特訓13第4-6章壓軸題（2023新題數(shù)形結合與分類討論思想專練）

特訓13第46章壓軸題（2023新題，數(shù)形結合與分類討論思想專練）一、解答題1．（2023下·湖南長沙·八年級?？茧A段練習）任意一個無理數(shù)介于兩個整數(shù)之間，我們定義，若無理數(shù)：，（其中為滿足不等式的最大整數(shù)，為滿足不等式的最小整數(shù)），則稱無理數(shù)的“麓外區(qū)間”為，如，所以的麓外區(qū)間為．(1)無理數(shù)的“麓外區(qū)間”是_________；(2)若其中一個無理數(shù)的“麓外區(qū)間”為且滿足，其中是關于x，y的二元一次方程的一組正整數(shù)解，求值．(3)實數(shù)x，y，m滿足關系式：，求的算術平方根的“麓外區(qū)間”．【答案】(1)(2)1或37(3)【分析】（1）只需要估算出的取值范圍即可得到答案；（2）由是關于x，y的二元一次方程的一組正整數(shù)解，得到是一個完全平方數(shù)，，再由，可得滿足題意的m、n的值為：或，由此代入方程中進行求解即可；（3）先根據(jù)，，得出，進而得出，，兩式相減可得，再根據(jù)“麓外區(qū)間”的定義即可求解．【解析】（1）解：∵，，∴，∴，∴無理數(shù)的“麓外區(qū)間”是，故答案為：（2）解：由題意得，m、n是兩個相鄰的正整數(shù)，∵是關于x，y的二元一次方程的一組正整數(shù)解，∴是一個完全平方數(shù)，，∵，∴滿足題意的m、n的值為：或，當時，則，∴，∴；當時，則，∴，∴，綜上所述，C的值為1或37；（3）解：∵，∴，，∴，∴，∴，∵∴，，兩式相減，得，∴，∴的算術平方根為，∵，∴，∴的算術平方根的“麓外區(qū)間”是．【點睛】本題主要考查了算術平方根、無理數(shù)的估算，非負數(shù)的性質(zhì)，解二元一次方程組，題目較為新穎，解題的關鍵是理解題目中“麓外區(qū)間”的定義．2．（2023下·吉林長春·八年級?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，對于任意圖形及直線，給出如下定義：將圖形先沿直線翻折得到圖形，再將圖形沿直線翻折得到圖形，則稱圖形是圖形的伴隨圖形．例如：點的[x軸，y軸]伴隨圖形是點．(1)點的[x軸，y軸]伴隨圖形點的坐標為；(2)若直線的解析式為：，則點的[軸，]伴隨圖形點的坐標為；(3)已知，，，直線經(jīng)過點．①當，且直線與軸平行時，點A的[軸，]伴隨圖形點的坐標為；②當，點的[軸，]伴隨圖形點的坐標為，求直線的解析式；③當直線經(jīng)過原點時，的[軸，]伴隨圖形上只存在兩個與軸的距離為1的點，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)①；②；③或【分析】（1）將點先沿軸翻折，再沿軸翻折得出的坐標即可；（2）將點先沿軸翻折，再沿軸翻折得出的坐標即可；（3）①先得出點的坐標和直線的解析式，然后翻折得出的坐標即可；②先求出點沿軸翻折后的坐標，在得出翻折后的點的坐標和點的坐標的中點坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析即可；③先求出直線的解析式，再求出的[軸，]伴隨圖形上各頂點的坐標，根據(jù)只存在兩個與軸的距離為1的點列不等是求解即可．【解析】（1）解：將點沿軸翻折得到，再沿軸翻折得到的坐標為，點的[x軸，y軸]伴隨圖形點的坐標為，故答案為：；（2）解：將點沿軸翻折得到，再沿直線翻折得到的坐標為，點的[軸，]伴隨圖形點的坐標為，故答案為：；（3）解：①當時，，直線與軸平行，且直線經(jīng)過點，直線的解析式為，將點沿軸翻折得到，再沿直線翻折得到的坐標為，點A的[軸，]伴隨圖形點的坐標為，故答案為：；②當時，，將沿軸翻折得到，點的[軸，]伴隨圖形點的坐標為和的中點坐標為，即，直線過點，設直線的解析式為，將和代入解析式得，，解得：，直線的解析式為，故答案為：；③直線經(jīng)過原點，且經(jīng)過點，直線的解析式為，由題意知，三點沿軸翻折點坐標依次表示為，，，再沿直線翻折點坐標依次表示為：，，，的[軸，]伴隨圖形上只存在兩個與軸的距離為1的點，或，解得：或．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形變化—軸對稱，直角坐標系中中點的坐標，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解不等式，解題的關鍵在于正確地將翻折后的點的坐標表示出來．3．（2023上·重慶九龍坡·八年級重慶市育才中學?？奸_學考試）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標為，點B的坐標為，且，將線段向右平移5個單位得到線段，其中點A的對應點為點D．

