自動控制原理第二章講課文檔

自動控制原理第二章第1頁，共45頁。本次內(nèi)容簡介有三種比較常用的描述方法：一種是把系統(tǒng)的輸出量與輸入量之間的關(guān)系用數(shù)學方式表達出來，稱之為輸入--輸出描述，或外部描述，例如微分方程式、傳遞函數(shù)和差分方程。第二種不僅可以描述系統(tǒng)的輸入、輸出間關(guān)系，而且還可以描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性，稱之為狀態(tài)變量描述，或內(nèi)部描述，它特別適用于多輸入、多輸出系統(tǒng)，也適用于時變系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)和隨機控制系統(tǒng)。另一種方式是用比較直觀的方塊圖模型來進行描述。同一控制系統(tǒng)的數(shù)學模型可以表示為不同的形式，需要根據(jù)不同情況對這些模型進行取舍，以利于對控制系統(tǒng)進行有效的分析。第2頁，共45頁。數(shù)學模型1、定義：控制系統(tǒng)的輸入變量和輸出變量之間動態(tài)關(guān)系的數(shù)學表達式即為數(shù)學模型，能夠揭示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)與動態(tài)性能之間關(guān)系。2.表示形式

a.微分方程；b.傳遞函數(shù)，c.頻率特性3.三種數(shù)學模型之間的關(guān)系線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)微分方程頻率特性拉氏變換傅氏變換第3頁，共45頁。通過時域分析方法，可以得到控制系統(tǒng)的時域響應曲線，它直觀地反映了系統(tǒng)的動態(tài)過程，同時，它建立起來的系統(tǒng)概念、指標體系等易于人們理解和使用。但是，一個控制系統(tǒng)的微分方程往往是高階的微分方程式，求解這類方程式較困難。同時，通過時域解很難找出微分方程式系數(shù)（它們?nèi)Q組成系統(tǒng)的元件的參數(shù)）對方程解的影響的一般規(guī)律。因而，使得控制系統(tǒng)的分析和校正較為困難。所以，人們往往通過建立復域和時域之間、頻域和時域之間的聯(lián)系來達到，通過根軌跡法、頻域法間接地達到分析和校正控制系統(tǒng)的目的。

系統(tǒng)的數(shù)學模型可以用解析法或?qū)嶒灧ńⅰ１菊轮挥懻摻馕龇ń⑾到y(tǒng)的數(shù)學模型。第4頁，共45頁。

2．1控制系統(tǒng)的微分方程

控制系統(tǒng)中的輸出量和輸入量通常都是時間t的函數(shù)。很多常見的元件或系統(tǒng)的輸出量和輸入量之間的關(guān)系都可以用一個微分方程表示，方程中含有輸出量、輸入量及它們各自對時間的導數(shù)或積分。這種微分方程又稱為動態(tài)方程、運動方程或動力學方程。微分方程的階數(shù)一般是指方程中最高導數(shù)項的階數(shù)，又稱為系統(tǒng)的階數(shù)。建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟或方法：1．根據(jù)研究問題的需要，確定系統(tǒng)的輸入和輸出。2．對實際系統(tǒng)進行適當?shù)暮喕鐚⒎植紖?shù)集中化、將非線性因素線性化等。3．根據(jù)系統(tǒng)、輸入和輸出三者之間動態(tài)關(guān)系的原理或定律，列寫系統(tǒng)的微分方程。若系統(tǒng)比較復雜，則需分段列寫微分方程，在這種情況下必須注意各分段之間的負載效應問題。4．消去中間變量，將方程整理成標準形式，即將與輸出有關(guān)的項列在等號左邊，而將與輸入有關(guān)的項列在等號右邊，且各階導數(shù)按降冪排列。第5頁，共45頁。列寫微分方程的一般步驟確定元件的input量和output量，并引入必要的中間變量根據(jù)物理或化學定律，列微分方程消去中間變量，得出元件的數(shù)學模型第6頁，共45頁。

2．1．1電氣系統(tǒng)

電氣系統(tǒng)中最常見是由電阻、電感、電容、運算放大器等元件組成的的裝置,其電路又稱電氣網(wǎng)絡。像電阻、電感、電容這類本身不含有電源的器件稱為無源器件，像運算放大器這種本身包含電源的器件稱為有源器件。僅由無源器件組成的電氣網(wǎng)絡稱為無源網(wǎng)絡。如果電氣網(wǎng)絡中包含有源器件或電源，就稱為有源網(wǎng)絡．第7頁，共45頁。例1

