專(zhuān)題04二次函數(shù)與等腰三角形綜合

專(zhuān)題04二次函數(shù)與等腰三角形綜合（重慶專(zhuān)用）（3類(lèi)題型訓(xùn)練）（2022重慶市一中九年級(jí)下期2月月考）如圖，拋物線y=?22x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，A?3,0，C0,62，點(diǎn)(1)求拋物線的函數(shù)解析式．(2)在第一象限的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PE∥x軸交直線BD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BD交直線BD于點(diǎn)F．求23(3)在（2）的條件下，將原拋物線y=?22x2+bx+c沿著射線DB方向平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新拋物線y'，新拋物線y'與原拋物線交于點(diǎn)Q，點(diǎn)M是新拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，P，Q解題思路分析本題考查了二次函數(shù)的圖象動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，相似三角形的判定和性質(zhì)，圖象的平移問(wèn)題，等腰三角形的判定和性質(zhì)，以及求二次函數(shù)的最大值，解題的關(guān)鍵是能綜合有關(guān)代數(shù)和幾何知識(shí)進(jìn)行求解．（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式即可；（2）先根據(jù)坐標(biāo)求出OA、OB、OC和OD的長(zhǎng)度，證明△PFE∽△DOB，列比例式求出PF=33PE，從而得到23PF?PE=PE，再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，設(shè)P（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，把圖象的平移轉(zhuǎn)化為水平和左右平移，則設(shè)向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得出新拋物線解析式，再求出兩個(gè)拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再求出新拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，設(shè)M52,m解析過(guò)程詳解（1）解：∵拋物線過(guò)C（0，62），∴c=62∴y=?2∵拋物線過(guò)A?3,0∴0=?9解得b=2∴y=?2（2）解：∵拋物線過(guò)C（0，62），∴OC=62，∵OC=3OD，∴OD=22設(shè)y=?2解得x=4或3，∴B（4,0），∴OB=4，∴BD=O∵PE∥OB，∴∠PEF=∠OBD，∵∠PFE=∠BOD=90°，∴△PFE∽△DOB，∴PEPF∴PF=23設(shè)直線BD的解析式為y=kx+22∴0=4k+22∴k=?2∴y=?2∴x=?2設(shè)Px，?∴xE則Ex∴PE=x∴當(dāng)x=1時(shí)，23當(dāng)xP∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,62（3）解：存在，理由如下：∵ODOB則設(shè)原拋物線向下平移2k個(gè)單位長(zhǎng)度，向右平移2k∵原拋物線y=?22x∴2k解得k=1或1（舍去），∴原拋物線向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，新拋物線解析式為y=?2當(dāng)?解得x=2，∴y=?2∴Q2,5∵原拋物線y=?22x∴新拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1設(shè)M5∵P當(dāng)PQ=MQ時(shí)，2?12解得m=52+11∴M52,5當(dāng)PM=MQ時(shí)，52解得m=62∴M5綜上，M的坐標(biāo)是52,52?11類(lèi)型一動(dòng)點(diǎn)+等腰三角形1．如圖，已知拋物線y=?23x2+43x+2的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D．點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B運(yùn)動(dòng)，過(guò)M作（1）求點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）設(shè)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)了x（秒)時(shí)，四邊形OBPC的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍；（3）在線段BC上是否存在點(diǎn)Q，使得ΔDBQ成為以BQ為一腰的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）B(3,0)，C(0,2)；（2）S=?(x?32)2+21【分析】（1）把y=0代入y=?23x2+（2）連接OP，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x,y)，寫(xiě)出S四邊形OBPC=x+3（3）①若BQ=DQ，先算出OM，則tan∠OBC=23，即可得，②若BQ=BD=2，可以【詳解】解：（1）把y=0代入y=?2則?2去分母，得?2x二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2因式分解，得(x+1)(x?3)=0，于是得x+1=0或x?3=0，x1=?1∵點(diǎn)B在x軸的右側(cè)，∴x1∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為；(3,0)，把x=0代入y=?23x2+（2）如圖，連接OP，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x,y)，S四邊形OBPC=∵點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)上停止，∴0?x?3，∴S=?(x?（3）存在．BC=O①如圖，若BQ=DQ，∵BQ=DQ，BD=2，∴BM=1，∴OM=3?1=2，∴tan∠OBC=QM∴QM=2所以Q的坐標(biāo)為：(2，2②如圖，若BQ=BD=2，∵QM//∴△BQM∽△BCO，∴BQBC∴213∴QM=4∵BQBC∴213∴BM=6∴OM=3?6所以Q的坐標(biāo)為：(3?6綜上所述，Q的坐標(biāo)(2，23)【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)解析式的運(yùn)用，坐標(biāo)系里面積表示方法，尋找特殊三角形的條件問(wèn)題及相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)，尋找特殊三角形的條件問(wèn)題時(shí)要分類(lèi)討論．2．如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝OC＝3，頂點(diǎn)為M．