2025屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第7章立體幾何第1節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積體積教師用書教案理新人教版

PAGE第7章立體幾何全國卷五年考情圖解高考命題規(guī)律把握1.考查形式高考在本章一般命制2道小題、1道解答題，分值約占22分.2.考查內(nèi)容(1)小題主要考查三視圖、幾何體體積與表面積計(jì)算，此類問題屬于中檔題目；對于球與棱柱、棱錐的切接問題，學(xué)問點(diǎn)較整合，難度稍大.(2)解答題一般位于第18題或第19題的位置，常設(shè)計(jì)兩問：第(1)問重點(diǎn)考查線面位置關(guān)系的證明；第(2)問重點(diǎn)考查空間角，尤其是二面角、線面角的計(jì)算．屬于中檔題目.空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積、體積[考試要求]1.相識柱、錐、臺、球及其簡潔組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡潔物體的結(jié)構(gòu).2.能畫出簡潔空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖.3.會用平行投影方法畫出簡潔空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.4.了解球、棱柱、棱錐、臺體的表面積和體積的計(jì)算公式．1．多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面相互平行且全等多邊形相互平行且相像側(cè)棱相互平行且相等相交于一點(diǎn)，但不肯定相等延長線交于一點(diǎn)側(cè)面形態(tài)平行四邊形三角形梯形2.正棱柱、正棱錐的結(jié)構(gòu)特征(1)正棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形．(2)正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐．特殊地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體．3．旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線相互平行且相等，垂直于底面長度相等且相交于一點(diǎn)延長線交于一點(diǎn)軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面綻開圖矩形扇形扇環(huán)旋轉(zhuǎn)圖形矩形直角三角形直角梯形半圓4.三視圖與直觀圖三視圖畫法規(guī)則：長對正、高平齊、寬相等直觀圖斜二測畫法：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段在直觀圖中長度為原來的一半.5.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面綻開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面綻開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l6.柱體、錐體、臺體和球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝S底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)S底h臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3eq\o([常用結(jié)論])1．依據(jù)斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形，S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖．2．多面體的內(nèi)切球與外接球常用的結(jié)論(1)設(shè)正方體的棱長為a，則它的內(nèi)切球半徑r＝eq\f(a,2)，外接球半徑R＝eq\f(\r(3),2)a.(2)設(shè)長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則它的外接球半徑R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2).(3)設(shè)正四面體的棱長為a，則它的高為H＝eq\f(\r(6),3)a，內(nèi)切球半徑r＝eq\f(1,4)H＝eq\f(\r(6),12)a，外接球半徑R＝eq\f(3,4)H＝eq\f(\r(6),4)a.一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱． ()(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐． ()(3)菱形的直觀圖仍是菱形． ()(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材習(xí)題衍生1．如圖所示，長方體ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是()A．棱臺B．四棱柱C．五棱柱D．簡潔組合體C[由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，剩下的幾何體為五棱柱．]2．體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A．12πB．eq\f(32,3)πC．8πD．4πA[由題意可知正方體的棱長為2，其體對角線2eq\r(3)即為球的直徑，所以球的表面積為4πR2＝(2R)2π＝12π，故選A．]3．已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側(cè)面綻開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為()A．