高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(新教材新高考)專題11.6離散型隨機(jī)變量的均值與方差專題練習(xí)（學(xué)生版+解析）

專題11.6離散型隨機(jī)變量的均值與方差練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）一個(gè)籃球運(yùn)動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為，已知他投籃一次得分的均值為2（不計(jì)其他得分情況），則ab的最大值為（）A． B． C． D．2．（2021·浙江·模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量的分布列如下：X123Pab2b—a則的最大值為（）A． B．3C．6 D．53．（2021·云南·峨山彝族自治縣第一中學(xué)高三月考（理））設(shè)，隨機(jī)變量的分布列如表所示，隨機(jī)變量滿足，則當(dāng)在上增大時(shí)，關(guān)于的表述，下列正確的是（）-2-10A．增大 B．減小 C．先增大后減小 D．先減小后增大4．（2021·浙江·高三期中）將2名科學(xué)家和3名航天員從左到右排成一排合影留念，用表示兩名科學(xué)家之間的航天員人數(shù)，則_______，_______．5．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，求．6.（2021·全國·高二學(xué)業(yè)考試）陽澄湖大閘蟹又名金爪蟹，產(chǎn)于江蘇省蘇州市，蟹身青殼白肚，肉質(zhì)膏膩，營養(yǎng)豐富，深受消費(fèi)者喜愛.某水產(chǎn)品超市購進(jìn)一批重量為100千克的陽澄湖大閘蟹，隨機(jī)抽取了50只統(tǒng)計(jì)其重量，得到的結(jié)果如下表所示：規(guī)格中蟹大蟹特大蟹重量/克[160，180）[180，200）[200，220）[220，240）[240，260）[260，280]數(shù)量/只32152073（1）估計(jì)該批大閘蟹有______只；（結(jié)果保留整數(shù)）；（2）某顧客從抽取的10只特大蟹中隨機(jī)購買了4只，記重量在區(qū)間[260，280]內(nèi)的大閘蟹數(shù)量為X，則______.7．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）醫(yī)學(xué)上發(fā)現(xiàn)，某種病毒侵入人體后，人的體溫會升高．記病毒侵入后人體的平均體溫為（攝氏度）．醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，X的分布列如下．X37383940P0.10.50.30.1（1）求出，；（2）已知人體體溫為時(shí)，相當(dāng)于，求，．8．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）一臺機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)一件甲等品可獲利50元，生產(chǎn)一件乙等品可獲利30元，生產(chǎn)一件次品會虧損20元，已知這臺機(jī)器生產(chǎn)甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6，0.3和0.1，求這臺機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均預(yù)期收入．9．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩臺半自動車床加工同一型號的產(chǎn)品，各生產(chǎn)1000只產(chǎn)品中次品數(shù)分別用x和y表示.經(jīng)過一段時(shí)間的觀察，發(fā)現(xiàn)x和y的頻率分布如下表，問：哪一臺車床的產(chǎn)品質(zhì)量較好？x0123P0.70.10.10.1y0123P0.50.30.2010．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若離散型隨機(jī)變量X的概率分布是，其中，求證：．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．【多選題】（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲盒中裝有3個(gè)紅球、1個(gè)黃球、乙盒中裝有1個(gè)紅球、3個(gè)黃球，同時(shí)從甲、乙兩盒中取出（）個(gè)球交換，分別記交換后甲、乙兩個(gè)盒子中紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．2．（2021·廣東·高三月考）已知某闖關(guān)游戲，第一關(guān)在兩個(gè)情境中尋寶．每位參賽選手先在兩個(gè)情境中選擇一個(gè)開始第一關(guān)，若尋寶失敗則比賽結(jié)束；若尋寶成功則進(jìn)入另一個(gè)情境，無論尋寶成功與否，第一關(guān)比賽結(jié)束．情境尋寶成功獲得經(jīng)驗(yàn)值分，否則得分；情境尋寶成功獲得經(jīng)驗(yàn)值分，否則得分．已知某玩家在情境中尋寶成功的概率為，在情境中尋寶成功的概率為，且每個(gè)情境中尋寶成功的概率與選擇初始情境的次序無關(guān)．