24.4弧長(zhǎng)和扇形面積（第1課時(shí)）（作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)能力提升）

24.4弧長(zhǎng)和扇形面積（第1課時(shí)）（作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若扇形的圓心角為，弧長(zhǎng)為，則該扇形的半徑為（

）A． B．6 C．12 D．【答案】B【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式可以求得該扇形的半徑的長(zhǎng)度．【詳解】解：根據(jù)弧長(zhǎng)的公式，知=6，即該扇形的半徑為6．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算．解題時(shí)，主要是根據(jù)弧長(zhǎng)公式列出關(guān)于半徑r的方程，通過(guò)解方程即可求得r的值．2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如果一弧長(zhǎng)是其所在圓周長(zhǎng)的，那么這條弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角為（

）A．15度 B．16度 C．20度 D．24度【答案】C【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式和圓的周長(zhǎng)公式的關(guān)系即可得出答案【詳解】解：∵一弧長(zhǎng)是其所在圓周長(zhǎng)的，∴∴∴這條弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角為故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖是邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，則頂點(diǎn)B所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)勾股定理計(jì)算出BC=，頂點(diǎn)B所經(jīng)過(guò)的路徑為弧，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得弧所對(duì)的圓心角為60°，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解．【詳解】解：BC==，所以頂點(diǎn)B所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)=．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了弧長(zhǎng)公式．4．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知扇形的半徑為6，圓心角為20°，則扇形的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)扇形的面積公式即可得．【詳解】解：扇形的半徑為6，圓心角為，扇形的面積為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積，熟記公式是解題關(guān)鍵．5．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC=2，在以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)、AB所在直線(xiàn)為x軸建立的平面直角坐標(biāo)系中，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至y軸正半軸上的處，則圖中陰影部分面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先證明△ABC是等腰直角三角形，得到AB＝2，進(jìn)一步求得旋轉(zhuǎn)角為60°，由即可得到陰影部分的面積．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝2AO＝2OB＝AC＝2，∵△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至y軸正半軸上的處，∴△ABC≌，∴，∴，即sin，∴，∴，即旋轉(zhuǎn)角為60°，，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了扇形面積、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，推導(dǎo)出是解題的關(guān)鍵．6．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在扇形中，∠，，則陰影部分的面積是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用陰影部分的面積等于扇形面積減去的面積即可求解.【詳解】=故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形面積和三角形面積，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.7．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，正方形中，分別以，為圓心，以正方形的邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，形成樹(shù)葉形（陰影部分）圖案，則樹(shù)葉形圖案的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圖可知，樹(shù)葉形圖案的面積是兩個(gè)圓心角為90°，且半徑為a的扇形的面積與正方形的面積的差，可據(jù)此求出樹(shù)葉形圖案的面積．【詳解】解：樹(shù)葉形圖案的面積為：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題利用了扇形的面積公式，正方形的面積公式求解，得出樹(shù)葉形圖案的面積等于是解題的關(guān)鍵．8．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，則的長(zhǎng)為（）A．π B．π C．π D．π【答案】B【分析】直接利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠A的度數(shù)，再利用圓周角定理得出∠BOC的度數(shù)，再利用弧長(zhǎng)公式求出答案．