1cm B．2cmC．3cm D．eq\f(3,2)cmB[S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm)．]4．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為．eq\f(16,3)π[由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱挖去了一個(gè)同底等高的圓錐，其體積為π×22×2－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(16,3)π.]考點(diǎn)一空間幾何體的三視圖、直觀圖和綻開圖1.三視圖畫法的基本原則長對正，高平齊，寬相等；畫圖時(shí)看不到的線畫成虛線．2．由三視圖還原幾何體的步驟3．直觀圖畫法的規(guī)則：斜二測畫法．4．通常利用空間幾何體的表面綻開圖解決以下問題：(1)求幾何體的表面積或側(cè)面積；(2)求幾何體表面上隨意兩個(gè)點(diǎn)的最短表面距離．三視圖[典例1－1](1)(2024·全國卷Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()ABCD(2)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點(diǎn)，過點(diǎn)A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，ABCD(3)(2024·全國卷Ⅱ)如圖是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為M，在俯視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為N，則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為()A．EB．FC．GD．H(1)A(2)C(3)A[(1)由題意知，在咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件中，從俯視方向看，榫頭看不見，所以是虛線，結(jié)合榫頭的位置知選A．(2)過點(diǎn)A，E，C1的截面如圖所示，由圖可知該剩余幾何體的側(cè)視圖為C．(3)由三視圖知，該幾何體是由兩個(gè)長方體組合而成的，其直觀圖如圖所示，由圖知該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為E，故選A．]點(diǎn)評：畫三視圖時(shí)，可先找出各個(gè)頂點(diǎn)在投影面上的投影，然后再確定連線在投影面上的虛實(shí)．直觀圖[典例1－2]已知正三角形ABC的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()A．eq\f(\r(3),4)a2B．eq\f(\r(3),8)a2C．eq\f(\r(6),8)a2D．eq\f(\r(6),16)a2D[法一：如圖①②所示的實(shí)際圖形和直觀圖，由圖②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a，所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.法二：S△ABC＝eq\f(1,2)×a×asin60°＝eq\f(\r(3),4)a2，又S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖＝eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(6),16)a2.故選D．]點(diǎn)評：直觀圖的面積問題經(jīng)常有兩種解法：一是利用斜二測畫法求解，留意“斜”及“二測”的含義；二是干脆套用等量關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形．綻開圖[典例1－3]如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，BC＝eq\r(3)，AC＝1，AA1＝3，F(xiàn)為棱AA1上的一動點(diǎn)，則當(dāng)BF＋FC1最小時(shí)，△BFC1的面積為．eq\f(\r(15),2)[將直三棱柱ABC-A1B1C1沿棱AA1綻開成平面，連接BC1(圖略)，與AA1的交點(diǎn)即為滿意BF＋FC1最小時(shí)的點(diǎn)F，∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，BC＝eq\r(3)，AC＝1，AA1＝3，再結(jié)合棱柱的性質(zhì)，可得A1F＝eq\f(1,3)AA1＝1，故AF＝2.由圖形及棱柱的性質(zhì)，可得BF＝eq\r(4＋4)＝2eq\r(2)，F(xiàn)C1＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，BC1＝eq\r(3＋9)＝2eq\r(3)，cos∠BFC1＝eq\f(BF2＋FC\o\al(2,1)－BC\o\al(2,1),2×BF×FC1)＝eq\f(8＋2－12,2×2\r(2)×\r(2))＝－eq\f(1,4).故sin∠BFC1＝eq\r(1－\f(1,16))＝eq\f(\r(15),4)，∴△BFC1的面積為S＝eq\f(1,2)×BF×FC1×sin∠BFC1＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(2)×eq\f(\r(15),4)＝eq\f(\r(15),2).]點(diǎn)評：本題在探求BF＋FC1最小時(shí)，采納了化曲為直的策略，將空間問題平面化，在解決空間折線段最短問題時(shí)可適當(dāng)考慮其綻開圖．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．(2024·全國卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖所示．圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A．2eq\r(17)B．2eq\r(5)C．3D．2B[先畫出圓柱的直觀圖，依據(jù)題圖的三視圖可知點(diǎn)M，N的位置如圖1所示．圖1圖2圓柱的側(cè)面綻開圖及M，N的位置(N為OP的四等分點(diǎn))如圖2所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑．ON＝eq\f(1,4)×16＝4，OM＝2，∴MN＝eq\r(OM2＋ON2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).故選B．]2．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖①所示，它的俯視圖的直觀圖是矩形O1A1B1C1，如圖②，其中O1A1＝6，O1CA．48B．64C．96D．128C[由題意可知俯視圖的直觀圖面積為2×6＝12，故俯視圖的面積為24eq\r(2).又由三視圖可知該幾何體為直四棱柱，且高為4，底面為邊長為6的菱形．所以幾何體的側(cè)面積為6×4×4＝96.故選C．]考點(diǎn)二空間幾何體的表面積與體積1.空間幾何體表面積的求法(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題留意其側(cè)面綻開圖的應(yīng)用．(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積留意連接部分的處理．(3)以三視圖為載體的需確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量．2．空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)干脆利用公式進(jìn)行求解．(2)用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．(3)以三視圖的形式給出的應(yīng)先得到幾何體的直觀圖．空間幾何體的表面積[典例2－1](1)若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是()A．48＋π B．48－πC．48＋2π D．48－2π(2)(2024·全國卷Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．12eq\r(2)πB．12πC．8eq\r(2)πD．10π(3)(2024·全國卷Ⅰ)已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為()A．64πB．48πC．36πD．32π(1)A(2)B(3)A[(1)該幾何體是正四棱柱挖去了一個(gè)半球，正四棱柱的底面是正方形(邊長為2)，高為5，半球的半徑是1，那么該幾何體的表面積為S＝2×2×2＋4×2×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故選A．(2)因?yàn)檫^直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2eq\r(2)，底面圓的直徑為2eq\r(2)，所以該圓柱的表面積為2×π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π.(3)如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，⊙O1的半徑為r，因?yàn)椤袿1的面積為4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以eq\f(AB,sin60°)＝2r，解得AB＝2eq\r(3)，故OO1＝2eq\r(3)，所以R2＝OOeq\o\al(2,1)＋r2＝(2eq\r(3))2＋22＝16，所以球O的表面積S＝4πR2＝64π.故選A．]點(diǎn)評：解答本題T(1)時(shí)易誤認(rèn)為幾何體的上底面不存在，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤．空間幾何體的體積求空間幾何體的體積的常用方法[典例2－2](1)如圖所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為eq\r(3)，D為BC中點(diǎn)，則三棱錐A-B1DC1的體積為()A．3 B．eq\f(3,2)C．1 D．eq\f(\r(3),2)(2)(2024·全國卷Ⅱ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A．90π B．63πC．42π D．36π(3)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點(diǎn)，則三棱錐A-NMD1的體積為(1)C(2)B(3)eq\f(1,3)[(1)(干脆法)如題圖，在正三角形ABC中，D為BC中點(diǎn)，則有AD＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\r(3)，又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，AD⊥BC，AD?平面ABC，由面面垂直的性質(zhì)定理可得AD⊥平面BB1C1C，即AD為三棱錐A-B(2)法一(分割法)：由題意知，該幾何體是一個(gè)組合體，下半部分是一個(gè)底面半徑為3，高為4的圓柱，其體積V1＝π×32×4＝36π.上半部分是一個(gè)底面半徑為3，高為6的圓柱的一半，其體積V2＝eq\f(1,2)×π×32×6＝27π.所以該組合體的體積V＝V1＋V2＝36π＋27π＝63π.法二(補(bǔ)形法)：由題意知，該幾何體是一圓柱被一平面截去一部分后所得的幾何體，在該幾何體上方再補(bǔ)上一個(gè)與其相同的幾何體，讓截面重合，則所得幾何體為一個(gè)圓柱，故圓柱的底面半徑為3，高為10＋4＝14，該圓柱的體積V1＝π×32×14＝126π.故該幾何體的體積為圓柱體積的一半，即V＝eq\f(1,2)V1＝63π.