專題26垂徑定理(原卷版)

專題26垂徑定理基礎(chǔ)知識回顧垂徑定理：垂直與弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩段弧。推論一：平分弦（不是直徑）的直徑垂直與這條弦，并且平分這條弦所對的兩段弧。推論二：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分這條弦所對的弧。推論三：平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦，并且平分這條弦所對的另一條弧。推論四：在同圓或者等圓中，兩條平行弦所夾的弧相等。模型的概述：在⊙O中，AB為⊙O的直徑，CD為弦，且AB⊥CD于點E,則CE=CEeq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BC))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BD))eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AC))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AD))證明（思路）：如圖，連接OC、OD，則OC=OD∵AB⊥CD∴∠OED=∠OEC=90°∴?OED≌?OEC（HL）∴CE=DE∠BOC=∠BOD∴eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BC))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BD))∵AB為⊙O的直徑∴eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(ACB))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(ADB))∴eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AC))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AD))【總結(jié)】垂徑定理及其推論實質(zhì)是指一條直線滿足：（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所對的優(yōu)?。?）平分弦所對的劣弧五個條件中的兩個，那么可推出其中三個，解題過程中應(yīng)靈活運用該定理。

【口訣】

垂徑定理五條件，一個垂直三平分；一條直線過圓心，知二明三把理明；平分弦時要謹慎，此弦不可為直徑；兩條直徑都平分，哪能啥時都垂直。

【解題技巧】見弦常作弦心距，連接半徑，構(gòu)造直角三角形用勾股定理求解?！九鄡?yōu)過關(guān)練】1．（2022年安徽省中考數(shù)學真題）已知⊙O的半徑為7，AB是⊙O的弦，點P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，則OP＝（

）A． B．4 C． D．52．（2022年四川省瀘州市中考數(shù)學真題）如圖，是的直徑，垂直于弦于點，的延長線交于點．若，，則的長是（

）A．1 B． C．2 D．43．（2022年黑龍江省牡丹江市中考數(shù)學真題）的直徑，AB是的弦，，垂足為M，，則AC的長為______．4．（2022年青海省中考數(shù)學真題）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分，如果C是中弦AB的中點，CD經(jīng)過圓心O交于點D，并且，，則的半徑長為______m．5．（2022年湖南省長沙市中考數(shù)學真題）如圖，A、B、C是上的點，，垂足為點D，且D為OC的中點，若，則BC的長為___________．6．（2022年黑龍江省省龍東地區(qū)中考數(shù)學真題）如圖，在中，AB是的弦，的半徑為3cm，C為上一點，，則AB的長為________cm．7．（2022·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足為C，OC的延長線交⊙O于點D．若∠APD是所對的圓周角，則∠APD的度數(shù)是______．8．（2022年貴州省六盤水市中考數(shù)學試題卷）牂狗江“佘月郎山，西陵晚渡”的風景描繪中有半個月亮掛在山上，月亮之上有個“齊天大圣”守護洞口的傳說．真實情況是老王山上有個月亮洞，洞頂上經(jīng)常有猴子爬來爬去，下圖是月亮洞的截面示意圖．(1)科考隊測量出月亮洞的洞寬約是28m，洞高約是12m，通過計算截面所在圓的半徑可以解釋月亮洞像半個月亮，求半徑的長（結(jié)果精確到0.1m）；(2)若，點在上，求的度數(shù)，并用數(shù)學知識解釋為什么“齊天大圣”點在洞頂上巡視時總能看清洞口的情況．9．（2022年湖北省宜昌市中考數(shù)學真題）石拱橋是我國古代人民勤勞和智慧的結(jié)晶（如圖1），隋代建造的趙州橋距今約有1400年歷史，是我國古代石拱橋的代表．如圖2是根據(jù)某石拱橋的實物圖畫出的幾何圖形，橋的主橋拱是圓弧形，表示為．橋的跨度（弧所對的弦長），設(shè)所在圓的圓心為，半徑，垂足為．拱高（弧的中點到弦的距離）．連接．(1)直接判斷與的數(shù)量關(guān)系；(2)求這座石拱橋主橋拱的半徑（精確到）．10．（2022年天津市中考數(shù)學真題）已知為的直徑，，C為上一點，連接．(1)如圖①，若C為的中點，求的大小和的長；(2)如圖②，若為的半徑，且，垂足為E，過點D作的切線，與的延長線相交于點F，求的長．11．（2022年江蘇省揚州市中考數(shù)學真題）如圖，為的弦，交于點，交過點的直線于點，且．(1)試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，求的長．12．（2022年四川省德陽市中考數(shù)學真題）如圖，是的直徑，是的弦，，垂足是點，過點作直線分別與，的延長線交于點，，且．(1)求證：是的切線；(2)如果，，①求的長；②求的面積．13．（北京市2021年中考數(shù)學真題試題）如圖，是的外接圓，是的直徑，于點．（1）求證：；（2）連接并延長，交于點，交于點，連接．若的半徑為5，，求和的長．14．（2022·山東德州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在等腰三角形中，，為底邊的中點，過點作，垂足為，以點為圓心，為半徑作圓，交于點，．(1)與的位置關(guān)系為_______；(2)求證：是的切線；(3)如圖2，連接，，，求的直徑．(結(jié)果保留小數(shù)點后一位．參考數(shù)據(jù)：)15．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，如圖，點A、B、C在圓O上，，直線，，點O在BD上．(1)