核心考點(diǎn)05反比例函數(shù)2

核心考點(diǎn)05反比例函數(shù)考點(diǎn)精講目錄一．反比例函數(shù)的定義（共2小題）二．反比例函數(shù)的圖象（共3小題）三．反比例函數(shù)圖象的對稱性（共1小題）四．反比例函數(shù)的性質(zhì)（共5小題）五．反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義（共4小題）六．反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征（共9小題）七．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式（共4小題）八．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題（共2小題）九．根據(jù)實(shí)際問題列反比例函數(shù)關(guān)系式（共1小題）十．反比例函數(shù)的應(yīng)用（共3小題）十一．反比例函數(shù)綜合題（共3小題）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一．反比例函數(shù)的定義（1）反比例函數(shù)的概念形如y＝（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)．其中x是自變量，y是函數(shù)，自變量x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù)．（2）反比例函數(shù)的判斷判斷一個(gè)函數(shù)是否是反比例函數(shù)，首先看看兩個(gè)變量是否具有反比例關(guān)系，然后根據(jù)反比例函數(shù)的意義去判斷，其形式為y＝（k為常數(shù)，k≠0）或y＝kx﹣1（k為常數(shù)，k≠0）．二．反比例函數(shù)的圖象用描點(diǎn)法畫反比例函數(shù)的圖象，步驟：列表﹣﹣﹣描點(diǎn)﹣﹣﹣連線．（1）列表取值時(shí)，x≠0，因?yàn)閤＝0函數(shù)無意義，為了使描出的點(diǎn)具有代表性，可以以“0”為中心，向兩邊對稱式取值，即正、負(fù)數(shù)各一半，且互為相反數(shù)，這樣也便于求y值．（2）由于函數(shù)圖象的特征還不清楚，所以要盡量多取一些數(shù)值，多描一些點(diǎn)，這樣便于連線，使畫出的圖象更精確．（3）連線時(shí)要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函數(shù)圖象永遠(yuǎn)不會與x軸、y軸相交，只是無限靠近兩坐標(biāo)軸．三．反比例函數(shù)圖象的對稱性反比例函數(shù)圖象的對稱性：反比例函數(shù)圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，對稱軸分別是：①二、四象限的角平分線Y＝﹣X；②一、三象限的角平分線Y＝X；對稱中心是：坐標(biāo)原點(diǎn)．四．反比例函數(shù)的性質(zhì)（1）反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象是雙曲線；（2）當(dāng)k＞0，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小；（3）當(dāng)k＜0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．注意：反比例函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)．五．反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義比例系數(shù)k的幾何意義在反比例函數(shù)y＝圖象中任取一點(diǎn)，過這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．在反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是|k|，且保持不變．六．反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征反比例函數(shù)y＝k/x（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，①圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy＝k；②雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，兩個(gè)分支上的點(diǎn)也是關(guān)于原點(diǎn)對稱；③在y＝k/x圖象中任取一點(diǎn)，過這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．七．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式要注意：（1）設(shè)出含有待定系數(shù)的反比例函數(shù)解析式y(tǒng)＝（k為常數(shù)，k≠0）；（2）把已知條件（自變量與函數(shù)的對應(yīng)值）帶入解析式，得到待定系數(shù)的方程；（3）解方程，求出待定系數(shù)；（4）寫出解析式．八．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．（2）判斷正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y＝在同一直角坐標(biāo)系中的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可總結(jié)為：①當(dāng)k1與k2同號時(shí)，正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y＝在同一直角坐標(biāo)系中有2個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng)k1與k2異號時(shí)，正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y＝在同一直角坐標(biāo)系中有0個(gè)交點(diǎn)．九．根據(jù)實(shí)際問題列反比例函數(shù)關(guān)系式根據(jù)實(shí)際問題列反比例函數(shù)關(guān)系式，注意分析問題中變量之間的聯(lián)系，建立反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，在實(shí)際問題中，往往要結(jié)合題目的實(shí)際意義去分析．首先弄清題意，找出等量關(guān)系，再進(jìn)行等式變形即可得到反比例函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)圖象去求反比例函數(shù)的解析式或是知道一組自變量與函數(shù)值去求解析式，都是利用待定系數(shù)法去完成的．注意：要根據(jù)實(shí)際意義確定自變量的取值范圍．十．反比例函數(shù)的應(yīng)用（1）利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題①能把實(shí)際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模型．②注意在自變量和函數(shù)值的取值上的實(shí)際意義．③問題中出現(xiàn)的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化成相等的關(guān)系來解，然后在作答中說明．（2）跨學(xué)科的反比例函數(shù)應(yīng)用題要熟練掌握物理或化學(xué)學(xué)科中的一些具有反比例函數(shù)關(guān)系的公式．同時(shí)體會數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想．（3）反比例函數(shù)中的圖表信息題正確的認(rèn)識圖象，找到關(guān)鍵的點(diǎn)，運(yùn)用好數(shù)形結(jié)合的思想．十一．反比例函數(shù)綜合題（1）應(yīng)用類綜合題能夠從實(shí)際的問題中抽象出反比例函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型，是解決實(shí)際問題的關(guān)鍵一步，培養(yǎng)了學(xué)生的建模能力和從實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化的能力．在解決這些問題的時(shí)候我們還用到了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法和其他學(xué)科中的知識．（2）數(shù)形結(jié)合類綜合題利用圖象解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關(guān)鍵所在．已知點(diǎn)在圖象上，那么點(diǎn)一定滿足這個(gè)函數(shù)解析式，反過來如果這點(diǎn)滿足函數(shù)的解析式，那么這個(gè)點(diǎn)也一定在函數(shù)圖象上．還能利用圖象直接比較函數(shù)值或是自變量的大?。畬?shù)形結(jié)合在一起，是分析解決問題的一種好方法．考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．反比例函數(shù)的定義（共2小題）1．（2022春?余杭區(qū)期末）已知y是關(guān)于x的反比例函數(shù)，x1，y1和x2，y2是自變量與函數(shù)的兩組對應(yīng)值．則下列關(guān)系式中，成立的是（）A．x1x2＝y(tǒng)1y2 B．x1y1＝x2y2 C． D．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可得x1y1＝x2y2，進(jìn)而得到答案．【解答】解：∵y是關(guān)于x的反比例函數(shù)，∴k＝xy，∵x1，y1和x2，y2是自變量與函數(shù)的兩組對應(yīng)值，∴x1y1＝x2y2，故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy＝k．2．（2022春?浦江縣校級期中）函數(shù)y＝是反比例函數(shù)，則m＝﹣1．【分析】由反比例函數(shù)的定義可知|m|＝1，且m﹣1≠0，從而可求得m的值．【解答】解：∵y＝是反比例函數(shù)，∴|m|＝1，且m﹣1≠0．解得：m＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評】本題主要考查的是反比例函數(shù)的定義，掌握反比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．二．反比例函數(shù)的圖象（共3小題）3．（2022春?錢塘區(qū)期末）描點(diǎn)法是畫未知函數(shù)圖象的常用方法．請判斷函數(shù)的圖象可能為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)y＝在第一、三象限，對稱中心為原點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)平移的規(guī)律，把y＝向左平移1個(gè)單位得到y(tǒng)＝，對稱中心為（﹣1，0），據(jù)此即可判斷．【解答】解：∵k＝1，∴函數(shù)y＝在第一、三象限，對稱中心為原點(diǎn)，把y＝向左平移1個(gè)單位得到y(tǒng)＝，對稱中心為（﹣1，0），故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)y＝與函數(shù)y＝的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2021春?北侖區(qū)校級期末）小明在學(xué)習(xí)過程中遇到了一個(gè)函數(shù)y＝+1，小明根據(jù)學(xué)習(xí)反比例函數(shù)y＝的經(jīng)驗(yàn)，對函數(shù)y＝+1的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究．