法三(估值法)：由題意，知eq\f(1,2)V圓柱＜V幾何體＜V圓柱．又V圓柱＝π×32×10＝90π，所以45π＜V幾何體＜90π.視察選項(xiàng)可知只有63π符合．(3)(等體積法)如圖，∵正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB∴S△ANM＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，∴Veq\s\do5(A-NMD1)＝Veq\s\do5(D1-AMN)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2＝eq\f(1,3).]點(diǎn)評：處理體積問題的思路(1)“轉(zhuǎn)”：指的是轉(zhuǎn)換底面與高，將原來不易求面積的底面轉(zhuǎn)換為易求面積的底面，或?qū)⒃瓉聿灰卓闯龅母咿D(zhuǎn)換為易看出并易求解長度的高，即等體積法；(2)“拆”：指的是將一個(gè)不規(guī)則的幾何體拆成幾個(gè)簡潔的幾何體，便于計(jì)算，即分割法；(3)“拼”：指的是將小幾何體嵌入一個(gè)大幾何體中，如將一個(gè)三棱錐復(fù)原成一個(gè)三棱柱，將一個(gè)三棱柱復(fù)原成一個(gè)四棱柱，這些都是拼補(bǔ)的方法，即補(bǔ)形法．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．(2024·浙江高考)祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r(shí)代的宏大科學(xué)家，他提出的“冪勢既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體＝Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高．若某柱體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該柱體的體積(單位：cm3)是()A．158 B．162C．182 D．324B[由三視圖得該棱柱的高為6，底面可以看作是由兩個(gè)直角梯形組合而成的，其中一個(gè)上底為4，下底為6，高為3，另一個(gè)的上底為2，下底為6，高為3，則該棱柱的體積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2＋6,2)×3＋\f(4＋6,2)×3))×6＝162.故選B．]2．若正四棱錐的底面邊長和高都為2，則其表面積為．4＋4eq\r(5)[如圖．由題意知底面正方形的邊長為2，正四棱錐的高為2，則正四棱錐的斜高PE＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).所以該四棱錐的側(cè)面積S＝4×eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝4eq\r(5)，∴S表＝2×2＋4eq\r(5)＝4＋4eq\r(5).]考點(diǎn)三與球有關(guān)的切、接問題與球有關(guān)的切、接問題的解法(1)旋轉(zhuǎn)體的外接球：常用的解題方法是過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何學(xué)問找尋幾何中元素間的關(guān)系求解．(2)多面體的外接球：常用的解題方法是將多面體還原到正方體和長方體中再去求解．①若球面上四點(diǎn)P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方體，利用2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)求R.②一條側(cè)棱垂直底面的三棱錐問題：可補(bǔ)形成直三棱柱．先借助幾何體的幾何特征確定球心位置，然后把半徑放在直角三角形中求解．[典例3](1)(2024·全國卷Ⅲ)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為．(2)(2024·福建十校聯(lián)考)已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，且AB＝eq\r(5)，BC＝eq\r(7)，AC＝2，則此三棱錐的外接球的體積為()A．eq\f(8,3)πB．eq\f(8\r(2),3)πC．eq\f(16,3)πD．eq\f(32,3)π(3)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在以O(shè)為球心的球面上，且∠BAC＝eq\f(3π,4)，AA1＝BC＝2，則球O的體積為()A．4eq\r(3)πB．8πC．12πD．20π(1)eq\f(\r(2),3)π(2)B(3)A[(1)易知半徑最大的球即為該圓錐的內(nèi)切球．圓錐PE及其內(nèi)切球O如圖所示，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，則sin∠BPE＝eq\f(R,OP)＝eq\f(BE,PB)＝eq\f(1,3)，所以O(shè)P＝3R，所以PE＝4R＝eq\r(PB2－BE2)＝eq\r(32－12)＝2eq\r(2)，所以R＝eq\f(\r(2),2)，所以內(nèi)切球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(\r(2),3)π，即該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為eq\f(\r(2),3)π.(2)∵AB＝eq\r(5)，BC＝eq\r(7)，AC＝2，∴PA＝1，PC＝eq\r(3)，PB＝2.以PA，PB，PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱，作長方體如圖所示，則長方體的外接球同時(shí)也是三棱錐P-ABC的外接球．