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)P為線段BM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線PQ，垂足為Q，若OQ＝m，四邊形ACPQ的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出m的取值范圍；(3)探索：線段BM上是否存在點(diǎn)N，使△NMC為等腰三角形？如果存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)y=?x(2)S=?(3)（75，165），（2，2），（1+105【分析】（1）可根據(jù)OB、OC的長(zhǎng)得出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．（2）可將四邊形ACPQ分成直角三角形AOC和直角梯形CQPC兩部分來(lái)求解．先根據(jù)拋物線的解析式求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出三角形AOC直角邊OA的長(zhǎng)，據(jù)此可根據(jù)上面得出的四邊形的面積計(jì)算方法求出S與m的函數(shù)關(guān)系式．（3）先根據(jù)拋物線的解析式求出M的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出直線BM的解析式，據(jù)此可設(shè)出N點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式分別表示出CM、MN、CN的長(zhǎng)，然后分三種情況進(jìn)行討論：①CM=MN；②CM=CN；③MN=CN．根據(jù)上述三種情況即可得出符合條件的N點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）∵OB=OC=3，∴B（3，0），C（0，3）∴0＝?9+3b+c3＝c，解得∴二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x+3．（2）y=x2+2x+3=（x1）2+4，M（1，4）設(shè)直線MB的解析式為y=kx+n，則有4＝k+n0＝3k+n解得k＝?2n＝6∴直線MB的解析式為y=2x+6∵PQ⊥x軸，OQ=m，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，2m+6）S四邊形ACPQ=S△AOC+S梯形PQOC=12AO?CO+1=12×1×3+12（2m+6+3）?m=m2+92（3）設(shè)N(x,2x+6)CM=(1?0)2+(4?3)MN=(x?1)2①當(dāng)CM=NC時(shí)，x2解得x1=75此時(shí)N（75，16②當(dāng)CM=MN時(shí)，(x?1)2解得x1=1+105，x2=110此時(shí)N（1+105，42③當(dāng)CN=MN時(shí)，x2+(?2x+3)綜上所述：線段BM上存在點(diǎn)N，（（75，165），（2，2），（1+105【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)、等腰三角形的判定等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問(wèn)題的能力．考查學(xué)生分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．3．如圖，拋物線y＝ax2?43x＋c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，連結(jié)AC，已知B（﹣1，0），且拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)E是拋物線上位于x軸下方的一點(diǎn)，且S△ACE＝12S△ABC，求(3)若點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，以P、A、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)y=23x2(2)E1（3?172，1?17(3)P點(diǎn)的坐標(biāo)（0，2）或（0，13?2）或（0，?13?2【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先分別求出AC的坐標(biāo)，從而得到AB=4，OC=2，即可求出S△ABC＝4，然后求出直線AC的解析式為y=23x﹣2，如圖1，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AC于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)F（a，23a﹣2），點(diǎn)E（a，23a2?43a﹣2），其中﹣1＜a＜3，則S△ACE=1（3）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后設(shè)P（0，m），則PC2=m+22【詳解】（1）解：把B（﹣1，0），D（2，﹣2）代入y=axa+4解得a=2∴拋物線的解析式為y=2（2）解：當(dāng)y＝0時(shí)，23解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（3，0），∴AB＝4，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC＝2，∴S△ABC=1設(shè)AC的解析式為y＝kx+b，把A（3，0），C（0，﹣2）代入y＝kx+b得3k+b=0解得k=2∴直線AC的解析式為y=2如圖1，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AC于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)F（a，23a﹣2），點(diǎn)E（a，23a2∴S△ACE=12EF|xA﹣xC|=3∵S△ACE=1∴a2﹣3a＝2或﹣a2+3a＝2，解得a1=3+∴E1（3?172，1?17（3）解：在y＝ax2+bx﹣2中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2，∴C（0，﹣2），設(shè)P（0，m），則PC2=m+22①當(dāng)PA＝CA時(shí)，∴m2解得m=2或m=?2（此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，舍去），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）；②當(dāng)PC＝CA時(shí)，∴m+22解得m=?13?2∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，13?2）或（0，?