（1）若該玩家選擇從情境開始第一關(guān)，記為經(jīng)驗(yàn)值累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使經(jīng)驗(yàn)值累計(jì)得分的期望最大，該玩家應(yīng)選擇從哪個(gè)情境開始第一關(guān)？并說明理由．3．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過血液化驗(yàn)來確定患病的動物，血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的為患病動物．下面是兩種化驗(yàn)方案：方案甲：將各動物的血液逐個(gè)化驗(yàn)，直到查出患病動物為止．方案乙：先取3只動物的血液進(jìn)行混合，然后檢查，若呈陽性，對這3只動物的血液再逐個(gè)化驗(yàn)，直到查出患病動物；若不呈陽性，則檢查剩下的2只動物中1只動物的血液．分析哪種化驗(yàn)方案更好．4．（2021·全國·模擬預(yù)測）2021年7月24日，中國選手楊倩在東京奧運(yùn)會女子10米氣步槍決賽中，為中國代表團(tuán)攬入本界奧運(yùn)會第一枚金牌.受奧運(yùn)精神的鼓舞，某射擊俱樂部組織200名射擊愛好者進(jìn)行一系列的測試，并記錄他們的射擊技能分?jǐn)?shù)（單位：分），將所得數(shù)據(jù)分成7組：，，…，，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求這200名射擊愛好者中射擊技能分?jǐn)?shù)低于60分的人數(shù)；（2）從樣本中射擊技能分?jǐn)?shù)在的射擊愛好者中采用分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步進(jìn)行射擊訓(xùn)練，記抽取的3人中射擊技能分?jǐn)?shù)不低于70分的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.5．（2021·福建省福州外國語學(xué)校高三月考）某單位組織外出參加公差的12位職工在返回崗位前先讓他們進(jìn)行體檢普查某病毒，費(fèi)用全部由單位承擔(dān)，假定這12名職工的血液中每個(gè)人都不含有病毒（結(jié)果呈陰性）的概率都為p，若對每一個(gè)人的血樣都進(jìn)行檢查，則每一個(gè)人都要耗費(fèi)比較高的一份化驗(yàn)費(fèi)，經(jīng)過合理的分析后，提出一份改進(jìn)方案：先將每一個(gè)人的血樣各取出一部分，k個(gè)人為一組混合后再化驗(yàn)，如果結(jié)果都呈陰性，則k個(gè)人同時(shí)通過，每個(gè)人平均化驗(yàn)了次，如果呈陽性再將k個(gè)人的血樣分別化驗(yàn)，以找出血樣中含病毒者，這樣每個(gè)人化驗(yàn)（1+）次.（1）當(dāng)p=時(shí)且采用改進(jìn)方案時(shí)取k=2，求此時(shí)每位職工化驗(yàn)次數(shù)X的分布列（2）當(dāng)k=3時(shí)，求采用改進(jìn)方案能達(dá)到節(jié)約化驗(yàn)費(fèi)目的，且此時(shí)滿足條件的p的取值范圍6.（2020·山西應(yīng)縣一中高二期中（理））甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司的底薪80元，每單抽成4元；乙公司無底薪，40單以內(nèi)（含40單）的部分每單抽成6元，超出40單的部分每單抽成7元，假設(shè)同一公司送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名送餐員，并分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表：甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表送餐單數(shù)3839404142天數(shù)101510105乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表送餐單數(shù)3839404142天數(shù)51010205（1）現(xiàn)從甲公司記錄的50天中隨機(jī)抽取3天，求這3天送餐單數(shù)都不小于40的概率；（2）若將頻率視為概率，回答下列兩個(gè)問題：①記乙公司送餐員日工資為（單位：元），求的分布列和數(shù)學(xué)期望；②小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識為小王作出選擇，并說明理由．7．（2021·湖南·高三月考）某單位有員工50000人，一保險(xiǎn)公司針對該單位推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只需要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險(xiǎn)公司把該單位的所有崗位分為，，三類工種，從事三類工種的人數(shù)分布比例如餅圖所示，且這三類工種每年的賠付概率如下表所示：工種類別賠付概率對于，，三類工種，職工每人每年保費(fèi)分別為元?元?元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬元?100萬元?50萬元，保險(xiǎn)公司在開展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過程中的固定支出為每年20萬元.（1）若保險(xiǎn)公司要求每年收益的期望不低于保費(fèi)的，證明：.