圖中所示的電路中，電壓ui(t)為輸入量，uo(t)為輸出量，列寫該裝置的微分方程式。解設回路電流為i(t)如圖2-1所示．由基爾霍夫電壓定律可得到(2-6)式中i(t)是中間變量。i(t)和uo(t)的關(guān)系為（2-7）將式（2-7）代入式（2-6），消去中間變量i(t)，可得第8頁，共45頁。例2

圖中所示為由兩個RC電路串聯(lián)而成的濾波網(wǎng)絡。試建立輸入電壓ui和輸出電壓uo之間動態(tài)關(guān)系的微分方程。第9頁，共45頁。例2

解設回路電流i1和i2為中間變量。根據(jù)基爾霍夫電壓定律對前一回路，有

（2-9）對后一回路，有

（2-10）且

（2-11）由上三式消去中間變量i1和i2，整理即得ui和uo之間動態(tài)關(guān)系的微分方程

第10頁，共45頁。由上例明顯看出，系統(tǒng)中后一部分對前一部分的負載效應(或前一部分對后一部分的電源效應)。這反映在流過前一回路電容C1的電流上，沒有后一回路時為i1，而當串聯(lián)上后一回路則為i1–i2。從能量的角度看，負載效應就是后一回路帶走了前一回路的一部分能量。從信息傳遞的角度看，負載效應就是系統(tǒng)的兩個部分之間所存在的信息的內(nèi)部直接反饋作用。如果在上述兩個RC電路之間引入一個輸入阻抗很高的隔離放大器，則可忽略它們之間的負載效應。這種方法在組合電路中經(jīng)常采用，這也正是電氣系統(tǒng)的一個優(yōu)點。

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2．1．2機械系統(tǒng)

機械系統(tǒng)指的是存在機械運動的裝置，它們遵循物理學的力學定律。機械運動包括直線運動（相應的位移稱為線位移）和轉(zhuǎn)動（相應的位移稱為角位移）兩種。例3

一個由彈簧-質(zhì)量-阻尼器組成的機械平移系統(tǒng)如圖2-3所示。m為物體質(zhì)量，k為彈簧系數(shù)，f為粘性阻尼系數(shù)，外力F(t)為輸入量，位移y(t)為輸出量。列寫系統(tǒng)的運動方程。第12頁，共45頁。解取向下為力和位移的正方向。當F(t)=0時物體的平衡位置為位移y的零點。該物體m受到四個力的作用：外力F(t)，彈簧的彈力Fk，粘性摩擦力FB及重力mg。Fk、FB向上為正。由牛頓第二定律知(2-16)且（2-17）（2-18）（2-19）式中yo為F=0、物體處于靜平衡位置時彈簧的伸長量，將式（2-17、18、19）代入式（2-16）得到該系統(tǒng)的運動方程式第13頁，共45頁。

2．2傳遞函數(shù)

一個控制系統(tǒng)性能的好壞，取決于系統(tǒng)的內(nèi)在因素，即系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而與外部施加的信號無關(guān)。因而，對于一個控制系統(tǒng)品質(zhì)好壞的評價可以通過對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的分析來達到，而不需要直接對系統(tǒng)輸出響應進行分析。傳遞函數(shù)是在拉氏變換基礎(chǔ)之上引入的描述線性定常系統(tǒng)或元件輸入、輸出關(guān)系的函數(shù)。它是和微分方程一一對應的一種數(shù)學模型，它能方便地分析系統(tǒng)或元件結(jié)構(gòu)參數(shù)對系統(tǒng)響應的影響。當初始條件為零時，線性定常系統(tǒng)或元件輸出信號c（t）的拉氏變換式與輸入信號r（t）的拉氏變換式之比，稱為該系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)，記為G（s），即：第14頁，共45頁?？刂葡到y(tǒng)微分方程式的一般形式為：

設初始條件為零，并對上式進行Laplace變換，經(jīng)整理得：

M（s）──傳遞函數(shù)的分子多項式；N（s）──傳遞函數(shù)的分母之多項式。

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2．2．2傳遞函數(shù)的性質(zhì)

