2024-2025學年初中數(shù)學九年級上冊（華師版）教案 第22章一元二次方程22.3實踐與探索（第2課時）

第22章一元二次方程22.3實踐與探索第2課時平均變化率與利潤問題教學目標1.掌握建立數(shù)學模型解決增長率與降低率問題.2.正確分析問題中的數(shù)量關系并建立一元二次方程模型.教學重難點重點：掌握建立數(shù)學模型解決增長率與降低率問題.難點：正確分析問題中的數(shù)量關系并建立一元二次方程模型.教學過程導入新課【問題1】活動1（學生交流，教師點評），則第二年種的水稻平均每公頃的產(chǎn)量為，第三年種的水稻平均每公頃的產(chǎn)量為.【答案】8000（1+x）kg8000（1+x2kg例2某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由168元降為108元，已知兩次降價的百分率相同，設每次降價的百分率為x.根據(jù)題意，列方程為.【答案】168(1-x)2＝108教師總結并引出課題：22.3實踐與探索第2課時平均變化率與利潤問題探究新知探究點一利用一元二次方程解決增長（降低）率問題【問題2】活動2（學生交流，教師點評）例3前年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，隨著生產(chǎn)技術的進步，今年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是3000元，求甲種藥品成本的年平均下降率.【探索思路】(引發(fā)學生思考)設甲種藥品成本的年平均下降率是x，則去年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000(1-x)元，如果保持這個下降率，那么今年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000(1-x)2元.【解】設甲種藥品成本的年平均下降率是x，根據(jù)題意，得5000(1-x)2＝3000，解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775.根據(jù)問題的實際意義，甲種藥品成本的年平均下降率約為22.5％.【點撥】解決“變化率問題”的關鍵步驟：找出變化前的數(shù)量、變化后的數(shù)量及相應的等量關系.【歸納】“變化率問題”的基本特征：平均變化率保持不變.若平均增長(或降低)百分率為x,增長(或降低)前的量是a,增長(或降低)n次后的量是b,則它們的數(shù)量關系可表示為a(1±x)n＝b(其中增長取“+”,降低取“-”).【即學即練】1.某商場今年2月份的營業(yè)額為400萬元，3月份的營業(yè)額比2月份增加10%，5月份的營業(yè)額達到633.6萬元.求3月份到5月份營業(yè)額的月平均增長率.【解】設3月份到5月份營業(yè)額的月平均增長率為x，根據(jù)題意，得400×(1+10%)(1+x)2＝633.6.解得x1＝0.2＝20%，x2＝-2.2(不合題意，舍去).答：3月份到5月份營業(yè)額的月平均增長率為20%.探究點二利用一元二次方程解決利潤問題基本關系：(1)利潤＝售價-進價；（2）利潤率＝100%.(3)總利潤＝單件的利潤×銷量. 【問題3】活動3（學生交流，教師點評）例4某特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100kg.后來經(jīng)過市場調查發(fā)現(xiàn)，單價每降低2元，則平均每天的銷售量可增加20kg.若該專賣店銷售這種核桃想要平均每天獲利2240元，請解答下列問題：(1)每千克核桃應降價多少元？(2)在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應按原售價的幾折出售？【探索思路】確定題中等量關系→建立方程模型→解方程解決問題.【解】（1）設每千克核桃應降價x元.根據(jù)題意，得（60-x-40）＝2240.化簡，得x2-10x+24＝0，解得x1＝4，x2＝6.故每千克核桃應降價4元或6元.（2）由（1）可知，每千克核桃可降價4元或6元，而要盡可能讓利于顧客，所以每千克核桃應降價6元.此時，每千克核桃的售價為60-6＝54（元），則54÷60×100%＝90%.故該店應按原售價的九折出售.【題后總結】(學生總結，老師點評)在應用一元二次方程解決實際問題時，要注意分析題意，抓住等量關系，列出方程，把實際問題轉化為數(shù)學問題來解決.求得方程的解之后，要注意檢驗是否符合題意，最后得到實際問題的解答.