2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題練多選題專練含解析

PAGE多選題專練專練(一)不等式多選題1.下列說法正確的有()A.若a>b，則ac2>bc2 B.若eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)，則a>bC.若a>b，則2a>2b D.若a>b，則a2>b2解析對于A，若c＝0，則ac2＝bc2，故A不正確.對于B，若eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)，則c≠0，則c2>0，則eq\f(a,c2)·c2>eq\f(b,c2)·c2，化簡得a>b，故B正確.對于C，若a>b，則依據(jù)指數(shù)函數(shù)y＝2x在R上單調(diào)遞增，得2a>2b，故C正確.對于D，取a＝－1，b＝－2，則a2＝1<b2＝4，故D不正確.故選BC.答案BC2.給出下面四個推斷，其中正確的是()A.若a，b∈(0，＋∞)，則eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2B.若x，y∈(0，＋∞)，則lgx＋lgy≥2eq\r(lgx·lgy)C.若a∈R，a≠0，則eq\f(4,a)＋a≥4D.若x，y∈R，xy<0，則eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≤－2解析對于A，因為a，b∈(0，＋∞)，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)×\f(a,b))＝2，當且僅當eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b時取等號，故A正確.對于B，當x，y∈(0，1)時，lgx，lgy∈(－∞，0)，lgx＋lgy≥2eq\r(lgx·lgy)明顯不成立，故B錯誤；對于C，當a<0時，eq\f(4,a)＋a≥4明顯不成立，故C錯誤；對于D，xy<0，則－eq\f(y,x)>0，－eq\f(x,y)>0，則eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x)))))≤－2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x))))＝－2，當且僅當－eq\f(x,y)＝－eq\f(y,x)，即x＝－y時取等號，故D正確.故選AD.答案AD3.若a>0，b>0，a＋b＝2，則下列不等式中正確的有()A.ab≤1 B.eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)C.a2＋b2≥2 D.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2解析由題意得a>0，b>0，a＋b＝2.對于A，由基本不等式可得ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)＝1，當且僅當a＝b＝1時，等號成立，故A正確；對于B，當a＝b＝1時，eq\r(a)＋eq\r(b)＝2>eq\r(2)，故B錯誤；對于C，因為a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b＝1時取等號，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝4，即a2＋b2≥2，故C正確；對于D，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(2,\r(ab))≥2，當且僅當a＝b＝1時，等號同時成立，故D正確.答案ACD4.若a>1，b>1，且ab－(a＋b)＝1，則()A.a＋b有最小值2＋2eq\r(2)B.a＋b有最大值2＋2eq\r(2)C.ab有最大值1＋eq\r(2)D.ab有最小值3＋2eq\r(2)解析由ab－(a＋b)＝1，得ab＝1＋(a＋b)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(當且僅當a＝b時取等號)，即(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0，且a＋b>2，解得a＋b≥2＋2eq\r(2)，∴a＋b有最小值2＋eq\r(2)，故A正確；由ab－(a＋b)＝1得，ab－1＝a＋b≥2eq\r(ab)(當且僅當a＝b時取等號)，即ab－2eq\r(ab)－1≥0，且ab>1，解得ab≥3＋2eq\r(2)，∴ab有最小值3＋2eq\r(2)，故D正確.故選AD.答案AD專練(二)平面對量多選題1.已知向量a，b是同一平面α內(nèi)的兩個向量，則下列結(jié)論正確的是()A.若存在實數(shù)λ，使得b＝λa，則a與b共線B.若a與b共線，則存在實數(shù)λ，使得b＝λaC.若a與b不共線，則對平面α內(nèi)的隨意向量c，均存在實數(shù)λ，μ，使得c＝λa＋μbD.若對平面α內(nèi)的隨意向量c，均存在實數(shù)λ，μ，使得c＝λa＋μb，則a與b不共線解析依據(jù)平面對量共線的學(xué)問可知A正確.對于B，若a與b共線，可能a＝0，當b為非零向量時，不存在實數(shù)λ，使得b＝λa，所以B錯誤.依據(jù)平面對量基本定理可知C、D正確.故選ACD.答案ACD2.設(shè)向量a＝(k，2)，b＝(1，－1)，則下列敘述錯誤的是()A.若k<－2，則a與b的夾角為鈍角B.|a|的最小值為2C.與b共線的單位向量只有一個為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))D.