1.傳遞函數(shù)它只適用于線性定常系統(tǒng)，且只能反映零初始條件下的全部運動規(guī)律。2.傳遞函數(shù)是s的復變函數(shù)，其M（s）、N（s）的各項系數(shù)均由系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定，并與微分方程式中的各項系數(shù)一一對應。3.傳遞函數(shù)表征系統(tǒng)或元件本身的特性，而與輸入信號無關(guān)，但它不能反映系統(tǒng)或元件的物理結(jié)構(gòu)。也就是說，對于許多物理性質(zhì)截然不同的系統(tǒng)或元件，它們可以有相同形式的傳遞函數(shù)。4.由于能源的限制和實際系統(tǒng)或元件總是具有慣性的緣故，其輸出量不可能無限制上升，因而有：n≥m。5.傳遞函數(shù)表征輸入輸出信號間的信號傳遞關(guān)系，因此對于同一系統(tǒng)，選取不同的輸入、輸出變量，傳遞函數(shù)將不同。6.傳遞函數(shù)還可以用下式表達：第16頁，共45頁。上式中Kr──常數(shù)；

z1﹒z2﹒﹒﹒zm──分子多項式M=0的根，稱為零點；

p1﹒p2﹒﹒﹒pn──分母多項式N=0的根，稱為極點。N（s）=0是控制系統(tǒng)的特征方程式，它與微分方程式的特征方程式一一對應。zi、pi可為實數(shù)、虛數(shù)、或復數(shù)。若為虛數(shù)、或復數(shù)，必為共軛虛數(shù)、或共軛復數(shù)。注意，只有當上式中的分子及分母多項式間沒有公因子時，傳遞函數(shù)的零、極點才會和系統(tǒng)的零、極點完全相同；分母多項式的階次才代表系統(tǒng)的階次。第17頁，共45頁。2.求取RLC無源網(wǎng)絡或有源網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)，采用阻抗法求取更為方便。下表列出了電路中電阻、電容和電感的阻抗傳遞函數(shù)。

元件名稱電路形式元件微分方程阻抗傳遞函數(shù)電阻R

電感L電容C

傳遞函數(shù)的求取

1.直接計算法對于元件或簡單系統(tǒng)，首先建立描述元件或系統(tǒng)的微分方程式，然后在零初始條件下，對方程式進行拉氏變換，即可按傳遞函數(shù)的定義求得元件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。第18頁，共45頁。線性系統(tǒng)的兩個重要性質(zhì)1.齊次性如果線性系統(tǒng)對輸入信號x（t）的響應為y（t），則輸入信號為ax（t）時，其響應為ay（t）。2.疊加性如果線性系統(tǒng)對x1（t）和x2（t）的響應分別為y1（t）和y2（t），則系統(tǒng)輸入信號為x1（t）+x2（t）時，系統(tǒng)的響應應為y1（t）+y2（t）。

由線性系統(tǒng)的齊次性和疊加性可知：作用于線性定常系統(tǒng)的多個輸入信號（它們可以作用于不同的輸入端）的總的響應等于各個輸入信號單獨作用時產(chǎn)生的響應的代數(shù)和。線性系統(tǒng)的這兩個重要性質(zhì)使得線性定常系統(tǒng)的分析大為簡化。3.利用動態(tài)框圖求取傳遞函數(shù)對于復雜系統(tǒng)，應先求出元件的傳遞函數(shù)，再利用動態(tài)框圖和框圖運算法則，可方便地求解系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。該方法將在后面討論。4.利用梅遜公式求取傳遞函數(shù)。第19頁，共45頁。例5求例1的RLC串聯(lián)電路的傳遞函數(shù).

解法1求例1在推導電網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)時，對于無源元件電感L、電容C和電阻R，分別用它們的復阻抗求解往往是比較簡便的。令Z1=R+Ls，為電阻和電感的復數(shù)阻抗之和；為電容的復數(shù)阻抗。則

解法2例1的RLC串聯(lián)電路的微分方程為

當初始條件為零時，對上式進行拉氏變換后可得傳遞函數(shù)為第20頁，共45頁。2．2．3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)的時間常數(shù)表示法

上式中τ

i──分子各因子的時間常數(shù)；Tj──分母各因子的時間常數(shù)；K──時間常數(shù)形式傳遞函數(shù)的增益；通常稱為傳遞系數(shù)。第21頁，共45頁。第22頁，共45頁。關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點說明只適應線性定常系統(tǒng)；由系統(tǒng)（元件）的參數(shù)、結(jié)構(gòu)決定，是系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型；n>m,n為系統(tǒng)的階數(shù)單輸入——單輸出傳遞函數(shù)寫法：有理分式:零極點形式:時間常數(shù)形式：第23頁，共45頁。