（2）現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供單位選擇：方案一：單位不與保險(xiǎn)公司合作，職工不交保險(xiǎn)，出意外后單位自行拿出與保險(xiǎn)公司提供的等額賠償金賠付給出意外的職工，單位開展這項(xiàng)工作的固定支出為每年35萬元；方案二：單位與保險(xiǎn)公司合作，，，單位負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的，職工個(gè)人負(fù)責(zé)，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付，單位無額外專項(xiàng)開支.根據(jù)該單位總支出的差異給出選擇合適方案的建議.8．（2021·四川·成都七中高三期中（理））某企業(yè)有甲、乙兩條生產(chǎn)線，其產(chǎn)量之比為.現(xiàn)從兩條生產(chǎn)線上按分層抽樣的方法得到一個(gè)樣本，其部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表（單位：件），且每件產(chǎn)品都有各自生產(chǎn)線的標(biāo)記.產(chǎn)品件數(shù)一等品二等品總計(jì)甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線總計(jì)（1）請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)估計(jì)；大約有多大把握認(rèn)為產(chǎn)品的等級差異與生產(chǎn)線有關(guān)?（2）為進(jìn)一步了解產(chǎn)品出現(xiàn)等級差異的原因，現(xiàn)將樣本中所有二等品逐個(gè)進(jìn)行技術(shù)檢驗(yàn)（隨機(jī)抽取且不放回）.設(shè)甲生產(chǎn)線的兩個(gè)二等品恰好檢驗(yàn)完畢時(shí)，已檢驗(yàn)乙生產(chǎn)線二等品的件數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式：.9．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）假設(shè)在A軍與B軍的某次戰(zhàn)役中，A軍有8位將領(lǐng)，善用騎兵的將領(lǐng)有5人；B軍有8位將領(lǐng)，善用騎兵的將領(lǐng)有4人.（1）現(xiàn)從A軍將領(lǐng)中隨機(jī)選取4名將領(lǐng)，求至多有3名是善用騎兵的將領(lǐng)的概率；（2）在A軍和B軍的將領(lǐng)中各隨機(jī)選取2人，X為善用騎兵的將領(lǐng)的人數(shù)，寫出X的分布列，并求.10．（2021·北京通州·高三期中）某蔬菜批發(fā)商分別在甲、乙兩個(gè)市場銷售某種蔬菜（兩個(gè)市場的銷售互不影響），已知該蔬菜每售出1噸獲利500元，未售出的蔬菜降價(jià)處理，每噸虧損100元．現(xiàn)分別統(tǒng)計(jì)該蔬菜在甲、乙兩個(gè)市場以往100個(gè)周期的市場需求量，制成頻數(shù)分布條形圖如下：以市場需求量的頻率代替需求量的概率．設(shè)批發(fā)商在下個(gè)銷售周期購進(jìn)噸該蔬菜，在甲、乙兩個(gè)市場同時(shí)銷售，以（單位：噸）表示下個(gè)銷售周期兩個(gè)市場的總需求量，（單位：元）表示下個(gè)銷售周期兩個(gè)市場的銷售總利潤．（1）求變量概率分布列；（2）當(dāng)時(shí)，求與的函數(shù)解析式，并估計(jì)銷售利潤不少于8900元的概率；（3）以銷售利潤的期望作為決策的依據(jù)，判斷與應(yīng)選用哪一個(gè)．練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2020·全國高考真題（文））設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為（）A．0.01 B．0.1 C．1 D．102．（2020·全國高考真題（理））在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是（）A． B．C． D．3.（2020·浙江省高考真題）盒子里有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2個(gè)黃球，從盒中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹?設(shè)此過程中取到黃球的個(gè)數(shù)為，則_______；______．4.（2021·全國·高考真題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.5.（2021·北京·高考真題）在核酸檢測中,“k合1”混采核酸檢測是指：先將k個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測,如果這k個(gè)人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果都為陰性，檢測結(jié)束:如果這k個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時(shí)需對每人再進(jìn)行1次檢測,得到每人的檢測結(jié)果，檢測結(jié)束.現(xiàn)對100人進(jìn)行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準(zhǔn)確.（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).