若|a|＝2|b|，則k＝2eq\r(2)或－2eq\r(2)解析對于A，若a與b的夾角為鈍角，則a·b<0且a與b不共線，則k－2<0且k≠－2，解得k<2且k≠－2，A正確；對于B，|a|＝eq\r(k2＋4)≥eq\r(4)＝2，當且僅當k＝0時等號成立，B正確；對于C，|b|＝eq\r(2)，與b共線的單位向量為±eq\f(b,|b|)，即與b共線的單位向量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，C錯誤；對于D，∵|a|＝2|b|＝2eq\r(2)，∴eq\r(k2＋4)＝2eq\r(2)，解得k＝±2，D錯誤.故選CD.答案CD3.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，D，E分別是AC，AB上的兩點，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，BD與CE交于點O，則下列說法正確的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝－1B.eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0C.|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)D.eq\o(ED,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影為eq\f(7,6)解析因為eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))，△ABC是等邊三角形，所以CE⊥AB，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝0，A錯誤.以E為坐標原點，eq\o(EA,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→))的方向分別為x軸，y軸正方向建立平面直角坐標系，如圖所示，所以E(0，0)，A(1，0)，B(－1，0)，C(0，eq\r(3))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2\r(3),3)))，設(shè)O(0，y)，y∈(0，eq\r(3))，則eq\o(BO,\s\up6(→))＝(1，y)，eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，y－\f(2\r(3),3)))，又eq\o(BO,\s\up6(→))∥eq\o(DO,\s\up6(→))，所以y－eq\f(2\r(3),3)＝－eq\f(1,3)y，解得y＝eq\f(\r(3),2)，即O是CE的中點，eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以B正確.|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|2eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OE,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，所以C正確.eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2\r(3),3)))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3))，eq\o(ED,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影為eq\f(\o(ED,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(1,3)＋2,2)＝eq\f(7,6)，所以D正確.故選BCD.答案BCD4.P為△ABC所在平面內(nèi)一點，下列結(jié)論正確的是()A.若eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，則P為△ABC的重心B.若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))，則P為△ABC的內(nèi)心C.若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，則點P的軌跡肯定通過△ABC的垂心D.若|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|，則P為△ABC的外心解析對于A，若eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，則eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝－eq\o(PC,\s\up6(→))，以eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))為鄰邊作平行四邊形PADB，M為PD的中點，則eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))，所以eq\o(PD,\s\up6(→))＝－eq\o(PC,\s\up6(→))，又eq\o(PD,\s\up6(→))＝2eq\o(PM,\s\up6(→))，所以|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PM,\s\up6(→))|，所以P為△ABC的重心，故A正確；對于B，由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，即eq\o(PB,