高考真題與模擬訓(xùn)練專題練習(xí)專題08正弦定理和余弦定理(原卷版+解析)

專題8正弦定理和余弦定理第一部分近3年高考真題一、選擇題1．（2021·全國(guó)高考真題（文））在中，已知，，，則（）A．1 B． C． D．32．（2021·全國(guó)高考真題（理））已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（）A． B． C． D．3．（2020·全國(guó)高考真題（文））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則tanB=（）A． B．2 C．4 D．84．已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的方程為（）A． B． C． D．5.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，若的面積為，則（）A． B． C． D．二、填空題6．（2020·江蘇高考真題）在△ABC中，D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長(zhǎng)度是________．7.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若，則的面積為__________.8.在中，角所對(duì)的邊分別為，，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為________．9.△的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，，則△的面積為________．三、解答題10．（2021·北京高考真題）已知在中，，．（1）求的大?。唬?）在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，并求出邊上的中線的長(zhǎng)度．①；②周長(zhǎng)為；③面積為；11．（2021·全國(guó)高考真題）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.12．（2020·北京高考真題）在中，，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．13．（2020·江蘇高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點(diǎn)D，使得，求的值．14．（2020·全國(guó)高考真題（理））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周長(zhǎng)的最大值.15.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．16.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．17.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)．（1）求A；（2）若，求sinC．18.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）設(shè)a=2，c=3，求b和的值.第二部分模擬訓(xùn)練1．設(shè)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，若直線上存在點(diǎn)Q使得，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A． B．C． D．2．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，若，，的面積為，則（）A． B． C． D．3．已知中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且的面積為，則的值為（）A． B． C． D．4．希波克拉底是古希臘醫(yī)學(xué)家，他被西方尊為“醫(yī)學(xué)之父”，除了醫(yī)學(xué)，他也研究數(shù)學(xué).特別是與“月牙形”有關(guān)的問題.如圖所示.陰影郭分的月牙形的邊緣都是圓弧，兩段圓弧分別是的外接圓和以為直徑的圓的一部分，若，，則該月牙形的面積為（）A． B． C． D．5．已知中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則___________.6．在△ABC中，三邊a，b，c所對(duì)應(yīng)的角分別是A，B，C，已知a，b，c成等比數(shù)列.若，數(shù)列滿足，前n項(xiàng)和為，__________.7．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，是銳角，且，，則的面積為______．8．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求角C的大小（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．9．設(shè)函數(shù).（1）求的最小正周期和值域；（2）在，角??的對(duì)邊長(zhǎng)分別為?，.若，，，求的面積.10．設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）已知的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，，求角的值．專題8正弦定理和余弦定理第一部分近3年高考真題一、選擇題1．（2021·全國(guó)高考真題（文））在中，已知，，，則（）A．1 B． C． D．3【答案】D【解析】設(shè)，結(jié)合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.2．（2021·全國(guó)高考真題（理））已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，由雙曲線的定義可得，所以，；因?yàn)?由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A3．（2020·全國(guó)高考真題（文））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則tanB=（）A． B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】設(shè)故選：C4．已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的方程為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．所求橢圓方程為，故選B．法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補(bǔ)，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B．5.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，若的面積為，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題可知所以由余弦定理所以故選C.二、填空題6．（2020·江蘇高考真題）在△ABC中，D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長(zhǎng)度是________．【答案】或0【解析】∵三點(diǎn)共線，∴可設(shè)，∵，∴，即，若且，則三點(diǎn)共線，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，設(shè)，，則，.∴根據(jù)余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的長(zhǎng)度為.當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)的長(zhǎng)度為，當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)，不合題意，舍去.故答案為：0或.7.