(II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設(shè)Y是檢測的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)6．（2020·江蘇省高考真題）甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn，恰有2個(gè)黑球的概率為pn，恰有1個(gè)黑球的概率為qn．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用n表示)．專題11.6離散型隨機(jī)變量的均值與方差練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）一個(gè)籃球運(yùn)動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為，已知他投籃一次得分的均值為2（不計(jì)其他得分情況），則ab的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題設(shè)可得，結(jié)合基本不等式即可求ab的最大值，注意等號成立條件.【詳解】由題意，得，即，∴，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號，∴ab的最大值為.故選：D2．（2021·浙江·模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量的分布列如下：X123Pab2b—a則的最大值為（）A． B．3C．6 D．5【答案】C【分析】根據(jù)概率和為1得到，再計(jì)算，得到，，計(jì)算最值得到答案.【詳解】，只需求的最大值即可，根據(jù)題意：，，，所以，當(dāng)時(shí)，其最大值為，故的最大值為．故選：C.3．（2021·云南·峨山彝族自治縣第一中學(xué)高三月考（理））設(shè)，隨機(jī)變量的分布列如表所示，隨機(jī)變量滿足，則當(dāng)在上增大時(shí)，關(guān)于的表述，下列正確的是（）-2-10A．增大 B．減小 C．先增大后減小 D．先減小后增大【答案】A【分析】由分布列的性質(zhì)求得，再求、關(guān)于的表達(dá)式，由及得到關(guān)于的二次函數(shù)，即可判斷的單調(diào)性.【詳解】由分布列的性質(zhì)：，可得，∴，，∴，又，∴在上增大時(shí)，增大.故選：A4．（2021·浙江·高三期中）將2名科學(xué)家和3名航天員從左到右排成一排合影留念，用表示兩名科學(xué)家之間的航天員人數(shù)，則_______，_______．【答案】11【分析】根據(jù)題意可得的所有可能取值為0，1，2，3，求出對應(yīng)的概率，進(jìn)而求出和，根據(jù)計(jì)算即可.【詳解】解：的所有可能取值為0，1，2，3．；；；．得，所以，所以．故答案為：1；15．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，求．【答案】【分析】利用離散型隨機(jī)變量期望及方差公式即得.【詳解】∵隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，∴，所以．6.（2021·全國·高二學(xué)業(yè)考試）陽澄湖大閘蟹又名金爪蟹，產(chǎn)于江蘇省蘇州市，蟹身青殼白肚，肉質(zhì)膏膩，營養(yǎng)豐富，深受消費(fèi)者喜愛.某水產(chǎn)品超市購進(jìn)一批重量為100千克的陽澄湖大閘蟹，隨機(jī)抽取了50只統(tǒng)計(jì)其重量，得到的結(jié)果如下表所示：規(guī)格中蟹大蟹特大蟹重量/克[160，180）[180，200）[200，220）[220，240）[240，260）[260，280]數(shù)量/只32152073（1）估計(jì)該批大閘蟹有______只；（結(jié)果保留整數(shù)）；（2）某顧客從抽取的10只特大蟹中隨機(jī)購買了4只，記重量在區(qū)間[260，280]內(nèi)的大閘蟹數(shù)量為X，則______.【答案】446【分析】（1）由頻率直方表求大閘蟹的平均重量，進(jìn)而求100千克的陽澄湖大閘蟹大概數(shù)量.（2）由題設(shè)有X的范圍是{0，1，2，3}，進(jìn)而求其分布列，根據(jù)分布列求期望即可.【詳解】7．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）醫(yī)學(xué)上發(fā)現(xiàn)，某種病毒侵入人體后，人的體溫會升高．記病毒侵入后人體的平均體溫為（攝氏度）．醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，X的分布列如下．X37383940P0.10.50.30.1（1）求出，；（2）已知人體體溫為時(shí)，相當(dāng)于，求，．【答案】（1）38.4，0.64.（2）101.12，2.0736.【分析】（1）利用期望及方差公式即求；（2）由可得,即求.（1）由題可得，.（2）由可知，，.8．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）一臺機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)一件甲等品可獲利50元，生產(chǎn)一件乙等品可獲利30元，生產(chǎn)一件次品會虧損20元，已知這臺機(jī)器生產(chǎn)甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6，0.3和0.1，求這臺機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均預(yù)期收入．