(1)請直接寫出點A、B、C、D的坐標；(2)線段與y軸交于點E，線段上是否存在一動點P，使得，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；(3)若動點Q從原點出發(fā)，沿y軸以每秒0.5個單位長度的速度向上運動，連接直線交四邊形的邊長于點F，當直線將四邊形的面積分成兩部分時，求點Q的運動時間．【答案】(1)，，，(2)存在，點P的坐標為(3)秒或秒【分析】（1）根據(jù)二次根式有意義的條件求出a、b的值，然后再根據(jù)平移求出C、D點的坐標即可；（2）先求出，，設點，則，求出m的值即可；（3）根據(jù)直線將四邊形的面積分成兩部分，求出這兩部分的面積，分情況畫出圖形，由面積關系列出方程，解方程即可．【解析】（1）解：∵要想有意義，∴，解得：，∴，解得：，∴，，∵將線段向右平移5個單位得到線段，∴，；（2）解：存在；點P的坐標為；根據(jù)題意可知，，，，∴，，設點，則，解得：，∴P點坐標為；

（3）解：如圖，直線將四邊形的面積分成兩部分，此時與四邊形的面積之比為，

∵，∴，即，解得：，則點的坐標為，設直線的解析式為：，則：，解得：，∴直線的解析式為：，把代入得：，∴此時點Q的坐標為，∴此時點Q的運動時間為：（秒）；如圖，直線將四邊形的面積分成兩部分，此時與四邊形的面積之比為，

∵，∴，即，解得：，則點的坐標為，設直線的解析式為：，則：，解得：，∴直線的解析式為：，把代入得：，∴此時點Q的坐標為，∴此時點Q的運動時間為：（秒）；綜上分析可知，點Q的運動時間為秒或秒．【點睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，坐標與圖形，求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是數(shù)形結合，注意進行分類討論．4．（2023上·北京東城·八年級北京一七一中?？计谥校┢矫嬷苯亲鴺讼抵?，等邊的頂點A在軸正半軸上，頂點B、C都在軸上，給出如下定義：若點P為軸上一點，且點P與的一個頂點的距離恰好等于的邊長，則稱點P為的友好點，這個距離稱為點P和的友好距離，記作．