典型環(huán)節(jié)都可以用功能框（FunctionBlock）表示。功能框是用帶框的圖形符號（包含輸入、輸出信號間的功能關(guān)系）來表示功能相關(guān)的元件的組合體?？刂葡到y(tǒng)可視為由若干典型環(huán)節(jié)按一定方式組合而成。即一個系統(tǒng)或元件可能是一個典型環(huán)節(jié)，但也可能包含數(shù)個典型環(huán)節(jié)?？刂葡到y(tǒng)中常用的典型環(huán)節(jié)有，比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)，微分環(huán)節(jié)，積分環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)等。以下介紹這些環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及其推導。

第24頁，共45頁。1．比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)，其輸出量與輸入量之間的關(guān)系成正比關(guān)系，既它的輸出量能夠無失真、無滯后地，按一定的比例復現(xiàn)輸入量。其傳遞函數(shù)為2．微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)的特點是，其輸出量與輸入量的一階微分成正比，即

式中τ—時間常數(shù)。其傳遞函數(shù)為當τ?1時，才能近似地得到

比例環(huán)節(jié)的特征參數(shù)只有一個，即放大系數(shù)K。工程上如無彈性變形的杠桿傳動、電子放大器檢測儀表、比例式執(zhí)行機構(gòu)等都是比例環(huán)節(jié)的一些實際例子。第25頁，共45頁。3．積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的輸出量是輸入量對時間的積分，即

式中K為比例系數(shù)，K與時間量綱有關(guān)。當輸入量和輸出量為相同的理量時，K的量綱為s-1，故可將積分環(huán)節(jié)的系數(shù)（積分時間常數(shù)）寫成積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

第26頁，共45頁。4．一階微分環(huán)節(jié)

該環(huán)節(jié)的輸出等于輸入與其一階導數(shù)的加權(quán)和，其傳遞函數(shù)為比例微分環(huán)節(jié)為比例環(huán)節(jié)和理想微分環(huán)節(jié)的疊加。比例-微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)。5．慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)又稱非周期環(huán)節(jié)，其輸出量和輸入量之間的關(guān)系可用以下的微分方程描述對應的傳遞函數(shù)為式中T——時間常數(shù)；

K——比例系數(shù)。第27頁，共45頁。T:時間常數(shù)它是一條指數(shù)曲線，當時間t=3T~4T時，輸出量才接近其穩(wěn)態(tài)值。第28頁，共45頁。6．振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的微分方程是

其傳遞函數(shù)為

式中T——時間常數(shù)；ωn——無阻尼振蕩頻率；ξ——阻尼比，<1。7．二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)的微分方程為二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)與振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)。

（0<ξ<1）

第29頁，共45頁。8．延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)是輸入信號加入后，其輸出端要隔一段時間才能復現(xiàn)輸入信號的環(huán)節(jié)。它的時間特性表示為其拉氏變換為

傳遞函數(shù)為由于延遲環(huán)節(jié)是系統(tǒng)產(chǎn)生振蕩的原因，所以系統(tǒng)中如有延遲環(huán)節(jié)，對系統(tǒng)的穩(wěn)定是不利的。x(t)ty(t)tt即輸出完全復現(xiàn)輸入，只是延遲了t時間。t為延遲環(huán)節(jié)的特征參數(shù)，稱為"延遲時間"或"滯后時間"。第30頁，共45頁。

2．3控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及其等效變換傳遞函數(shù)方塊圖是系統(tǒng)基于傳遞函數(shù)的一種圖形表示的數(shù)學模型。其中的每一個方塊代表系統(tǒng)的一個組成環(huán)節(jié)。方塊圖,又稱為結(jié)構(gòu)圖或框圖。控制系統(tǒng)中常用方塊圖來形象地描述各元件（環(huán)節(jié)）之間和各作用量之間的相互關(guān)系，它具有簡明、直觀和運算方便的特點。

出現(xiàn)在方塊圖中的環(huán)節(jié)是以無負載效應為前提的。方塊圖表示系統(tǒng)的優(yōu)點：可以清楚地表明系統(tǒng)內(nèi)部信號流動的情況和各環(huán)節(jié)各變量之間的關(guān)系；可以揭示各環(huán)節(jié)對系統(tǒng)性能的影響；可以根據(jù)信號的流向，將各環(huán)節(jié)的方塊圖連接起來，得到整個系統(tǒng)的方塊圖，從而較易寫出整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。第31頁，共45頁。