∵長方體的體對角線長為eq\r(1＋3＋4)＝2eq\r(2)，∴球的直徑為2eq\r(2)，半徑R＝eq\r(2)，因此，三棱錐P-ABC外接球的體積是eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×(eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2),3)π.故選B．(3)在底面△ABC中，由正弦定理得底面△ABC所在的截面圓的半徑為r＝eq\f(BC,2sin∠BAC)＝eq\f(2,2sin\f(3π,4))＝eq\r(2)，則直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的半徑為R＝eq\r(r2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AA1,2)))eq\s\up12(2))＝eq\r(\r(2)2＋12)＝eq\r(3)，則直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的體積為eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.故選A．][母題變遷]1．若將本例(3)的條件“∠BAC＝eq\f(3π,4)，AA1＝BC＝2”換為“AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12”，則球O的半徑為．eq\f(13,2)[如圖所示，過球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋62)＝eq\f(13,2).]2．若將本例(3)的條件改為“正四面體的各頂點(diǎn)都在以O(shè)為球心的球面上”，則此正四面體的表面積S1與其內(nèi)切球的表面積S2的比值為．eq\f(6\r(3),π)[設(shè)正四面體棱長為a，則正四面體表面積為S1＝4×eq\f(\r(3),4)·a2＝eq\r(3)a2，其內(nèi)切球半徑r為正四面體高的eq\f(1,4)，即r＝eq\f(1,4)·eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(\r(6),12)a，因此內(nèi)切球表面積為S2＝4πr2＝eq\f(πa2,6)，則eq\f(S1,S2)＝eq\f(\r(3)a2,\f(πa2,6))＝eq\f(6\r(3),π).]3．若將本例(3)的條件改為“側(cè)棱和底面邊長都是3eq\r(2)的正四棱錐的各頂點(diǎn)都在以O(shè)為球心的球面上”，則其外接球的半徑為．3[依題意，得該正四棱錐底面對角線的長為3eq\r(2)×eq\r(2)＝6，高為eq\r(3\r(2)eq\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×6))eq\s\up12(2))＝3，因此底面中心到各頂點(diǎn)的距離均等于3，所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3.]點(diǎn)評：通過本例(3)及母題變遷訓(xùn)練，我們可以看出構(gòu)造法、補(bǔ)形法等是處理“外接”問題的主要方法，其關(guān)鍵是找到球心，借助勾股定理求球的半徑．(1)錐體的外接球問題，解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接球的特點(diǎn)，即球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離等于球的半徑．(2)柱體的外接球問題，其解題關(guān)鍵在于確定球心在多面體中的位置，找到球的半徑或直徑與多面體相關(guān)元素之間的關(guān)系，結(jié)合原有多面體的特性求出球的半徑，然后再利用球的表面積和體積公式進(jìn)行正確計(jì)算．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．(2024·全國卷Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D-ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3)B．18eq\r(3)C．24eq\r(3)D．54eq\r(3)B[由等邊△ABC的面積為9eq\r(3)，可得eq\f(\r(3),4)AB2＝9eq\r(3)，所以AB＝6，所以等邊△ABC的外接圓的半徑為r＝eq\f(\r(3),3)AB＝2eq\r(3).設(shè)球的半徑為R，球心到等邊△ABC的外接圓圓心的距離為d，則d＝eq\r(R2－r2)＝eq\r(16－12)＝2.所以三棱錐D-ABC高的最大值為2＋4＝6，所以三棱錐D-ABC體積的最大值為eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).]2．(2024·南寧模擬)已知三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，則三棱錐P-ABC的外接球的體積為()A．eq\f(27π,2)B．eq\f(27\r(3)π,2)C．27eq\r(3)πD．27πB[∵三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，∴△PAB≌△PBC≌△PAC．∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PC⊥PB．以PA，PB，PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱作正方體(如圖所示)，則正方體的外接球同時(shí)也是三棱錐P-ABC的外接球．∵正方體的體對角線長為eq\r(32＋32＋32)＝3eq\r(3)，∴其外接球半徑R＝eq\f(3\r(3),2).因此三棱錐P-ABC的外接球的體積V＝eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(27\r(3)π,2).]核心素養(yǎng)5用數(shù)學(xué)眼光視察世界——巧解簡潔幾何體的外接球與內(nèi)切球問題簡潔幾何體外接球與內(nèi)切球問題是立體幾何中的難點(diǎn)，也是歷年高考重要的考點(diǎn)，幾乎每年都要考查，重在考查考生的直觀想象實(shí)力和邏輯推理實(shí)力．