(1)若點P和的友好距離，寫出的頂點B的坐標______，頂點C的坐標______；(2)如圖，等邊的頂點B坐標為，頂點C坐標為．①在，，中，的友好點是______；②已知點E坐標為，點F坐標為，若線段上恰有兩個的友好點，直接寫出的取值范圍是______．【答案】(1)(2)①，②且且【分析】本題為新定義類型的綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，平面直角坐標系．（1）根據(jù)新定義的友好距離，得，再由等邊三角形的性質(zhì)即可；（2）①根據(jù)新定義即可判斷，②的友好點分別是點再根據(jù)題意列不等式組即可．本題的關鍵是熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)．【解析】（1）解：點P與的一個頂點的距離恰好等于的邊長，且，，等邊的頂點A在軸正半軸上，頂點B、C都在軸上，，，故答案為：；（2）解：①等邊的頂點B坐標為，頂點C坐標為，，即，，，故，是的友好點．，在中，，，在中，，故不是的友好點．故答案為：，；②由題意得：的友好點分別是點，解得：，當或時，有三個友好點，且，故的取值范圍是且且，故答案為：且且．5．（2023上·山西晉中·八年級?？茧A段練習）下面是小敏寫的數(shù)學日記的一部分，請你認真閱讀，并完成相應的任務．2023年9月22日天氣：晴無理數(shù)與線段長．今天我們借助勾股定理，在數(shù)軸上找到了一些特殊的無理數(shù)對應的點，認識了“數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應”這一事實．回顧梳理：要在數(shù)軸上找到表示的點，關鍵是在數(shù)軸上構造線段．如圖1，正方形的邊長為1個單位長度，以原點O為圓心，對角線長為半徑畫弧與數(shù)軸上分別交于點A，，則點A對應的數(shù)為，點對應的數(shù)為．類似地，我們可以在數(shù)軸上找到表示，，…的點．拓展思考：如圖2，改變圖1中正方形的位置，用類似的方法作圖，可在數(shù)軸上構造出線段與，其中O仍在原點，點B，分別在原點的右側(cè)、左側(cè)，可由線段與的長得到點B，所表示的無理數(shù)！按照這樣的思路，只要構造出特定長度的線段，就能在數(shù)軸上找到無理數(shù)對應的點！

任務：(1)在圖3中畫圖確定表示的點M．

(2)把5個小正方形按圖中位置擺放，并將其進行裁剪，拼成一個大正方形．請在圖中畫出裁剪線，并在圖4中畫出所拼得的大正方形的示意圖．

(3)小麗想用一塊面積為的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為的長方形紙片如圖5，使它的長是寬的2倍．小麗能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？請你通過計算說明理由．

(4)在圖6中的數(shù)軸上分別標出表示數(shù)以及的點，并比較它們的大?。?/p>

【答案】(1)見解析(2)見解析(3)不能，理由見解析(4)數(shù)軸見解析，【分析】（1）由，可作出單位長度以3和1為長和寬的矩形，其對角線即是，然后以原點為圓心，以為半徑畫弧，即可解答；（2）設1個小正方形的面積為1，則5個小正方形的面積為5，即所拼成的大正方形的邊長為，進而即可畫出裁剪線和所拼得的大正方形；（3）由題意可求出正方形紙片的邊長為．設長方形紙片的寬為，則長為，則可列出關于x的方程，再利用平方根解方程，即得出長方形紙片的長為，最后比較即可；（4）由，可作出單位長度以2和1為長和寬的矩形，其對角線即是，然后以表示的點為圓心，以為半徑畫弧，與數(shù)軸右側(cè)的交點即為．再畫出表示的點，根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)比較即可．【解析】（1）解：如圖，點M即為所作；

（2）解：如圖所示；

（3）解：不能．理由：由題意可知這個面積為的正方形紙片的邊長為，設面積為的長方形紙片的寬為，則長為，∴，解得：（舍去負值），∴長方形紙片的長為．∵，∴小麗不能用這塊紙片裁出符合要求的紙片；（4）解：在數(shù)軸上表示數(shù)和的點如圖，

有數(shù)軸可知：．【點睛】本題主要考查勾股定理，數(shù)軸和利用平方根解方程．利用數(shù)形結合的思想是解題關鍵．6．（2023上·福建廈門·八年級廈門一中校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知分別在坐標軸的正半軸上．

