第3講軌跡方程的求法(合理建立坐標(biāo)系)(原卷版+解析)

第3講軌跡方程的求法（合理建立坐標(biāo)系）考情分析求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一。求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系這類問題除了考查學(xué)生對圓錐曲線的定義，性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的掌握，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點，也是同學(xué)們的一大難點。二、經(jīng)驗分享求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法(1)直接法直接法是將圓錐曲線中動點滿足的幾何關(guān)系或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動點軌跡方程，當(dāng)所求動點的要滿足的條件簡單明確時，直接按“建系設(shè)點、列出條件、代入坐標(biāo)、整理化簡、限制說明”五個基本步驟求軌跡方程,稱之直接法.(2)定義法若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求；(3)相關(guān)點法根據(jù)相關(guān)點所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動點的軌跡方程；(4)參數(shù)法若動點的坐標(biāo)(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程；求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念三、題型分析(一)直接法直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動點軌跡方程當(dāng)所求動點的要滿足的條件簡單明確時，直接按“建系設(shè)點、列出條件、代入坐標(biāo)、整理化簡、限制說明”五個基本步驟求軌跡方程,稱之直接法.已知直角坐標(biāo)平面上點Q（2，0）和圓C：，動點M到圓C的切線長與的比等于常數(shù)（如圖），求動點M的軌跡方程，說明它表示什么曲線．【變式訓(xùn)練】【2017課標(biāo)II，理】設(shè)O為坐標(biāo)原點，動點M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足。求點P的軌跡方程；(2)設(shè)點Q在直線上，且。證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F。(二)相關(guān)點代入法據(jù)相關(guān)點所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動點的軌跡方程例2.如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程【變式訓(xùn)練1】已知曲線與直線交于兩點和，且．記曲線在點和點之間那一段與線段所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為．設(shè)點是上的任一點，且點與點和點均不重合．（1）若點是線段的中點，試求線段的中點的軌跡方程；（2）若曲線與有公共點，試求的最小值．(三)參數(shù)法參數(shù)法是指先引入一個中間變量（參數(shù)），使所求動點的橫、縱坐標(biāo)間建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去參數(shù)，得到間的直接關(guān)系式，即得到所求軌跡方程.例3設(shè)點A和B為拋物線y2=4px(p＞0)上原點以外的兩個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線【變式訓(xùn)練1】設(shè)橢圓中心為原點O，一個焦點為F（0，1），長軸和短軸的長度之比為t．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)經(jīng)過原點且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分的交點為Q，點P在該直線上，且，當(dāng)t變化時，求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形．（四)定義法定義法是指先分析、說明動點的軌跡滿足某種特殊曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等）的定義或特征，再求出該曲線的相關(guān)參量，從而得到軌跡方程.例4已知動圓過定點，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程．【變式訓(xùn)練1】在直角坐標(biāo)系中，曲線的點均在：外，且對上任意一點，到直線的距離等于該點與圓上點的距離的最小值.（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）設(shè)（）為圓外一點，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點A，B和C，D.證明：當(dāng)在直線上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值．四、遷移應(yīng)用1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點在直線上，點滿足，，點的軌跡為曲線C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）為C上動點，為C在點處的切線，求點到距離的最小值．

2．已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．設(shè)為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）當(dāng)點為直線上的定點時，求直線的方程；（Ⅲ）當(dāng)點在直線上移動時，求的最小值．3．在直角坐標(biāo)系中，曲線：與直線交與，兩點，（Ⅰ）當(dāng)時，分別求在點和處的切線方程；（Ⅱ）軸上是否存在點，使得當(dāng)變動時，總有？說明理由．4．設(shè)為坐標(biāo)原點，動點在橢圓：上，過做軸的垂線，垂足為，點滿足QUOTE．（1）求點的軌跡方程；（2）設(shè)點在直線上，且QUOTE．證明：過點且垂直于的直線過的左焦點．