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，所以BP⊥CA，同理由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))，可得PA⊥BC，所以P為△ABC的垂心，故B錯誤；對于C，在邊AB，AC上分別取點E，F(xiàn)，使eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)，則|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝1，以AE，AF為鄰邊作平行四邊形AEGF，則四邊形AEGF為菱形，連接AG，則AG為∠BAC的角平分線，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，所以點P在角平分線AG上，所以點P的軌跡肯定通過△ABC的內(nèi)心，故C錯誤；對于D，若|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|，則點P到△ABC的頂點的距離相等，所以P為△ABC的外心，故D正確.故選AD.答案AD專練(三)三角函數(shù)、解三角形多選題1.已知函數(shù)f(x)＝2|cosx|sinx＋sin2x，下列結(jié)論正確的是()A.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,4)對稱B.函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上單調(diào)遞增C.函數(shù)f(x)的最小正周期是πD.函數(shù)f(x)的值域為[－2，2]解析對于A，函數(shù)f(x)＝2|cosx|sinx＋sin2x，因為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝－2，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))＝0，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))≠feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))，所以函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于直線x＝eq\f(π,4)對稱，故A錯誤；對于B，當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))時，2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，cosx>0，所以f(x)＝2cosxsinx＋sin2x＝2sin2x，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，因為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\r(3)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝0，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))≠feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)))，所以函數(shù)f(x)的最小正周期不是π，故C錯誤；對于D，當cosx≥0時，f(x)＝2cosxsinx＋sin2x＝2sin2x，其最大值為2，最小值為－2，當cosx<0時，f(x)＝－2cosxsinx＋sin2x＝0，所以函數(shù)f(x)的值域為[－2，2]，故D正確.故選BD.答案BD2.已知α，β，γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，則下列說法正確的是()A.cos(β－α)＝eq\f(1,2) B.cos(β－α)＝－eq\f(1,2)C.β－α＝eq\f(π,3) D.β－α＝－eq\f(π,3)解析由已知，得sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ.兩式分別平方相加，得(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1，∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝eq\f(1,2)，∴A正確，B錯誤.∵α，β，γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sinγ＝sinβ－sinα>0，∴β>α，∴β－α＝eq\f(π,3)，∴C正確，D錯誤.故選AC.答案AC3.已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,2)))－cosωx(0<ω<3)的圖象過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))，若要得到一個偶函數(shù)的圖象，則需將函數(shù)f(x)的圖象()A.向左平移eq\f(2π,3)個單位長度B.向右平移eq\f(2π,3)個單位長度C.向左平移eq\f(4π,3)個單位長度D.向右平移eq\f(4π,3)個單位長度解析f(x)＝eq\r(3)sinωx－cosωx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))，又Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))在函數(shù)f(x)的圖象上，∴eq\f(π,3)ω－eq\f(π,6)＝kπ(k∈Z)，ω＝3k＋eq\f(1,2)，又0<ω<3，∴ω＝eq\f(1,2)，f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,6))).