(1)如圖1，若滿足，以為直角頂點，為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角，則點的坐標是______；(2)如圖2，若，點是的延長線上一點，以為直角頂點，為直角邊在第一象限作等腰直角，連接，求證：；(3)如圖3，設的平分線過點，請求出的值，并說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)，理由見解析【分析】（1）由偶次方和絕對值的非負性得出，，則，，證明，得到，，，即可得解；（2）過作軸于，則，證明，得到，，，再證明是等腰直角三角形，得，然后由三角形外角的性質(zhì)即可得出結論；（3）過點作軸于，軸于，交的延長線于，則，由角平分線的性質(zhì)可得，證明得到，同理證明得到，即可求解．【解析】（1）解：，，，，，，，，，，如圖，過點作軸于，則，，，，，，，，，，，，故答案為：；（2）證明：如圖，過作軸于，則，，，，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，，即，，是等腰直角三角形，，，，；（3）解：如圖，過點作軸于，軸于，交的延長線于，，，平分，，，，，，同理可得：，，，，，，即．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、坐標與圖形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、非負數(shù)的性質(zhì)等知識，熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、證明三角形全等是解此題的關鍵．7．（2023上·北京西城·八年級北京市第十三中學分校校考期中）在平面直角坐標系中，已知點，我們將經(jīng)過點且垂直于軸的直線記為直線，將經(jīng)過點且垂直于軸的直線記為直線．對于點給出如下定義，將點關于直線對稱得到點，再將點關于直線對稱得到點，稱點為點關于的“對應點”．對于圖形給出如下定義，將圖形關于直線對稱得到圖形，再將圖形關于直線對稱得到圖形，稱圖形為圖形關于的“對應圖形”．已知的頂點坐標為，，(1)如圖1，若點①由定義知，將點關于直線對稱得到點，再將點關于直線對稱，得到點，則點關于的對應點為．那么，點關于的對應點為，點關于的對應點為．②已知點和點，若線段關于的對應線段位于的內(nèi)部（不含三角形的邊），求的取值范圍．(2)若軸上存在點，使得點關于的對應點恰好落在的邊上，直接寫出點橫坐標的取值范圍．【答案】(1)①，；②(2)【分析】（1）①根據(jù)題目的新定義求解即可；②根據(jù)新定義表達出和，結合圖形即可作答；（2）設點，則點關于的對應點，根據(jù)點關于的對應點恰好落在的邊上，可得，問題得解．【解析】（1）①將點關于直線對稱得到點，再將點關于直線對稱得到點，則點關于的“對應點”為，將點關于直線對稱得到點，再將點關于直線對稱得到點，則點關于的“對應點”為，故答案為：，；②解：由上述可得點關于的“對應點”為，點關于的“對應點”為．如圖，線段在內(nèi)部，此時只需在軸下方，在軸上方，即，解得；∴的取值范圍是：．（2）設點，∵，∴點關于的對應點，∵點關于的對應點恰好落在的邊上，結合圖形有：，∴，即的取值范圍：．【點睛】本題考查了平面直角坐標系的新定義，軸對稱的性質(zhì)，坐標與圖形等知識，解決本題的關鍵是掌握“對應點”的定義，結合軸對稱表示出對應點的坐標，是解答本題的關鍵．8．（2023上·全國·八年級專題練習）如圖1，在平面直角坐標系中，的三個頂點為，，，且滿足，線段交軸于點，，點是軸負半軸．上一動點（點不與點重合）．

(1)求點、、的坐標．(2)問題探究：①如圖2，過點作，小明發(fā)現(xiàn)在點的運動過程中，的度數(shù)為定值，為求出這個定值，小明過點作，請你幫他用表示出的度數(shù)，并說明理由；②如圖3，分別作，的平分線交于點，試問在點的運動過程中，的度數(shù)是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變，請求出的度數(shù)．【答案】(1)A，B，C(2)①，理由見解析；②的度數(shù)不發(fā)生變化，理由見解析過程，【分析】（1）結合題意，根據(jù)乘方、算術平方根、絕對值的性質(zhì)，結合坐標的性質(zhì)分析，即可得到答案；（2）①根據(jù)平行線的性質(zhì)，推導得，，結合余角的性質(zhì)計算，即可得到答案；②根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得，；根據(jù)余角和三角形內(nèi)角和的性質(zhì)計算，即可得到答案．【解析】（1）解：，，，，，，；（2）解：①，，，，，，；②的度數(shù)不發(fā)生變化，理由如下：過點作，