2．3．1結(jié)構(gòu)圖的組成結(jié)構(gòu)圖由方塊、相加點、分支點、信號流線等圖形符號組成。方塊圖利用這些符號表示各個環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，以及各環(huán)節(jié)輸出量、輸入量的相互關(guān)系。結(jié)構(gòu)圖是傳遞函數(shù)的圖解化。把一個環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)寫在一個方塊里面所組成的圖形就叫函數(shù)方塊。在方塊的外面畫上帶箭頭的線段稱為信號流線。函數(shù)方塊和它的信號流線就代表系統(tǒng)中的一個環(huán)節(jié)。把一個系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)全用函數(shù)方塊表示，并且根據(jù)各環(huán)節(jié)信號的相互關(guān)系，用信號流線和相加點把各個函數(shù)方塊連接起來，這樣形成的一個完整圖形就是系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)方塊圖。下圖是一個負反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。第32頁，共45頁。

2．3．2繪制結(jié)構(gòu)圖的步驟

2．根據(jù)運動方程，寫出傳遞函數(shù)。對電路模型，省略第1步，直接根據(jù)系統(tǒng)電路寫出傳遞函數(shù)。3．根據(jù)傳遞函數(shù)，畫出各環(huán)節(jié)的結(jié)構(gòu)圖。4．根據(jù)信號流向，將各方塊聯(lián)結(jié)起來．便得出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。1．首先寫出每個環(huán)節(jié)的運動方程。特別要注意的是：在列寫運動方程時，一定要考慮到相互聯(lián)接部分間的負載效應，當一個方塊的輸出與下一個方塊的輸入相聯(lián)接，并基本上不受下一方塊影響時，就認為是沒有負載效應的。只有在沒有負載效應時，前一方塊中的傳遞函數(shù)才可以按獨立方塊進行計算，當有負載效應時，該方塊中的傳遞函數(shù)不同于獨立方塊時的傳遞函數(shù)，必須在計入負載影響的情況下重新計算。第33頁，共45頁。例11繪出下圖所示兩級RC網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)圖。解（1）列寫運動方程（2）將上面各式取拉氏變換。取零初始條件，并整理成因果關(guān)系式

第34頁，共45頁。（3）作出相應的方塊圖，如下圖所示。（4）將各元件方塊圖按信號流向聯(lián)結(jié)起來，便得到兩級RC網(wǎng)絡的方塊圖，如圖(b)所示。注意：圖(b)并不等于兩個RC網(wǎng)絡的方塊圖的串聯(lián)，因為兩級RC電路之間有負載效應。

第35頁，共45頁。

2.3.3結(jié)構(gòu)圖的簡化規(guī)則

對方塊圖進行變換所要遵循的基本原則是等效原則，即對方塊圖的任一部分進行變換時，變換前后該部分的輸入量、輸出量及其相互之間的數(shù)學關(guān)系應保持不變。結(jié)構(gòu)圖變換規(guī)則：1．串聯(lián)環(huán)節(jié)的簡化：若干環(huán)節(jié)串聯(lián)起來的總傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積（各環(huán)節(jié)間應無負載效應）。以下圖所示的串聯(lián)環(huán)節(jié)為例，可知：

第36頁，共45頁。2．并聯(lián)環(huán)節(jié)的簡化：若干環(huán)節(jié)并聯(lián)起來的總傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。以下圖所示的并聯(lián)為例，可知第37頁，共45頁。3．反饋回路的簡化下圖（a）表示的具有反饋聯(lián)接的最基本的閉環(huán)系統(tǒng)，設GB(s)為該閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，則其等效方塊圖如下圖(b)所示。式中GK(s)——閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，

開環(huán)傳遞函數(shù)無量綱。注意，開環(huán)傳遞函數(shù)是閉環(huán)系統(tǒng)分析中的一個重要概念。開環(huán)傳遞函數(shù)并不是指開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，它主要用來研究控制系統(tǒng)的固有性能，其系數(shù)與系統(tǒng)的特征參數(shù)相對應。第38頁，共45頁。4．相加點的移動法則：相加點移動后應保持原輸出信號不變。（1）相加點后移相加點由傳遞函數(shù)為G的方塊圖之前移至該方塊之后，如下圖所示，需要在X2信號流向線上加一個傳遞函數(shù)為G的方塊。（2）相加點前移讀者自己試分析。（3）相加點互移兩相鄰相加點之間的換位移動，無需作其它變換。