③當(dāng)PC＝PA時(shí)，∴m+2解得m=5∴P3（0，54綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)（0，2）或（0，13?2）或（0，?13?2【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與圖形面積，二次函數(shù)與等腰三角形，兩點(diǎn)距離公式等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)B(4,0)(1)求拋物線的解析式；(2)將拋物線向下平移t個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在△BOC內(nèi)（包括△BOC的邊界），求t的取值范圍；(3)設(shè)點(diǎn)P是拋物線上任一點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線x=7上，△PAQ能否成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若能，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)即拋物線的解析式為：y=?x(2)若將拋物線向下平移t個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后所得的拋物線的頂點(diǎn)落在△OBC內(nèi)部（包含△OBC邊界），則154(3)△PAQ能成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(1,6)或（3，4）或P(1+23,23?6)或（【分析】（1）將點(diǎn)B及對(duì)稱(chēng)軸代入，解方程組即可確定拋物線解析式；（2）先求直線BC的解析式，再求出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，求出BC上與頂點(diǎn)橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出平移的范圍；（3）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)P在x軸上方時(shí)；②當(dāng)P點(diǎn)在x軸下方時(shí)；過(guò)點(diǎn)P作PG⊥l于G，PH⊥x軸于H，根據(jù)全等三角形的判定定理和性質(zhì)得出PH=PG，設(shè)點(diǎn)P(m,?m2+3m+4)【詳解】（1）解：將點(diǎn)B及對(duì)稱(chēng)軸代入可得：?b解得：a=?1b=3即拋物線的解析式為：y=?x（2）解：在y=?x2+3x+4中，當(dāng)x=0時(shí)，y=4由B(4,0)，C(0,4)，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0)，代入可得：4=b0=4k+b解得：k=?1b=4直線BC的解析式為：y=?x+4，y=?x2+3x+4中，當(dāng)x=∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(3當(dāng)x=32時(shí)，∴254∴若將拋物線向下平移t個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后所得的拋物線的頂點(diǎn)落在△OBC內(nèi)部（包含△OBC邊界），則154（3）（3）令直線x=7為直線l，①當(dāng)P在x軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥l于G，PH⊥x軸于H，△PAQ為等腰直角三角形，∴∠APH+∠HPQ=90°，∠GPQ+∠HPQ=90°，∴∠APH=∠GPQ，在?PAH與?PQG中，∠PHA=∠PGQ=90°∠APH=∠GPQ∴?PAH??PQG∴PH=PG，設(shè)點(diǎn)P(m,?m則PG=7?m，PH=?m∴7?m=?m解得：m1=1或即P(1,6)或（3，4）；②當(dāng)P點(diǎn)在x軸下方時(shí)，如圖所示：過(guò)點(diǎn)P作PG⊥l于G，PH⊥x軸于H，△PAQ為等腰直角三角形，∴∠APH+∠HPQ=90°，∠GPQ+∠HPQ=90°，∴∠APH=∠GPQ，在?PAH與?PQG中，∠PHA=∠PGQ=90°∠APH=∠GPQ∴?PAH??PQG∴PH=PG，設(shè)點(diǎn)P(m,?m則PG=7?m，PH=?(?m∴7?m=?(?m解得：m1=1+23當(dāng)m=1+23時(shí)，y=?當(dāng)m=1?23時(shí)，y=?即P(1+23,23?6)，或（綜上所述，△PAQ能成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P(1,6)或（3，4）或P(1+23,23?6)或（【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中等腰直角三角形的存在性問(wèn)題；此題通過(guò)作兩條互相垂直的輔助線，把等腰直角三角形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為全等三角形的問(wèn)題，繼而轉(zhuǎn)化為線段相等的問(wèn)題，是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型二平移+等腰三角形5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2＋233x＋c與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），其中A（﹣3，0），tan∠ACO＝（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)D為直線BC上方拋物線上一點(diǎn)，連接AD、BC交于點(diǎn)E，連接BD，記△BDE的面積為S1，△ABE的面積為S2，求S1（3）如圖2，將拋物線沿射線CB方向平移，點(diǎn)C平移至C′處，且OC′＝OC，動(dòng)點(diǎn)M在平移后拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，當(dāng)△C′BM為以C′B為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）y=-13x2+233x+3；（2）【分析】(1)先由銳角三角函數(shù)的定義求得C的坐標(biāo)，將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求解即可；(2)過(guò)D作DG⊥.x軸于點(diǎn)G，交BC于F，過(guò)A作AK⊥x軸交BC延長(zhǎng)線于K，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得一組比例線段,設(shè)出解析式，利用待定系數(shù)法求得解析式，然后利用配方可求得S1(3)根據(jù)OC=OC'可得C'坐標(biāo)，由平移的性質(zhì)可得平移后頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸，設(shè)M坐標(biāo)列出方程，即可得到問(wèn)題的答案．【詳解】（1）∵A(?∴AO=|?∵tan∠ACO=∴CO=3，C(0，3)將A、C的坐標(biāo)代入y=ax2∴{∴拋物線的解析式為：y=-（2）如答圖1，過(guò)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，交BC于F，過(guò)A作AK⊥x軸交BC延長(zhǎng)線于K，設(shè)直線BC解析式為：y=kx+b，由（1）得：B(33將B(33，0)，C(0，3)分別代入y=kx+b得：解得：{k=?