，，，，，，，、分別為，的平分線，，，．【點睛】本題考查了直角坐標系、乘方、算術平方根、絕對值、角平分線、平行線、三角形內(nèi)角和、余角的知識；解題的關鍵是熟練掌握角平分線、平行線、三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，數(shù)形結合完成求解．9．（2023上·廣東深圳·八年級深圳外國語學校?？计谥校╅喿x材料并回答下列問題：當m，n都是實數(shù)，且滿足，就稱點P為“燕南點”．例如：點E，令得，，所以E不是“燕南點”；F，令得，，所以F是“燕南點”．（1）點A，B是“燕南點”的是（2）點M是“燕南點”，請判斷點M在第幾象限？并說明理由；（3）若以關于x，y的方程組的解為坐標的點C是“燕南點”，求t的值．【答案】（1）B；（2）M，在第一象限；（3）．【分析】（1）根據(jù)“燕南點”的定義分別判斷即可；（2）直接利用“燕南點”的定義得出a的值再求出點的坐標進而得出答案；（3）直接利用“燕南點”的定義得出t的值進而得出答案；【解析】（1）點A，令解得，A不是“燕南點“，點B，令解得，B是“燕南點”；故答案為：B；（2）根據(jù)題意,得，，，求得，所以，所以M，在第一象限；（3）方程組的解為∵點是“燕南點”，∴∴，∴，解得，∴t的值為10．【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，二元一次方程組的解，點的坐標的知識，同時考查了閱讀理解能力及遷移運用能力．10．（2023上·北京西城·八年級北師大實驗中學?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校本€表示過且垂直于軸的直線，對某圖形上的點作如下變換：當時，作點關于直線的對稱點，稱為變換；當時，作點關于軸的對稱點，稱為變換，若某個圖形上既有作變換的點，又有作變換的點，則稱此圖形為雙變換圖形．例如，已知，，如圖所示，當時，點應作，變換后為；點應作變換，變換后為．(1)當時，已知點，則作相應變換后的坐標為，若點作相應變換后的點的坐標為，則點的坐標為，(2)已知，，若線段是雙變換圖形，則的取值范圍為，已知點在第四象限角平分線上，若及其內(nèi)部（點除外）組成的圖形是雙變換圖形，且變換后所得圖形記為，直接寫出所有圖形所覆蓋的區(qū)域的面積為．【答案】(1)；或．(2)或；【分析】（1）①由題意根據(jù)變換的定義求解即可；②根據(jù)題意分兩種情形：，，分別構建不等式解決問題即可．（2）①由題意根據(jù)，兩點的橫坐標，判斷出的范圍即可；②由題意可知滿足條件的圖形是平行四邊形，變換后所有圖形所覆蓋的區(qū)域的面積．【解析】（1）解：①∵，，∴，∴相應變換后的點的坐標是，故答案為：．②∵，直線為．若，則點作變換后的點的坐標為，，，且符合題意．∴．若，則點作變換后的點的坐標為，，且符合題意．∴．綜上，或．（2）解：①線段是雙變換圖形，，，∴，或．故答案為：或．②如下圖中，點E滿足條件的圖形是平行四邊形，對于直線，由題意，對于及其內(nèi)部的點（E除外），滿足，則它關于直線對稱的圖形為及其內(nèi)部的點；對于及其內(nèi)部的點（線段除外），滿足，則它關于y軸對稱的圖形為及其內(nèi)部（線段除外），∴所有圖形F所覆蓋的區(qū)域為平行四邊形及平行四邊形，且它們的面積相等，等于平行四邊形的面積，變換后所有圖形所覆蓋的區(qū)域的面積．故答案為：【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查Ⅰ變換，Ⅱ變換，雙變換圖形的定義，解題的關鍵是理解題意，學會構建不等式解決問題，屬于中考創(chuàng)新題型．11．（2023上·廣東深圳·八年級深圳市寶安中學（集團）?？计谥校W完勾股定理的證明后發(fā)現(xiàn)運用“同一圖形的面積不同表示方式相同”可以證明一類含有線段的等式，這種解決問題的方法我們稱之為等面積法．(1)【學有所用】如圖1，在等腰中，，其一腰上的高為h，M是底邊上的任意一點，M到腰、的距離、分別為、，小明發(fā)現(xiàn)，通過連接，將的面積轉(zhuǎn)化為和的面積之和，建立等量關系，便可證明，請你結合圖形來證明：；(2)【嘗試提升】如圖2，在中，，D是邊上一點，使，過上一點P，作，垂足為點E，作，垂足為點F，已知，，求的長．(3)【拓展遷移】如圖3，在平面直角坐標系中有兩條直線，，若上的一點M到的距離是2，求的值．【答案】(1)見解析(2)6(3)或【分析】（1）連接AM，根據(jù)，結合三角形面積公式和即可證明；（2）根據(jù)勾股定理可求出，再根據(jù)，，，結合（1）所得結論即得出；（3）根據(jù)函數(shù)解析式可求得，，，從而可得，即為等腰三角形．再根據(jù)上的一點M到的距離是，則可分類討論：當點M在邊上時，過點作于點G，作于點H，如圖，易得出，從而得出，從而可求出，，即得出；②當點M在延長線上時，過點作于點P，則，易證，得出，從而可求出，即得出．【解析】（1）證明：連接AM，由題意得，，，∵，∴，∴，∵，∴；（2）∵，，，∴在中，．又∵，，，∴結合（1）可知；（3）解：對于，令，得：；令，得：，∴，．對于，令，得：，則．∵在中，，，∴，即為等腰三角形．∵上的一點M到的距離是，則點M在邊上或在延長線上，分類討論：當點M在邊上時，過點作于點G，作于點H，如圖，由（1）知：，由題可知：，則，將，代入，解得：，∴，∴，，∴；②當點M在延長線上時，過點作于點P，如圖，∴，又∵，，∴，∴．∵，∴，∴．綜上所述：的值為或．【點睛】本題考查等積法，勾股定理，一次函數(shù)的應用，三角形全等的判定和性質(zhì)等知識．利用數(shù)形結合的思想是解題關鍵．12．（2023下·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）小明根據(jù)函數(shù)學習的經(jīng)驗，參照研究函數(shù)的過程與方法，對于函數(shù)的圖像和性質(zhì)進行探究．