此類問題實(shí)質(zhì)是解決球的半徑長或確定球心O的位置問題，其中球心的確定是關(guān)鍵．下面從六個(gè)方面分類闡述該類問題的求解策略.利用長方體的體對角線探究外接球半徑eq\o([素養(yǎng)案例1])已知邊長為2的等邊三角形ABC，D為BC的中點(diǎn)，沿AD進(jìn)行折疊，使折疊后的∠BDC＝eq\f(π,2)，則過A，B，C，D四點(diǎn)的球的表面積為()A．3πB．4πC．5πD．6πC[連接BC(圖略)，由題知幾何體ABCD為三棱錐，BD＝CD＝1，AD＝eq\r(3)，BD⊥AD，CD⊥AD，BD⊥CD，將折疊后的圖形補(bǔ)成一個(gè)長、寬、高分別是eq\r(3)，1,1的長方體，其體對角線長為eq\r(1＋1＋3)＝eq\r(5)，故該三棱錐外接球的半徑是eq\f(\r(5),2)，其表面積為5π.][評析]若幾何體存在三條兩兩垂直的線段或者三條線有兩條垂直，可構(gòu)造墻角模型(如下圖)，干脆用公式(2R)2＝a2＋b2＋c2求出R.eq\o([素養(yǎng)培優(yōu)])(2024·河北重點(diǎn)中學(xué)6月聯(lián)考)阿基米德是宏大的古希臘數(shù)學(xué)家，他和高斯、牛頓并稱為世界三大數(shù)學(xué)家．他的一個(gè)重要數(shù)學(xué)成就是“圓柱容球”定理，即在帶蓋子的圓柱形容器(容器的厚度忽視不計(jì))里放一個(gè)球，該球與圓柱形容器的兩個(gè)底面和側(cè)面都相切，則球的體積是圓柱形容器的容積的eq\f(2,3)，并且球的表面積也是圓柱形容器的表面積的eq\f(2,3).則該圓柱形容器的容積與它的外接球的體積之比為()A．eq\f(3\r(2),8)B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(2,3)D．eq\f(\r(2),3)A[設(shè)容器里所放球的半徑為R，則圓柱形容器的底面半徑為R，設(shè)圓柱形容器的高為h，由題意知h＝2R，圓柱形容器的外接球的半徑為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2R,2)))eq\s\up12(2)＋R2)＝eq\r(2)R.圓柱形容器的容積V＝πR2·2R＝2πR3，V外接球＝eq\f(4,3)π(eq\r(2)R)3＝eq\f(8\r(2),3)πR3，所以eq\f(V,V外接球)＝eq\f(2πR3,\f(8\r(2),3)πR3)＝eq\f(3\r(2),8)，故選A．]利用長方體的面對角線探究外接球半徑eq\o([素養(yǎng)案例2])三棱錐S-ABC中，SA＝BC＝eq\r(13)，SB＝AC＝eq\r(5)，SC＝AB＝eq\r(10).則三棱錐的外接球的表面積為．14π[如圖，在長方體中，設(shè)AE＝a，BE＝b，CE＝c.則SC＝AB＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(10)，SA＝BC＝eq\r(b2＋c2)＝eq\r(13)，SB＝AC＝eq\r(a2＋c2)＝eq\r(5).從而a2＋b2＋c2＝14＝(2R)2，可得S＝4πR2＝14π.故所求三棱錐的外接球的表面積為14π.][評析]三棱錐的相對棱相等，探尋球心無從著手，留意到長方體的相對面的面對角線相等，可在長方體中構(gòu)造三棱錐，從而奇妙探究外接球半徑．eq\o([素養(yǎng)培優(yōu)])(2024·全國卷Ⅰ)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF＝90°，則球O的體積為()A．8eq\r(6)πB．4eq\r(6)πC．2eq\r(6)πD．eq\r(6)πD[因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為PA，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PB，因?yàn)椤螩EF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.取AC的中點(diǎn)D，連接BD，PD，易證AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE?平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因?yàn)镻A＝PB＝PC，△ABC為正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC兩兩垂直，將三棱錐P-ABC放在正方體中．因?yàn)锳B＝2，所以該正方體的棱長為eq\r(2)，所以該正方體的體對角線長為eq\r(6)，所以三棱錐P-ABC的外接球的半徑R＝eq\f(\r(6),2)，所以球O的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(3)＝eq\r(6)π，故選D．]利用底面三角形與側(cè)面三角形的外心探究球心eq\o([素養(yǎng)案例3])平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD．將其沿對角線BD折成四面體A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD．若四面體A′BCD的頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的體積為()A．eq\f(\r(3),2)πB．3πC．eq\f(\r(2),3)πD．2πA[如圖，設(shè)BD，BC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn).因點(diǎn)F為底面直角△BCD的外心，知三棱錐A′-BCD的外接球球心必在過點(diǎn)F且與平面BCD垂直的直線l1上．又點(diǎn)E為底面直角△A′BD的外心，知外接球球心必在過點(diǎn)E且與平面A′BD垂直的直線l2上．因而球心為l1與l2的交點(diǎn)．又FE∥CD，CD⊥BD知FE⊥平面A′BD．