當將f(x)圖象向右平移eq\f(2π,3)個單位時，得y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3)－\f(π,6)))的圖象，即y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,2)))＝－2coseq\f(x,2)為偶函數(shù)，同理當f(x)向左平移eq\f(4π,3)個單位時，得y＝2coseq\f(x,2)為偶函數(shù).答案BC4.已知等邊三角形ABC的邊長為3，點D在BC邊上，且BD>CD，AD＝eq\r(7).下列結(jié)論中正確的是()A.eq\f(BD,CD)＝2 B.eq\f(S△ABD,S△ACD)＝2C.eq\f(cos∠BAD,cos∠CAD)＝2 D.eq\f(sin∠BAD,sin∠CAD)＝2解析如圖所示，∵點D在BC邊上，且BD>CD，∴BD>eq\f(1,2)BC＝eq\f(3,2)，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·coseq\f(π,3)，整理得BD2－3BD＋2＝0，又BD>eq\f(3,2)，解得BD＝2，∴CD＝1，∴eq\f(BD,CD)＝2，故A正確；∵eq\f(S△ABD,S△ACD)＝eq\f(BD,CD)＝2，故B正確；由余弦定理得cos∠BAD＝eq\f(AB2＋AD2－BD2,2AB·AD)＝eq\f(2\r(7),7)，同理可得cos∠CAD＝eq\f(5\r(7),14)，則eq\f(cos∠BAD,cos∠CAD)＝eq\f(2\r(7),7)×eq\f(14,5\r(7))＝eq\f(4,5)≠2，故C錯誤；由正弦定理得eq\f(BD,sin∠BAD)＝eq\f(AD,sin\f(π,3))＝eq\f(CD,sin∠CAD)，∴eq\f(sin∠BAD,sin∠CAD)＝eq\f(BD,CD)＝2，故D正確.故選ABD.答案ABD專練(四)數(shù)列多選題1.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，且S6>S7>S5，則下列說法正確的是()A.d<0B.S11>0C.S12<0D.數(shù)列{Sn}中的最大項為S11解析由S6>S7，得S7－S6＝a7<0.由S7>S5，得S7－S5＝a6＋a7>0.由S6>S5，得S6－S5＝a6>0.對于A，因為a6>0，a7<0，所以d<0，故A正確；對于B，因為S11＝11a6>0，故B正確；對于C，因為S12＝eq\f(12（a1＋a12）,2)＝6(a6＋a7)>0，故C錯誤；對于D，因為a6>0，a7<0，所以數(shù)列{Sn}中的最大項為S6，故D錯誤.故選AB.答案AB2.在等比數(shù)列{an}中，公比q為整數(shù)，Sn是數(shù)列{an}的前n項和.若a1·a4＝32，a2＋a3＝12，則下列說法正確的是()A.q＝2B.數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列C.S8＝510D.數(shù)列{lgan}是公差為2的等差數(shù)列解析因為{an}為等比數(shù)列，且a1·a4＝32，所以a2·a3＝32.又a2＋a3＝12，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,a3＝8，,q＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝8，,a3＝4，,q＝\f(1,2).))又公比q為整數(shù)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,a3＝8，,q＝2，))即an＝2n，Sn＝eq\f(2×（1－2n）,1－2)＝2n＋1－2.對于A，由上可得q＝2，故A正確；對于B，因為Sn＋2＝2n＋1，所以eq\f(Sn＋1＋2,Sn＋2)＝eq\f(2n＋2,2n＋1)＝2，則數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列，故B正確；對于C，S8＝29－2＝510，故C正確；對于D，lgan＋1－lgan＝lg2，即數(shù)列{lgan}是公差為lg2的等差數(shù)列，故D錯誤.故選ABC.答案ABC3.已知數(shù)列{an}滿意a1＝2，(2n－1)an＋1＝(2n＋1)an(n∈N*)，則()A.an＝3n－1 B.an＝4n－2C.Sn＝n2 D.Sn＝2n2解析由題意得eq\f(an＋1,an)＝eq\f(2n＋1,2n－1)，所以an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)＝2·eq\f(3,1)·eq\f(5,3)·…·eq\f(2n－1,2n－3)＝4n－2，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列，即Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝eq\f(n（2＋4n－2）,2)＝2n2，故選BD.答案BD4.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*)，且Sn＝2(an－a)(其中a為常數(shù))，則下列說法正確的是()A.數(shù)列{an}肯定是等比數(shù)列B.數(shù)列{an}可能是等差數(shù)列C.數(shù)列{Sn}可能是等比數(shù)列D.