三湘名校教育聯(lián)盟2025屆數學高二上期末質量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

三湘名校教育聯(lián)盟2025屆數學高二上期末質量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在三棱錐S-ABC中，E，F(xiàn)分別為SA，BC的中點，點G在EF上，且滿足，若，，，則（）A. B.C. D.2．一質點的運動方程為（位移單位：m，時間單位：s），則該質點在時的瞬時速度為（）A.4 B.12C.15 D.213．長方體中，，，，為側面內（含邊界）的動點，且滿足，則四棱錐體積的最小值為（）A. B.C. D.4．在正方體中中，，若點P在側面（不含邊界）內運動，，且點P到底面的距離為3，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.5．已知拋物線，則拋物線的焦點到其準線的距離為（）A. B.C. D.6．已知點是拋物線上的一點,F是拋物線的焦點,則點M到F的距離等于()A.6 B.5C.4 D.27．若關于x的方程有解，則實數的取值范圍為()A. B.C. D.8．已知圓與圓相交于A、B兩點，則圓上的動點P到直線AB距離的最大值為（）A. B.C. D.9．已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1作直線l交橢圓C于M，N兩點，則的周長為（）A.3 B.4C.6 D.810．已知等邊三角形的一個頂點在橢圓E上，另兩個頂點位于E的兩個焦點處，則E的離心率為（）A. B.C. D.11．設，直線與直線平行，則（）A. B.C. D.12．等差數列的前項和，若，則A.8 B.10C.12 D.14二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在△ABC中，，AB=3，，則________14．若，滿足約束條件，則的最小值為__________15．=______.16．已知，，則以AB為直徑的圓的方程為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓C經過點，，且它的圓心C在直線上.（1）求圓C的方程；（2）過點作圓C的兩條切線，切點分別為M，N，求三角形PMN的面積.18．（12分）已知橢圓的離心率為，右焦點為F，點A（a，0），且|AF|＝1（1）求橢圓C的方程；（2）過點F的直線l（不與x軸重合）交橢圓C于點M，N，直線MA，NA分別與直線x＝4交于點P，Q，求∠PFQ的大小19．（12分）函數（1）求在上的單調區(qū)間；（2）當時，不等式恒成立，求實數a的取值范圍20．（12分）如圖，點分別在射線，上運動，且（1）求；（2）求線段的中點M的軌跡C的方程；（3）直線與，軌跡C及自上而下依次交于D，E，F(xiàn)，G四點，求證：21．（12分）如圖1，在中，，，，分別是，邊上的中點，將沿折起到的位置，使，如圖2（1）求點到平面的距離；（2）在線段上是否存在一點，使得平面與平面夾角的余弦值為．若存在，求出長；若不存在，請說明理由22．（10分）已知函數在處有極值，且其圖象經過點.（1）求的解析式；（2）求在的最值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用空間向量基本定理結合已知條件求解【詳解】因為，所以，因為E，F(xiàn)分別為SA，BC的中點，所以,故選：B2、B【解析】由瞬時變化率的定義，代入公式求解計算.【詳解】由題意，該質點在時的瞬時速度為.故選：B3、D【解析】取的中點，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，分析可知點的軌跡是以點、為焦點的橢圓，求出橢圓的方程，可知當點為橢圓與棱或的交點時，點到平面的距離取最小值，由此可求得四棱錐體積的最小值.【詳解】取的中點，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，設點，其中，，則、，因為平面，平面，則，所以，，同理可得，所以，，所以點的軌跡是以點、為焦點，且長軸長為的橢圓的一部分，則，，，所以，點的軌跡方程為，點到平面的距離為，當點為曲線與棱或棱的交點時，點到平面的距離取最小值，將代入方程得，因此，四棱錐體積的最小值為.故選：D.4、A【解析】如圖建立空間直角坐標系，先由，且點P到底面的距離為3，確定點P的位置，然后利用空間向量求解即可【詳解】如圖，以為坐標原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，所以，所以，所以，因為,所以平面，因為平面平面，點P在側面（不含邊界）內運動，，所以，因為點P到底面的距離為3，所以，所以，因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，故選：A5、D【解析】將拋物線方程化為標準方程，由此確定的值即可.【詳解】由可得拋物線標準方程為：，，拋物線的焦點到其準線的距離為.故選：D.6、B【解析】先求出,再利用焦半徑公式即可獲解.【詳解】由題意，,解得所以故選：B.7、C【解析】將對數方程化為指數方程，用x表示出a，利用基本不等式即可求a的范圍【詳解】，，當且僅當時取等號，故故選：C8、A【解析】判斷圓與的位置并求出直線AB方程，再求圓心C到直線AB距離即可計算作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，，即圓與相交，直線AB方程為：，圓的圓心，半徑，點C到直線AB距離的距離，所以圓C上的動點P到直線AB距離的最大值為.