【答案】37元.【分析】根據(jù)已知條件，可設(shè)這臺機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品可獲利，且得出的可能值和對應(yīng)的概率，根據(jù)離散型隨機(jī)變量直接求出數(shù)學(xué)期望，即可得出這臺機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均預(yù)期收入.【詳解】解：由題可知，一臺機(jī)器生產(chǎn)甲等品、乙等品和次品分別獲利50元，30元和-20元，這臺機(jī)器生產(chǎn)甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6，0.3和0.1，可設(shè)這臺機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品可獲利，則的可能值為50，30，-20，則，，，所以臺機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均預(yù)期收入為：（元）.9．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩臺半自動車床加工同一型號的產(chǎn)品，各生產(chǎn)1000只產(chǎn)品中次品數(shù)分別用x和y表示.經(jīng)過一段時(shí)間的觀察，發(fā)現(xiàn)x和y的頻率分布如下表，問：哪一臺車床的產(chǎn)品質(zhì)量較好？x0123P0.70.10.10.1y0123P0.50.30.20【答案】乙比甲質(zhì)量好【分析】利用數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式可得比較其大小即可得得出結(jié)論.【詳解】由表格可得：，即乙比甲質(zhì)量好.10．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若離散型隨機(jī)變量X的概率分布是，其中，求證：．【答案】詳見解析.【分析】利用離散型隨機(jī)變量X的概率分布的性質(zhì)及期望公式即得.【詳解】練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．【多選題】（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲盒中裝有3個(gè)紅球、1個(gè)黃球、乙盒中裝有1個(gè)紅球、3個(gè)黃球，同時(shí)從甲、乙兩盒中取出（）個(gè)球交換，分別記交換后甲、乙兩個(gè)盒子中紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】分別就，2，3計(jì)算概率得出數(shù)學(xué)期望，憨厚逐一分析各選項(xiàng)即可得出結(jié)論．【詳解】解：X表示交換后甲盒子中的紅球數(shù)，Y表示交換后乙盒子中的紅球數(shù)，當(dāng)時(shí)，則，，，∴，，故A正確，C正確；當(dāng)時(shí)，，，，∴，，故B正確；當(dāng)時(shí)，，，，∴，∴，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.2．（2021·廣東·高三月考）已知某闖關(guān)游戲，第一關(guān)在兩個(gè)情境中尋寶．每位參賽選手先在兩個(gè)情境中選擇一個(gè)開始第一關(guān)，若尋寶失敗則比賽結(jié)束；若尋寶成功則進(jìn)入另一個(gè)情境，無論尋寶成功與否，第一關(guān)比賽結(jié)束．情境尋寶成功獲得經(jīng)驗(yàn)值分，否則得分；情境尋寶成功獲得經(jīng)驗(yàn)值分，否則得分．已知某玩家在情境中尋寶成功的概率為，在情境中尋寶成功的概率為，且每個(gè)情境中尋寶成功的概率與選擇初始情境的次序無關(guān)．（1）若該玩家選擇從情境開始第一關(guān)，記為經(jīng)驗(yàn)值累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使經(jīng)驗(yàn)值累計(jì)得分的期望最大，該玩家應(yīng)選擇從哪個(gè)情境開始第一關(guān)？并說明理由．【答案】（1）分布列見解析；（2）應(yīng)從情境開始第一關(guān)，理由見解析.【分析】（1）確定所有可能的取值，并求出對應(yīng)的概率，從而得到分布列；（2）分別求得從兩個(gè)情境開始的得分期望值，根據(jù)大小關(guān)系可得結(jié)論.（1）由題意知：所有可能的取值為，，，；；，的分布列為：（2）由（1）得：從情境開始第一關(guān)，則；若從情境開始第一關(guān)，記為經(jīng)驗(yàn)值累計(jì)得分，則所有可能的取值為，，，；；，；，應(yīng)從情境開始第一關(guān).3．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過血液化驗(yàn)來確定患病的動物，血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的為患病動物．下面是兩種化驗(yàn)方案：方案甲：將各動物的血液逐個(gè)化驗(yàn)，直到查出患病動物為止．方案乙：先取3只動物的血液進(jìn)行混合，然后檢查，若呈陽性，對這3只動物的血液再逐個(gè)化驗(yàn)，直到查出患病動物；若不呈陽性，則檢查剩下的2只動物中1只動物的血液．