（1）畫函數(shù)圖象：[問題1]函數(shù)y＝+1的自變量x的取值范圍是x≠2；①列表：如表．x…﹣6﹣21034610…y…0﹣3﹣1﹣79532…②描點(diǎn)：點(diǎn)已描出，如圖所示．③連線：[問題2]請你根據(jù)描出的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象．（2）探究性質(zhì)：根據(jù)反比例函數(shù)y＝的圖象和性質(zhì)，結(jié)合畫出的函數(shù)y＝+1圖象，回答下列問題：[問題3]①該函數(shù)的圖象是具有軸對稱性和中心對稱性，其對稱中心的坐標(biāo)是（2，1）；[問題4]②該函數(shù)圖象可以看成是由y＝的圖象平移得到的，其平移方式為向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位；[問題5]③結(jié)合函數(shù)圖象，請直接寫出+1≥﹣1時(shí)x的取值范圍x≤0或x＞2．【分析】（1）分母不為零；畫圖象；（2）根據(jù)反比例函數(shù)y＝的圖象和性質(zhì)，結(jié)合畫出的函數(shù)y＝+1圖象即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）函數(shù)y＝+1的自變量x的取值范圍是：x≠2，故答案為：x≠2；如圖所示，（2）根據(jù)反比例函數(shù)y＝的圖象和性質(zhì)，結(jié)合畫出的函數(shù)y＝+1圖象可知：①該函數(shù)的圖象是具有軸對稱性和中心對稱性，其對稱中心的坐標(biāo)是（2，1）；②該函數(shù)圖象可以看成是由y＝的圖象平移得到的，其平移方式為：向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位；③結(jié)合函數(shù)圖象，+1≥﹣1時(shí)x的取值范圍是x≤0或x＞2．故答案為（2，1）；向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位；x≤0或x＞2．【點(diǎn)評】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，涉及的知識有：自變量的取值范圍、畫圖象、增減性，熟練掌握數(shù)形結(jié)合的思想是解本題的關(guān)鍵．5．（2020春?北侖區(qū)期末）小王為探究函數(shù)y＝（x＞3）的圖象經(jīng)歷了如下過程．（1）列表，根據(jù)表中x的取值，求出對應(yīng)的y值，將空白處填寫完整；x…3.544.555.56…y…6321…（2）以表中各組對應(yīng)值為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)并畫出函數(shù)圖象；（3）結(jié)合由y＝（x＞0）圖象到y(tǒng)＝圖象的變化，猜想由y＝的圖象經(jīng)過向x軸的負(fù)方向平移3個(gè)單位的平移變化可以得到y(tǒng)＝（x≠﹣3）圖象．y＝（x≠﹣3）的對稱軸是直線y＝x﹣3與直線y＝﹣x+3．【分析】（1）當(dāng)x＝3.5時(shí)，y＝＝6，同理當(dāng)x＝5.5時(shí)，y＝；（2）描點(diǎn)描繪出以下圖象，（3）結(jié)合由y＝（x＞0）圖象到y(tǒng)＝圖象的變化和函數(shù)的圖象即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）當(dāng)x＝3.5時(shí)，y＝＝6，同理當(dāng)x＝5.5時(shí)，y＝，故答案為6，；（2）描點(diǎn)描繪出以下圖象，（3）猜想由y＝的圖象經(jīng)過向x軸的負(fù)方向的平移3個(gè)單位可以得到y(tǒng)＝（x≠﹣3）圖象．y＝（x≠﹣3）的對稱軸是直線y＝x+3與直線y＝﹣x﹣3．故答案為平移3個(gè)單位，直線y＝x+3與直線y＝﹣x﹣3．【點(diǎn)評】本題考查的是反比例函數(shù)圖象、軸對稱的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．三．反比例函數(shù)圖象的對稱性（共1小題）6．（2021春?上城區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的中心在原點(diǎn)O，且正方形的一組對邊與x軸平行，點(diǎn)P（2a，a）是反比例函數(shù)y＝的圖象與正方形的一個(gè)交點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是4．【分析】先利用反比例函數(shù)解析式y(tǒng)＝確定P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），由于正方形的中心在原點(diǎn)O，則正方形的面積為16，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱得到陰影部分的面積為正方形面積的．【解答】解：把P（2a，a）代入y＝得2a?a＝2，解得a＝1或﹣1，∵點(diǎn)P在第一象限，∴a＝1，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），∴正方形的面積＝4×4＝16，∴圖中陰影部分的面積＝S正方形＝4．故答案為4．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象的對稱性：反比例函數(shù)圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，對稱軸分別是：①二、四象限的角平分線y＝﹣x；②一、三象限的角平分線y＝x；對稱中心是：坐標(biāo)原點(diǎn)．四．反比例函數(shù)的性質(zhì)（共5小題）7．（2022春?西湖區(qū)期末）已知反比例函數(shù)y＝，若y＞1，則x的取值范圍為0＜x＜3．【分析】由k的值，可以得到該函數(shù)圖象在第幾象限，從而可以得到相應(yīng)的不等式，從而可以得到x的取值范圍．【解答】解：∵y＝，∴該函數(shù)圖象在第一、三象限，當(dāng)x＞0時(shí)，y＞0；當(dāng)x＜0時(shí)，y＜0；∴當(dāng)y＞1時(shí)，則＞1，x＞0，解得，0＜x＜3，故答案為：0＜x＜3．【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．8．（2022春?東陽市期末）已知反比例函數(shù)y＝的圖象位于第一、三象限，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＝1 B．a(chǎn)≠1 C．a(chǎn)＞1 D．a(chǎn)＜1【分析】反比例函數(shù)y＝，當(dāng)k＞0時(shí)圖象在第一、三象限即可得答案．【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝的圖象位于第一、三象限，∴a﹣1＞0，解得a＞1，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)．9．（2022春?余杭區(qū)期末）反比例函數(shù)y＝，當(dāng)1≤x≤3時(shí)，函數(shù)y的最大值和最小值之差為4，則k＝±6．【分析】分k＞0和k＜0進(jìn)行討論，再根據(jù)反比例函數(shù)的增減性，利用函數(shù)值的差列出方程解答．【解答】解：當(dāng)k＞0時(shí)，在其每一象限內(nèi)，反比例函數(shù)y隨x的增大而減?。弋?dāng)1≤x≤3時(shí)，函數(shù)y的最大值和最小值之差為4，∴，解得k＝6，當(dāng)k＜0時(shí)，在其每一象限內(nèi)，反比例函數(shù)y隨x的增大而增大．∵當(dāng)1≤x≤3時(shí)，函數(shù)y的最大值和最小值之差為4，∴，解得k＝﹣6，綜上所述，k＝±6．故答案為：±6．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的增減性，反比例函數(shù)的增減性要在其圖象的每一象限內(nèi)解答，解題關(guān)鍵要對于k的值要分情況討論．10．（2022春?余杭區(qū)期末）對于函數(shù)，小明根據(jù)學(xué)習(xí)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，研究了它的圖象和性質(zhì)．下面是小明的分析和研究過程，請補(bǔ)充完整．（1）自變量x的取值范圍是x≠2．x…﹣101345…y…﹣2﹣3﹣6632…（2）根據(jù)列表計(jì)算的部分對應(yīng)值，在平面直角坐標(biāo)系中用描點(diǎn)法畫出該函數(shù)的圖象．（3）從中心對稱和軸對稱的角度分析圖象特征，并說說這個(gè)函數(shù)的增減性．【分析】（1）由分式的分母不為0即可求解；（2）描點(diǎn)連線，即可畫出函數(shù)圖象；（4）根據(jù)函數(shù)圖象即可得到．【解答】解：（1）要使函數(shù)有意義，則x﹣2≠0，解得x≠2，故答案為：x≠2．（2）函數(shù)圖象如圖所示：（3）根據(jù)圖象可知，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，0）成中心對稱，關(guān)于直線y＝﹣x+2或直線y＝x﹣2成軸對稱，當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減小．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．11．（2021春?鄞州區(qū)期末）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上，頂點(diǎn)C在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)y＝（k＞0）在第一象限內(nèi)的圖象分別與邊AB、BC相交于點(diǎn)D、E．連結(jié)OD，OE，恰有∠AOD＝∠DOE，∠ODE＝90°，若OA＝3，則k的值是．【分析】過點(diǎn)D作DF⊥OE于點(diǎn)F，設(shè)AD＝a，EB＝b，OA＝3，先證明△ADO≌△FDO（AAS），再證明△DFE≌△DEB（AAS），則可得到OF＝3，DF＝BD＝a，BE＝EF＝3﹣b，則有OE＝6﹣b，AB＝2a，并能求得D（a，3），E（2a，b），由已知D、E在反比例函數(shù)y＝上，則有3a＝2ab，求出b＝，在Rt△OEC中，根據(jù)勾股定理可求a＝，則可求k＝．【解答】解：過點(diǎn)D作DF⊥OE于點(diǎn)F，∵∠AOD＝∠DOE，∠BAO＝∠DFO＝90°，OD＝OD，∴△ADO≌△FDO（AAS），∴AD＝DF，AO＝OF，∠ADO＝∠ODF，∵∠ODE＝90°，∴∠ODF+∠FDE＝∠ADO+∠AOD＝90°，∴∠FDE＝∠AOD，∵∠ADO+∠BDE＝∠ADO+∠AOD＝90°，∴∠AOD＝∠BDE，∴∠FDE＝∠BDE，∵∠B＝∠DFE＝90°，∴△DFE≌△DEB（AAS），∴EF＝BE，DB＝DF，設(shè)AD＝a，EB＝b，OA＝3，∴OF＝3，DF＝BD＝a，BE＝EF＝3﹣b，∴OE＝6﹣b，AB＝2a，∴D（a，3），E（2a，b），∵D、E在反比例函數(shù)y＝上，∴3a＝2ab，∴b＝，在Rt△OEC中，OC＝2a，OE＝6﹣b＝，EC＝，∴a＝，∴k＝，故答案為．【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)與矩形的綜合，作出過點(diǎn)D作DF⊥OE于F的輔助線，利用三角形全等和勾股定理求出A點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．五．反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義（共4小題）12．（2022春?溫州期末）如圖，點(diǎn)A，B依次在反比例函數(shù)y＝（常數(shù)k＞0，x＞0）的圖象上，AC，BD分別垂直x軸于點(diǎn)C，D，AE⊥y軸于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F．若OC＝CD，陰影部分面積為6，則k的值為4．