)定理可知，當(dāng)b⊥α，a⊥α?xí)r，a∥b.]2．直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不行能()A．平行 B．相交C．異面 D．垂直A[若l∥m，l?α，m?α，則l∥α，這與已知l⊥α沖突．所以直線l與m不行能平行．]3.如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是()A．60° B．45°C．