∴直線BC的表達(dá)式為：y=?3∵A(?3，0)，故K的橫坐標(biāo)xk=-∴K(?3∴AK=4，設(shè)D(m，?13m∴DF=?1∵DG⊥x軸于點(diǎn)G，AK⊥x軸，∴AK//DG，∴ΔAKE~ΔDFE，∴DFAK將△BDE、△ABE分別看作DE、AE為底邊，則它們的高相同，∴S1∴s1∴m=332時(shí)，S（3）如答圖2，連接OC'，過(guò)C'作C'F⊥y軸于F，由拋物線的解析式y(tǒng)=?13x∵OC=3，OB=33∴tan∠BCO=OB∴∠BCO=60∵OC∴△COC'是等邊三角形，∴CCRt△CFC'中可得CF=32，∴原拋物線的平移是相當(dāng)于向右平移332個(gè)單位再向下平移32∴平移后拋物線頂點(diǎn)為(532，5∵M(jìn)在平移后拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上∴設(shè)M(5又△C'BM為以C'B為腰的等腰三角形，可分兩種情況：①C′M=C解得m=32+經(jīng)檢驗(yàn)：m=32+∴M(5②BM=C′B=3解得m=32或經(jīng)檢驗(yàn)：m=32或∴M(5綜上所述，△C'BM為以C'B為腰的等腰三角形，則M(532【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握二次函數(shù)的最值、平移性質(zhì)及構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．6．拋物線y=?12x2+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖1，點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBQ的面積最大？求出四邊形CDBQ的最大面積及此時(shí)Р點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）如圖2，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，將拋物線沿射線CB方向以每秒5個(gè)單位的速度平移t秒，平移后的拋物線的頂點(diǎn)為M′，當(dāng)△CBM'是等腰三角形時(shí)，求t【答案】（1）y=?12x2+32x+2【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）先求出B、D的坐標(biāo)，從而求出BD，然后求出直線BC的解析式為y=?12x+2，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,?12x2+3（3）拋物線沿射線CB方向以每秒5個(gè)單位的速度平移t秒，即運(yùn)動(dòng)了5t個(gè)單位，由直線BC的表達(dá)式知，此時(shí)點(diǎn)M向右平移了2t個(gè)單位向下平移了t個(gè)單位，則點(diǎn)M′(32+2t，258?t)，利用兩點(diǎn)距離公式分別求出【詳解】解：（1）將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得n=2?解得m=3∴拋物線的表達(dá)式為y=?1（2）令y=?1解得x=?1或4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0)，∵拋物線解析式為y=?1∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=?3∵D是拋物線對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(32，∴BD=4?3設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+b，∴4k+b=0b=2∴k=?1∴直線BC的解析式為y=?1設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,?12x2+32∴PQ=?∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），∴OC=2，∴S=====?=?∵?1<0，∴當(dāng)x=2時(shí)，S有最大值，S即四邊形CDBQ的面積取得最大值為132∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1)；（3）∵拋物線解析式為y=?∴拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(32，∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），∴OB=4，OC=2，∴BC=O∴當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)T從C點(diǎn)出發(fā)沿著射線CB的方向以每秒5個(gè)單位經(jīng)過(guò)t秒平移到B時(shí)，可以看作先向右平移2t個(gè)單位，再向下平移t個(gè)單位，∴當(dāng)拋物線沿射線CB方向以每秒5個(gè)單位的速度平移t秒，即運(yùn)動(dòng)了5t個(gè)單位，也可以看作點(diǎn)M向右平移了2t個(gè)單位向下平移了t∴點(diǎn)M′(32+2t由兩點(diǎn)距離公式可得：M′B同理可得，BC2=20當(dāng)M′B=BC時(shí)，則(32+2t?4)當(dāng)M′B=CM′時(shí)，(32+2t?4)當(dāng)BC=CM′時(shí)，20=(32∴當(dāng)t=13+2558或0.625或?3+2【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=12x2+bx+c與x軸相交于A6,0、B?2,0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，P為直線AD下．方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、D重合），連接PA、PD，求△APD面積的最大值及相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖3，連接AC，將直線AC沿射線DA方向平移2752個(gè)單位得到直線l，直線l與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為M，N（M在N的左側(cè)），在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)K，使△CMK是以KC為腰的等腰三角形？若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)【答案】（1）y=12x2-2x-6【分析】（1）將A6,0、B?2,0兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法即可確定；（2）先求出直線AD的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，12m2（3）結(jié)合已知得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再分CM=CK、MK=CK、MK=CM三種情況加以討論即可．