2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系學(xué)案新人教A版必修2

PAGE2.1.2學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.會(huì)推斷空間兩直線的位置關(guān)系．(易錯(cuò)點(diǎn))2.理解兩異面直線的定義，會(huì)求兩異面直線所成的角．(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))3.能用公理4解決一些簡潔的相關(guān)問題.(重點(diǎn))1.通過對(duì)空間直線位置關(guān)系的學(xué)習(xí)，培育直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．2.通過求異面直線所成角及公理4的運(yùn)用，培育邏輯推理、直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．1．空間直線的位置關(guān)系(1)異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線．(2)異面直線的畫法(襯托平面法)如圖①②所示，為了表示異面直線不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)，通常用一個(gè)或兩個(gè)平面來襯托．①②(3)空間兩條直線的三種位置關(guān)系①從是否有公共點(diǎn)的角度來分：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(沒有公共點(diǎn)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行,異面)),有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)——相交))②從是否共面的角度來分：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(在同一平面內(nèi)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),不同在任何一個(gè)平面內(nèi)——異面))思索：分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線肯定是異面直線嗎？[提示]不肯定.可能平行、相交或異面．2．公理4及定理(1)公理4：平行于同一條直線的兩條直線相互平行．符號(hào)表示：a∥b，b∥c?a∥c．(2)等角定理：空間中假如兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．3．異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間隨意一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，則異面直線a與b所成的角就是直線a′與b′所成的銳角(或直角).(2)范圍：0°＜θ≤90°．特殊地，當(dāng)θ＝90°時(shí)，a與b相互垂直，記作a⊥b．1．空間隨意兩個(gè)角α，β，且α與β的兩邊對(duì)應(yīng)平行，α＝60°，則β為()A．60°B．120°C．30°D．60°或120°D[α與β相等或互補(bǔ)，β為60°或120°，故選D.]2．假如兩條直線a和b沒有公共點(diǎn)，那么a與b的位置關(guān)系是()A．共面 B．平行C．異面 D．平行或異面D[平行直線和異面直線都沒有公共點(diǎn)，故應(yīng)選D.]3．如圖所示，正方體ABCD-A′B′C′D′中，異面直線A′B′與BC所成的角為________．異面直線AD′與BC所成的角為________．90°45°[∵BC∥B′C′，∴∠A′B′C′即異面直線A′B′與BC所成的角，∴∠A′B′C′＝90°，又BC∥AD，∴∠D′AD是異面直線AD′與BC所成的角，∴∠D′AD＝45°.]空間兩條直線位置關(guān)系的判定【例1】(1)如圖為正方體表面的一種綻開圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的對(duì)數(shù)為()A.1B．2C．3D．C[還原的正方體如圖所示，是異面直線的共三對(duì)，分別為AB與CD，AB與GH，EF與GH.](2)以下選項(xiàng)中，點(diǎn)P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是異面直線的是()ABCDC[本題簡潔錯(cuò)選A或B或D.不能嚴(yán)格依據(jù)異面直線的定義對(duì)兩直線的位置關(guān)系作出正確推斷，僅憑主觀臆測和對(duì)圖形的模糊相識(shí)作出選擇．A，B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS相交．故選C.]1．推斷空間中兩條直線位置關(guān)系的訣竅(1)建立空間觀念，全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系．特殊關(guān)注異面直線．(2)重視正方體等常見幾何體模型的應(yīng)用，會(huì)舉例說明兩條直線的位置關(guān)系.2．判定兩條直線是異面直線的方法(1)證明兩條直線既不平行又不相交．(2)重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線．用符號(hào)語言可表示為A?α，B∈α，B?l，l?α，則AB與l是異面直線(如圖).eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．(1)一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是()A．平行或異面 B．相交或異面C．異面 D．相交(2)在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為對(duì)角線AC，BD的中點(diǎn)，則BE與CF的位置關(guān)系為()A．平行 B．異面C．相交 D．