高考高中數(shù)學(xué)-不等式歸納總結(jié)例題詳解

［全］高考高中數(shù)學(xué)?不等式歸納總結(jié)例題詳解

-:不等式的基本性質(zhì)

①（對(duì)稱性）a>bob>a；

②（傳遞性）a>/）力,>c：

③（可加性）a>/，oa+c>/7+c：

（同向可加性）a=>〃+c>〃+〃；

（異向可減性）a>0,cv〃=>a-c>b-d；

④（可積性）a>〃,c>（）=>ac>be：

a>b,c<0=>（ic<be：

⑤（同向正數(shù)可乘性）a〉〃>0?c>〃>0=>aobd；

（異向正數(shù)可除性）〃>/，>（）,Ove<4=>q>彳；

⑥（乘方法則）a>〃>0=>a”>bn（neN,WJI>1）：

⑦（開(kāi)方法則）。>b>0=>%>幅（〃￡N,且〃>1）：

⑧（倒數(shù)法則）4>/?>0=>—<1；。</?<（）=>—>—

abah

二：幾個(gè)重要的不等式

①〃+〃22皿4,（當(dāng)且僅當(dāng)。=。時(shí)取"="

號(hào)）?

2,r2

變形公式：

②（基本不等式）年之日（&beR）（當(dāng)且僅當(dāng)

a=/?時(shí)取到等號(hào)）.

I—（a+b\

變形公式：a+b>2yjab；ab<-----.

I2J

用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積最大），要

注意滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等

③（三個(gè)正數(shù)的算術(shù)一幾何平均不等式）

〃+/7+，

>^ahc(a.bfCGR)

3

（當(dāng)且僅當(dāng)a=〃=。時(shí)取到等號(hào)）；

@a24-/?2+c2>ab+be+ca（cbbeR）

（當(dāng)且僅當(dāng)a=〃=c?時(shí)取到等號(hào)）；

⑤rJ+/>3abe{a>（）,/?>（）,c>0）

（當(dāng)且僅當(dāng)a=/，=c,時(shí)取到等號(hào)）；

?若ab〉0,則2+且22（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）；

ab

若ah<0,則2+—2（當(dāng)僅當(dāng)e。時(shí)取等號(hào)）：

ab

bb+mia

⑦一<-----<1<-------<-,

a。+加/?+〃h

其中（a>〃>（）,機(jī)>（）,〃>0）；

規(guī)律：小于1同加則變大，大于1同加則變小.

⑧當(dāng)。>W},\x\>a<=>x2>a2<=>x<-a或v>a：

2

國(guó)vau>fva<z>一。<xv4

⑨絕對(duì)值三角不等式：同一同4\a土耳業(yè)|+\b\.

基本不等式是解決函數(shù)值域、最值、不等式證明、參數(shù)范圍問(wèn)題的有效

工具，在高考中經(jīng)?？疾椋袝r(shí)也會(huì)對(duì)其單獨(dú)考查.題目難度為中等偏

上.應(yīng)用時(shí)，要注意〃拆、拼、湊〃等技巧，特別要注意應(yīng)用條件，只

有具備公式應(yīng)用的三個(gè)條件時(shí)，才可應(yīng)用，否則可能會(huì)導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。

總結(jié)：知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

基本不等式成立的條件a>0,b>0

基本不等

式：等號(hào)成立的條件

當(dāng)且僅當(dāng)a=b

疝q

2時(shí)取等號(hào).

a2-b'之2ab(a,bwR).

一十7N2(a,b同號(hào)).以上不等式等

幾個(gè)重要ab

號(hào)成立的條件

的不等式

J(dbsR)均為。=/?.

—；—之(a,bwR)

2I2J

設(shè)a>0./>0,則。，方的算術(shù)平均數(shù)為

算術(shù)平均

—,幾何平均數(shù)為J茄，基本不等式可

數(shù)與幾何2

敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們

平均數(shù)

的幾何平均數(shù).

如果積孫是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)x-y時(shí)，

利用基本

入?+>有最小值2",（簡(jiǎn)記：積定和最?。?/p>

不等式求

如果x+y是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y

最值問(wèn)題

時(shí)，xy有最大值上.（簡(jiǎn)記：和定積最大）

4

題型練習(xí)

例1.（教材改編）設(shè)x>0,y>0,且x+y=18,則處

的最大值為（）

A.80B.77C.81D.82

【解析】x>0,>->0,

.??山2店，即町,”審）2=81，

2

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=9時(shí)，外取得最大值81.

故選C.

【答案】C

例2.a>0,h>()9ab—(a+b)=I,則a+b的最小

值是.

【解析】根據(jù)基本關(guān)系式帥式(—Y,

I2)

所以原式轉(zhuǎn)化為不等式(巴叱1_(〃+3>|,

設(shè)〃+Z?=r,所以『一4］一4之。，

解得壯2+2應(yīng)，

所以最小值是2+2&.

【答案】2+2近

【小結(jié)】首先利用基本不等式一定要注意“一正、二定、

三相等”,其次用基本不等式解決一些簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題

如第二題，出現(xiàn)。/"(。+))=1,求。+b的最值就保

留4+力，對(duì)他運(yùn)用基本不等式，類似的也可求決?的

最值.

91

例3.己知x,1y為正數(shù)，且x+y=2,則±+2■的最小

xy

值為（）

A.2B.A+72

C.5/2D.2-V2

【解析】211z、/21、

+—=_（x+v）?（一+一）

Xv2xv

=—（3+——+-）之一（3+2^2）=—F

2xy22

當(dāng)且僅當(dāng)x+y=2且紅二±（x>0,y>0）,

xy

即x=4—20,），=20-2時(shí)取等號(hào).故選B.

例4.（2014?重慶高考文9）若log4（3〃+4。）=log,4cib,

則的最小值是（）

A.6+26B.7+2J5

C.6+4>/5D.7+45/3

【解析】由題意，且3。+4〃>0,

所以〃>0點(diǎn)>0.

又Iog4(3a+4b)=log24ab,

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所以3a+4〃=”/，，所