【詳解】（1）∵拋物線y=12x2+bx+c∴18+6b+c=02-2b+c=0解得：b=-2∴拋物線的解析式為：y=1（2）∵y=∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，8）；設(shè)直線AD的解析式為y=kx+t，∴2k+t=∴直線AD的解析式為y=2x12，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，12過(guò)P作PM⊥x軸，交AD于N，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，2m-12），∴PN=2m-12-∴S△ADP∴當(dāng)m=4時(shí)，△APD面積的最大，最大值為4，此時(shí)P的坐標(biāo)為（4，6）；（3）設(shè)l與射線DA交于E，過(guò)E作EF⊥x軸于F，∵tan∠EAF=tan∠GAD=84∴EF=2AF,將直線AC沿射線DA方向平移275∴EA=27∴AF=13.5，EF=27，∴E(19.5,27)∵A6,0、C∴直線AC的解析式為y=x6，∴設(shè)直線MN的解析式為y=x+b，且過(guò)點(diǎn)E，∴b=7.5設(shè)直線MN的解析式為y=x+7.5，∴∴x∴M(?3,4.5),N(9,16.5)設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為（2，n），①當(dāng)CM=CK時(shí)，3解得：n=-6±∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為2，-6+②當(dāng)MK=CK時(shí)，2+3解得：n=1∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為2，③當(dāng)MK=CM時(shí)，2+3此方程無(wú)解；∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為2，-6+4612，【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣x＋c（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，直線AC與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線交于點(diǎn)D，OA＝OC．（1）求該拋物線與直線AC的解析式；（2）若點(diǎn)E是x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE、CE．求△ACE面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）將原拋物線沿射線AD方向平移22個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新拋物線：y1＝a1x2＋b1x＋c1（a≠0），新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)F，在直線AD上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、D、F為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y=12x2?x?32，y=x+1；（2）ΔACE面積的最大值為94，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,?32【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解拋物線與直線AC的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)E作EM//y，交直線AD于點(diǎn)M,交x軸于N；過(guò)點(diǎn)C作CG⊥EM于G.，用點(diǎn)E的橫坐標(biāo)t分別表示線段ME的長(zhǎng)，得出△ACE面積關(guān)于t的函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出△ACE面積的最大值及點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)及線段BD的長(zhǎng)，再按BD為腰或底邊分別求出相應(yīng)的情況下點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵y=ax2?x+c與x軸交于A(?1,0)∴{0=a+1+c∴{a=∴y=1設(shè)直線AC為：y=kx+b(k≠0)，∵A(?1,0)，∴OA=OC=1，∴{1=b∴{k=1∴y=x+1.∴拋物線的解析式為：y=12x2?x?（2）過(guò)點(diǎn)E作EM//y，交直線AD于點(diǎn)M,交x軸于N；過(guò)點(diǎn)C作CG⊥EM于G.∵∠CON=∠CGN=∠GNO=90°,∴四邊形CONG是矩形.∴CG=ON.設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為：(t,12t∴ME=(t+1)?(=?1∵S∴S===1∴S=1=?∵a=?14<0∴當(dāng)t=2時(shí)，S最大值∴12∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為：(2,?3∴當(dāng)t=2時(shí)，ΔACE面積的最大值為94，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為：(2,?（3）存在．如圖2，在直線AC上取一點(diǎn)A′，使它的橫坐標(biāo)為1，則A′（1，2），∴點(diǎn)A′可知拋物線向右、向上各平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，∵y=1∴平移后的拋物線為y=1∵原拋物線與新拋物線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，0），∴點(diǎn)B即為新拋物線與原拋物線的交點(diǎn)F．作A′K⊥x軸于點(diǎn)K，則∠AKA′=∠FKA′=90°，AK=A′K=FK=2，∴∠AA′K=∠FA′K=45°，∴∠AA′F=90°．∵{y=x+1∴{x=5y=6或∴D(5,6)．∴FD=(5?3)①當(dāng)FP1=FD∴P1②當(dāng)P2∵CD=2∴CP∴xP∴P2③當(dāng)P3∵∠∴△P∴P3∴P1∴P3∴CP∴xP∴P3④當(dāng)P4D=FD=210∴xP∴P4點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(?3,?2)，(52,72【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、求函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)、等腰三角形存在性問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，難度較大，屬于中考?jí)狠S題．