【詳解】解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，∴∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°，∵AB＝4，∴BO＝2，∴的長(zhǎng)為：π．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了弧長(zhǎng)公式應(yīng)用以及圓周角定理，正確得出∠BOC的度數(shù)是解題關(guān)鍵．9．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）75°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是2.5πcm，則此弧所在圓的半徑是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】A【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵75°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是2.5πcm，由弧長(zhǎng)公式l，∴2.5π，解得：r＝6，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了由弧長(zhǎng)求半徑，熟練掌握和靈活運(yùn)用弧長(zhǎng)公式為解題的關(guān)鍵，弧長(zhǎng)公式l．10．（2022·江蘇·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC中，AB=2，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB1C1，AB1恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，由此可得，根據(jù)扇形面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】由旋轉(zhuǎn)得：∠B1AB＝60°，∵，∴＝＝．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及扇形的面積公式，解決本題的的關(guān)鍵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出陰影部分的面積等于扇形的面積．11．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點(diǎn)D，E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，若⊙O的半徑為，∠CDF=15°，則陰影部分的面積為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】連接AD，連接OE，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，求得∠AOE=120°，過(guò)O作OH⊥AE于H，解直角三角形得到OH=2，AH=6，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接AD，連接OE，∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵DF⊥AC，∴∠DFC=∠DFA=90°，∴∠DAC=∠CDF=15°，∵AB=AC，D是BC中點(diǎn)，∴∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，∵OA=OE，∴∠AOE=120°，過(guò)O作OH⊥AE于H，∵AO=4，∴OH=AO=2，∴AH=OH=6，∴AE=2AH=12，∴S陰影=S扇形AOES△AOE=．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的面積與三角形的面積公式，圓周角定理等，作出適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．二、填空題12．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知扇形的半徑為，面積是，則扇形的弧長(zhǎng)是___．【答案】##【分析】直接利用扇形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：由S扇=lr可得：=l×2．解得：l=．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的面積公式，牢記扇形的面積公式S扇=lr是解答本題的關(guān)鍵．13．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是3π，面積是12π，則此扇形的半徑是___________．【答案】8【分析】根據(jù)扇形的面積公式S扇形=lR即可得出答案．【詳解】解：∵S扇形=lR，∴R==8．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算，比較簡(jiǎn)單，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形面積的計(jì)算公式．14．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是，面積是，則扇形的圓心角是__________度．【答案】60【分析】根據(jù)扇形的面積公式求出半徑，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出圓心角即可．【詳解】解：扇形的面積==6π，解得：r=6，又∵=2π，∴n=60．故答案為：60．【點(diǎn)睛】此題考查了扇形的面積和弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算方法．15．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在活動(dòng)課上，“雄鷹組”用含30°角的直角三角尺設(shè)計(jì)風(fēng)車(chē)．如圖，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，將直角三角尺繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，使點(diǎn)C′落在AB邊上，以此方法做下去……則B點(diǎn)通過(guò)一次旋轉(zhuǎn)至B′所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)____．