【分析】根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而利用陰影部分面積為6，求出k的值．【解答】解：設(shè)點(diǎn)A（m，），∵OC＝CD，∴B（2m，），∵陰影部分面積為6，CD＝2m﹣m＝m，∴＝6，解得：k＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，理解反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是正確解答的前提．13．（2021春?蒼南縣期末）如圖，點(diǎn)A（m，1）和點(diǎn)B在反比例函數(shù)（k＞0，x＞0）的圖象上，過點(diǎn)A作AC∥y軸交x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BD∥x軸交直線AC于點(diǎn)D，CD＝3AC．（1）若AD＝BD，求k的值．（2）連結(jié)OB，若四邊形OBDC的面積為6，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)可得AC＝1進(jìn)而得出CD＝3，由AD＝BD可得點(diǎn)A與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的差，進(jìn)而求出m的值，確定點(diǎn)A的坐標(biāo)即可；（2）表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用含有m的代數(shù)式表示四邊形OBCD的面積求出m即可．【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，∵點(diǎn)A（m，1），∴OC＝m，AC＝1，又∵CD＝3AC．∴CD＝3，∴AD＝BD＝3﹣1＝2＝EC，∴點(diǎn)B（，3），∴m﹣＝2，解得m＝3，∴點(diǎn)A（3，1），∵點(diǎn)A（3，1）在反比例函數(shù)的圖象上，∴k＝3，（2）由（1）可知點(diǎn)A（m，1），點(diǎn)B（，3），即OC＝m，OE＝，則BD＝EC＝m﹣＝，由于四邊形OBDC的面積為6，∴（+m）×3＝6，解得m＝，∴點(diǎn)B（，3）．【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，理解反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是正確解答的前提．14．（2021春?西湖區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中矩形OABC的長和寬分別為4和2，反比例函數(shù)y＝的圖象過矩形對角線的交點(diǎn)D．（1）求k的值；（2）求△OAD的面積．【分析】（1）由長和寬分別為4和2求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，得到k的值；（2）由三角形的面積公式求△OAD的面積．【解答】解：（1）∵矩形OABC的長為4，寬為2，∴D（2，1），∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖象上，∴k＝2×1＝2，（2）∵點(diǎn)D（2，1），OA＝2，∴S△OAD＝×2×2＝2．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義、矩形的對角線互相平分、三角形的面積．突破點(diǎn)是由矩形的長和寬求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．15．（2022春?衢江區(qū)期末）如圖，在反比例函數(shù)的圖象上有點(diǎn)P1，P2，P3，它們的橫坐標(biāo)依次為1，3，6，分別過這些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線段．圖中陰影部分的面積記為S1，S2．若S2＝3，則S1的值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由點(diǎn)P1，P2，P3，它們的橫坐標(biāo)依次為1，3，6，得P1（1，k），P2（3，），P3（6，），由S2＝3，可求出k的值，進(jìn)而求出S1的值．【解答】解：∵P1（1，k），P2（3，），P3（6，），∴S2＝3×＝3，∴k＝6，∴S1＝1×（k﹣）＝4．故選：B．【點(diǎn)評】此題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)坐標(biāo)求出個(gè)陰影的面積表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．六．反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征（共9小題）16．（2022春?臨海市期中）某同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，探究了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，下面是他的探究過程，請補(bǔ)充完整．（1）寫出函數(shù)的自變量的取值范圍x≠2；（2）下表是函數(shù)y與自變量x的幾組對應(yīng)值：則m＝，n＝3；x…﹣3﹣2﹣10134567…y…0.6m11.53n1.510.750.6…（3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，補(bǔ)全此函數(shù)的圖象；（4）根據(jù)函數(shù)圖象，寫出函數(shù)的性質(zhì)（至少兩條）．【分析】（1）根據(jù)分式分母不為零列式求解即可；（2）把x＝﹣2和y＝m分別代入即可求得；（3）畫出函數(shù)圖象即可；（4）根據(jù)圖象得出結(jié)論．【解答】解：（1）根據(jù)分式分母不能為零可知，函數(shù)的自變量x的取值范圍是：x≠2；故答案為：x≠2；（2）把x＝﹣2，y＝m代入得，；把x＝3，y＝m代入得，，故答案為：，3；（3）如圖所示：（4）由圖象得可得①圖象關(guān)于x＝2對稱；②圖象全部在x軸上方（答案不唯一）．【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，涉及的知識有：自變量的取值范圍、畫圖象、熟練掌握數(shù)形結(jié)合的思想是解本題的關(guān)鍵．17．（2022春?海曙區(qū)校級期中）若點(diǎn)A（x1，﹣2），B（x2，3）都在反比例函數(shù)y＝上，且x1＞x2，則m的取值范圍是m＜1．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：∵點(diǎn)A（x1，﹣2），B（x2，3）都在反比例函數(shù)y＝上，且x1＞x2，∴點(diǎn)A（x1，﹣2）第四象限，點(diǎn)B（x2，3）在第二象限，∴m﹣1＜0，∴m＜1．故答案為：m＜1．【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．18．（2022春?東陽市期末）如圖，雙曲線y＝（x＞0）經(jīng)過等腰△ABC的兩頂點(diǎn)A、C，已知AB＝AC＝4，AB∥x軸交y軸于點(diǎn)B，過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，且OB＝CD，則k的值32﹣16．【分析】設(shè)OB＝CD＝m，由題意可知，C（m，4），A（4，m），利用勾股定理得到AC＝＝4，得到（4﹣m）2＝16，解方程求得m的值，進(jìn)一步求得k的值．【解答】解：設(shè)OB＝CD＝m，由題意可知，C（m，4），A（4，m），∴AC＝＝4，∴（4﹣m）2＝16，解得m1＝4﹣4．m2＝4+4（舍去），∴C（4﹣4，4），∵雙曲線y＝（x＞0）經(jīng)過等腰△ABC的兩頂點(diǎn)A、C，∴k＝（4﹣4）×4＝32﹣16，故答案為：32﹣16．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理的應(yīng)用，表示出A、C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．19．（2021春?東陽市期末）如圖，在矩形ABCD中，已知點(diǎn)A（2，1），且AB＝4，AD＝3，把矩形ABCD的內(nèi)部及邊上，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為靚點(diǎn)，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象為曲線L．（1）若曲線L過AB的中點(diǎn)．①求k的值．②求該曲線L下方（包括邊界）的靚點(diǎn)坐標(biāo)．（2）若分布在曲線L上方與下方的靚點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，求k的取值范圍．【分析】（1）①根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AB中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；②根據(jù)矩形的靚點(diǎn)，結(jié)合k的值即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)矩形的靚點(diǎn)數(shù)結(jié)合k＝8或k＝9時(shí)，圖象上和圖象下的靚點(diǎn)數(shù)即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）①∵點(diǎn)A（2，1），且AB＝4，AD＝3，∴B（6，1），∴AB的中點(diǎn)為（4，1），∵反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象過AB的中點(diǎn)，∴k＝4×1＝4；②曲線L下方（包括邊界）的靚點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1），（3，1），（2，1），（2，2）；（2）∵點(diǎn)A（2，1），且AB＝4，AD＝3，∴B（6，1），C（6，4），D（2，4），∴矩形ABCD的靚點(diǎn)有5×4＝20個(gè)，當(dāng)k＝8時(shí)，落在反比例函數(shù)圖象上有（4，2）和（2，4）兩個(gè)靚點(diǎn)，圖象下方有（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（4，1）、（5，1）、（6，1）共8個(gè)靚點(diǎn)，當(dāng)k＝9時(shí)，落在反比例函數(shù)圖象上有（3，3）一個(gè)靚點(diǎn)，圖象下方有（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（4，1）、（4，2）、（5，1）、（6，1）共10個(gè)靚點(diǎn)，∴8＜k＜9．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩形的性質(zhì)，明確矩形的靚點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．20．（2021春?拱墅區(qū)期末）已知反比例函數(shù)y1＝的圖象經(jīng)過（3，2），（m，n）兩點(diǎn)．（1）求y1的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)m＜1時(shí)，求n的取值范圍；（3）設(shè)一次函數(shù)y2＝ax﹣3a+2（a＞0），當(dāng)x＞0時(shí)，比較y1與y2的大?。痉治觥浚?）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得y1的函數(shù)表達(dá)式；（2）求得m＝1時(shí)的函數(shù)值，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可求得n的取值范圍；（3）求出兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想即可解答本題．