數(shù)列{Sn}可能是等差數(shù)列解析由題意知，Sn＝2(an－a)，Sn－1＝2(an－1－a)，n∈N*，n≥2，兩式相減得an＝2an－2an－1，所以an＝2an－1，n≥2.若a＝0，令n＝1，則a1＝2(a1－0)，a1＝0，則an＝0，此時是等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，若a≠0，令n＝1，則a1＝2(a1－a)，a1＝2a，則an＝2an－1，n≥2，此時不是等差數(shù)列，所以數(shù)列{an}不肯定是等比數(shù)列，可能是等差數(shù)列，故A錯誤，B正確；又Sn＝2(an－a)＝2(Sn－Sn－1－a)，n≥2，n∈N*，得Sn＝2Sn－1＋2a，若a＝0，令n＝1，則a1＝2(a1－0)，a1＝0，則an＝0，Sn＝0，此時{Sn}是一個全部項均為0的常數(shù)列，所以{Sn}不行能為等比數(shù)列，所以C錯誤，D正確.故選BD.答案BD專練(五)立體幾何多選題1.已知α，β是兩個不重合的平面，m，n是兩條不重合的直線，則下列命題正確的是()A.若m∥n，m⊥α，則n⊥αB.若m∥α，α∩β＝n，則m∥nC.若m⊥α，m⊥β，則α∥βD.若m⊥α，m∥n，n∥β，則α∥β解析由m∥n，m⊥α，可得n⊥α，A正確；若m∥α，α∩β＝n，則m與n的位置關(guān)系不確定，B不正確；由m⊥α，m⊥β，得α∥β，C正確；由m⊥α，m∥n，n∥β，得α⊥β，D不正確.故選AC.答案AC2.(2024·青島模擬)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，則下列四個命題正確的是()A.直線BC與平面ABC1D1所成的角等于eq\f(π,4)B.點C到平面ABC1D1的距離為eq\f(\r(2),2)C.異面直線D1C和BC1所成的角為eq\f(π,4)D.三棱柱AA1D1－BB1C1的外接球的半徑為eq\f(\r(3),2)解析對于A，直線BC與平面ABC1D1所成的角為∠CBC1＝eq\f(π,4)，A正確.對于B，連接B1C.因為B1C⊥平面ABC1D1，所以點C到平面ABC1D1的距離為B1C的一半，即為eq\f(\r(2),2)，B正確.對于C，因為BC1∥AD1，所以異面直線D1C和B1C所成的角為∠AD1C.連接AC，則△AD1C為等邊三角形，則異面直線D1C和BC1所成的角為eq\f(π,3)，C錯誤.對于D，因為A1A，A1B1，A1D1兩兩垂直，所以三棱柱AA1D1－BB1C1的外接球也是正方體ABCD－A1B1C1D1的外接球，所以外接球的半徑r＝eq\f(\r(12＋12＋12),2)＝eq\f(\r(3),2)，D正確.故選ABD.答案ABD3.(2024·東營調(diào)研)假如一個棱錐的底面是正方形，且頂點在底面內(nèi)的射影是底面的中心，那么這樣的棱錐叫正四棱錐.若一正四棱錐的體積為18，則當該正四棱錐的側(cè)面積最小時，以下結(jié)論正確的是()A.棱錐的高與底面邊長的比為eq\f(\r(2),2)B.側(cè)棱與底面所成的角為eq\f(π,4)C.棱錐的高與底面邊長的比為eq\r(2)D.側(cè)棱與底面所成的角為eq\f(π,3)解析如圖，O為正四棱錐S－ABCD的底面中心，連接SO，則SO是正四棱錐S－ABCD的高.設(shè)點E為BC的中點，連接OE，SE.設(shè)該正四棱錐的高為h，底面邊長為a，則VS－ABCD＝eq\f(1,3)a2h＝18，即h＝eq\f(54,a2)，所以該正四棱錐的側(cè)面積為4S△SBC＝4×eq\f(1,2)BC×SE＝4×eq\f(1,2)a×eq\r(h2＋\f(a2,4))＝2aeq\r(\f(542,a4)＋\f(a2,4))＝eq\r(a4＋\f(1082,a2)).令f(a)＝a4＋eq\f(1082,a2)(a>0)，則f′(a)＝4a3－eq\f(2×1082,a3).令f′(a)＝0，得a＝3eq\r(2).當a∈(0，3eq\r(2))時，f′(a)<0，f(a)單調(diào)遞減，當a∈(3eq\r(2)，＋∞)時，f′(a)>0，f(a)單調(diào)遞增，所以當a＝3eq\r(2)時，f(a)取得最小值，即該正四棱錐的側(cè)面積最小，此時h＝3.所以棱錐的高與底面邊長的比為eq\f(\r(2),2)，A正確，C錯誤.連接AO，則側(cè)棱與底面所成的角為∠SAO，由a＝3eq\r(2)，得AO＝3，而h＝3，所以∠SAO＝eq\f(π,4)，B正確，D錯誤.故選AB.答案AB4.如圖(1)，點M，N分別為菱形ABCD的邊BC，CD的中點，將此菱形沿對角線AC折起，使點D不在平面ABC內(nèi)，如圖(2)，則在翻折過程中，下列結(jié)論正確的有()A.MN∥BDB.MN∥平面ABDC.異面直線AC與MN所成的角為定值D.在二面角D－AC－B漸漸變小的過程中，三棱錐D－ABC的外接球的半徑先變小后變大解析因為點M，N分別為菱形ABCD的邊BC，CD的中點，所以MN為△BCD的中位線，所以MN∥BD，A正確.又因為MN?平面ABD，BD?平面ABD，所以MN∥平面ABD，B正確.對于C，如圖，取AC的中點O，連接DO，BO，則AC⊥DO，AC⊥BO.因為BO∩DO＝O，BO，DO?平面BOD，所以AC⊥平面BOD，所以AC⊥BD.因為MN∥BD，所以AC⊥MN，即異面直線AC與MN所成的角為定值eq\f(π,2)，C正確.對于D，借助極限狀態(tài)，當平面DAC與平面ABC重合時，三棱錐D－ABC的外接球的球心是△ABC的外接圓的圓心，球的半徑是△ABC的外接圓的半徑，當二面角D－AC－B漸漸變大時，球心離開平面ABC，但是球心在平面ABC的投影仍舊是△ABC的外接圓的圓心，所以二面角D－AC－B不為0時，外接球的半徑肯定大于△ABC的外接圓的半徑，故二面角D－AC－B漸漸變小的過程中，三棱錐D－ABC的外接球的半徑不行能先變小后變大，D錯誤.答案ABC專練(六)概率與統(tǒng)計多選題1.