9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+ca≠0交x軸于A?1,0，B4,0兩點(diǎn)，交y軸于C0,?3（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，若點(diǎn)D為線段BC下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，再過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，請(qǐng)求出DE+5（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，將拋物線y先向右平移32單位，再向下平移516個(gè)單位得到拋物線y′，點(diǎn)G的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G′，點(diǎn)Q為第四象限內(nèi)原拋物線y的對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，若以點(diǎn)Q、M、G′為頂點(diǎn)的三角形是以M【答案】（1）y=34x2?94x?3；（2）36148；（3）（32，?32+【分析】（1）利用待定系數(shù)法，即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，34x2?94x?3），則ED=?34（3）先求出G′（3，5），再通過(guò)聯(lián)立直線AC和直線BM的解析式，可得M(?12，?32)，設(shè)Q（32，d），分兩種情況：①M(fèi)【詳解】解：（1）把A?1,0，B4,0C0,?3，代入y=ax2∴二次函數(shù)解析式為：y=3（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，34∵點(diǎn)D在BC的下方，∴ED=?3∵DE⊥x軸，∴E的坐標(biāo)為（x，0），其中0＜x＜4，∴BC=32∵EF⊥CB，∴∠FBE+∠FEB=90°，又∵∠FBE+∠OCB=90°，∴∠FEB=∠OCB，又∵∠EFB=∠BOC=90°，∴△EFB∽△COB，∴EFCO=EBBC，即：∴DE+53EF=?34x2∴當(dāng)x=?b2a=56（3）原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為：G（32，?7516），平移后∵A?1,0，C∴直線AC的解析式為：y=3x3，∵BM⊥AC，∴設(shè)直線BM解析式為：y=13x+m，把B4,0代入上式，可得：m=∴直線BM解析式為：y=13x?聯(lián)立y=?3x?3y=13x?43，解得：∵點(diǎn)Q在原拋物線上的對(duì)稱(chēng)軸上，設(shè)Q（32，d），則MG′=(?1MG′=QM，QM=(32+1QG′=MG′，QG′=(32綜上所述：Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：（32，?32+822），（32，?32【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與平面幾何綜合，熟練掌握待定系數(shù)法，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)定理，是解題的關(guān)鍵．10．已知如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，a≠0）與x軸交于點(diǎn)A(?1,0),B兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)C(0,3)（1）求拋物線的解析式；（2）在以線BC上方的拋物線線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸．垂足為D，交直線BC于點(diǎn)Q.是否存在點(diǎn)P．使得PQ+22QC（3）在(2)的條件下，將拋物線沿射線BC方向平移22個(gè)單位長(zhǎng)度，此時(shí)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P'，M為平移后拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一動(dòng)點(diǎn)．是否存在點(diǎn)M使得ΔPP'M為等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M【答案】（1）yx22x3；（2）PQ+22QC有最大值，且最大值為4，此時(shí)P（2,3）；（3）M點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）,（1,5+7），(【分析】（1）根據(jù)A點(diǎn)以及對(duì)稱(chēng)軸求出B點(diǎn)，再利用待定系數(shù)法即可解出二次函數(shù)解析式；（2）過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥y軸，交y軸于點(diǎn)E，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m2+2m+3），用m表示出PQ+2（3）先求出平移后的拋物線解析式，求出PP’長(zhǎng)度，再設(shè)M（1，a），用a表示出PM,PM’,再對(duì)等腰三角形分情況列出方程解出a即可．【詳解】解：（1）∵A（?1,0），且拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x+1）（x3）把C（0,3）帶入得33a，解得a=1，即二次函數(shù)解析式為yx22x3．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥y軸，交y軸于點(diǎn)E．∵B（3,0），C（0,3）∴∠OCB=45°，直線BC的函數(shù)解析式為y=x+3設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m2+2m+3）（0＜m＜3），則Q（m，m+3）PQ=m2+2m+3（m+3）=m2+3m∴PQ+∴當(dāng)m=2時(shí)，PQ+2（3）∵直線BC的函數(shù)解析式為y=x+3，且拋物線沿射線BC方向平移22∴相當(dāng)于把拋物線先往左邊移動(dòng)2個(gè)單位，再往上移動(dòng)2個(gè)單位∴原拋物線解析式為y=x22x3=（x1）2+4∴平移后拋物線解析式為y=（x+1）2+6，且P’（0,5），平移后對(duì)稱(chēng)軸為x=1∴PP’=22設(shè)M（1，a），則PM=9+(3?a)2∵ΔPP'M為等腰三角形∴①當(dāng)PP’=PM時(shí)，22=9+(3?a)②當(dāng)PP’=P’M時(shí)，22=1+(5?a)2③當(dāng)PM=P’M時(shí)，9+(3?a)2=∴綜上M點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）,（1,5+7），(1,57)．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合，第三問(wèn)解題關(guān)鍵在于能夠求出平移后的拋物線解析式，同時(shí)能夠?qū)Φ妊切芜M(jìn)行分類(lèi)討論也是解題關(guān)鍵．類(lèi)型三旋轉(zhuǎn)+等腰三角形11．如圖，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣1的拋物線y＝a（x﹣h）2＋k（a≠0）圖象與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）．