【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)y1＝的圖象經(jīng)過（3，2），∴k＝3×2＝6，∴y1的函數(shù)表達(dá)式為y1＝；（2）把x＝1代入y＝得，y＝6，∵k＝6＞0，∴圖象在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，∵m＜1，∴n＞6或n＜0；（3）由y2＝ax﹣3a+2＝a（x﹣3）+2可知，直線經(jīng)過點(diǎn)（3，2），∵反比例函數(shù)y1＝的圖象經(jīng)過（3，2），∴當(dāng)x＞0，兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)為（3，2），∵a＞0，∴y2隨x的增大而增大，∴當(dāng)0＜x＜3時(shí)，y1＞y2，當(dāng)x＝3時(shí)，y1＝y(tǒng)2，當(dāng)x＞3時(shí)，y1＜y2．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法法求反比例函數(shù)的解析式，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2021春?杭州期末）設(shè)函數(shù)y1＝，y2＝（k≠0，k≠﹣2）．（1）若函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，1），求y1，y2的函數(shù)表達(dá)式．（2）若函數(shù)y1與y2的圖象關(guān)于y軸對稱，求y1，y2的函數(shù)表達(dá)式．（3）當(dāng)1≤x≤4，函數(shù)y1的最大值為m，函數(shù)y2的最小值為m﹣4，求m與k的值．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求得即可；（2）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到＝，即可求得k的值，從而求得y1，y2的函數(shù)表達(dá)式．（3）分三種情況討論，根據(jù)題意得到關(guān)于m、k的方程組，解方程組即可求得．【解答】解：（1）∵函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，1），∴1＝，∴k＝2，∴k+2＝4，∴y1＝，y2＝；（2）∵函數(shù)y1與y2的圖象關(guān)于y軸對稱，∴＝，∴k＝﹣1，∴y1＝﹣，y2＝．（3）當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)y1＝，y2＝（k≠0，k≠﹣2）的圖象在第一、三象限，根據(jù)題意，當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y1＝有最大值m，當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)y2＝有最小值m﹣4，∴，解得；當(dāng)k＜﹣2時(shí)，函數(shù)y1＝，y2＝（k≠0，k≠﹣2）的圖象在第二、四象限，根據(jù)題意，當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)y1＝有最大值m，當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y2＝有最小值m﹣4，∴，解得；當(dāng)﹣2＜k＜0時(shí)，函數(shù)y1＝圖象在二、四象限，函數(shù)y2＝（k≠0，k≠﹣2）的圖象在第一、三象限，根據(jù)題意，當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)y1＝有最大值m，當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)y2＝有最小值m﹣4，∴，不合題意，故m與k的值為6、6或﹣2、﹣8．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，分類討論是解題的關(guān)鍵．22．（2021春?西湖區(qū)期末）已知反比例函數(shù)y1＝（k≠0）圖象經(jīng)過一、三象限．（1）判斷點(diǎn)P（﹣k，k）在第幾象限；（2）若點(diǎn)A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）是反比例函數(shù)y1＝圖象上的兩點(diǎn)，試比較a，b，c的大小關(guān)系；（3）設(shè)反比例函數(shù)y2＝﹣，已知n＞0，且滿足當(dāng)n≤x≤n+1時(shí)，函數(shù)y1的最大值是2n；當(dāng)n+2≤x≤n+3時(shí)，函數(shù)y2的最小值是﹣n，求x為何值時(shí)，y1﹣y2＝2．【分析】（1）由反比例函數(shù)圖象經(jīng)過一三象限確定k的取值范圍，從而判斷點(diǎn)P所在象限；（2）根據(jù)反比例函數(shù)的增減性及點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行分析判斷；（3）利用反比例函數(shù)的增減性確定函數(shù)最值時(shí)x的值，從而列方程求解．【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)y1＝（k≠0）圖象經(jīng)過一、三象限，∴k＞0，﹣k＜0，∴點(diǎn)P（﹣k，k）在第二象限；（2）∵反比例函數(shù)y1＝（k≠0）圖象經(jīng)過一、三象限，∴在每一象限內(nèi)y1隨x的增大而減小，又∵點(diǎn)A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）在反比例函數(shù)y1＝（k≠0）上，且點(diǎn)A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）位于第一象限，∴可得，解得：a＞c＞b，∴a，b，c的大小關(guān)系為：a＞c＞b；（3）∵k＞0，∴反比例函數(shù)y2＝﹣位于第二、四象限，∴在每一象限內(nèi)y2隨x的增大而增大，又∵n＞0，當(dāng)n≤x≤n+1時(shí)，函數(shù)y1的最大值是2n；當(dāng)n+2≤x≤n+3時(shí)，函數(shù)y2的最小值是﹣n，∴當(dāng)x＝n時(shí)，y1＝2n；當(dāng)x＝n+2時(shí)，y2＝﹣n，∴2n2＝n（n+2），解得：n＝0（不合題意，舍去）或n＝2，∴當(dāng)x＝n＝2時(shí)，y1＝4代入y1＝中，k＝8，∴y1＝，y2＝﹣，若y1﹣y2＝2，∴﹣（﹣）＝2，解得：x＝8，經(jīng)檢驗(yàn)x＝8是原方程的解，∴當(dāng)x＝8時(shí)，y1﹣y2＝2．【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．23．（2023春?鎮(zhèn)海區(qū)校級期中）如圖，分別過反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)P1（1，y1），P2（2，y2），…Pn（n，yn），作x軸的垂線，垂足分別為A1，A2，…An，連結(jié)A1P2，A2P3，…An﹣1Pn，再以A1P1，A1P2為一組鄰邊畫一個(gè)平行四邊形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3為一組鄰邊畫一個(gè)平行四邊形A2P2B2P3……，以此類推，則點(diǎn)B20的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得點(diǎn)P1、P2的縱坐標(biāo)，由平行四邊形對邊平行且相等的性質(zhì)求得點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為2，縱坐標(biāo)是y2+y1、B2的橫坐標(biāo)為3，縱坐標(biāo)是y3+y2、B3的橫坐標(biāo)為4，縱坐標(biāo)是y4+y3，據(jù)此可以推知點(diǎn)Bn的橫坐標(biāo)為n+1，縱坐標(biāo)是：yn+1+yn＝+＝．【解答】解：∵點(diǎn)P1（1，y1），P2（2，y2）在反比例函數(shù)圖象上，∴y1＝4，y2＝2；∴P1A1＝y(tǒng)1＝4；又∵四邊形A1P1B1P2是平行四邊形，∴P1A1＝B1P2＝4，P1A1∥B1P2，∴點(diǎn)B1的縱坐標(biāo)是：y2+y1＝+＝6，即點(diǎn)B1的坐標(biāo)是（2，6）；同理求得，點(diǎn)B2的縱坐標(biāo)是：y3+y2＝+＝；即點(diǎn)B2的坐標(biāo)是（3，）；點(diǎn)B3的縱坐標(biāo)是：y4+y3＝+＝；…點(diǎn)Bn的橫坐標(biāo)為：xn＝n+1，縱坐標(biāo)是：yn+1+yn＝+＝；∴點(diǎn)B20的坐標(biāo)是（21，）故選：D．【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的圖象．解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)求得點(diǎn)Bn的縱坐標(biāo)yn+1+yn．24．（2022春?浦江縣校級期中）若點(diǎn)（﹣2，y1）、（﹣1，y2）、（2，y3）在反比例函數(shù)的圖象上，則（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1【分析】先判斷出反比例函數(shù)的圖象所在的象限，再根據(jù)圖象在每一象限的增減性及每一象限坐標(biāo)的特點(diǎn)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：∵k＜0，∴反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大，∴點(diǎn)（﹣2，y1）、（﹣1，y2）在第二象限，y2＞y1＞0；（2，y3）在第四象限，y3＜0，∴y2＞y1＞y3．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．七．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式（共4小題）25．（2022春?永康市校級月考）點(diǎn)P（2，4）在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，則反比例函數(shù)的解析式為y＝．【分析】把點(diǎn)P（2，4）代入y＝求得k，即可得到反比例函數(shù)的解析式．【解答】解：∵點(diǎn)P（2，4）在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，∴4＝，∴k＝8，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝，故答案為：y＝．【點(diǎn)評】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法是解決問題的關(guān)鍵．26．（2022春?麗水期末）已知y是關(guān)于x的反比例函數(shù)，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝﹣2．（1）求此函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)x＝﹣4時(shí)，函數(shù)值是2m，求m的值．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式；（2）將x的值代入（1）中所求的反比例函數(shù)的解析式，并求得m的值即可．【解答】解：（1）設(shè)y＝（k≠0），則k＝xy；∵當(dāng)x＝3時(shí)，y＝﹣2，∴k＝3×（﹣2）＝﹣6，∴該反比例函數(shù)的解析式是：y＝﹣；（2）由（1）知，y＝﹣，∵x＝﹣4時(shí)，函數(shù)值是2m，∴2m＝﹣，∴m＝．【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、函數(shù)值．