數字信號處理 序列的離散時間Fourier變換

序列的DTFT定義序列的DTFT性質*序列的DTFT的頻域抽樣序列的離散時間Fourier變換(DTFT)

序列的DTFT定義

對于某些滿足條件的非周期序列x[k]，可以表達為虛指數序列ejWk

的線性疊加

不同的序列x[k]對應不同的加權系數X(ejW)，其計算表達式為:X(ejW

)是W的連續(xù)函數

X(ejW)是周期為2p的周期函數由X(ejW)的周期性，IDTFT可寫為DTFT:序列的DTFT定義例：試求序列x[k]=aku[k]的DTFT。

當|a|>1時，求和不收斂，序列的DTFT不存在。

當|a|<1時，解：DTFT的收斂性

定義X(ejW)的部分和絕對可和一致收斂能量有限均方收斂

若序列滿足絕對可和，則序列存在DTFT

若序列滿足能量有限，存在DTFT。（充分條件）例：N=10時N=60時序列不滿足絕對可和，但能量有限。序列取不同的N值時，對應的DTFT如圖所示。例：試求周期為2p的單位沖激函數的IDTFT。解：

該例說明絕對可和與平方可和只是DTFT存在的充分條件，不是必要條件。序列DTFT的性質相位譜f(W)的主值(principalvalue)區(qū)間為

-p<f(W)

p

序列的DTFTX(ejW)一般為W的復函數，可表達為幅度譜和相位譜的形式，也可表達為實部和虛部的形式。1.線性特性若則有序列DTFT的性質若則2.對稱特性序列DTFT的性質2.對稱特性當x[k]是實序列時，由于x[k]=x*[k]，所以有序列DTFT的性質小結實數對稱性實數序列的Fourier變換滿足共軛對稱性幅度是

的偶函數幅角是

的奇函數實部是

的偶函數虛部是

的奇函數例：求序列x[k]={1,2,1；k=0,1,2}的幅度譜和相位譜。p-pW解：0p2pW42.對稱特性當x[k]為實偶對稱序列時，由于x[k]=x*[-k]

，所以X(ejW)是W純虛函數,且為奇對稱當x[k]為實奇對稱序列時，由于x[k]=-x*[-k]

，所以XR(ejW)=0;序列DTFT的性質例：試求序列y[k]的DTFT。若則

序列的時域位移對應頻域的相移序列的時域相移對應頻域的頻移3.位移特性序列DTFT的性質例：已知x[k]的頻譜如圖所示，試求y[k]=x[k]cos(pk)的頻譜。解：例：已知x[k]的頻譜如圖所示，試求y[k]=x[k]cos(pk)的頻譜。解：4.卷積特性

序列時域的卷積對應頻域的乘積序列時域的乘積對應頻域的卷積序列DTFT的性質

序列時域的能量等于頻域的能量證明:5.Parseval定理*序列DTFT的性質舉例

已知序列，它的傅里葉變換，則________；_____________。2

DTFT的頻域抽樣

是周期為N的序列可否利用其樣點序列表達X(ejW)?

結論：當序列長度不超過N時,周期化后的序列和原序列一個周期內的值相同。

當序列長度超過N時，周期化后的序列會出現混疊(aliasing)。DTFT的頻域抽樣X(ejW)在頻域的離散化導致對應的時域序列x[k]的周期化.x(t)在時域的離散化導致對應的頻譜函數X(jw)的周期化.

時域抽樣定理和頻域抽樣定理為利用數字化方式分析和處理信號奠定了理論基礎。時域抽樣和頻域抽樣CTFTDTFTIDTFTIDFS例：已知有限序列x[k]={-1,-1,4,3；k=0,1,2,3}，序列x[k]的DTFT為X(ejW)。記X(ejW)在{W=2p

m/3;m=0,1,2}的取樣值為X[m]，求IDFT{X[m]}

。IDFT{X[m]}=x[k]+x[k+3]={2,-1,4;k=0,1,2}解：X(ejW)在頻域的離散化導致對應的時域序列x[k]的周期化.1.4離散系統的頻域分析

離散系統的頻率響應單頻信號通過LTI系統的響應余弦信號通過LTI系統的響應任意信號通過LTI系統的響應一般周期信號通過LTI系統的響應離散系統的穩(wěn)態(tài)響應和瞬態(tài)響應離散系統的相位延遲和群延遲理想數字濾波器離散系統的頻率響應幅度響應(magnituderesponse)

相位響應(phaseresponse)離散系統的頻率響應定義為:頻響反映了系統對激勵中各頻率分量的幅度和相位影響。單頻信號通過離散LTI系統的響應x[k]=ejWk;(-<k<)稱為單頻信號

余弦序列通過LTI系統的穩(wěn)態(tài)響應

當系統輸入為余弦序列時，則輸出為同頻率的余弦序列，其幅度受頻率響應幅度|H(ej

)|加權影響，而輸出的相位則為輸入相位與系統響應相位之和。?推導過程h[k]是實序列，故滿足共軛對稱條件：H(ej0)

的幅度偶對稱，相角奇對稱例：已知一離散LTI系統的h[k]=(0.5)ku[k]，輸入

x[k]=cos(0.5pk)，(-∞<k<∞)求系統的穩(wěn)態(tài)響應。舉例已知系統函數:如果輸入序列為：

則系統的穩(wěn)態(tài)輸出y[k]:______________任意序列通過離散LTI系統的響應由于存在所以有

線性相位系統的定義：f(W)=-k0W設輸入序列為信號通過線性相位系統的響應序列通過線性相位系統的響應一般周期序列通過離散LTI系統的響應由于存在所以有離散LTI系統的穩(wěn)態(tài)響應和瞬態(tài)響應信號x[k]=ejWku[k]通過系統的響應

系統的穩(wěn)態(tài)響應(steady-stateresponse)

系統的瞬態(tài)響應(transientresponse)

對于BIBO穩(wěn)定的系統

對于h[k]的非零范圍為0

k

N-1的FIR系統當k

N-1時，離散LTI系統的穩(wěn)態(tài)響應和瞬態(tài)響應離散系統的相位延遲和群延遲系統的相位延遲系統的群延遲tg(W)(groupdelay)輸入序列x[k]=d[k]cos(Wck)通過LTI系統的響應

理想數字濾波器理想低通濾波器理想高通濾波器理想帶通濾波器理想帶阻濾波器例:

已知輸入信號為角頻率分別為0.1和0.4的離散正弦信號。設計簡單FIR高通濾波器,濾除低頻分量，保留高頻分量。群延遲:

為了濾除低頻分量，保留高頻分量則要求解：假設該DF是一個具有如下形式的長度為3的FIR系統

h[0]=h[2]=a,h[1]=b

系統的頻率響應為解上述的方程組得：滿足要求的FIRDF的差分方程為：

y[k]=x[k]*h[k]=x[k]*(ad[k]+bd[k-1]+a