分析哪種化驗(yàn)方案更好．【答案】方案乙更好.【分析】用，分別表示兩個(gè)方案所需化驗(yàn)的次數(shù)，通過比較的大小即得.【詳解】用表示方案甲所需化驗(yàn)的次數(shù)，則可取1,2,3,4，∴；用表示方案乙所需化驗(yàn)的次數(shù)，則可取2,3若，有兩種可能：先化驗(yàn)3只結(jié)果為陽性，再從中逐個(gè)化驗(yàn)時(shí)，恰好一次驗(yàn)中的概率為，先化驗(yàn)3只結(jié)果為陰性，再從其余2只中取1只化驗(yàn)的概率為，故，若，只有一種可能：先化驗(yàn)3只結(jié)果為陽性，再從中逐個(gè)化驗(yàn)時(shí)，恰好兩次驗(yàn)出時(shí)的概率為，∴，∴，故方案乙更好.4．（2021·全國·模擬預(yù)測）2021年7月24日，中國選手楊倩在東京奧運(yùn)會女子10米氣步槍決賽中，為中國代表團(tuán)攬入本界奧運(yùn)會第一枚金牌.受奧運(yùn)精神的鼓舞，某射擊俱樂部組織200名射擊愛好者進(jìn)行一系列的測試，并記錄他們的射擊技能分?jǐn)?shù)（單位：分），將所得數(shù)據(jù)分成7組：，，…，，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求這200名射擊愛好者中射擊技能分?jǐn)?shù)低于60分的人數(shù)；（2）從樣本中射擊技能分?jǐn)?shù)在的射擊愛好者中采用分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步進(jìn)行射擊訓(xùn)練，記抽取的3人中射擊技能分?jǐn)?shù)不低于70分的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：【分析】（1）先根據(jù)頻率分布直方圖得到射擊技能分?jǐn)?shù)低于60分的頻率，然后可得射擊技能分?jǐn)?shù)低于60分的人數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖及分層抽樣的知識得到抽取的8人中射擊技能分?jǐn)?shù)不低于70分的人數(shù)和射擊技能分?jǐn)?shù)低于70分的人數(shù)，然后寫出X的所有可能取值，根據(jù)超幾何分布的概率公式分別求出各個(gè)取值對應(yīng)的概率，最后可得分布列和數(shù)學(xué)期望.（1）由頻率分布直方圖可知，射擊技能分?jǐn)?shù)低于60分的頻率為，所以這200名射擊愛好者中射擊技能分?jǐn)?shù)低于60分的人數(shù)為.（2）由頻率分布直方圖可知，射擊技能分?jǐn)?shù)在，，的頻率分別為0.2，0.4，0.2，由分層抽樣的知識知抽取的8名射擊愛好者中，射擊技能分?jǐn)?shù)不低于70分的人數(shù)為，則射擊技能分?jǐn)?shù)低于70分的人數(shù)為.所以X的所有可能取值為1，2，3，；；；X的分布列為X123P所以.5．（2021·福建省福州外國語學(xué)校高三月考）某單位組織外出參加公差的12位職工在返回崗位前先讓他們進(jìn)行體檢普查某病毒，費(fèi)用全部由單位承擔(dān)，假定這12名職工的血液中每個(gè)人都不含有病毒（結(jié)果呈陰性）的概率都為p，若對每一個(gè)人的血樣都進(jìn)行檢查，則每一個(gè)人都要耗費(fèi)比較高的一份化驗(yàn)費(fèi)，經(jīng)過合理的分析后，提出一份改進(jìn)方案：先將每一個(gè)人的血樣各取出一部分，k個(gè)人為一組混合后再化驗(yàn)，如果結(jié)果都呈陰性，則k個(gè)人同時(shí)通過，每個(gè)人平均化驗(yàn)了次，如果呈陽性再將k個(gè)人的血樣分別化驗(yàn)，以找出血樣中含病毒者，這樣每個(gè)人化驗(yàn)（1+）次.（1）當(dāng)p=時(shí)且采用改進(jìn)方案時(shí)取k=2，求此時(shí)每位職工化驗(yàn)次數(shù)X的分布列（2）當(dāng)k=3時(shí)，求采用改進(jìn)方案能達(dá)到節(jié)約化驗(yàn)費(fèi)目的，且此時(shí)滿足條件的p的取值范圍【答案】（1）詳見解析（2）【分析】（1）由題意可知X的可能取值為,，分別求出對應(yīng)的概率，即得；（2）當(dāng)k=3時(shí)，設(shè)采用改進(jìn)方案檢驗(yàn)次數(shù)為Y，則Y可取1,4，可取其期望，列不等式即可解.（1）由題意可得，X的可能取值為,，則，故X的分布列為：XP（2）當(dāng)k=3時(shí)，采用改進(jìn)方案進(jìn)行檢驗(yàn)，設(shè)檢驗(yàn)的次數(shù)為Y,則Y的可能取值為1,4，，，采用改進(jìn)方案能達(dá)到節(jié)約化驗(yàn)費(fèi)目的，則，解得，故p的取值范圍為.6.（2020·山西應(yīng)縣一中高二期中（理））甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司的底薪80元，每單抽成4元；乙公司無底薪，40單以內(nèi)（含40單）的部分每單抽成6元，超出40單的部分每單抽成7元，假設(shè)同一公司送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名送餐員，并分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表：甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表送餐單數(shù)3839404142天數(shù)101510105乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表送餐單數(shù)3839404142天數(shù)51010205（1）現(xiàn)從甲公司記錄的50天中隨機(jī)抽取3天，求這3天送餐單數(shù)都不小于40的概率；（2）若將頻率視為概率，回答下列兩個(gè)問題：①記乙公司送餐員日工資為（單位：元），求的分布列和數(shù)學(xué)期望；②小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識為小王作出選擇，并說明理由．