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若，則的面積為__________.【答案】【解析】由余弦定理得，所以，即解得（舍去）所以，8.在中，角所對(duì)的邊分別為，，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為________．【答案】9【解析】由題意可知，,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡(jiǎn)得，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值為.9.△的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，，則△的面積為________．【答案】.【解析】因?yàn)?，結(jié)合正弦定理可得，可得，因?yàn)椋Y(jié)合余弦定理，可得，所以為銳角，且，從而求得，所以的面積為，故答案是.三、解答題10．（2021·北京高考真題）已知在中，，．（1）求的大??；（2）在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，并求出邊上的中線的長(zhǎng)度．①；②周長(zhǎng)為；③面積為；【答案】（1）；（2）答案不唯一，具體見解析．【解析】（1），則由正弦定理可得，，，，，，解得；（2）若選擇①：由正弦定理結(jié)合（1）可得，與矛盾，故這樣的不存在；若選擇②：由（1）可得，設(shè)的外接圓半徑為，則由正弦定理可得，，則周長(zhǎng)，解得，則，由余弦定理可得邊上的中線的長(zhǎng)度為：；若選擇③：由（1）可得，即，則，解得，則由余弦定理可得邊上的中線的長(zhǎng)度為：.11．（2021·全國(guó)高考真題）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由題設(shè)，，由正弦定理知：，即，∴，又，∴，得證.（2）由題意知：，∴，同理，∵，∴，整理得，又，∴，整理得，解得或，由余弦定理知：，當(dāng)時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，；綜上，.12．（2020·北京高考真題）在中，，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】選擇條件①（Ⅰ）8（Ⅱ）,；選擇條件②（Ⅰ）6（Ⅱ）,.【解析】選擇條件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：選擇條件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）13．（2020·江蘇高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點(diǎn)D，使得，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由余弦定理得，所以.由正弦定理得.（2）由于，，所以.由于，所以，所以.所以.由于，所以.所以.14．（2020·全國(guó)高考真題（理））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周長(zhǎng)的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理可得：，，，.（2）由余弦定理得：，即.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），周長(zhǎng)，周長(zhǎng)的最大值為.15.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ?，得，?所以.（2）因?yàn)?，由正弦定理，得，所?從而，即，故.因?yàn)?，所以，從?因此.16.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．【答案】(1);(2).【解析】(1)根據(jù)題意，由正弦定理得，因?yàn)椋?，消去得．，因?yàn)楣驶蛘撸鶕?jù)題意，故不成立，所以，又因?yàn)?，代入得，所?(2)因?yàn)槭卿J角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又應(yīng)用正弦定理，，由三角形面積公式有：.又因,故，故.故的取值范圍是17.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)．（1）求A；（2）若，求sinC．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）即：由正弦定理可得：（2），由正弦定理得：又，整理可得：解得：或因?yàn)樗裕?（2）法二：，由正弦定理得：又，整理可得：，即由，所以.18.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）設(shè)a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因?yàn)?，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因?yàn)閍<c，故．因此，所以，第二部分模擬訓(xùn)練1．設(shè)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，若直線上存在點(diǎn)Q使得，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，整理可得，故，在中，，則，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，則需滿足，，解得或.故選：C.2．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，若，，的面積為，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，所以，由余弦定理可得：得又由正弦定理可得：，所以，故選：A.3．已知中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且的面積為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，解得，由余弦定理：，.故選：A.4．希波克拉底是古希臘醫(yī)學(xué)家，他被西方尊為“醫(yī)學(xué)之父”，除了醫(yī)學(xué)，他也研究數(shù)學(xué).特別是與“月牙形”有關(guān)的問題.如圖所示.陰影郭分的月牙形的邊緣都是圓弧，兩段圓弧分別是的外接圓和以為直徑的圓的一部分，若，，則該月牙形的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解析由已知可得，的外接圓半徑為1.由題意，內(nèi)側(cè)圓弧為的外接圓的一部分，且其對(duì)應(yīng)的圓心角為，則弓形的面積為，外側(cè)的圓弧以為直徑，所以半圓的面積為，則月牙形的面積為.故選：A．5．已知中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則___________.【答案】(或)【解析】根據(jù)余弦定理可知，所以原式，變形為，根據(jù)正弦定理邊角互化，可知，又因?yàn)椋瑒t原式變形整理為,即，因?yàn)?，所以（或）故答案為（或?．在△ABC中，三邊a，b，c所對(duì)應(yīng)的角分別是A，B，C，已知a，b，c成等比數(shù)列.若，數(shù)列滿足，前n項(xiàng)和為，__________.【答案】【解析】，由得，，∴，又a，b，c成等比數(shù)列知不是最大邊，∴.

∴故答案為：7．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，是銳角，且，，則的面積為______．【答案】【解析】由，得，∵，∴，∴，又為三角形的內(nèi)角，∴或，又，∴，于是．由余弦定理得即，解得，故．∴.故答案為．8．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求角C的大小（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）；（