(2024·濟南一模)原油價格的走勢在肯定程度上反映了全球的經(jīng)濟形勢，下面是2008年至2024年國際原油價格凹凸的對比圖.下列說法正確的是()A.2008年原油價格波動幅度最大B.2008年至2024年，原油價格平均值不斷變小C.2013年原油價格平均值肯定大于2008年原油價格平均值D.2008年至2024年，原油價格波動幅度均不小于20美元/桶解析由折線統(tǒng)計圖，知2008年原油價格最低小于40美元/桶，最高大于140美元/桶，這樣價格波動超過100美元/桶，而其他年份都沒有這么大，所以2008年原油價格波動幅度最大，A正確；2008年至2024年，原油價格平均值有起伏，B不正確；2008年原油價格最低小于40美元/桶，最高大于140美元/桶，這樣2008年原油價格平均值在90美元/桶左右，而2013年原油價格最低大于100美元/桶，最高大于110美元/桶，接近120美元/桶，因此2013年原油價格平均值在110美元/桶左右，所以2013年原油價格平均值肯定大于2008年原油價格平均值，C正確；2013年、2024年原油價格波動幅度均小于20美元/桶，D不正確.故選AC.答案AC2.某國產(chǎn)殺毒軟件的競賽規(guī)則為每個軟件進行四輪考核，每輪考核中能夠精確對病毒進行查殺的進入下一輪考核，否則被淘汰.已知某個軟件在四輪考核中能夠精確殺毒的概率依次是eq\f(5,6)，eq\f(3,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3)，且各輪考核能否通過互不影響，則()A.該軟件通過考核的概率為eq\f(1,8)B.該軟件在第三輪考核被淘汰的概率為eq\f(1,8)C.該軟件至少能夠通過兩輪考核的概率為eq\f(2,3)D.該軟件至多進入第三輪考核的概率為eq\f(5,8)解析設(shè)事務(wù)Ai(i＝1，2，3，4)表示“該軟件能通過第i輪考核”，則P(A1)＝eq\f(5,6)，P(A2)＝eq\f(3,5)，P(A3)＝eq\f(3,4)，P(A4)＝eq\f(1,3).該軟件通過考核的概率為P(A1A2A3A4)＝P(A1)·P(A2)P(A3)P(A4)＝eq\f(5,6)×eq\f(3,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,8)，A正確；該軟件在第三輪考核被淘汰的概率為P(A1A2eq\o(A,\s\up6(－))3)＝P(A1)P(A2)P(eq\o(A,\s\up6(－))3)＝eq\f(5,6)×eq\f(3,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,8)，B正確；該軟件至少能夠通過兩輪考核的概率為1－P(eq\o(A,\s\up6(－))1)－P(A1eq\o(A,\s\up6(－))2)＝1－eq\f(1,6)－eq\f(5,6)×eq\f(2,5)＝eq\f(1,2)，C不正確；該軟件至多進入第三輪考核的概率為P(eq\o(A,\s\up6(－))1＋A1eq\o(A,\s\up6(－))2＋A1A2eq\o(A,\s\up6(－))3)＝P(eq\o(A,\s\up6(－))1)＋P(A1eq\o(A,\s\up6(－))2)＋P(A1A2eq\o(A,\s\up6(－))3)＝eq\f(1,6)＋eq\f(5,6)×eq\f(2,5)＋eq\f(5,6)×eq\f(3,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,8)，D正確.故選ABD.答案ABD3.已知隨機變量X的分布列如表所示，則當a改變時，下列說法正確的是()X0123Peq\f(1,3)eq\f(1,2)－aaeq\f(1,6)A.E(X)隨著a的增大而增大B.E(X)隨著a的增大而減小C.D(X)隨著a的增大而減小D.D(X)隨著a的增大而增大解析由題意知，E(X)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－a))＋2a＋3×eq\f(1,6)＝1＋a，明顯E(X)隨著a的增大而增大.D(X)＝(1＋a－0)2×eq\f(1,3)＋(1＋a－1)2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－a))＋(1＋a－2)2×a＋(1＋a－3)2×eq\f(1,6)＝－a2＋a＋1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(5,4)，又eq\f(1,2)－a>0，a>0，所以0<a<eq\f(1,2)，所以D(X)隨著a的增大而增大，故選AD.答案AD4.某車站在某一時刻有9位旅客出站，假設(shè)每位旅客選擇共享單車接著出行的概率都為eq\f(1,2)，且每位旅客之間互不影響.設(shè)在這一時刻9位旅客中恰有k人騎行共享單車的概率為P(x＝k)，則()A.P(x＝4)＝P(x＝5) B.P(x＝4)>P(x＝5)C.P(x＝5)>P(x＝6) D.P(x＝5)＝P(x＝6)解析由題意得，P(x＝4)＝Ceq\o\al(4,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(5)，P(x＝5)＝Ceq\o\al(5,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)，P(x＝6)＝Ceq\o\al(6,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3).因為Ceq\o\al(4,9)＝Ceq\o\al(5,9)，所以P(x＝4)＝P(x＝5)，故A正確，B錯誤.又Ceq\o\al(5,9)>Ceq\o\al(6,9)，所以P(x＝5)>P(x＝6)，故C正確，D錯誤.故選AC.答案AC專練(七)解析幾何多選題1.