5．如圖5，為坐標(biāo)原點，雙曲線和橢圓均過點，且以的兩個頂點和的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形．（Ｉ）求的方程；（Ⅱ）是否存在直線，使得與交于兩點，與只有一個公共點，且？證明你的結(jié)論．6．設(shè)圓與兩圓中的一個內(nèi)切，另一個外切．（1）求的圓心軌跡L的方程；（2）已知點M，且為上動點，求的最大值及此時點P的坐標(biāo)．第3講軌跡方程的求法（合理建立坐標(biāo)系）考情分析求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一。求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系這類問題除了考查學(xué)生對圓錐曲線的定義，性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的掌握，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點，也是同學(xué)們的一大難點。二、經(jīng)驗分享 求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法(1)直接法直接法是將圓錐曲線中動點滿足的幾何關(guān)系或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動點軌跡方程，當(dāng)所求動點的要滿足的條件簡單明確時，直接按“建系設(shè)點、列出條件、代入坐標(biāo)、整理化簡、限制說明”五個基本步驟求軌跡方程,稱之直接法.(2)定義法若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求；(3)相關(guān)點法根據(jù)相關(guān)點所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動點的軌跡方程；(4)參數(shù)法若動點的坐標(biāo)(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程；求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念三、題型分析(一)直接法直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動點軌跡方程當(dāng)所求動點的要滿足的條件簡單明確時，直接按“建系設(shè)點、列出條件、代入坐標(biāo)、整理化簡、限制說明”五個基本步驟求軌跡方程,稱之直接法.已知直角坐標(biāo)平面上點Q（2，0）和圓C：，動點M到圓C的切線長與的比等于常數(shù)（如圖），求動點M的軌跡方程，說明它表示什么曲線．【解析】：設(shè)M（x，y），直線MN切圓C于N，則有，即，．整理得，這就是動點M的軌跡方程．若，方程化為，它表示過點和x軸垂直的一條直線；若λ≠1，方程化為，它表示以為圓心，為半徑的圓．【變式訓(xùn)練】【2017課標(biāo)II，理】設(shè)O為坐標(biāo)原點，動點M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足。求點P的軌跡方程；(2)設(shè)點Q在直線上，且。證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F。因此點P的軌跡方程為。（2）由題意知。設(shè),則，。由得，又由（1）知，故。所以，即。又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線過C的左焦點F。(二)相關(guān)點代入法據(jù)相關(guān)點所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動點的軌跡方程例2.如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程【解析】設(shè)AB的中點為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0因此點R在一個圓上，而當(dāng)R在此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運動設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，因為R是PQ的中點，所以x1=,代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0整理得x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程【變式訓(xùn)練1】已知曲線與直線交于兩點和，且．記曲線在點和點之間那一段與線段所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為．設(shè)點是上的任一點，且點與點和點均不重合．（1）若點是線段的中點，試求線段的中點的軌跡方程；（2）若曲線與有公共點，試求的最小值．【解析】（1）聯(lián)立與得，則中點，設(shè)線段的中點坐標(biāo)為，則，即，又點在曲線上，∴化簡可得，又點是上的任一點，且不與點和點重合，則，即，∴中點的軌跡方程為（）．（2）曲線，即圓：，其圓心坐標(biāo)為，半徑，設(shè)圓與直線：相切于點，則有，即．過點與直線垂直的直線的方程是，即．由，解得，．當(dāng)時，．∵分別是上的點的最小和最大橫坐標(biāo)，∴切點，故．(三)參數(shù)法參數(shù)法是指先引入一個中間變量（參數(shù)），使所求動點的橫、縱坐標(biāo)間建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去參數(shù)，得到間的直接關(guān)系式，即得到所求軌跡方程.例3設(shè)點A和B為拋物線y2=4px(p＞0)上原點以外的兩個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線【解法一】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)(x≠0)直線AB的方程為x=my+a由OM⊥AB，得m=－由y2=4px及x=my+a，消去x,得y2－4pmy－4pa=0所以y1y2=－4pa,x1x2=所以，由OA⊥OB，得x1x2=－y1y2所以故x=my+4p,用m=－代入，得x2+y2－4px=0(x≠0)故動點M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點【解法二】設(shè)OA的方程為，代入y2=4px得則OB的方程為，代入y2=4px得∴AB的方程為，過定點，由OM⊥AB，得M在以O(shè)N為直徑的圓上（O點除外）故動點M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點【解法三】設(shè)M(x,y)(x≠0)，OA的方程為，代入y2=4px得則OB的方程為，代入y2=4px得由OM⊥AB，得M既在以O(shè)A為直徑的圓……①上，又在以O(shè)B為直徑的圓……②上（O點除外），+②得x2+y2－4px=0(x≠0)故動點M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點【變式訓(xùn)練1】設(shè)橢圓中心為原點O，一個焦點為F（0，1），長軸和短軸的長度之比為t．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)經(jīng)過原點且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分的交點為Q，點P在該直線上，且，當(dāng)t變化時，求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形．【解析】：（1）設(shè)所求橢圓方程為由題意得解得所以橢圓方程為．(2)設(shè)點解方程組得由和得其中t＞1．消去t，得點P軌跡方程為和．其軌跡為拋物線在直線右側(cè)的部分和拋物線在直線在側(cè)的部分．【方法】求兩曲線的交點軌跡時，可由方程直接消去參數(shù)，或者先引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系，然后消去參數(shù)來得到軌跡方程，稱之交軌法.（四)定義法定義法是指先分析、說明動點的軌跡滿足某種特殊曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等）的定義或特征，再求出該曲線的相關(guān)參量，從而得到軌跡方程.例4已知動圓過定點，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程．【解析】：如圖所示，設(shè)動圓和定圓內(nèi)切于點．動點到兩定點，即定點和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即．∴點的軌跡是以，為兩焦點，半長軸為4，半短軸長為的橢圓的方程：．說明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程．這是求軌跡方程的一種重要思想方法．【變式訓(xùn)練1】在直角坐標(biāo)系中，曲線的點均在：外，且對上任意一點，到直線的距離等于該點與圓上點的距離的最小值.（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）設(shè)（）為圓外一點，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點A，B和C，D.證明：當(dāng)在直線上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值．【解析】（Ⅰ）【解法1】：設(shè)M的坐標(biāo)為，由已知得，易知圓上的點位于直線的右側(cè).于是，所以.化簡得曲線的方程為．【解法2】：由題設(shè)知，曲線上任意一點M到圓心的距離等于它到直線的距離，因此，曲線是以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，故其方程為．（Ⅱ）當(dāng)點P在直線上運動時，P的坐標(biāo)為，又，則過P且與圓相切的直線的斜率存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個交點，切線方程為.于是整理得①設(shè)過P所作的兩條切線的斜率分別為，則是方程①的兩個實根，故②由得③設(shè)四點A,B,C,D的縱坐標(biāo)分別為，則是方程③的兩個實根，所以④同理可得⑤于是由②，④，⑤三式得.所以，當(dāng)P在直線上運動時，四點的縱坐標(biāo)之積為定值6400．四、遷移應(yīng)用1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點在直線上，點滿足，，點的軌跡為曲線C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）為C上動點，為C在點處的切線，求點到距離的最小值．【解析】（Ⅰ）設(shè)，由已知得，．所以=，=(0，)，=(，-2).再由題意可知（+）?