【答案】（1）.（2）見解析【解析】（1）記抽取的天送餐單數(shù)都不小于40為事件，則.（2）①設(shè)乙公司送餐員送餐單數(shù)為，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以的所有可能取值為228，234，240，247，254.故的分布列為：228234240247254所以②依題意，甲公司送餐員日平均送餐單數(shù)為所以甲公司送餐員日平均工資為元.由①得乙公司送餐員日平均工資為241.8元.因?yàn)?，故推薦小王去乙公司應(yīng)聘.7．（2021·湖南·高三月考）某單位有員工50000人，一保險(xiǎn)公司針對該單位推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只需要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險(xiǎn)公司把該單位的所有崗位分為，，三類工種，從事三類工種的人數(shù)分布比例如餅圖所示，且這三類工種每年的賠付概率如下表所示：工種類別賠付概率對于，，三類工種，職工每人每年保費(fèi)分別為元?元?元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬元?100萬元?50萬元，保險(xiǎn)公司在開展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過程中的固定支出為每年20萬元.（1）若保險(xiǎn)公司要求每年收益的期望不低于保費(fèi)的，證明：.（2）現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供單位選擇：方案一：單位不與保險(xiǎn)公司合作，職工不交保險(xiǎn)，出意外后單位自行拿出與保險(xiǎn)公司提供的等額賠償金賠付給出意外的職工，單位開展這項(xiàng)工作的固定支出為每年35萬元；方案二：單位與保險(xiǎn)公司合作，，，單位負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的，職工個(gè)人負(fù)責(zé)，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付，單位無額外專項(xiàng)開支.根據(jù)該單位總支出的差異給出選擇合適方案的建議.【答案】（1）證明見解析（2）建議單位選擇方案二【分析】（1）求得個(gè)工種對應(yīng)職工的每份保單保險(xiǎn)公司的收益的期望值，然后結(jié)合職工類別的頻率以及“每年收益的期望不低于保費(fèi)的”列不等式，由此證得.（2）分別求得兩種方案單位總支出的期望值，由此作出選擇.（1）設(shè)工種，，對應(yīng)職工的每份保單保險(xiǎn)公司的收益分別為隨機(jī)變量，，（單位：元），則，，的分布列分別為，，.所以，整理得.（2）方案一：單位不與保險(xiǎn)公司合作，則單位每年賠償金支出的期望與固定開支共為（元）.方案二：單位與保險(xiǎn)公司合作，則單位支出金額為（元）.因?yàn)?，所以建議單位選擇方案二.8．（2021·四川·成都七中高三期中（理））某企業(yè)有甲、乙兩條生產(chǎn)線，其產(chǎn)量之比為.現(xiàn)從兩條生產(chǎn)線上按分層抽樣的方法得到一個(gè)樣本，其部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表（單位：件），且每件產(chǎn)品都有各自生產(chǎn)線的標(biāo)記.產(chǎn)品件數(shù)一等品二等品總計(jì)甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線總計(jì)（1）請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)估計(jì)；大約有多大把握認(rèn)為產(chǎn)品的等級差異與生產(chǎn)線有關(guān)?（2）為進(jìn)一步了解產(chǎn)品出現(xiàn)等級差異的原因，現(xiàn)將樣本中所有二等品逐個(gè)進(jìn)行技術(shù)檢驗(yàn)（隨機(jī)抽取且不放回）.設(shè)甲生產(chǎn)線的兩個(gè)二等品恰好檢驗(yàn)完畢時(shí)，已檢驗(yàn)乙生產(chǎn)線二等品的件數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式：.【答案】（1）答案見解析；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為2.【分析】（1）分析題意完成2×2列聯(lián)表,直接套公式求出，對照參數(shù)下結(jié)論；（2）直接求出概率，寫出分布列，套公式求出數(shù)學(xué)期望.