第03講實(shí)數(shù)最常考點(diǎn)專題復(fù)習(xí)

第03講實(shí)數(shù)最?？键c(diǎn)專題復(fù)習(xí)（解析版）典例剖析+針對訓(xùn)練考點(diǎn)一開方運(yùn)算典例1（2021秋?衛(wèi)輝市月考）求下列各數(shù)的平方根和算術(shù)平方根：（1）49；（2）1625；（3）279；（4）0.36；（5）（?3思路引領(lǐng)：根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的定義即可得到結(jié)論．解：（1）49的平方根是±7，算術(shù)平方根是7；（2）1625的平方根是±45；算術(shù)平方根是（3）279的平方根是±53；算術(shù)平方根是（4）0.36的平方根是±0.6；算術(shù)平方根是0.6；（5）（?38）2的平方根是±38解題秘籍：本題考查了平方根和算術(shù)平方根的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵．典例2（2021秋?甘州區(qū)校級月考）求下列各數(shù)的立方根：（1）﹣27；（2）8125（3）0.216；（4）﹣5．思路引領(lǐng)：根據(jù)立方根的定義逐個計算可得．解：（1）∵（﹣3）3＝﹣27，∴﹣27的立方根為﹣3，即3?27（2∵（25）3=∴8125的立方根為25，即（3）∵0.63＝0.216，∴0.216的立方根為0.6，即30.216（4）﹣5的立方根為3?5解題秘籍：本題主要考查立方根，掌握立方根的定義是解題的關(guān)鍵．典例3（2022春?上杭縣期中）求下列各式中x的值：（1）25（x2﹣1）＝24；（2）12（x﹣3）3思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)等式的性質(zhì)以及算術(shù)平方根的定義進(jìn)行計算即可．解：（1）兩邊都除以25得，x2﹣1=24即x2=49由平方根的定義得，x±75（2）兩邊都乘以2得，（x﹣3）3＝﹣64，∵（﹣4）3＝﹣64，∴x﹣3＝﹣4，即x＝﹣1．解題秘籍：本題考查平方根，立方根，理解平方根、立方根的定義是正確解答的前提．例4（2022春?綦江區(qū)校級月考）求下列各式的值：（1）38（2）?3思路引領(lǐng)：（1）首先計算開平方和開立方，然后計算減法，求出算式的值即可．（2）首先計算乘方、開平方和絕對值，然后從左向右依次計算，求出算式的值即可．解：（1）3＝2﹣3＝﹣1．（2）?＝﹣9+（3?2＝﹣9+3?2＝﹣8?2解題秘籍：此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．針對訓(xùn)練11．（2022春?工業(yè)園區(qū)校級月考）求下列各數(shù)的算術(shù)平方根．（1）169；（2）481（3）0.09；（4）（﹣3）2．思路引領(lǐng)：利用求一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根與求一個數(shù)的平方互為逆運(yùn)算，可以借助乘方運(yùn)算來尋找一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根．解：（1）∵132＝169，∴169的算術(shù)平方根是13，即169=（2）∵（29）2=∴481的算術(shù)平方根是2即481（3）∵0.32＝0.09，∴0.09的算術(shù)平方根是0.3，即0.09=（4）∵32＝9＝（﹣3）2，∴（﹣3）2的算術(shù)平方根是3，即(?3)解題秘籍：本題考查算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是明確求一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根與求一個數(shù)的平方互為逆運(yùn)算．2．（2017秋?商水縣期中）（1）求出下列各數(shù)：①2的平方根；②﹣27的立方根；③16的算術(shù)平方根．（2）將（1）中求出的每個數(shù)表示在下圖中的數(shù)軸上；（3）將（1）中求出的每個數(shù)按從小到大的順序排列，并用“＜”連接．思路引領(lǐng)：（1）利用平方根、立方根定義計算即可求出；（2）將各數(shù)表示在數(shù)軸上即可；（3）按照從小到大順序排列即可．解：（1）①2的平方根是±2；②﹣27的立方根是﹣3；③16=（2）數(shù)軸表示，如圖所示：（3）﹣3＜?2解題秘籍：此題考查了實(shí)數(shù)大小比較，以及實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．