(1)列表：下表列出了y與x的幾組對應值，請寫出m，n的值：m=________，n=________；x…43211234……m2n2…描點：在平面直角坐標系中，以自變量x的取值為橫坐標，以相應的函數(shù)值為縱坐標，描出相應的點，如圖所示：(2)請把y軸左邊各點和右邊各點，分別用光滑的曲線順次連接起來；(3)觀察圖形并分析表格，解決下列問題：①自變量x的取值范圍是__________；②函數(shù)圖象關于點___________中心對稱；③求證：當時，y隨x的增大而增大．【答案】(1)，(2)見詳解(3)①②③見詳解【分析】（1）將，代入函數(shù)解析式即可求解；（2）用光滑的曲線順次連接起來，即可求解；（3）①由得，分母不為，即可求解；②由表格可得第一、三象限的點的橫縱坐標分別互為相反數(shù)，即可求解；③設，可得，，可求，，，，即可求解．【解析】（1）解：當時，，當時，；故答案：，．（2）解：如圖，用光滑的曲線順次連接起來，

（3）①解：由得自變量x的取值范圍是，故答案：；②解：由表格得：與，與，與，，第一、三象限的點的橫縱坐標分別互為相反數(shù)，函數(shù)圖像關于點中心對稱，故答案：．③證明：設，，，，，，，，，，，故當時，y隨x的增大而增大．【點睛】本題考查了通過作函數(shù)圖象，通過圖象來研究函數(shù)性質(zhì)：自變量取值范圍、對稱性、增減性，掌握函數(shù)增減性的證明方法是解題的關鍵．13．（2023上·遼寧錦州·八年級統(tǒng)考期末）【模型構建】如圖，將含有的三角板的直角頂點放在直線l上，過兩個銳角頂點分別向直線l作垂線，這樣就得到了兩個全等的直角三角形．由于三個直角的頂點都在同一條直線上，因此我們將其稱為“一線三直角”，這模型在數(shù)學解題中被廣泛使用．