以上均有可能(1)B(2)B[(1)假設(shè)a與b是異面直線，而c∥a，則c明顯與b不平行(否則c∥b，則有a∥b，沖突)；因此c與b可能相交或異面．(2)依據(jù)題意畫出圖形如圖，BE與點(diǎn)C在平面ABC內(nèi)，且BE不過點(diǎn)C，又點(diǎn)F?平面ABC，故BE與CF既不平行也不相交，只能異面．]公理4及等角定理的應(yīng)用【例2】如圖所示，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E、F、E′、F′分別是AB、BC、A′B′、B′C′的中點(diǎn)．求證：EE′∥FF′.[證明]因?yàn)镋、E′分別是AB、A′B′的中點(diǎn)，所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.所以四邊形EBB′E′是平行四邊形．所以EE′∥BB′，同理可證FF′∥BB′.所以EE′∥FF′.1．證明空間兩條直線平行的方法(1)平面幾何法三角形中位線、平行四邊形的性質(zhì)等．(2)定義法用定義證明兩條直線平行，要證明兩個(gè)方面：一是兩條直線在同一平面內(nèi)；二是兩條直線沒有公共點(diǎn)．(3)公理4用公理4證明兩條直線平行，只需找到直線b，使得a∥b，同時(shí)b∥c，由公理4即可得到a∥c.2．證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)的方法(1)利用等角定理．(2)利用三角形全等或相像．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱CC1，BB1，DD1的中點(diǎn)，試證明：∠BGC＝∠FD1E[證明]因?yàn)镕為BB1的中點(diǎn)，所以BF＝eq\f(1,2)BB1，因?yàn)镚為DD1的中點(diǎn)，所以D1G＝eq\f(1,2)DD1.又BB1綊DD1，所以BF綊D1G所以四邊形D1GBF為平行四邊形．所以D1F∥GB，同理D1E∥GC所以∠BGC與∠FD1E的對(duì)應(yīng)邊平行且方向相同，所以∠BGC＝∠FD1E.異面直線所成的角[探究問題]1.已知直線a，b是兩條異面直線，如圖，如何作出這兩條異面直線所成的角？[提示]如圖，在空間中任取一點(diǎn)O，過點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，則兩條相交直線a′，b′所成的銳角(或直角)θ，即兩條異面直線a，b所成的角．2．異面直線a與b所成角的大小與什么有關(guān)，與點(diǎn)O的位置有關(guān)嗎？通常點(diǎn)O取在什么位置？[提示]異面直線a與b所成角的大小只與a，b的相互位置有關(guān)，與點(diǎn)O的位置選擇無關(guān)，一般狀況下為了簡便，點(diǎn)O常選取在兩條異面直線中的一條上．【例3】如圖，三棱錐A-BCD中，AC⊥BD，E在棱AB上，F(xiàn)在棱CD上，并使AE∶EB＝CF∶FD＝m(m＞0)，設(shè)α為異面直線EF和AC所成的角，β為異面直線EF和BD所成的角，試求α＋β的值.[解]過點(diǎn)F作MF∥BD，交BC于點(diǎn)M，連接ME，則CM∶MB＝CF∶FD＝m，又因?yàn)锳E∶EB＝CF∶FD＝m，所以CM∶MB＝AE∶EB，所以EM∥AC，所以α＝∠MEF，β＝∠MFE，所以AC與BD所成的角為∠EMF.因?yàn)锳C⊥BD，所以∠EMF＝90°，所以α＋β＝90°.將本例變?yōu)椋喝鐖D所示，點(diǎn)A是平面BCD外一點(diǎn)，AD＝BC＝2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，且EF＝eq\r(2)，求異面直線AD和BC所成的角．[解]如圖，設(shè)G是AC的中點(diǎn)，連接EG，F(xiàn)G.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，故EG∥BC且EG＝eq\f(1,2)BC＝1，F(xiàn)G∥AD，且FG＝eq\f(1,2)AD＝1，即∠EGF為所求角，又EF＝eq\r(2)，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°.求兩條異面直線所成的角的一般步驟(1)構(gòu)造角：依據(jù)異面直線的定義，通過作平行線或平移平行線，作出異面直線夾角的相關(guān)角．(2)計(jì)算角：求角度，常利用三角形．(3)確定角：若求出的角是銳角或是直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角．1．判定兩直線的位置關(guān)系的依據(jù)就在于兩直線平行、相交、異面的定義．許多狀況下，定義就是一種常用的判定方法．2．在探討異面直線所成角的大小時(shí)，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角．將空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化，這是我們學(xué)習(xí)立體幾何的一條重要的思維途徑．須要強(qiáng)調(diào)的是，兩條異面直線所成角的范圍為(0°，90°]，解題時(shí)常常結(jié)合這一點(diǎn)去求異面直線所成角的大小．1．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，則∠A′O′B′為()A．130° B．50°C．130°或50° D．不能確定C[依據(jù)定理，∠A′O′B′與∠AOB相等或互補(bǔ)，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.]2．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，(1)直線A1B與直線D1C(2)直線A1B與直線B1C(3)直線D1D與直線D1C(4)直線AB與直線B1C(1)平行(2)異面(3)相交(4)異面[(1)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，所以A1B∥D1(2)直線A1B與直線B1C(3)直線D1D與直線D1C相交于點(diǎn)D1(4)直線AB