解答時(shí)，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，所有在反比例函數(shù)上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積應(yīng)等于比例系數(shù)．27．（2023春?鎮(zhèn)海區(qū)校級期中）如果反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，﹣2），則這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為（）A． B． C． D．【分析】設(shè)反比例函數(shù)解析式為y＝（k≠0），把點(diǎn)（4，﹣2）代入即可求得k的值．【解答】解：設(shè)反比例函數(shù)解析式為y＝（k≠0），∵函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（4，﹣2），∴k＝4×（﹣2）＝﹣8．∴反比例函數(shù)解析式為y＝﹣．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．28．（2022春?上城區(qū)期末）已知點(diǎn)A（2，a），B（b，﹣2）都在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上．（1）當(dāng)a＝3時(shí)．①求反比例函數(shù)表達(dá)式，并求出B點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)y＞6時(shí)，求x的取值范圍；（2）若一次函數(shù)y＝kx+b與x軸交于點(diǎn)（a，0），求k的值．【分析】（1）把已知條件代入點(diǎn)的坐標(biāo)，再把已知點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)代入函數(shù)解析式，確定函數(shù)解析式，再求點(diǎn)中未知的坐標(biāo)．根據(jù)函數(shù)圖象以及已知條件列不等式求x的取值范圍．（2）把已知數(shù)據(jù)代入點(diǎn)和直線解析式，確定k的值即可．【解答】解：（1）①a＝3時(shí)，點(diǎn)A（2，a）就是（2，3），代入解析式得3＝，解得k＝6，反比例函數(shù)解析式為y＝，把點(diǎn)B（b，﹣2）代入解析式得﹣2＝，解得b＝﹣3，點(diǎn)B（﹣3，﹣2）；②當(dāng)y＞6時(shí)，由反比例函數(shù)圖象可知是在第一象限部分，∴＞6，∴0＜x＜1；（2）點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)上，代入整理得，﹣a＝b，∵一次函數(shù)y＝kx+b與x軸交于點(diǎn)（a，0），代入：0＝ak+b，即：0＝ak﹣a，∵A（2，a）在反比例函數(shù)上，∴a≠0，所以0＝k﹣1，k＝1．【點(diǎn)評】考查反比例函數(shù)的性質(zhì)、圖象以及函數(shù)解析式，關(guān)鍵要熟練掌握運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，把點(diǎn)中已知坐標(biāo)數(shù)據(jù)代入解析式求未知坐標(biāo)．八．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題（共2小題）29．（2022春?鎮(zhèn)海區(qū)期末）如圖，一次函數(shù)y1＝kx+b（k≠0）與反比例函數(shù)y2＝（m≠0）的圖象交于點(diǎn)A（1，2）和B（﹣2，a），與y軸交于點(diǎn)M．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）在y軸上取一點(diǎn)N，當(dāng)△AMN的面積為3時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集．（請直接寫出答案）【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）由S△AMN＝MN?|xA|＝3且xA＝1，即可求解；（3）根據(jù)圖形可知，當(dāng)y2＝（m≠0）的圖象在一次函數(shù)y1＝kx+b（k≠0）上方的部分對應(yīng)的x的取值范圍即可．【解答】解：（1）∵y2＝過點(diǎn)A（1，2），∴m＝1×2＝2，即反比例函數(shù)：y2＝，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，a＝﹣1，即B（﹣2，﹣1），∵y1＝kx+b過A（1，2）和B（﹣2，﹣1），則，解得，∴y1＝x+1；（2）當(dāng)x＝0時(shí)，代入y＝x+1中得，y＝1，即M（0，1），∵S△AMN＝?MN?|xA|＝3且xA＝1，∴MN＝6，∴N（0，7）或（0，﹣5）；（3）由圖象可知，不等式kx+b﹣＜0的解集為x＜﹣2或0＜x＜1．【點(diǎn)評】本題考查的是反比例函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、面積的計(jì)算、數(shù)形結(jié)合思想等，有一定的綜合性，難度不大．30．（2023春?鎮(zhèn)海區(qū)校級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)圖象交于A，B兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，m）．（1）分別求出k，m的值；（2）連結(jié)OA、OB，求S△AOB的面積；（3）根據(jù)圖象，直接寫出不等式的解集．【分析】（1）由一次函數(shù)解析式求得m的值，從而求得A的坐標(biāo)，代入即可求得k的值；（2）解析式聯(lián)立成方程組，解方程組即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再根據(jù)S△AOB＝S△BOC+S△AOC可得結(jié)果；（3）根據(jù)圖象即可求得．【解答】解：（1）將（﹣2，m）代入一次函數(shù)得，m＝﹣×（﹣2）+1＝4，∴A點(diǎn)為（﹣2，4），將A點(diǎn)代入反比例函數(shù)得，k＝﹣2×4＝﹣8，∴m＝4，k＝﹣8；（2）由（1）得，反比例函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣，解得或，∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣3），設(shè)點(diǎn)C為一次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)，則C（0，1），∴S△AOB＝S△BOC+S△AOC＝＝；（3）由圖象可得：不等式的解集為x＜﹣2或0＜x＜．【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出反比例函數(shù)解析式是解題的突破口，也是解題的關(guān)鍵．九．根據(jù)實(shí)際問題列反比例函數(shù)關(guān)系式（共1小題）31．（2021?杭州二模）某氣球內(nèi)充滿了一定量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓p（kPa）是氣體體積V（m3）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．（1）求這個(gè)函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)氣體體積為1m3時(shí)，氣壓是多少？（3）當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于140kPa時(shí)，氣球?qū)⒈?，為了安全起見，氣體的體積應(yīng)不小于多少？（精確到0.01m3）【分析】（1）設(shè)出反比例函數(shù)解析式，把A坐標(biāo)代入可得函數(shù)解析式；（2）把v＝1代入（1）得到的函數(shù)解析式，可得p；（3）把P＝140代入得到V即可．【解答】解：（1）設(shè)，由題意知，所以k＝96，故；（2）當(dāng)v＝1m3時(shí)，；（3）當(dāng)p＝140kPa時(shí)，．所以為了安全起見，氣體的體積應(yīng)不少于0.69m3．【點(diǎn)評】考查反比例函數(shù)的應(yīng)用；應(yīng)熟練掌握符合反比例函數(shù)解析式的數(shù)值的意義．一十．反比例函數(shù)的應(yīng)用（共3小題）32．（2020春?慈溪市期末）某蔬菜生產(chǎn)基地在氣溫較低時(shí)，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種在自然光照且溫度為18℃的條件下生長最快的新品種．如圖是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后，大棚內(nèi)溫度y（℃）隨時(shí)間x（小時(shí)）變化的函數(shù)圖象，其中BC段是雙曲線的一部分，則當(dāng)x＝16時(shí)，大棚內(nèi)的溫度約為（）A．18℃ B．15.5℃ C．13.5℃ D．12℃【分析】利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式后將x＝16代入函數(shù)解析式求出y的值即可．【解答】解：∵點(diǎn)B（12，18）在雙曲線y＝上，∴18＝，解得：k＝216．當(dāng)x＝16時(shí)，y＝＝13.5，所以當(dāng)x＝16時(shí)，大棚內(nèi)的溫度約為13.5℃．故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，求出反比例函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．33．（2023?鹿城區(qū)一模）為預(yù)防傳染病，某校定期對教室進(jìn)行“藥熏消毒”．如圖所示，藥物燃燒階段，教室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（mg）與燃燒時(shí)間x（分）成正比例；燃燒后，y與x成反比例．若y＞1.6，則x的取值范圍是2＜x＜50．【分析】先求得反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的解析式，然后把y＞分別代入正比例和反比例函數(shù)解析式，求出相應(yīng)的x取值范圍即可．【解答】解：當(dāng)0≤x≤6時(shí)，設(shè)每立方米空氣中的含藥量y（mg）與燃燒時(shí)間x（分）的函數(shù)解析式為y＝kx，把（10，8）代入解析式得：10k＝8，解得k＝，∴每立方米空氣中的含藥量y（mg）與燃燒時(shí)間x（分）的函數(shù)解析式為y＝x，當(dāng)y＞1.6時(shí)，x＞1.6，解得x＞2；當(dāng)x＞10時(shí)，y與x的函數(shù)解析式為y＝，把（10，8）代入解析式得：m＝80，∴y與x的函數(shù)解析式為y＝，當(dāng)y＞1.6時(shí)，＞1.6，解得x＜50，∴y＞1.6x的取值范圍是2＜x＜50．故答案為：2＜x＜50．【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的應(yīng)用，現(xiàn)實(shí)生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個(gè)變量，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式．34．（2022秋?溫嶺市期末）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示．（1）求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式，并直接寫出蓄電池的電壓值（單位：v）（2）如果以此蓄電池為電源的用電器的限制電流不能超過10A，那么用電器可變電阻應(yīng)控制在什么范圍？【分析】（1）先由電流I是電阻R的反比例函數(shù)，可設(shè)I＝，將點(diǎn)（9，4）代入I＝，利用待定系數(shù)法即可求出這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；（2）將I＝10代入（1）中所求的函數(shù)解析式即可確定電阻的取值范圍．