【即學即練】2.某服裝店銷售一種服裝，每件進貨價為40元，當以每件80元銷售的時候，每天可以售出50件，為了增加利潤，減少庫存，服裝店準備適當降價.據(jù)測算，該服裝每降價1元，每天可多售出2件.如果要使每天銷售該服裝獲利2052元，每件應降價多少元？【解】設每件服裝應降價x元.根據(jù)題意，得(80-40-x)(50+2x)＝2052，解得x1＝2，x2＝13.為了減少庫存，取x＝13.故每件應降價13元.課堂練習1.某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由112元降為63元.已知兩次降價的百分率相同.若設每次降價的百分率為x，則得到的方程為()A.112(1-x)2＝63 B.112(1+x)2＝63C.112(1-x)＝63 D.112(1+x)＝632.某機械廠七月份生產(chǎn)零件50萬個，第三季度生產(chǎn)零件196萬個，如果每月的增長率x相同，那么得到的方程為()A.50(1+x2)＝196B.50+50(1+x2)＝196xC.50+50(1+x)+50(1+x)2＝196D.50+50(1+x)+50(1+2x)＝1963.某市為打造“綠色城市”，積極投入資金進行河道治污與園林綠化兩項工程，已知今年投資1000萬元，預計后年投資1210萬元.若這兩年平均每年投資增長的百分率相同，求平均每年投資增長的百分率.4.某市某樓盤準備以每平方米5000元的均價對外銷售，由于有關部門關于房地產(chǎn)的新政策出臺后，部分購房者持幣觀望，房地產(chǎn)開發(fā)商為了加快資金周轉，對價格經(jīng)過兩次下調后，決定以每平方米4050元的均價開盤銷售.若兩次下調的百分率相同，求平均每次下調的百分率.5.某公司1月份的生產(chǎn)成本是400萬元，由于改進生產(chǎn)技術，生產(chǎn)成本逐月下降，3月份的生產(chǎn)成本是361萬元.假設該公司2，3，4月每個月生產(chǎn)成本的下降率都相同.求：（1）每個月生產(chǎn)成本的下降率.（2）請你預測4月份該公司的生產(chǎn)成本.6.商場某種商品的進價為每件100元，當售價定為每件150元時平均每天可銷售30件.為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施.經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件.設每件商品降價x元(x為整數(shù)).據(jù)此規(guī)律，請回答：(1)商場日銷售量增加____件，每件商品盈利________元(用含x的代數(shù)式表示)；(2)在上述條件不變、銷售正常的情況下，每件商品降價多少元時，商場日盈利可達到2100元？參考答案1.A2.C3.【解】設平均每年投資增長的百分率是x.由題意，得1000(1+x)2＝1210，解得x1＝0.1，x2＝-2.1(舍去).故平均每年投資增長的百分率為10%.4.【解】設平均每次下調的百分率為x，根據(jù)題意，得5000(1-x)2＝4050.解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合題意，舍去).答：平均每次下調的百分率為10%.5.【解】（1）設該公司每個月生產(chǎn)成本的下降率為x，根據(jù)題意，得400(1-x)2＝361.解得x1＝0.05＝5%，x2＝1.95>1（不合題意，舍去）.答：每個月生產(chǎn)成本的下降率為5%.（2）361×（1-5%）＝342.95（萬元）.答：預測4月份該公司的生產(chǎn)成本為342.95萬元.6.【解】（1）2x(50-x)(2)根據(jù)題意，得(50-x)(30+2x)＝2100.化簡，得x2-35x+300＝0，解得x1＝15，x2＝20.當x＝15時，商場日銷售量增加2×15＝30（件）；當x＝20時，商場日銷售量增加2×20＝40（件）.而30＜40，且商場為了盡快減少庫存，所以取x＝20.故在上述條件不變、銷售正常的情況下，每件商品降價20元時，商場日盈利可達到2100元.

課堂小結(學生總結，老師點評)1.平均增長率與降低率若平均增長(或降低)百分率為x,增長(或降低)前的量是a,增長(或降低)n次后的量是b,則它們的數(shù)量關系可表示為a(1±x)n＝b(其中增長取“+”,降低取“-”).2.利潤問題基本關系：(1)利潤＝售價-進價；（2）利潤率＝100%；(3)總利潤＝單件的利潤×銷量.在日常生活和社會實踐中，許多問題都可以通過建立一元二次方程模型進行求解，然后回到實際問題中進行解釋