(1)求該拋物線的解析式：(2)如圖1，若點(diǎn)P為拋物線上第二象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段CO上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△APC的面積最大時(shí)，求△APM周長(zhǎng)最小值；(3)如圖2，將原拋物線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°，得新拋物線y'，在新拋物線）y'的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q使得△ACQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)拋物線y=?1(2)C△APM最短==25(3)在新拋物線）y'的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)Q（7，7）或（7，23）或（7，23），使得△ACQ為等腰三角形．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式先代入對(duì)稱(chēng)軸，化為y=ax+12+k（2）先求A點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)y=0時(shí)，?12x+12+92=0，解方程得出點(diǎn)A（4，0），再利用待定系數(shù)法求直線AC解析式為y=x+4（3）解在新拋物線y'的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)Q使得△ACQ為等腰三角形，先求出原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，92），將原拋物線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°，得新拋物線y'，新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（7，92）求出新拋物線為y=12x+72?92，設(shè)新拋物線對(duì)稱(chēng)軸于x軸的交點(diǎn)為E（【詳解】（1）解：∵對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣1，∴拋物線y=ax+1∵拋物線y=ax+1∴a+k=49a+k=0解得：a=?1拋物線y=?1（2）解：當(dāng)y=0時(shí)，?1整理得x+12∴x+1=±3，x1=?4，點(diǎn)A（4，0），設(shè)AC解析式為y=kx+b，代入坐標(biāo)得：b=4?4k+b=0解得b=4k=1∴AC解析式為y=x+4，過(guò)點(diǎn)P作PD∥y軸，交AC于D，設(shè)P（m,?1D（m，m+4），∴PD=?12m2?m+4∴S△APC=12∴當(dāng)m=2時(shí)S△APC最大=4，?1∴點(diǎn)P（2，4），∵AP=?2+42作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′（2，4），連結(jié)AP′交y軸于M，∴PM=P′M，∴PM+AM=P′M+AM≥AP′，∴PM+MA最短時(shí)C△APM最短=AP+AP′=25+2+4（3）解在新拋物線y'的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)Q使得△ACQ為等腰三角形，原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，92將原拋物線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°，得新拋物線y'，新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4（1+4），92），即（7，9∵拋物線旋轉(zhuǎn)拋物線開(kāi)口大小不變，開(kāi)口方向改變，∴新拋物線為y=12分三種情況，第一種情況作AC的垂直平分線交新拋物線對(duì)稱(chēng)軸于Q1，∵OC=OA=4，∠AOC=90°，∴△AOC為等腰直角三角形，∴AC的垂直平分線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，∴∠Q1OE=45°，∵Q1E⊥x軸，∴∠EQ1O=180°∠Q1OE∠Q1EO=180°45°90°=45°，∴Q1E=OE=7，∴點(diǎn)Q1（7，7），

第二種情況以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑交新拋物線對(duì)稱(chēng)軸于兩點(diǎn)Q2、Q3，AC=OC∴AQ=AC=42在Rt△AQE中AE=4（7）=3，EQ2+A解得n=±23∴Q2（7，23），Q2（7，23），第三種情況以點(diǎn)C為圓心，AC長(zhǎng)為半徑與新拋物線對(duì)稱(chēng)軸沒(méi)交點(diǎn)，∵42綜合在新拋物線）y'的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)Q（7，7）或（7，23）或（7，23），使得△ACQ為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，直線解析式，兩點(diǎn)間距離，三角形面積，二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)圖形性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，拋物線旋轉(zhuǎn)，等腰三角形性質(zhì)，線段垂直平分線，勾股定理，解一元二次方程，輔助圓，本題難度大，綜合性質(zhì)強(qiáng)，應(yīng)用知識(shí)多，掌握以上知識(shí)和技能是解題關(guān)鍵．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?33x2+233x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接(1)如圖1，點(diǎn)P為直線BC上方的拋物線的圖象上一點(diǎn)，當(dāng)ΔPAE面積最大時(shí)，在直線BC上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，在直線AD上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)N，且MN⊥BC，求PM+MN+32(2)如圖2，將△BOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ΔB′OC′的位置，點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B′、C′，且OC′∥AD，B′C′與y軸交于點(diǎn)【答案】(1)PM+MN+32ND的最小值為(2)能，當(dāng)BR=BR′時(shí)，S1,233；當(dāng)RB=RR′【分析】（1）根據(jù)題意可求出BC的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，作平行線，根據(jù)直線解析式得Q的坐標(biāo)，求出最大值，確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后由旋轉(zhuǎn)得解析式，從而求出最小值；（2）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)和旋轉(zhuǎn)，翻折的性質(zhì)可表示出線段的長(zhǎng)，再根據(jù)等腰三角形的兩腰相等，分三種情況討論，分別求出滿足條件的S的坐標(biāo)．