故選：A9、D【解析】由的周長為，結合橢圓的定義，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，即，如圖所示，根據橢圓的定義，可得的周長為故選：D.10、B【解析】根據已知條件求得的關系式，從而求得橢圓的離心率.【詳解】依題意可知，所以.故選：B11、C【解析】根據直線平行求解即可.【詳解】因為直線與直線平行，所以，即，經檢驗，滿足題意.故選：C12、C【解析】假設公差為,依題意可得.所以.故選C.考點：等差數列的性質.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】計算得出，可得出，再利用平面向量數量積的運算性質可求得結果.【詳解】∵，，，∴故答案為：3.14、【解析】作出線性約束條件的可行域，再利用截距的幾何意義求最小值；【詳解】約束條件的可行域，如圖所示：目標函數在點取得最小值，即.故答案為：15、【解析】根據被積函數（）表示一個半圓，利用定積分的幾何意義即可得解.【詳解】被積函數（）表示圓心為，半徑為2的圓的上半部分，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了利用定積分的幾何意義來求定積分，在用該方法求解時需注意被積函數的在給定區(qū)間內的函數值符號，本題屬于中檔題.16、【解析】求圓心及半徑即可.【詳解】由已知可得圓心坐標為，半徑為，所以圓的方程為：.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由題設知，設圓心，應用兩點距離公式列方程求參數a，進而確定圓心坐標、半徑，寫出圓C的方程；（2）利用兩點距離公式、切線的性質可得、，再應用三角形面積公式求三角形PMN的面積.【小問1詳解】由已知，可設圓心，且，從而有，解得.所以圓心，半徑.所以，圓C的方程為.【小問2詳解】連接PC，CM，CN，MN，由（1）知：圓心，半徑.所以.又PM，PN是圓C的切線，所以，，則，，所以，所以.18、（1）（2）∠PFQ＝90°【解析】（1）由題意得求出a，c，然后求解b，即可得到橢圓方程（2）當直線l的斜率不存在時，驗證，即∠PFQ＝90°．當直線l的斜率存在時，設l：y＝k（x﹣1），其中k≠0．聯(lián)立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．由題意，知Δ＞0恒成立，設M（x1，y1），N（x2，y2），利用韋達定理，結合直線MA的方程為．求出、．利用向量的數量積，轉化求解即可【小問1詳解】由題意得解得a＝2，c＝1，從而，所以橢圓C的方程為【小問2詳解】當直線l的斜率不存在時，有，，P（4，﹣3），Q（4，3），F(xiàn)（1，0），則，，故，即∠PFQ＝90°當直線l的斜率存在時，設l：y＝k（x﹣1），其中k≠0聯(lián)立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0由題意，知Δ＞0恒成立，設M（x1，y1），N（x2，y2），則，直線MA的方程為，令x＝4，得，即，同理可得所以，因為0，所以∠PFQ＝90°綜上，∠PFQ＝90°19、（1）單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為和（2）【解析】（1）求出，然后可得答案；（2）由條件可得，設，則，然后利用導數可得在上單調遞增，，然后分、兩種情況討論求解即可.【小問1詳解】由題可得令，得；令，得，所以f(x)的單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為和【小問2詳解】由，得，即設，則設，則當時，，，所以所以即在上單調遞增，則若，則，所以h(x)在上單調遞增所以h(x)≥h(0)＝0恒成立，符合題意若a＞2，則，必存在正實數，滿足：當時，，h(x)單調遞減，此時h(x)＜h(0)＝0，不符合題意綜上所述，a的取值范圍是20、（1）2（2）（3）證明見詳解【解析】（1）用兩點間的距離公式和三角形的面積公式，結合已知直接可解；（2）根據中點坐標公式，結合（1）中結論可得；（3）要證，只需證和的中點重合，直接或利用韋達定理求出中點橫坐標，證明其相等即可.【小問1詳解】記直線的傾斜角為，則，易得所以因為，所以，整理得：【小問2詳解】設點M的坐標為，則即，由（1）知，所以，即【小問3詳解】要證，只需證和的中點重合，記D，E，F(xiàn)，G的橫坐標分別為，易知直線的斜率（當時與漸近線平行或重合，此時與雙曲線最多一個交點）則解方程組，得解方程組，得將代入，得所以因為所以所以和的中點的橫坐標相等，所以和的中點重合，記其中點為N，則有，即21、（1）（2）存在，【解析】（1）根據題意分別由已知條件計算出的面積和的面積，利用求解，（2）如圖建立空間直角坐標系，設，然后求出平面與平面的法向量，利用向量平夾角公式列方程可求得結果小問1詳解】在中，，因為，分別是，邊上的中點，所以∥，，所以，所以，因為，所以平面，所以平面，因為平面，所以，所以，因為平面，平面，所以平面平面，因為，所以，因為，所以是等邊三角形，取的中點，連接，則，，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，中，，所以邊上的高為，所以，在梯形中，，設點到平面的距離為，因，所以，所以，得，所以點到平面的距離為【小問2詳解】由（1）可知平面，，所以以