（結(jié)果保留π）【答案】【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)B所經(jīng)過(guò)的路徑是圓弧，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半，易知AB=4，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠BAB′＝∠BAC＝60°，，最后求出圓弧的長(zhǎng)度即可．【詳解】∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，∴B點(diǎn)通過(guò)一次旋轉(zhuǎn)至B′所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及圓弧的求法，熟練地掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．16．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，則=__________；線(xiàn)段AB掃過(guò)的圖形（陰影部分）的面積為_(kāi)_________．【答案】

##【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式可求得的長(zhǎng)；根據(jù)圖形可以得出AB掃過(guò)的圖形的面積=S扇形ACA′+S△ABCS扇形BCB′S△A′B′C，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以得出S△ABC=S△A′B′C就可以得出AB掃過(guò)的圖形的面積=S扇形ACA′S扇形BCB′求出其值即可．【詳解】解：∵△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)120°得到△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C，∴S△ABC=S△A′B′C，∠BCB′=∠ACA′=120°．∴的長(zhǎng)為:2π；∵AB掃過(guò)的圖形的面積=S扇形ACA′+S△ABCS扇形BCB′S△A′B′C，∴AB掃過(guò)的圖形的面積=S扇形ACA′S扇形BCB′，∴AB掃過(guò)的圖形的面積=．故答案為：2π；．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，弧長(zhǎng)公式以及扇形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．17．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，與軸相切，與軸相交于點(diǎn)，．（1）的半徑______；（2）扇形的面積為_(kāi)_____．【答案】

2；

##【分析】作AF⊥BC，假設(shè)⊙A與x軸相切于E點(diǎn)，連接AE，做BD⊥AE，利用垂徑定理的內(nèi)容得出BF=CF，進(jìn)而得出AD與半徑的關(guān)系，從而得出△ABC為等邊三角形，然后計(jì)算半徑，再利用扇形面積公式求出即可．【詳解】解：作AF⊥BC，假設(shè)⊙A與x軸相切于E點(diǎn)，連接AE，BD⊥AE，假設(shè)AE=x，圖象與y軸相交于點(diǎn)B（0，1）、C（0，3），∴OB=DE=1，AD=x1，∵AC=AB，AF⊥BC，∴BF=CF=1，∴AD=BF=1=x1，解得：x=2，∴AB=BC=AC=2，△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，∴扇形BAC的面積=，故答案為：2；．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的判定方法以及扇形的面積求法等知識(shí)，利用已知得出BF=AD是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．18．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B，C，在半徑為6的圓上，∠ACB=45°，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)________（結(jié)果保留）．【答案】9π18##18+9π【分析】根據(jù)圓周角定理求出∠BOA，根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：連接OA、OB，由圓周角定理得，∠BOA=2∠ACB=90°，∴△BOA為等腰直角三角形，則圖中陰影部分的面積=×6×6=9π18，故答案為：9π18．【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形面積計(jì)算、圓周角定理，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，O是邊AC上的點(diǎn)，以O(shè)C為半徑的圓分別交邊BC、AC于點(diǎn)D、E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F．（1）求證：直線(xiàn)DF是⊙O的切線(xiàn)；（2）若OC＝1，∠A＝45°，求劣弧DE的長(zhǎng)．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）π．【分析】（1）連結(jié)OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OD∥AB，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠ODF＝90°，根據(jù)切線(xiàn)的判定定理證明；（2）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠AOD＝180°﹣45°＝135°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】證明：如圖，連結(jié)OD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠ACB，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DF⊥AB，∴∠ODF＝∠BFD＝90°，∵OD為半徑，∴直線(xiàn)DF是⊙O的切線(xiàn)；（2）解：∵∠A＝45°，OD∥AB，∴∠AOD＝180°﹣45°＝135°，∴劣弧DE的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線(xiàn)的判定及弧長(zhǎng)的計(jì)算，熟練掌握切線(xiàn)的判定定理及弧長(zhǎng)的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.20．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B，C在直徑為2的⊙O上，∠BAC＝45°．