【模型應用】

(1)如圖1，在平面直角坐標系中，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，①則_________；②C，D是正比例函數(shù)圖像上的兩個動點，連接AD，BC，若，則AD的最小值是__________；(2)如圖2，一次函數(shù)的圖像與y軸，x軸分別交于A，B兩點．將直線繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到直線l，求直線l對應的函數(shù)表達式；【模型拓展】(3)如圖3，點A在x軸負半軸上，，過點A作軸交直線于點B，P是直線上的動點，Q是y軸上的動點，若是以其中一個動點為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．【答案】(1)①；②(2)(3)或或或【分析】（1）①先根據(jù)函數(shù)解析式確定，進而得到，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可解答；②根據(jù)點到直線的距離垂線段最短，可得當時，AD有最小值，然后判定可得，最后根據(jù)勾股定理求解即可；（2）先證可得，進而得到，最后根據(jù)待定系數(shù)法即可解答；（3）分，點P在x軸上方或下方和點P在x軸上方或下方，四種情況，分別運用全等三角形的判定與性質(zhì)和二元一次方程組解答即可【解析】（1）解：①∵與x軸，y軸交于A，B兩點，∴，∴，又∵，∴為等腰直角三角形，∴；故答案為；②∵A是定點，∴如圖：當時，有最小值；

∵,∴，∵，∴，在和中，∴，∴在中，由勾股定理得：，∴，∴的最小值為．故答案為．（2）解：如圖，過點B作交直線l于點C，過點C作軸．

∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．當時，，∴．當時，，∴．∴．設直線l對應的函數(shù)表達式為，將和代入，得

解得∴．（3）解：①當,,P在x軸的上方，如圖1：過P作軸，交于M，交y軸于N，∵，∴，又∵，∴，∴；∵直線l：，∴設，∴，∴，∴，∴,即，①②聯(lián)立解得：，∴；

②當,,P在x軸的下方，如圖2：

同①易證：，∴；∵直線l：，∴設，∴，∴，∴,∴,即，①②聯(lián)立解得：，∴;

③當,,P在x軸的上方，如圖3：易證，∴；∵直線l：，∴設，∴，∴，∵，∴，①②聯(lián)立解得：，∴；

④當,,P在x軸的下方，如圖：易證，∴；∵直線l：，∴設，∴，∴，∵，∴，①②聯(lián)立解得：，∴．

綜上，點P的坐標為或或或．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何的綜合、等腰直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，綜合應用所學知識成為解答本題的關鍵．14．（2023上·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期末）數(shù)學活動課上：學校科技小組進行機器人行走性能試驗，在試驗場地一條筆直的賽道上有A，B，C三個站點，A，B兩站點之間的距離是90米（圖1）．甲、乙兩個機器人分別從A，B兩站點同時出發(fā)，向終點C行走，乙機器人始終以同一速度勻速行走．圖2是兩機器人距離C站點的距離y（米）出發(fā)時間t（分鐘）之間的函數(shù)圖像，其中為折線段．請結合圖像回答下列問題：