=0，即（，）?

(，－2)=0．所以曲線C的方程式為．（Ⅱ）設(shè)為曲線C：上一點，因為，所以的斜率為，因此直線的方程為，即．則點到的距離．又，所以當(dāng)=0時取等號，所以點到距離的最小值為2．2．已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．設(shè)為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）當(dāng)點為直線上的定點時，求直線的方程；（Ⅲ）當(dāng)點在直線上移動時，求的最小值．【解析】（Ⅰ）依題意，解得（負(fù)根舍去）拋物線的方程為．（Ⅱ）設(shè)點,，，由,即得．∴拋物線在點處的切線的方程為，即．∵，∴．∵點在切線上,∴.①同理，.②綜合①、②得，點的坐標(biāo)都滿足方程.∵經(jīng)過兩點的直線是唯一的，∴直線的方程為，即．（Ⅲ）由拋物線的定義可知，所以聯(lián)立，消去得，當(dāng)時，取得最小值為．3．在直角坐標(biāo)系中，曲線：與直線交與，兩點，（Ⅰ）當(dāng)時，分別求在點和處的切線方程；（Ⅱ）軸上是否存在點，使得當(dāng)變動時，總有？說明理由．【解析】（Ⅰ）由題設(shè)可得，，或，.∵，故在=處的導(dǎo)數(shù)值為，在處的切線方程為，即.故在處的導(dǎo)數(shù)值為，在處的切線方程為，即.故所求切線方程為或.（Ⅱ）存在符合題意的點，證明如下：設(shè)為符合題意的點，，，直線，的斜率分別為.將代入的方程整理得.∴.∴==.當(dāng)時，有=0，則直線的傾斜角與直線的傾斜角互補，故∠=∠，所以符合題意．4．設(shè)為坐標(biāo)原點