(1)求弧BC的長(zhǎng)度；(2)求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果中保留π）【答案】(1)(2)【分析】（1）連接OB，OC．根據(jù)∠BOC＝2∠A，∠A＝45°，可得∠BOC＝90°，根據(jù)⊙O的直徑為2，可得OB＝OC＝1，即利用弧長(zhǎng)公式即可求解答案；（2）根據(jù)∠BOC＝90°，可知△BOC是直角三角形，根據(jù)OB＝OC＝1，即可求出△BOC的面積和扇形OBC的面積，再根據(jù)S陰＝S扇形OBC﹣S△OBC即可求解．（1）如圖，連接OB，OC．∵∠BOC＝2∠A，∠A＝45°，∴∠BOC＝90°，∵⊙O的直徑為2，∴OB＝OC＝1，∴；（2）∵∠BOC＝90°，∴△BOC是直角三角形，∵⊙O的直徑為2，∴OB＝OC＝1，∴△BOC的面積為，∵，即S陰＝S扇形OBC﹣S△OBC＝．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式等知識(shí)，掌握?qǐng)A周角定理證明出∠BOC＝90°是解答本題的關(guān)鍵．21．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，有一直徑為的圓形紙片，要從中剪去一個(gè)最大的圓心角是90°的扇形ABC．(1)求被剪掉的陰影部分的面積；(2)用所留的扇形鐵皮圍成一個(gè)圓錐，該圓錐的底面圓的半徑是多少？【答案】(1)(2)【分析】（1）連結(jié)BC，根據(jù)∠A＝90°，可得，再由勾股定理可得AB＝AC＝1，然后根據(jù)，即可求解；（2）設(shè)圓錐底面半徑為r，則的長(zhǎng)為2πr，從而得到，即可求解．（1）解：如圖，連結(jié)BC，∵∠A＝90°，∴BC為⊙O的直徑．即，在Rt△ABC中，AB＝AC，且AB2＋AC2＝BC2，∴AB＝AC＝1，∴＝；（2）解：設(shè)圓錐底面半徑為r，則的長(zhǎng)為2πr，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求扇形面積，圓錐的底面半徑，勾股定理，熟練掌握扇形面積公式，勾股定理是解題的關(guān)鍵．【能力提升】一、單選題1．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，從一張腰長(zhǎng)為90cm，頂角為120°的等腰三角形鐵皮OAB中剪出一個(gè)最大的扇形OCD，用此剪下的扇形鐵皮圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（不計(jì)損耗），則該圓錐的底面圓的半徑為（）cm．A．15 B．30 C．45 D．30π【答案】A【分析】作出等腰三角形底邊上的高線(xiàn)OE，首先根據(jù)直角三角形30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出等腰三角形底邊上的高線(xiàn)OE的長(zhǎng)度，即得到扇形OCD所在的圓的半徑R，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出的長(zhǎng)度，的長(zhǎng)度即為圓錐底面圓的周長(zhǎng)，最后根據(jù)周長(zhǎng)求出半徑即可．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB，垂足為E，∵△OAB為頂角為120°的等腰三角形，∴=30°，cm，∴cm，設(shè)圓錐的底面圓半徑為rcm，根據(jù)題意得，，解得，所以該圓錐的底面圓的半徑為15cm，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、扇形的弧長(zhǎng)公式、圓的周長(zhǎng)公式，準(zhǔn)確將扇形的弧長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為底面圓的周長(zhǎng)是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，扇形OBA中，點(diǎn)C在弧AB上，連接BC，P為BC中點(diǎn)．若，，則點(diǎn)C沿弧從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A的過(guò)程中，點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．6【答案】B【分析】連接OC、OP，易得∠OPB=90°，點(diǎn)P是在以O(shè)B的中點(diǎn)D為圓心，BD為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，求即可．【詳解】連接OC、OP，∵OB=OC，∴△BOC為等腰三角形，∵P為BC中點(diǎn)，∴OP⊥BC（三線(xiàn)合一），即∠OPB=90°，∴點(diǎn)P是在以O(shè)B的中點(diǎn)D為圓心，BD為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)位置，點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為，連接，∵D為OB中點(diǎn)，為AB中點(diǎn)，∴∥OA，∴=，BD=OA=3，∴，即點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題，根據(jù)定弦定角確定圓的所在位置，以及等腰三角形的性質(zhì)、中位線(xiàn)的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖．將扇形翻折，使點(diǎn)A與圓心O重合，展開(kāi)后折痕所在直線(xiàn)l與交于點(diǎn)C，連接．若，則圖中陰影部分的面積是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】連接CO，且直線(xiàn)l與AO交于點(diǎn)D，解直角三角形求出，即可求出扇形的面積，再算出的面積，即可求出陰影部分面積．【詳解】連接CO，且直線(xiàn)l與AO交于點(diǎn)D，如圖所示，∵扇形中，，∴，∵點(diǎn)A與圓心O重合，∴，，∴，∴，由勾股定理得：，∵，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查求不規(guī)則圖形的面積，扇形面積公式，添加輔助線(xiàn)是本題的關(guān)鍵．4．