3．（2022春?崇川區(qū)校級期中）求下列各式中x的值：（1）（x﹣5）2﹣9＝0；（2）64（x﹣1）3＝27．思路引領(lǐng)：（1）應(yīng)用平方根的計算方法進(jìn)行求解即可得出答案；（2）應(yīng)用立方根的計算方法進(jìn)行求解即可得出答案．解：（1）（x﹣5）2＝9，x﹣5=±9x﹣5＝3，x﹣5＝﹣3，x＝8或x＝2；（2）（x﹣1）3=27x﹣1=3x﹣1=3x=7解題秘籍：本題主要考查了平方根和立方根，熟練掌握平方根和立方根的計算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二實(shí)數(shù)的有關(guān)概念典例5（2021春?蘄春縣期中）有6個數(shù)：0.1427，（﹣0.5）3，3.1416，227，﹣2π，0.1020020002……若無理數(shù)的個數(shù)為x，整數(shù)的個數(shù)為y，非負(fù)數(shù)的個數(shù)為z，求|3思路引領(lǐng)：由于無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，由此即可判定無理數(shù)x的值，根據(jù)整數(shù)的定義和非負(fù)數(shù)的定義即可判定y、z的值，然后即可求解．解：無理數(shù)有：﹣2π，0.1020020002……，則x＝2；沒有整數(shù)：則y＝0；非負(fù)數(shù)有：0.1427，3.1416，227則z＝4．則|3y解題秘籍：本題主要考查實(shí)數(shù)的分類．無理數(shù)和有理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)．關(guān)鍵是搞清無理數(shù)，整數(shù)，非負(fù)數(shù)等概念．針對訓(xùn)練24．在0，227，﹣0.101001，π，38中，無理數(shù)的個數(shù)是思路引領(lǐng)：無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項．解：0是整數(shù)，屬于有理數(shù)；227﹣0.101001是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)；38π是無理數(shù)，無理數(shù)共有1個．故答案為：1．解題秘籍：此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．5．試求?π2，13思路引領(lǐng)：根據(jù)有理數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，可得有理數(shù)的個數(shù)，根據(jù)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，可得無理數(shù)的個數(shù)，根據(jù)有理數(shù)的乘法，可得答案．解：13，﹣3，4?π故有理數(shù)與無理數(shù)的個數(shù)之積是3×2＝6．解題秘籍：本題考查了實(shí)數(shù)，先判斷有理數(shù)、無理數(shù)，再進(jìn)行有理數(shù)的乘法運(yùn)算．考點(diǎn)三實(shí)數(shù)的估算例6（2022春?岳池縣期中）數(shù)學(xué)活動課上，張老師說：“5是一個無限不循環(huán)小數(shù)，同學(xué)們，你能把5的小數(shù)部分全部寫出來嗎？”大家議論紛紛，晶晶同學(xué)說：“要把它的小數(shù)部分全部寫出來是非常難的，但我們可以用（5?2）表示它的小數(shù)部分．”張老師說：“晶晶同學(xué)的說法是正確的，因為4＜5＜9，所以2＜5＜下問題，請聰明的你給出正確答案．（1）17介于連續(xù)的兩個整數(shù)a和b之間，且a＜b，那么a＝，b；（2）x是17+2的小數(shù)部分，y是17?1的整數(shù)部分，則x＝，y＝（3）已知：4+11=x+y，其中x是整數(shù)，且0＜y＜1，求x﹣思路引領(lǐng)：（1）估算無理數(shù)的大小即可得出答案；（2）估算無理數(shù)的大小即可得出答案；（3）估算無理數(shù)的大小即可得出x，y的值，代入代數(shù)式求值即可．解：（1）∵16＜17＜25，∴4＜17∴a＝4，b＝5，故答案為：4，5；（2）∵4＜17∴6＜17+2＜7，3∴x=17+2﹣6=17故答案為：17?