【解答】解：（1）設(shè)I＝，把（9，4）代入I＝，得k＝36，∴反比例函數(shù)的解析式為：I＝，∴即蓄電池電壓值為36V；（2）當(dāng)I＝10時(shí)，R＝3.6，由圖象可知，用電器可變電阻R不得低于3.6Ω．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確地從中整理出函數(shù)模型，并利用函數(shù)的知識解決實(shí)際問題．一十一．反比例函數(shù)綜合題（共3小題）35．（2022春?定海區(qū)校級月考）如圖，矩形AOBC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），動點(diǎn)F在邊BC上（不與B、C重合），過點(diǎn)F的反比例函數(shù)y＝的圖象與邊AC交于點(diǎn)E，直線EF分別與y軸和x軸相交于點(diǎn)D和G．給出下列命題：①若k＝4，則△OEF的面積為；②若k＝，則點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)在x軸上；③滿足題設(shè)的k的取值范圍是0＜k＜12；④若DE?EG＝，則k＝1．其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】①若k＝4，則計(jì)算S△OEF＝，故命題①正確；②如答圖所示，若k＝，可證明直線EF是線段CN的垂直平分線，故命題②正確；③因?yàn)辄c(diǎn)F不經(jīng)過點(diǎn)C（4，3），所以k≠12，即可得出k的范圍；④求出直線EF的解析式，得到點(diǎn)D、G的坐標(biāo)，然后求出線段DE、EG的長度；利用算式DE?EG＝，求出k＝1，故命題④正確．【解答】解：命題①正確．理由如下：∵k＝4，∴E（，3），F(xiàn)（4，1），∴CE＝4﹣＝，CF＝3﹣1＝2．∴S△OEF＝S矩形AOBC﹣S△AOE﹣S△BOF﹣S△CEF＝S矩形AOBC﹣OA?AE﹣OB?BF﹣CE?CF＝4×3﹣×3×﹣×4×1﹣××2＝12﹣2﹣2﹣＝，故①正確；命題②正確．理由如下：∵k＝，∴E（，3），F(xiàn)（4，），∴CE＝4﹣＝，CF＝3﹣＝．如答圖，過點(diǎn)E作EM⊥x軸于點(diǎn)M，則EM＝3，OM＝；在線段BM上取一點(diǎn)N，使得EN＝CE＝，連接NF．在Rt△EMN中，由勾股定理得：MN＝＝，∴BN＝OB﹣OM﹣MN＝4﹣﹣＝．在Rt△BFN中，由勾股定理得：NF＝＝．∴NF＝CF，又∵EN＝CE，∴直線EF為線段CN的垂直平分線，即點(diǎn)N與點(diǎn)C關(guān)于直線EF對稱，故②正確；命題③正確．理由如下：由題意，點(diǎn)F與點(diǎn)C（4，3）不重合，所以k≠4×3＝12，∴0＜k＜12，故③正確；命題④正確．理由如下：設(shè)k＝12m，則E（4m，3），F(xiàn)（4，3m）．設(shè)直線EF的解析式為y＝ax+b，則有，解得，∴y＝﹣x+3m+3．令x＝0，得y＝3m+3，∴D（0，3m+3）；令y＝0，得x＝4m+4，∴G（4m+4，0）．如答圖，過點(diǎn)E作EM⊥x軸于點(diǎn)M，則OM＝AE＝4m，EM＝3．在Rt△ADE中，AD＝OD﹣OA＝3m，AE＝4m，由勾股定理得：DE＝5m；在Rt△MEG中，MG＝OG﹣OM＝（4m+4）﹣4m＝4，EM＝3，由勾股定理得：EG＝5．∴DE?EG＝5m×5＝25m＝，解得m＝，∴k＝12m＝1，故命題④正確．綜上所述，正確的命題是：①②③④，共4個(gè)，故選：D．【點(diǎn)評】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、比例系數(shù)k的幾何意義、待定系數(shù)法、矩形及勾股定理等多個(gè)知識點(diǎn)，有一定的難度．本題計(jì)算量較大，解題過程中注意認(rèn)真計(jì)算．36．（2023?瑞安市開學(xué)）如圖，點(diǎn)A，B分別在第一，二象限的反比例函數(shù)圖象y＝（k1＞0），y＝（k2＜0）上，點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上，連結(jié)AB，OA，AC，且AC交x軸于點(diǎn)E．已知AB＝2AC，CE＝2AE，且∠AOC＝135°．若AC⊥AB，且k，則k2的值為﹣．【分析】由∠AOC＝135°，則∠AOy＝45°，故設(shè)點(diǎn)A（m，m），由平行線分線段成比例求出點(diǎn)C（0，﹣2m），利用△BMA∽△ANC得到B的坐標(biāo)，進(jìn)而求解．【解答】解：∵∠AOC＝135°，則∠AOy＝45°，故設(shè)點(diǎn)A（m，m），過點(diǎn)A作AT⊥y軸于點(diǎn)T，則OT＝m，∵OE∥AT，CE＝2AE，即CE：AE＝2，∴OC：OT＝2，故點(diǎn)C（0，﹣2m），過點(diǎn)A作MN∥y軸交過點(diǎn)B與x軸的平行線于點(diǎn)M，交過點(diǎn)C與x軸的平行線于點(diǎn)N，∵∠CAN+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，∴∠CAN＝∠ABM，∵∠BMA＝∠ANC＝90°，∴△BMA∽△ANC，∵AB＝2AC，則△BMA和△ANC的相似比為2：1，即BM＝2AN，AM＝2CN，設(shè)點(diǎn)B（s，t），則m﹣s＝2×（m+2m）且t﹣m＝2m，解得：s＝﹣5m且t＝3m，則k2＝st＝﹣15m2，而k1＝m2，∵k1+k2＝﹣，即﹣15m2+m2＝﹣，解得：m2＝，則k2＝st＝﹣15×＝﹣，故答案為：﹣．【點(diǎn)評】本題考查的是反比例函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)、平行線分線段正比例、三角形相似等，其中，正確設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)，用三角形相似確定點(diǎn)B坐標(biāo)得方法，是此類題目解題的一半方法，題目綜合性強(qiáng)，難度適中．37．（2023春?金華月考）【定義】在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形上任意一點(diǎn)與另一個(gè)圖形上任意一點(diǎn)之間的距離的最小值，稱為這兩個(gè)圖形之間的距離，即A，B分別是圖形M和圖形N上任意一點(diǎn)，當(dāng)AB的長最小時(shí)，稱這個(gè)最小值為圖形M與圖形N之間的距離．例如，如圖1，AB⊥l1，線段AB的長度稱為點(diǎn)A與直線l1之間的距離，當(dāng)l2∥l1時(shí)，線段AB的長度也是l1與l2之間的距離．【應(yīng)用】（1）如圖2，在等腰Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E．若AB＝6，AD＝4，則DE與BC之間的距離是；（2）如圖3，已知直線l3：y＝﹣x+4與雙曲線C1：y＝（x＞0）交于A（1，m）與B兩點(diǎn)，點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離是2，點(diǎn)O與雙曲線C1之間的距離是；【拓展】（3）按規(guī)定，住宅小區(qū)的外延到高速路的距離不超過80m時(shí)，需要在高速路旁修建與高速路相同走向的隔音屏障（如圖4）．有一條“東南﹣西北”走向的筆直高速路，路旁某住宅小區(qū)建筑外延呈雙曲線的形狀，它們之間的距離小于80m．現(xiàn)以高速路上某一合適位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖5所示的直角坐標(biāo)系，此時(shí)高速路所在直線l4的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x，小區(qū)外延所在雙曲線C2的函數(shù)表達(dá)式為y＝（x＞0），那么需要在高速路旁修建隔音屏障的長度是多少？【分析】（1）如圖，過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，利用等腰直角三角形性質(zhì)即可求得答案；（2）先求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)解析式，聯(lián)立方程組求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式求得AB；作FG∥AB，且FG與雙曲線y＝只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)直線FG的解析式為y＝﹣x+b，則﹣x+b＝，整理得x2﹣bx+3＝0，利用根的判別式求得b，進(jìn)而得出點(diǎn)K的坐標(biāo)，即可求得OK；（3）如圖，設(shè)點(diǎn)S（a，b）是雙曲線y＝（x＞0）上任意一點(diǎn)，且a＜b，以點(diǎn)S為圓心，80為半徑作⊙S交l4于E，過點(diǎn)S作SF⊥直線l4于F，交y軸于W，SH⊥x軸于H，SG⊥y軸于G，可得△WOF和△SWG是等腰直角三角形，故SW＝SG，WF＝OW，推出OE＝（b﹣a）+，設(shè)b﹣a＝m（m＞0），則OE＝m+≤＝40，即可求得答案．【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠B＝45°，∵DH⊥BC，∴△BDH是等腰直角三角形，∴DH＝BD，∵AB＝6，AD＝4，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣4＝2，∴DH＝×2＝；故答案為：；（2）把A（1，m）代入y＝﹣x+4中，得：m＝﹣1+4＝3，∴A（1，3），把A（1，3）代入y＝，得：3＝，∴k＝3，∴雙曲線C1的解析式為y＝，聯(lián)立，得：﹣x+4＝，即x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴B（3，1），∴AB＝＝2；如圖，作FG∥AB，且FG與雙曲線y＝只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)直線FG的解析式為y＝﹣x+b，則﹣x+b＝，整理得：x2﹣bx+3＝0，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×3＝b2﹣12＝0，∴b＝2或b＝﹣2（不符合題意，舍去），∴直線FG的解析式為y＝﹣x+2，由﹣x+2＝，解得：x1＝x2＝，∴K（，），∴OK＝＝；故答案為：2，；（3）如圖，設(shè)點(diǎn)S（a，b）是雙曲線y＝（x＞0）上任意一點(diǎn)，且a＜b，以點(diǎn)S為圓心，80為半徑作⊙S交l4于E，過點(diǎn)S作SF⊥直線l4于F，交y軸于W，SH⊥x軸于H，SG⊥y軸于G，則SG＝a，SH＝b，ab＝2400，∵直線y＝﹣x平分第二、四象限角，∴∠FOW＝45°，∵∠OFW＝∠SGW＝90°，∴∠OWF＝90°﹣45°＝45°，∴∠SWG＝∠OWF＝45°，∴△WOF和△SWG是等腰直角三角形，∴SW＝SG，WF＝OW，∴SF＝SW+WF＝SG+OW＝a+（b﹣a）＝（a+b），∵EF＝＝＝＝，∵OF＝OW＝（b﹣a），∴OE＝（b﹣a）+，設(shè)b﹣a＝m（m＞0），則OE＝m+≤＝40，∴需要在高速路旁修建隔音屏障的長度＝2OE＝2×40＝80，答：需要在高速路旁修建隔音屏障的長度是80米．【點(diǎn)評】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與直線的距離問題，新定義“圖形M與圖形N之間的距離”，等腰直角三角形性質(zhì)，兩點(diǎn)間距離公式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式等，理解新定義，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想是解題關(guān)鍵．

鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2022春·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）已知反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)經(jīng)過第一、三象限，可知，據(jù)此作答即可．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，∴，解得：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．反比例函數(shù)的（k≠0），①當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)的（k≠0）的圖象經(jīng)過一、三象限；②當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)的（k≠0）的圖象經(jīng)過二、四象限．2．（2022春·浙江杭州·八年級?？计谀τ诜幢壤瘮?shù)，下列說法不正確的是（）A．它的圖象在第二、四象限 B．點(diǎn)在它的圖象上C．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小 D．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大【答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：在反比例函數(shù)中，，∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過第二、四象限，故A選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)在函數(shù)圖象上，故B選項(xiàng)不符合題意；在每一象限內(nèi)，隨著增大而增大，故C選項(xiàng)符合題意，D選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022春·浙江金華·八年級校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)、、都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)反比例數(shù)解析式得出反比例函數(shù)圖象在第一、三象限，且在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵，∴反比例函數(shù)圖象在第一、三象限，且在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小，∵點(diǎn)、、都在反比例函數(shù)的圖象上，∴、在第三象限，在第一象限，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握反比例數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2021春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，直線l和雙曲線y=(k>0)交于A、B兩點(diǎn)，P是線段AB上的點(diǎn)(不與A、B重合)，過點(diǎn)A、B、P分別向x軸作垂線，垂足分別為C、D、E，連接OA、OB、OP，設(shè)△AOC的面積為、△BOD的面積為、△POE的面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即S＝解答即可．【詳解】解：根據(jù)雙曲線的解析式可得所以可得設(shè)OP與雙曲線的交點(diǎn)為，過作x軸的垂線，垂足為M因此而圖象可得所以故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積為，是經(jīng)常考查的一個(gè)知識點(diǎn)；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．5．（2021春·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，雙曲線與直線相交于A、兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，則經(jīng)過原點(diǎn)的直線的兩個(gè)交點(diǎn)一定關(guān)于原點(diǎn)對稱．【詳解】解：點(diǎn)A與關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象的中心對稱性，解題的關(guān)鍵是熟練掌握橫縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)．6．（2022秋·八年級?？茧A段練習(xí)）某中學(xué)要在校園內(nèi)劃出一塊面積是的矩形土地做花圃，設(shè)這個(gè)矩形相鄰兩邊長分別為和，那么關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用矩形面積求法，進(jìn)而得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．【詳解】解：某中學(xué)要在校園內(nèi)劃出一塊面積是的矩形土地做花面，設(shè)這個(gè)矩形相鄰兩邊長分別為和，關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為：，即．故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，正確掌握矩形面積求法是解題關(guān)鍵．7．（2021春·浙江杭州·八年級杭州外國語學(xué)校校考期中）如圖，關(guān)于x的函數(shù)和，它們在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)反比例函數(shù)圖象所經(jīng)過的象限判斷出k的符號；然后由k的符號判定一次函數(shù)圖象所經(jīng)過的象限，圖象一致的選項(xiàng)即為正確選項(xiàng)．【詳解】解：A、反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，則．所以一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限，且與y軸交于正半軸，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限，則．所以一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，且與y軸交于負(fù)半軸，故本選項(xiàng)正確；C、反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，則．所以一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限，且與y軸交于正半軸，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限，則．所以一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，且與y軸交于負(fù)半軸，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象特點(diǎn)：①反比例函數(shù)的圖象是雙曲線；②當(dāng)時(shí)，它的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限；③當(dāng)時(shí)，它的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限．8．（2023春·浙江寧波·八年級寧波市第七中學(xué)校聯(lián)考期中）對于反比例函數(shù)圖象的敘述正確的是（

）A．關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱 B．關(guān)于x軸對稱C．y隨x的增大而減大 D．y隨x的增大而減小【答案】A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，故選項(xiàng)A符合題意；∵，∴它的圖象在第一、三象限，∴不關(guān)于x軸對稱，故選項(xiàng)B不符合題意；∵，∴函數(shù)圖象在每一象限內(nèi)，y的值隨x值的增大而減小，此選項(xiàng)C、D都不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·浙江寧波·八年級寧波市第七中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【分析】根據(jù)正比例函數(shù)及反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)，由正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于兩點(diǎn)可知，與關(guān)于原點(diǎn)對稱，從而根據(jù)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，得到點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，再由確定圖像為正比例函數(shù)圖像在反比例函數(shù)圖像下方的部分，找出其對應(yīng)的取值范圍即可得到答案．【詳解】解：正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于兩點(diǎn)，與關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，或，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查正比例函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，涉及圖像交點(diǎn)特征、利用函數(shù)圖像交點(diǎn)求不等式解集等知識，熟練掌握正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．10．（2021春·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D，已知，為反比例函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，動點(diǎn)在x軸正半軸上運(yùn)動，當(dāng)線段與線段之差達(dá)到最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】當(dāng)三點(diǎn)一線時(shí)，線段與線段之差達(dá)到最大，確定直線的解析式，與x軸的交點(diǎn)就是所求．【詳解】∵，為反比例函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴，當(dāng)三點(diǎn)一線時(shí)，線段與線段之差達(dá)到最大，∴，解得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的解析式，最值，熟練掌握待定系數(shù)法，清楚線段差最大值的意義是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2021春·浙江杭州·八年級期中）已知反比例函數(shù)則該反比例函數(shù)的圖象在___________象限．【答案】第二、四【分析】根據(jù)，即可求解．【詳解】解：∵反比例函數(shù)，∴該反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，故答案為：第二、四．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，在中，當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)的圖象在一、三象限，當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．12．（2022春·浙江杭州·八年級?？计谀┮阎幢壤瘮?shù)與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)則的值為______．