已知圓O1的方程為x2＋y2＝4，圓O2的方程為(x－a)2＋y2＝1，假如這兩個圓有且只有一個公共點，那么實數(shù)a的可能取值是()A.－1 B.1 C.3 D.5解析由題意得兩圓內(nèi)切或外切，∴|O1O2|＝2＋1或|O1O2|＝2－1，∴|a|＝3或|a|＝1，∴a＝±3，或a＝±1.故選ABC.答案ABC2.設(shè)橢圓C：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓C上隨意一點，則下列結(jié)論正確的是()A.|PF1|＋|PF2|＝4eq\r(2)B.離心率e＝eq\f(\r(6),2)C.△PF1F2面積的最大值為4eq\r(2)D.以線段F1F2為直徑的圓與直線x＋y－2eq\r(2)＝0相切解析對于A，由橢圓的定義可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4eq\r(2)，所以A正確.對于B，依題意知a＝2eq\r(2)，b＝2，c＝2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,2\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以B不正確；或者由橢圓的離心率0<e<1知B不正確.對于C，|F1F2|＝2c＝4，當P為橢圓短軸的端點時，△PF1F2的面積取得最大值，最大值為eq\f(1,2)×2c·b＝c·b＝4，所以C錯誤.對于D，以線段F1F2為直徑的圓的圓心為(0，0)，半徑為2，圓心到直線x＋y－2eq\r(2)＝0的距離為eq\f(2\r(2),\r(2))＝2，也即圓心到直線的距離等于半徑，所以以線段F1F2為直徑的圓與直線x＋y－2eq\r(2)＝0相切，所以D正確.故選AD.答案AD3.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，A為左頂點，P為雙曲線右支上一點.若|PF1|＝2|PF2|，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則()A.雙曲線的離心率為eq\r(3)B.雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(2)xC.∠PAF2＝45°D.直線x＋2y－2＝0與雙曲線有兩個公共點解析因為|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又因為2c>2a，4a>2a，所以∠PF1F2＝30°，所以cos∠PF1F2＝eq\f(16a2＋4c2－4a2,2·4a·2c)＝eq\f(\r(3),2)，解得c＝eq\r(3)a，所以e＝eq\r(3)，故A正確；e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝3，所以eq\f(b2,a2)＝2，即eq\f(b,a)＝±eq\r(2)，所以漸近線方程為y＝±eq\r(2)x，故B正確；因為2c＝2eq\r(3)a，所以|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，所以∠PF2F1＝90°，又因為|AF2|＝c＋a＝(eq\r(3)＋1)a，|PF2|＝2a，所以|AF2|≠|(zhì)PF2|，所以∠PAF2≠45°，故C錯誤；聯(lián)立直線方程與雙曲線方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－2＝0，,\f(x2,a2)－\f(y2,2a2)＝1，))化簡得7y2－16y＋8－2a2＝0，Δ＝(－16)2－4×7×(8－2a2)＝32＋56a2>0，所以直線x＋2y－2＝0與雙曲線有兩個公共點，故D正確.故選ABD.答案ABD4.過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，M為線段AB的中點，則()A.以線段AB為直徑的圓與直線x＝－eq\f(3,2)相離B.以線段BM為直徑的圓與y軸相切C.當eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))時，|AB|＝eq\f(9,2)D.|AB|的最小值為4解析對于A，點M到準線x＝－1的距離為eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq\f(1,2)|AB|，于是以線段AB為直徑的圓與直線x＝－1相切，進而與直線x＝－eq\f(3,2)相離，A正確；對于B，明顯線段BM中點的橫坐標與eq\f(1,2)|BM|不肯定相等，因此B錯誤；對于C，D，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為x＝my＋1，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去x，得y2－4my－4＝0，則y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，x1x2＝(my1＋1)·(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝－4m2＋4m2＋1＝1，若設(shè)A(4a2，4a)，則Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4a2)，－\f(1,a)))，于是|AB|＝x1＋x2＋2＝4a2＋eq\f(1,4a2)＋2≥4，|AB|的最小值為4；當eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))時，可得y1＝－2y2，4a＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4