（1）由題意可得，一共抽樣50個(gè)，產(chǎn)量之比為，按分層抽樣抽取，故甲生產(chǎn)線抽取，乙生產(chǎn)線抽取，故甲生產(chǎn)線抽取一等品40-2=38，乙生產(chǎn)線抽取二等品10-7=3，填表如下：產(chǎn)品件數(shù)一等品二等品總計(jì)甲生產(chǎn)線3840乙生產(chǎn)線310總計(jì)455所以，故有97.5％把握認(rèn)為產(chǎn)品的等級差異與生產(chǎn)線有關(guān)（2）依題意得，檢驗(yàn)順序的所有可能為甲甲乙乙乙，甲乙甲乙乙，乙甲甲乙乙，甲乙乙甲乙，乙甲乙甲乙，乙乙甲甲乙，甲乙乙乙甲，乙甲乙乙甲，乙乙甲乙甲，乙乙乙甲甲，共10種可能.的所有可能取值為：0，1，2，3.故，，，，則的分布列為：0123P所以9．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）假設(shè)在A軍與B軍的某次戰(zhàn)役中，A軍有8位將領(lǐng)，善用騎兵的將領(lǐng)有5人；B軍有8位將領(lǐng)，善用騎兵的將領(lǐng)有4人.（1）現(xiàn)從A軍將領(lǐng)中隨機(jī)選取4名將領(lǐng)，求至多有3名是善用騎兵的將領(lǐng)的概率；（2）在A軍和B軍的將領(lǐng)中各隨機(jī)選取2人，X為善用騎兵的將領(lǐng)的人數(shù)，寫出X的分布列，并求.【答案】（1）（2）分布列見解析，【分析】（1）利用對立事件來求得“至多有3名是善用騎兵的將領(lǐng)的概率”.（2）結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出分布列并求得.（1）若從A軍將領(lǐng)中隨機(jī)選取4名將領(lǐng)，則有4名是善用騎兵的將領(lǐng)的概率為，故從A軍將領(lǐng)中隨機(jī)選取4名將領(lǐng)，至多有3名是善用騎兵的將領(lǐng)的概率為.（2）由題意知，則：，，，，，所以X的分布列為：X01234P.10．（2021·北京通州·高三期中）某蔬菜批發(fā)商分別在甲、乙兩個(gè)市場銷售某種蔬菜（兩個(gè)市場的銷售互不影響），已知該蔬菜每售出1噸獲利500元，未售出的蔬菜降價(jià)處理，每噸虧損100元．現(xiàn)分別統(tǒng)計(jì)該蔬菜在甲、乙兩個(gè)市場以往100個(gè)周期的市場需求量，制成頻數(shù)分布條形圖如下：以市場需求量的頻率代替需求量的概率．設(shè)批發(fā)商在下個(gè)銷售周期購進(jìn)噸該蔬菜，在甲、乙兩個(gè)市場同時(shí)銷售，以（單位：噸）表示下個(gè)銷售周期兩個(gè)市場的總需求量，（單位：元）表示下個(gè)銷售周期兩個(gè)市場的銷售總利潤．（1）求變量概率分布列；（2）當(dāng)時(shí)，求與的函數(shù)解析式，并估計(jì)銷售利潤不少于8900元的概率；（3）以銷售利潤的期望作為決策的依據(jù)，判斷與應(yīng)選用哪一個(gè)．【答案】（1）分布列見解析（2），（3）應(yīng)選【分析】（1）根據(jù)題意，列出所有可能的取值，結(jié)合頻數(shù)圖象求出相應(yīng)的概率，即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合已知數(shù)據(jù)和（1）中的分布列，即可求解；（3）根據(jù)題意，分別列出與的分布列，求出相應(yīng)的期望值，即可判斷.（1）設(shè)甲市場需求量為的概率為，乙市場需求量為的概率為，則由題意得，，；，，．設(shè)兩個(gè)市場總需求量為的概率為，則由題意得所有可能的取值為16，17，18，19，20，且，，，，．所以的分布列如下表．16171819200.060.230.350.270.09（2）由題意得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以設(shè)“銷售利潤不少于8900元”，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí),，解得．由（1）中的分布列可知，．（3）由（1）知，，.當(dāng)時(shí),的分布列為：0.06所以；當(dāng)時(shí)，的分布列為：0.060.71所以.因?yàn)椋詰?yīng)選.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2020·全國高考真題（文））設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為（）A．0.01 B．0.1 C．1 D．10【答案】C【解析】因?yàn)閿?shù)據(jù)的方差是數(shù)據(jù)的方差的倍，所以所求數(shù)據(jù)方差為故選：C2．（2020·全國高考真題（理））在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于B選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于C選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于D選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.因此，B選項(xiàng)這一組的標(biāo)準(zhǔn)差最大.故選：B.3.（2020·浙江省高考真題）盒子里有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2個(gè)黃球，從盒中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹?設(shè)此過程中取到黃球的個(gè)數(shù)為，則_______；_____