【詳解】（1）令?33x2+當(dāng)x=0時(shí)，可得y=3，即設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，把B3，0,C0，3解得k=?3∵BC∥AD，∴設(shè)yAD=?33x+即：yAD設(shè)Pm,?33m2+2∴PQ=?3∴S△PAE∵?33<∴當(dāng)m=32時(shí)，△PAE面積最大，此時(shí)由題可知，MN=2，把點(diǎn)P沿著射線MN方向平移2個(gè)單位得P′12，34，再把直線AD繞點(diǎn)D4，533逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°交y軸于F，過(guò)點(diǎn)P′∵yDF∴P′∴PM+MN+32ND的最小值為37（2）解：①當(dāng)BR=BR′時(shí)，設(shè)點(diǎn)x?3由翻折可得CR=C即x聯(lián)立解得x=3y=2即R′又SR=SR′則3?1解得t=23②當(dāng)BR=RR′時(shí)，設(shè)點(diǎn)同理有x2解得x=?3y=0即R′又SR=SR′則?3?1解得t=23，即點(diǎn)③當(dāng)BR′=R同理有x?32解得x=3即R′3又SR=SR′當(dāng)R′3解得t=?2，即點(diǎn)S當(dāng)R′?解得t=2，即點(diǎn)S綜上所述，點(diǎn)S的坐標(biāo)為1，233，【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的解析式的求法與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)，要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．13．如圖，拋物線fx：y=ax+1x?5與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B左邊），與y(1)求拋物線fx(2)作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，連接線段AC，作∠CAB的平分線AE交拋物線于點(diǎn)E，將拋物線fx沿對(duì)稱(chēng)軸向下平移經(jīng)過(guò)點(diǎn)C′得到拋物線f′x．在射線AE上取點(diǎn)F，連接FC，將射線FC繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°交拋物線f′x【答案】(1)y=?(2)0或4或5或?10【分析】（1）直接將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線fx：y=a（2）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得C′0,?3，由平移得拋物線f′x的解析式為：y=?35x2【詳解】（1）解：把點(diǎn)C0,3）代入拋物線fx：y=ax+1x?5∴y=?3∴拋物線f（x）的表達(dá)式為y=?3（2）∵點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′∴C′∵原拋物線沿對(duì)稱(chēng)軸向下平移經(jīng)過(guò)點(diǎn)C′得到拋物線f∴拋物線f′x的解析式為：∵y=?3令y=0，則?35x∴A?1,0∵C0，∴OA=1，OC=3∴AC=2，∴∠ACO＝30°，∠CAO＝60°，∵AE平分∠CAO，∴∠CAF＝30°，分三種情況：①當(dāng)AC=AF=2時(shí)，如圖，設(shè)FP交y軸于G，過(guò)點(diǎn)F作FL⊥y軸于L，F(xiàn)H⊥x軸于H，過(guò)點(diǎn)G作GK⊥CF，交CF的延長(zhǎng)線于K，∴∠ACF=∠AFC=180°?30°∴∠OCF=45°，Rt△AFH中,FH=12∴F3∵CL=FL=3∴CF=2Rt△CGK中，∠GFK=180°?∠CFP=180°?120°=60°設(shè)FK=m，GK=3∵∠OCF＝45°，∴△GCK是等腰直角三角形，∴CK＝GK，∴23∴m=2∴CG=2∴G0,?設(shè)直線PF的解析式為y=kx+b，b=?3解得b=?3∴直線PF的解析式為：y=2+則y=(2+3)x?3y=?3∴P0,?3或②當(dāng)AC＝CF時(shí)，如圖，∠CAF＝∠CFA＝30°，∴∠ACQ＝120°，∴∠OCF＝90°，∴F2,∵y=?3∴拋物線f（x）的對(duì)稱(chēng)軸是x=2：，∴F在DF上，延長(zhǎng)PF交y軸于G，∵∠CFP＝120°，∴∠GFC＝60°，Rt△GCF中，∠CGF＝30°∵CF＝2，∴CG=23∴OG=33∴G0,3∴GF的解析式為：y=?3∴y=?3x+33y=?3∴P4,?3或③當(dāng)CF=AF時(shí)，如圖，∠CFA=120°，此種情況不符合題意；綜上，當(dāng)△CAQ為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是0或4或5或?103【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，并與方程相結(jié)合解決問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是注意第二問(wèn)要分情況討論，不要丟解．14．如圖，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=?1的拋物線y=ax??2+ka≠0與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖①，若點(diǎn)P為拋物線上第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，且到y(tǒng)軸的距離是2.點(diǎn)M為線段CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△APM周長(zhǎng)的最小值；(3)如圖②，將原拋物線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°，得新拋物線y′，在新拋物線y′的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△ACQ為等腰三角形?若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)【答案】(1)y=?(2)△APM周長(zhǎng)的最小值為2(3)存在點(diǎn)Q，使得△ACQ為等腰三角形，Q點(diǎn)坐標(biāo)為?7,23或?7,?23【分析】（1）先根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸確定?的值，再將B(2,0)，C(0,4)代入，求函數(shù)的解析式即可；（2）先確定P點(diǎn)坐標(biāo)，作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′(4,0)，連接PA′與y軸交于點(diǎn)M，則有AM+PM+AP≥AP+A（3）先求出旋轉(zhuǎn)后C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)C′(?12,?4)，B′(?10,0)，再用待定系數(shù)法求旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式y(tǒng)=1