(1)乙機器人行走的速度是___________米/分鐘；(2)在時，甲的速度變?yōu)榕c乙的速度相同，6分鐘后，甲機器人又恢復為原來出發(fā)時的速度．①圖2中m的值為___________．②請求出在時，甲、乙兩機器人之間的距離為60米時時間t的值．【答案】(1)50(2)①120，②7或【分析】（1）根據(jù)圖形知乙機器人9分鐘走完了450米，據(jù)此可求得乙機器人行走的速度；（2）①先求得甲機器人行走的總路程540米，再分段求得甲機器人行走的路程，根據(jù)速度、時間、路程的關系式求解即可；②分情況討論，一種是甲乙都在運動，第二種狀態(tài)是甲先到，靜止下來，乙在跑，以甲停止運動那一刻為分界點．【解析】（1）解：根據(jù)圖形知乙機器人9分鐘走完了450米，∴乙機器人行走的速度為(米/分)；故答案為：50．（2）①設甲機器人前3分鐘的速度為x米/分，依題意得：，解得，甲機器人行走的總路程為：(米)，甲機器人前4分鐘的速度為80米/分，甲行走路程：(米)，時，甲的速度變?yōu)榕c乙的速度相同，甲行走路程：(米)，∴，故答案為：．②∵6分鐘后甲機器人的速度又恢復為原來出發(fā)時的速度，∴6分鐘后甲機器人的速度是80米/分，當時，甲乙兩機器人的距離為：（米），當甲到達終點C時，（分），乙到達終點C時，（分）當時，當時，當時，，解得解得甲、乙兩機器人之間的距離為60米時時間的值為7或【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用、一元一次方程中追擊問題，解答本題的關鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結合的思想解答．15．（2023下·北京朝陽·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系xOy中，對于點和點Q給出如下定義：若點Q的坐標為，則稱點Q為點P的“n倍點”．(1)①若點，點Q為點P的“倍點”，則點Q的坐標為___________；②當P是直線與x軸的交點時，點P的“n倍點”的坐標為___________．(2)已知點，，，．①若對于直線上任意一點Q，在直線上都有點P，使得點Q為點P的“n倍點”，求n的值；②點P是直線上任意一點，若在四邊形的邊上存在點P的“n倍點”，且，直接寫出k的取值范圍．【答案】(1)①；②(2)①

②【分析】（1）①直接根據(jù)題中定義求解即可；②先求得與x軸的交點坐標，再根據(jù)定義求解即可；（2）①先利用待定系數(shù)法求得直線的表達式為．則，又，利用題中定義可求得n值；②先得出軸，，再求得直線的表達式為，設，則點P的“n倍點”，分點Q在邊上時、點Q在邊上時、點Q在邊上時、點Q在邊上時，求得，進而可求解．【解析】（1）解：①根據(jù)定義，點Q的坐標為，故答案為：；②由得，∴，∴點P的“n倍點”的坐標為，故答案為：；（2）解：①設過點，的直線為，

解得∴直線的表達式為．．點P在直線上，．．②∵點，，，．∴軸，，設直線的表達式為，將代入，得，∴直線的表達式為．設，則點P的“n倍點”，若點Q在邊上時，則，即，∴，則；若點Q在邊上時，則，即，∴，則；若點Q在邊上時，則，即，∴，則；若點Q在邊上時，則，即，∴，則綜上，，又，∴．【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、坐標與圖形、解不等式、算術平方根等知識，理解題中定義并正確求解是解答的關鍵．16．（2023下·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）“雙減”政策頒布后，各校重視了延時服務，并在延時服務中加大了體育活動的力度．某體育用品商店抓住商機，計劃購進300套乒乓球拍和羽毛球拍進行銷售，其中購進乒乓球拍的套數(shù)不超過150套，他們的進價和售價如下表：商品進價售價乒乓球拍（元/套）45羽毛球拍（元/套）52已知購進2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花費110元，購進4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花費260元．(1)求出a，b的值；(2)該店面根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗，決定購進乒乓球拍套數(shù)不少于羽毛球拍套數(shù)的一半．設購進乒乓球拍x套，售完這批體育用品獲利y元．①求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；②該商品實際采購時，恰逢“618”購物節(jié)，乒乓球拍的進價每套降低了n元（），羽毛球拍的進價不變．已知商店的售價不變，這批體育用品能夠全部售完．則如何購貨才能獲利最大？【答案】(1)a的值為35，b的值為40(2)①y與x的函數(shù)關系式為，x的取值范圍為：；②當時，乒乓球拍