（3）∵9＜11∴3＜11∴7＜4+11∴x＝7，y＝4+11?7∴x﹣y＝7﹣（11?＝7?11＝10?11解題秘籍：本題考查了無理數(shù)的估算，無理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)是解題的關(guān)鍵．針對訓(xùn)練36．（2018秋?西湖區(qū)校級月考）在學(xué)習(xí)《實(shí)數(shù)》過節(jié)內(nèi)容時，我們通過“逐步逼近”的方法來計算出一系列越來越接近2的方法，請回答如下問題：（1）11的連續(xù)兩個整數(shù)a和b之間，a＜b，那么a＝；b＝．（2）我們知道，1.4＜2＜1.5，請類似計算（3）若x是2+11的整數(shù)部分，y是2+11思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義解答即可；（2）從3.1的平方開始計算，發(fā)現(xiàn)3.3的平方＝10.89，3.4的平方等于11.56，11在兩數(shù)之間，進(jìn)而得到11的近似值；（3）按不等式性質(zhì)1得到2+解：（1）∵9＜∴3＜11∴a＝3，b＝4．故答案為：3；4（2）∵3.12＝9.61，3.22＝10.24，3.32＝10.89，3.42＝11.56∴3.3＜11（3）∵1.4＜2＜1.5，3.3∴4.7＜2∴x＝4，y=2∴(y?2?11∴±256=±16∴(y?2?解題秘籍：此題主要考查了無理數(shù)的估算能力，現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常需要估算，估算應(yīng)是我們具備的數(shù)學(xué)能力，“逐步逼近”是估算的一般方法，也是常用方法．7．（2017秋?景泰縣校級期中）10在兩個連續(xù)整數(shù)a和b之間，a＜10＜b，那么a、b的值分別是比較大?。海?）310；（2）7667；3?2的相反數(shù)是，絕對值是思路引領(lǐng)：首先找出與10鄰近的兩個完全平方數(shù)，則這兩個數(shù)應(yīng)該是9和16，即32＜10＜4根據(jù)底數(shù)越大冪越大，可得答案；根據(jù)相反數(shù)的定義，絕對值的性質(zhì)即可求解．解：由于3=9，4=∴9＜∴a＝3，b＝4．（1）∵3=9∴3＜10（2）∵76=294，6294＞252，∴76＞673?2的相反數(shù)是2?3，絕對值是2故答案為：3，4；＜；＞；2?3，2?解題秘籍：此題主要考查了無理數(shù)的估算能力，用估算的方法求無理數(shù)的近似值，主要是依據(jù)兩個公式：（1）a2=a（a≥0）；（2）3a3考點(diǎn)四實(shí)數(shù)與數(shù)軸的結(jié)合典例7（2022?槐蔭區(qū)校級模擬）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(a+1)A．﹣2 B．0 C．﹣2a D．2b思路引領(lǐng)：根據(jù)a2解：根據(jù)數(shù)軸知：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0．∴原式＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|＝﹣（a+1）+b﹣1+a﹣b＝﹣a﹣1+b﹣1+a﹣b＝﹣2．故選：A．解題秘籍：本題考查了二次根式的性質(zhì)，絕對值的性質(zhì)，掌握a2針對訓(xùn)練48．（2022春?長沙期中）如圖，a，b，c是數(shù)軸上三個點(diǎn)A、B、C所對應(yīng)的實(shí)數(shù)．其中a是4的一個平方根，b是﹣27的立方根，c是1?32（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）先化簡，再求值：c2思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)平方根，立方根，相反數(shù)的意義，即可解答；（2）根據(jù)題意可得c＞0，a﹣b＞0，a﹣c＜0，然后先化簡各式，再進(jìn)行計算即可解答．解：（1）由題意得：a＝﹣2，b＝﹣3，c=32故答案為：﹣2，﹣3，32?（2）由題意可得：c＞0，a﹣b＞0，a﹣c＜0，∴c＝|c|+a﹣b﹣（a﹣c）＝c+a﹣b﹣a+c＝2c﹣b，當(dāng)b＝﹣3，c=32原式＝2×（32?＝62?＝62+解題秘籍：本題考查了整式的加減，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，平方根，立方根，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．