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AC為對(duì)角線(xiàn)，，，以B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AC于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接BM，過(guò)M作MH⊥BC于H，由∠ACB=30°得到∠BAC=60°，求得△ABM是等邊三角形，得到∠ABM=60°，推出∠MBN=30°，根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接BM，過(guò)M作MH⊥BC于H，在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∵AB=1，∠ACB=30°，∴∠BAC=60°，AC=2AB=2，BC=，∵BA=BM，∴△ABM是等邊三角形，∴∠ABM=60°，∴∠MBN=30°，∴MH=BM=，∴S陰=S△BCMS扇形BMN==，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形的面積公式等知識(shí)，明確S陰=S△BCMS扇形BMN是解題的關(guān)鍵．5．（2022·江蘇·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1是一塊弘揚(yáng)“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以O(shè)為圓心，OA，OB長(zhǎng)分別為半徑，圓心角形成的扇面，若，，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)S陰影=S扇形AODS扇形BOC求解即可．【詳解】解：S陰影=S扇形AODS扇形BOC====2.25π（m2）故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積，不規(guī)則圖形面積，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．6．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖是一張圓心為O，半徑為4cm的圓形紙片，沿弦AC所在直線(xiàn)折疊，使得經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，將紙片展平后，作半徑，則圖中陰影部分的面積等于（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】作OD⊥AC交圓于點(diǎn)D、交AC于點(diǎn)E，根據(jù)垂徑定理，OD平分和，又因?yàn)锳C是對(duì)折線(xiàn)，所以O(shè)D與AC互相垂直平分，所以O(shè)DCO組成的圖形面積是與組成的圖形面積的一半，也就等于ADCEA組成圖形面積，此部分面積可用扇形OAC的面積減去△OAC面積求出，再用求出的面積減去扇形ODB的面積即得陰影部分面積．【詳解】作OD⊥AC交圓于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接OC，如圖，∴OD垂直平分弦AC，平分和，∵AC是向圓內(nèi)的折線(xiàn)，且弦AC折疊后經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，∴點(diǎn)O是點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，即OD與AC互相垂直平分，∴OE=DE=OD設(shè)與弦AC構(gòu)成的圖形面積為SADC，與構(gòu)成的圖形面積為SADCO，與和線(xiàn)段OD構(gòu)成的圖形面積為SODC，則SADC=SADCO，SODC=SADCO，∴SODC=SADC，∵OD、OA都是圓O的半徑，半徑為4cm，∴OE=OD=OA=，∴∠OAE=30°，∴∠AOE=90°30°=60°，∴∠AOC=2∠AOE=2×60°=120°，∴S扇形OAC==(cm2)，∵AC=2AE=cm，∴S△OAC=(cm2)，∴SADC=S扇形OACS△OAC=（）(cm2)，∴SODC=（）(cm2)，∵OB⊥OA，∠AOE=60°，∴∠BOD=∠AOB∠AOE=90°60°=30°，∴S扇形OBD=(cm2)，∴S陰影=SODCS扇形OBD==（）(cm2)，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了求扇形和弓形面積、垂徑定理、折疊問(wèn)題及三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是要能通過(guò)對(duì)稱(chēng)看出SODC=SADC=SADCO，以及S陰影=SODCS扇形OBD，再分別求出各部分面積就能求解．7．（2022·江蘇·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)接于，，分別與相切于點(diǎn)和點(diǎn)，的延長(zhǎng)線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及切線(xiàn)的性質(zhì)，求得的長(zhǎng)，勾股定理求得的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)即可求解．【詳解】如圖，連接,，邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)接于，即，，，為的直徑，，，分別與相切于點(diǎn)和點(diǎn)，，四邊形是正方形，，是等腰直角三角形，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線(xiàn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．二、填空題8．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將沿BC翻折交AB于點(diǎn)D，再將沿AB翻折交BC于點(diǎn)E．若，AB＝4，則的長(zhǎng)度為_(kāi)____．【答案】【分析】由同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的弧相等可得，因此．結(jié)合AB是的直徑，可得所對(duì)的圓心角的度數(shù)．再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算的長(zhǎng)即可．【詳解】∵、、、所在的圓是等圓又∵、、所對(duì)的圓周角都是∴==

又∵=∴===

又∵+++=∴=∴又∵AB是的直徑∴所對(duì)的圓心角為