【答案】【分析】把圖象的交點(diǎn)分別代入反比例函數(shù)與一次函數(shù)，得到和的兩個(gè)關(guān)系式，就可以求出答案．【詳解】解：把分別代入反比例函數(shù)與一次函數(shù)，得，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，交點(diǎn)坐標(biāo)就是兩個(gè)解析式組成方程組的解，關(guān)鍵是分式是化簡和整體思想的應(yīng)用．13．（2022春·浙江寧波·八年級?？计谥校┓幢壤瘮?shù)的圖象上有兩點(diǎn)，，，若，則與的大小關(guān)系為______．【答案】【分析】先判斷出函數(shù)圖象在二、四象限，再根據(jù)，可判斷出、兩點(diǎn)所在的象限，根據(jù)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)即可判斷出與的大小關(guān)系．【詳解】解：反比例函數(shù)中，此函數(shù)圖象在二、四象限，，在第二象限；點(diǎn)在第四象限，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，先根據(jù)判斷出該函數(shù)圖象所在象限是解答此題的關(guān)鍵．14．（2022春·浙江寧波·八年級校考期中）如圖，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過作的垂線交雙曲線于點(diǎn)，若，則的值為______．【答案】【分析】延長交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)題意可得和均為等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，，進(jìn)而可得到，結(jié)合，可得，所以點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之積為，即得的值．【詳解】解：延長交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，，，和均為等腰直角三角形，，，，．，，整理得，，即，，，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，熟練掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．15．（2022春·浙江寧波·八年級?？计谥校┓幢壤瘮?shù)，點(diǎn)A，是反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為______．【答案】【分析】作直線，根據(jù)A的坐標(biāo)為，可求出反比例函數(shù)解析式，從而可求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為，求出直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)后，即可由．【詳解】解：如圖，作直線，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，，解得：，反比例函數(shù)解析式為．點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，．設(shè)直線AB的解析式為，則，解得：，直線解析式為，對于，令，則，解得：．∴，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題以及三角形的面積．解本題的關(guān)鍵是求得交點(diǎn)坐標(biāo)．16．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于A、C兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作軸交反比例函的圖象于點(diǎn)E，連結(jié)，點(diǎn)B為y軸上一點(diǎn)，滿足，且恰好平行于x軸．若，則k的值為________．【答案】6【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得，即點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是點(diǎn)A橫坐標(biāo)的2倍，可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由點(diǎn)A、點(diǎn)C的縱坐標(biāo)得出，進(jìn)而利用全等三角形得出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，再利用三角形的面積可得k的值．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作軸，交于點(diǎn)F，垂足為M，過點(diǎn)C作軸，垂足為N，∵，∴，由于點(diǎn)A、點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，可設(shè)點(diǎn)，即，，∴，∴點(diǎn)，即，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，又∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)的圖象上，∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為，即，∵，即，∴，∴，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，以及一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示線段的長是解決問題的關(guān)鍵．17．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，雙曲線經(jīng)過等腰的兩頂點(diǎn)、，已知，//x軸交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，且，則的值______．【答案】【分析】設(shè)，由題意可知,，利用勾股定理得到，求出m的值，進(jìn)一步可得k的值．【詳解】解：設(shè)，則，∴，即，∴，，，解得：舍去，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理的應(yīng)用，表示出A、C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．18．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線交坐標(biāo)軸于、兩點(diǎn)，函數(shù)的圖象為曲線．（1）若曲線與直線有唯一的公共點(diǎn)，則______；（2）若曲線使得線段上的整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，且不包括點(diǎn)、）分布在它的兩側(cè)，每側(cè)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，則的取值范圍為______．【答案】【分析】（1）由曲線與直線有唯一的公共點(diǎn)，可得只有一組解，從而得有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，利用一元二次方程根的判別式即可求解；（2）先求得線段上的整點(diǎn)，由曲線使得線段上的整點(diǎn)橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，且不包括點(diǎn)、分布在它的兩側(cè)，每側(cè)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，則曲線經(jīng)過和之間即可求解．【詳解】解：（1）由題意得：只有一組解，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，，解得：，故答案為：；（2）由，得，，線段上的整數(shù)點(diǎn)共有個(gè)，分別為，，，，，，，．當(dāng)曲線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，在曲線上方個(gè)，在曲線下方個(gè)；當(dāng)曲線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，在曲線上方個(gè)，在曲線下方個(gè)；若曲線使得線段上的整點(diǎn)橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，且不包括點(diǎn)、分布在它的兩側(cè)，每側(cè)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，則曲線經(jīng)過和之間，當(dāng)曲線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)曲線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，．的取值范圍為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像及性質(zhì)，熟練掌握數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)在軸上找一點(diǎn)，為等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或或或【分析】（1）先把點(diǎn)代入求出，再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出即可；（2）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式分三種情況建立方程求出即可．【詳解】（1）解：∵直線經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴，∴，∵反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴，∴反比例函數(shù)解析式為．（2）∵反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)，∴，，，當(dāng)點(diǎn)滿足以下三種情況時(shí)，為等腰三角形：①當(dāng)時(shí)，得：，解得：，∴；②當(dāng)時(shí)，得：，解得：，，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)此時(shí)在直線上，不符合題意，舍去，∴；③當(dāng)時(shí)，得：，解得：，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，一次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)及一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，等腰三角形的定義等知識．求出反比例函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．20．（2022春·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是軸正半軸上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，連，．若，求的取值范圍．【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)解析式為(2)【分析】（1）將B點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函解析式中求出k的值，之后求出a的值，再將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求得一次函數(shù)解析式；（2）首先根據(jù)已知求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再將四邊形分