專題12 將軍飲馬模型（原卷版）

專題12將軍飲馬模型將軍飲馬模型在考試中，無論是解答題，還是選擇、填空題，都是學生感覺有困難的地方，也恰是學生能力區(qū)分度最重要的地方，主要考查轉化與化歸等的數學思想。在各類考試中都以中高檔題為主。在解決幾何最值問題主要依據是：①兩點之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。希望通過本專題的講解讓大家對這類問題有比較清晰的認識。模型1、將軍飲馬--兩定一動求線段和的最小值【模型探究】A，B為定點，m為定直線，P為直線m上的一個動點，求AP+BP的最小。圖1圖2（1）如圖1，點A、B在直線m兩側：輔助線：連接AB交直線m于點P，則AP+BP的最小值為AB.（2）如圖2，點A、B在直線同側：輔助線：過點A作關于定直線m的對稱點A’，連接A’B交直線m于點P，則AP+BP的最小值為A’B.例1．（2022·福建·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點C在直線MN上，∠BCN＝30°，點P為MN上一動點，連結AP，BP．當AP+BP的值最小時，∠CBP的度數為_____．例2．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖，等邊三角形的邊上的高為6，是邊上的中線，M是線段上的-一個動點，E是中點，則的最小值為_________．例3．（2022·河南濮陽·八年級期末）如圖，等邊三角形的邊長為5，A、B、三點在一條直線上，且．若D為線段上一動點，則的最小值是________．例4．（2023.浙江八年級期中）如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F是AD邊上的動點，E是AC邊上一點，若AE＝2，當EF＋CF取得最小值時，則∠ECF的度數為多少？模型2、將軍飲馬--兩動一定求線段和的最小值【模型探究】已知定點A位于定直線m,n的內側,在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.輔助線：過點A作關于定直線m、n的對稱點A’、A’’，連接A’A’’交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’A’’.例1．（2022·江蘇·無錫市八年級期末）如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內部的一個定點，且OP＝4，點E、F分別是OA、OB上的動點，若△PEF周長的最小值等于4，則α＝（

）A．30° B．45° C．60° D．90°例2．（2022·湖北十堰·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，．在BC，CD上分別找一點M，N，使周長最小，則的度數為_________．例3．（2022·江蘇九年級一模）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分別是AB，BC，AC邊上的動點，則△DEF的周長的最小值是（）A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6例4．（2023春·貴州畢節(jié)·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，，點為內一點，，點分別在上，求周長的最小值．模型3、將軍飲馬--兩動兩定求線段和的最小值【模型探究】A，B為定點，在定直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）如圖1，兩個點都在直線外側：輔助線：連接AB交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB.（2）如圖2，一個點在內側，一個點在外側：輔助線：過點B作關于定直線n的對稱點B’，連接AB’交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB’.圖1圖2（3）如圖3，兩個點都在內側：輔助線：過點A、B作關于定直線m、n的對稱點A’、B’，連接A’B’交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’B’.（4）如圖4，臺球兩次碰壁模型：輔助線：同圖3輔助線作法。圖3圖4例1．（2022·和平區(qū)·八年級期末）如圖，，點M，N分別是邊，上的定點，點P，Q分別是邊，上的動點，記，，當的值最小時，的大小=___．例2．（2022·湖北武漢市·九年級期中）如圖，點A在y軸上，G、B兩點在x軸上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC與GB關于y軸對稱，∠GAH＝60°，P、Q分別是AG、AH上的動點，則BP＋PQ＋CQ的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．9例3．（2022·湖北青山·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點D為AB中點，連接CD，點P、Q分別為CE、CD上的動點．（1）求證：△ADC為等邊三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．模型4、將軍飲馬--線段差的最大值【模型探究】A，B為定點，在定直線m上分別找兩點P，使PA與PB的差最大。（1）如圖1，點A、B在直線m同側：輔助線：延長AB交直線m于點P，根據三角形兩邊之差小于第三邊，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此時最大，因此點P為所求的點。（2）如圖2，點A、B在直線m異側：輔助線：過B作關于直線m的對稱點B’,連接AB’交點直線m于P,此時PB=PB’，PA-PB最大值為AB’圖1圖2例1．（2022·福建福州·八年級期中）如圖，在等邊中，E是邊的中點，P是的中線上的動點，且，則的最大值是________．例2．（2022·廣東·八年級專題練習）如圖，，，AD是∠BAC內的一條射線，且，P為AD上一動點，則的最大值是______．例3．（2022·湖北·武漢八年級期末）如圖，，為上一動點，，過作交直線于，過作交直線于點，若，當的值最大時，則________．課后專項訓練1．（2022·河南七年級期末）如圖，在銳角三角形中，，的面積為，平分，若、分別是、上的動點，則的最小值為（）A． B． C． D．2．（2022·甘肅白銀·七年級期末）如圖，在中，，，，，EF垂直平分BC，點P為直線EF上的任意一點，則周長的最小值是（