∴的長(zhǎng)=故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，弧長(zhǎng)的計(jì)算，翻折變換．求所對(duì)的圓心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．9．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在扇形ODE中，，，是扇形的內(nèi)接三角形，其中A、B、C分別在弧DE和半徑OE、OD上，，，則線(xiàn)段AC的最小值為_(kāi)_____．【答案】【分析】取BC的中點(diǎn)M，連接AM，OM，AO．AM+OM≥OA，當(dāng)且僅當(dāng)A、M、O三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立，這樣問(wèn)題迎刃而解．【詳解】解：取BC的中點(diǎn)M，連接AM，OM，AO．∵AC：BC=3：8，∴可以假設(shè)AC=3k，BC=8k，則CM=BM=4k，∵∠ACB=∠COB=90°，∴∵AM+OM≥OA，∴5k+4k≥5，∴k≥，∴k的最小值為，∴AC的最小值為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題是屬于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，難點(diǎn)是A、B、C三點(diǎn)都是動(dòng)點(diǎn)，關(guān)鍵是找出與AC關(guān)聯(lián)的兩條線(xiàn)段OM、AM，通過(guò)添三條輔助線(xiàn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到一個(gè)斜三角形中，這是一般學(xué)生很難想到的．在圖中，學(xué)生可能還會(huì)想到斜三角形AOC，但是OC與AC不關(guān)聯(lián)，問(wèn)題也會(huì)陷入困境，因此構(gòu)造合適的斜三角形至關(guān)重要．10．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，動(dòng)點(diǎn)M，N分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度分別沿AB，CD向終點(diǎn)B，D移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)MN的垂線(xiàn)BG，垂足為點(diǎn)G，則G點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)______cm【答案】【分析】連接BD，AC相交于O，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，，得到點(diǎn)G的軌跡為以O(shè)B為直徑的半圓，G點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度等于半圓弧長(zhǎng)，即可算出．【詳解】解：連接BD，AC相交于O在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，故點(diǎn)G的軌跡為以O(shè)B為直徑的半圓G點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度等于半圓弧長(zhǎng)，即：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，得到G點(diǎn)軌跡是以O(shè)B為直徑的半圓是解題關(guān)鍵．11．（2022·江蘇·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，的半徑為2cm，正六邊形內(nèi)接于，則圖中陰影部分面積為_(kāi)_____．【答案】【分析】如圖，連接BO，CO，OA．由題意得，△OBC，△AOB都是等邊三角形，證明△OBC的面積=△ABC的面積，可得圖中陰影部分的面積等于扇形OBC的面積，再利用扇形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接BO，CO，OA．由題意得，△OBC，△AOB都是等邊三角形，∴∠AOB=∠OBC=60°，∴，∴△OBC的面積=△ABC的面積，∴圖中陰影部分的面積等于扇形OBC的面積=．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓、扇形的面積公式、平行線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的扇形思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．12．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)O，以O(shè)C為半徑的扇形的圓心角．則圖中陰影部分面積是_____．【答案】【分析】證明△OCG≌△OBE，經(jīng)過(guò)觀察易得出結(jié)論：陰影部分面積=扇形面積正方形面積的．【詳解】∵四邊形ABCD為正方形，∴OB=OC，∠BOC=90°，∠OBE=∠OCG=45°，∵扇形的圓心角，∴∠BOC∠COE=∠FOH∠COE，即∠BOE=∠COG，在△OCG和△OBE中，∠OBE=∠OCG，∠BOE=∠COG，OB=OC∴△OCG≌△OBE，∵正方形邊長(zhǎng)為4，∴AC=，∴OC=∵，===故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形的全等以及扇形面積的計(jì)算；掌握正方形的性質(zhì)，熟練地進(jìn)行三角形全等的判定，將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)圖形的面積是解題的關(guān)鍵．13．（2022·江蘇·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，，，把繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得，則AB掃過(guò)的面積（圖中陰影部分）為_(kāi)_______．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理得到OA，然后根據(jù)扇形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接OA、OC，∵AB⊥OB，AB=2，OB=4，∴OA==2，∵AB掃過(guò)的面積=S扇形OAC+S△CODS△AOBS扇形OBD，∵S△COD=S△AOB∴邊AB掃過(guò)的面積=S扇形OACS扇形OBD==故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積的計(jì)算，勾股定理，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．14．