從而可知球心為點(diǎn)F.又A′B＝A′D＝1，CD＝1知BD＝eq\r(2)，球半徑R＝FD＝eq\f(BC,2)＝eq\f(\r(3),2).故V＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(3),2)π.][評析]三棱錐側(cè)面與底面垂直時(shí)，可緊扣球心與底面三角形外心連線垂直于底面這一性質(zhì)，利用底面與側(cè)面的外心，巧探外接球球心，妙求半徑．eq\o([素養(yǎng)培優(yōu)])(2024·廣州模擬)三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為()A．23πB．eq\f(23,4)πC．64πD．eq\f(64,3)πD[如圖，設(shè)O′為正△PAC的中心，D為Rt△ABC斜邊的中點(diǎn)，H為AC中點(diǎn)．由平面PAC⊥平面ABC．則O′H⊥平面ABC．作O′O∥HD，OD∥O′H，則交點(diǎn)O為三棱錐外接球的球心，連接OP，又O′P＝eq\f(2,3)PH＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×2＝eq\f(2\r(3),3)，OO′＝DH＝eq\f(1,2)AB＝2.∴R2＝OP2＝O′P2＋O′O2＝eq\f(4,3)＋4＝eq\f(16,3).故幾何體外接球的表面積S＝4πR2＝eq\f(64,3)π.]利用直棱柱上下底面外接圓圓心的連線確定球心eq\o([素養(yǎng)案例4])一個(gè)正六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為eq\f(9,8)，底面周長為3，則這個(gè)球的體積為．eq\f(4π,3)[設(shè)正六棱柱底面邊長為a，正六棱柱的高為h，底面外接圓的半徑為r，則a＝eq\f(1,2)，底面積為S＝6·eq\f(\r(3),4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3\r(3),8)，V柱＝Sh＝eq\f(3\r(3),8)h＝eq\f(9,8)，∴h＝eq\r(3)，R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝1，R＝1，球的體積為V＝eq\f(4π,3).][評析]直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型如圖：其外接球球心就是上下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)．eq\o([素養(yǎng)培優(yōu)])(2024·全國卷Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()A．πB．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,2)D．eq\f(π,4)B[設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R＝1，由圓柱兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上可知，r，R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形．∴r＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2).∴圓柱的體積為V＝πr2h＝eq\f(3,4)π×1＝eq\f(3π,4).故選B．]錐體的內(nèi)切球問題(1)題設(shè)：如圖①，三棱錐P-ABC是正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑．圖①第一步：先畫出內(nèi)切球的截面圖，E，H分別是兩個(gè)三角形的外心；其次步：求DH＝eq\f(1,3)CD，PO＝PH－r，PD是側(cè)面△ABP的高；第三步：由△POE∽△PDH，建立等式：eq\f(OE,DH)＝eq\f(PO,PD)，解出r.(2)題設(shè)：如圖②，四棱錐P-ABCD是正四棱錐，求其內(nèi)切球的半徑．圖②第一步：先畫出內(nèi)切球的截面圖，P，O，H三點(diǎn)共線；其次步：求FH＝eq\f(1,2)BC，PO＝PH－r，PF是側(cè)面△PCD的高；第三步：由△POG∽△PFH，建立等式：eq\f(OG,HF)＝eq\f(PO,PF)，解出r.(3)題設(shè)：三棱錐P-ABC是隨意三棱錐，求其內(nèi)切球半徑．方法：等體積法，三棱錐P-ABC體積等于內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和；第一步：先求出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；其次步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，球心為O，建立等式：VP-ABC＝VO-ABC＋VO-PAB＋VO-PAC＋VO-PBC?VP-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·r＋eq\f(1,3)S△PAB·r＋eq\f(1,3)S△PAC·r＋eq\f(1,3)S△PBC·r＝eq\f(1,3)(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r；第三步：解出r＝eq\f(3VP-ABC,S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC).eq\o([素養(yǎng)案例5])(1)將半徑為3，圓心角為eq\f(2π,3)的扇形圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為()A．πB．2πC．3πD．4π(2)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝m，PA＝PC＝eq\r(2)m，若在這個(gè)四棱錐內(nèi)放一個(gè)球，則此