）A．7 B．6 C．12 D．83．（2022·江西宜春·八年級期末）如圖，在中，是邊的垂直平分線，交于點，交于點，點是直線上的一個動點，若，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．84（2022?綿陽八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC、DC上的點，當△AEF的周長最小時，∠EAF的度數為（）A．30° B．40° C．50° D．70°5．（2022·江蘇·無錫八年級期末）如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內部的一個定點，且OP＝4，點E、F分別是OA、OB上的動點，若△PEF周長的最小值等于4，則α＝（

）A．30° B．45° C．60° D．90°6．（2023云南八年級期末）如圖，在等邊中，BC邊上的高，E是高AD上的一個動點，F是邊AB的中點，在點E運動的過程中，存在最小值，則這個最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．87．（2022·河南安陽市·八年級期末）如圖，在中，，，的面積為12，于點D，直線EF垂直平分BC交AB于點E，交BC于點F，P是線段EF上的一個動點，則的周長的最小值是（）A．6 B．7 C．10 D．128.（2022?蕪湖期末）如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面積為8，BD平分∠ABC．若M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．89．（2022·河南·安陽市八年級期末）如圖，在中，，邊的垂直平分線分別交，于點，，點是邊的中點，點是上任意一點，連接，，若，，周長最小時，，之間的關系是（

）A． B． C． D．10．（2022·廣東廣州·八年級期末）如圖，點D是∠FAB內的定點且AD=2，若點C、E分別是射線AF、AB上異于點A的動點，且△CDE周長的最小值是2時，∠FAB的度數是（）A．30° B．45° C．60° D．90°11．（2022·湖南雨花·初二期末）如圖，∠AOB=30°，點P是它內部一點，OP=2，如果點Q、點R分別是OA、OB上的兩個動點，那么PQ+QR+RP的最小值是__________．12．（2022·福建·莆田二中八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點C在直線MN上，∠BCN＝30°，點P為MN上一動點，連結AP，BP．當AP+BP的值最小時，∠CBP的度數為_____．13．（2022·廣東·八年級專題練習）如圖，，，AD是∠BAC內的一條射線，且，P為AD上一動點，則的最大值是______．14．（2022·福建福州·八年級期中）如圖，在等邊中，E是邊的中點，P是的中線上的動點，且，則的最大值是________．15.（2022·河南八年級期末）如圖，在中，，，，，平分交于點，，分別是，邊上的動點，則的最小值為__________．16．（2022·四川成都·七年級期末）如圖，分別以線段AB的兩個端點為圓心，以大于AB長為半徑作弧，兩弧交于點M和點N，在直線MN上取一點C，連接CA，CB，點D是線段AC的延長線上一點，且CD＝AC，點P是直線MN上一動點，連接PD，PB，若BC＝4，則PD+PB的最小值為___．17．（2022·安徽蕪湖市·八年級期末）如圖，在中．，若，，，將折疊，使得點C恰好落在AB邊上的點E處，折痕為AD，點P為AD上一動點，則的周長最小值為___．18．（2022·湖北·八年級）如圖，，為上一動點，，過作交直線于，過作交直線于點，若，當的值最大時，則________．19．（2022·湖北十堰·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，．在BC，CD上分別找一點M，N，使周長最小，則的度數為_________．20．（2022·河南濮陽·八年級期末）如圖，等邊三角形的邊長為5，A、