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，，，將三角形繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（）后得到三角形，點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑為弧，則圖中陰影部分的面積是_________．【答案】【分析】把△ADE順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°到△ABC，要求的陰影部分的面積就是邊長(zhǎng)為5，角為60°的扇形面積．【詳解】圓形面積==25π扇形的面積==【點(diǎn)睛】此題考查了求陰影部分的面積，解題關(guān)鍵是把陰影的面積變成求扇形的面積．15．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，AB⊥CD，若，CB＝2，則陰影部分的面積是______．【答案】【分析】連接OC，設(shè)CD與AB的交點(diǎn)為E，利用垂徑定理、勾股定理判定△OBC是等邊三角形，運(yùn)用扇形的面積減去△OBC的面積即可．【詳解】連接OC，設(shè)CD與AB的交點(diǎn)為E，∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，，CB＝2，∴，，∴∠ECB=30°，∠CBE=60°，∵CO=BO，∴△OBC是等邊三角形，∴∠BOC=60°，OC=OB=2，∴=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，扇形的面積公式，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理，扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．16．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，等腰中，，以A為圓心，以AB為半徑作﹔以BC為直徑作．則圖中陰影部分的面積是______．（結(jié)果保留）【答案】【分析】由圖可知：陰影部分的面積＝半圓CAB的面積△ABC的面積+扇形ABC的面積△ABC的面積，可根據(jù)各自的面積計(jì)算方法求出面積即可．【詳解】解：∵等腰中，∴BC=2∴S扇形ACB，S半圓CABπ×（1）2，S△ABC=1；所以陰影部分的面積＝S半圓CABS△ABC+S扇形ACBS△ABC．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形和三角形的面積計(jì)算方法．不規(guī)則圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差．三、解答題17．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，交⊙O于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接AF，CF．(1)求證：AC＝AF；(2)若⊙O的半徑為3，∠CAF＝30°，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證明四邊形ABED是平行四邊形，得∠B＝∠D，再證明即可得到結(jié)論；（2）連接OA，OC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，由圓周角定理可得最后由弧長(zhǎng)公式可求出結(jié)論．（1）∵，，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴∠B＝∠D．又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴，∴AC＝AF．（2）連接AO，CO．由（1）得∠AFC＝∠ACF，又∵∠CAF＝30°，∴，∴．∴的長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．18．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在⊙O中，AB是直徑，半徑為R，弧AC=R.求：（1）∠AOC的度數(shù).（2）若D為劣弧BC上的一動(dòng)點(diǎn)，且弦AD與半徑OC交于E點(diǎn).試探求△AEC≌△DEO時(shí)，D點(diǎn)的位置.【答案】(1)∠AOC=60°；(2)D的位置，只要滿(mǎn)足∠DOB=60°，或AC∥OD或劣弧BC的中點(diǎn)其中一條.【分析】（1）根據(jù)弧AC=R和弧長(zhǎng)公式，即可求得弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)角相等，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線(xiàn)平行，即可得到AC∥OD，或者結(jié)合（1）的結(jié)論發(fā)現(xiàn)等邊三角形AOC，從而證明點(diǎn)D只要滿(mǎn)足∠DOB=60°，或AC∥OD或劣弧BC的中點(diǎn)即可．【詳解】解：（1）設(shè)∠AOC=n°,∵AC=R，∴R，∴n=60°,∴∠AOC=60°；（2）∵∠AOC=60°,OA=OC,∴△AOC是等邊三角形，∴∠ACO=∠AOC=60°.∵△AEC≌△DEO，∴∠CAO=∠DOB=∠C=60°，∴AC∥OD,∴∠BOD=∠CAO=60°,∠COD=∠C=60°,∴D是劣弧BC的中點(diǎn)，∴D的位置，只要滿(mǎn)足∠DOB=60°，或AC∥OD或劣弧BC的中點(diǎn)即可．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，熟記弧長(zhǎng)計(jì)算公式是解答本題的關(guān)鍵，如果扇形的圓心角是no，扇形的半徑是R，則扇形的弧長(zhǎng)l的計(jì)算公式為：.本題也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線(xiàn)的判定與性質(zhì).19．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為的等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，D為劣弧上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OD于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B沿劣弧運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，求點(diǎn)E經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．【答案】【分析】如圖，以O(shè)B為直徑畫(huà)⊙K交AB于T，連接TK，圖中的