9．（2022春?孝南區(qū)期中）如圖，a，b，c是數(shù)軸上A，B，C三點(diǎn)所對應(yīng)的實(shí)數(shù)，試化簡：c2?|a﹣b|+3(a+b)思路引領(lǐng)：直接利用二次根式的性質(zhì)以及立方根的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)分別化簡，進(jìn)而得出答案．解：由數(shù)軸可得：c＞0，a﹣b＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，故原式＝c﹣（a﹣b）+a+b﹣（c﹣b）＝c﹣a+b+a+b﹣c+b＝3b．解題秘籍：此題主要考查了二次根式的性質(zhì)以及立方根的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．10．（2021秋?興慶區(qū)校級期中）在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)如圖所示，化簡(a?5)2+|a?2|的結(jié)果為思路引領(lǐng)：直接利用數(shù)軸得出a的取值范圍，再利用二次根式以及絕對值的性質(zhì)化簡得出答案．解：由數(shù)軸上a的位置可得：2＜a＜5，則a﹣5＜0，a﹣2＞0，故原式＝5﹣a+a﹣2＝3．故答案為：3．解題秘籍：此題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，正確得出a的取值范圍再化簡是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)6實(shí)數(shù)對運(yùn)算典例8（2022春?隨州期中）計算下列各式：①(?1②|思路引領(lǐng)：（1）利用算術(shù)平方根和立方根計算即可．（2）先利用絕對值的定義去絕對值，再合并運(yùn)算．解：①(?1＝1+1＝1+2+4＝7．②|=3?2=3=(3＝23?3解題秘籍：本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算、絕對值和算術(shù)平方根，注意細(xì)心運(yùn)算，不要出錯．針對訓(xùn)練611．（2022春?西華縣期中）計算：（1）0.04+（2）32?|3（3）4?23÷|﹣2|+思路引領(lǐng)：（1）首先計算開平方和開立方，然后從左向右依次計算，求出算式的值即可．（2）首先計算絕對值，然后從左向右依次計算，求出算式的值即可．（3）首先計算乘方、開平方、開立方和絕對值，然后計算除法，最后從左向右依次計算，求出算式的值即可．解：（1）0.04＝0.2+2?＝2．（2）32?|3＝32?（3＝32＝42?（3）4?23÷|﹣2|＝2﹣8÷2+（?3＝2﹣4+（?3=?7解題秘籍：此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．12．（2020秋?孟津縣期中）計算：π2+|76思路引領(lǐng)：直接利用已知數(shù)據(jù)，進(jìn)而去絕對值，再結(jié)合π≈3.142，代入計算得出答案．解：∵76∴|76∴原式≈3.142＝1.571+0.565＝2.136≈2.13．解題秘籍：此題主要考查了近似數(shù)和實(shí)數(shù)的性質(zhì)，正確去絕對值是解題關(guān)鍵．專題提優(yōu)訓(xùn)練1．（2021?淄博）設(shè)m=5A．0＜m＜1 B．1＜m＜2 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4思路引領(lǐng)：先估算出5的范圍，再求5?1的范圍，最后求5解：∵4＜5＜9，∴2＜5∴1＜5∴12故選：A．解題秘籍：本題考查了無理數(shù)的估算，無理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．（2021?湖州）已知a，b是兩個連續(xù)整數(shù)，a＜3?1＜b，則a，A．﹣2，﹣1 B．﹣1，0 C．0，1 D．1，2思路引領(lǐng)：先估算出3的范圍，再得到3?解：∵1＜3＜4，∴1＜3∴0＜3∴a＝0，b＝1．故選：C．解題秘籍：本題考查了無理數(shù)的估算，無理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)是解題的關(guān)鍵．3．（2009?江西）寫出一個大于1且小于4的無理數(shù)．（答案不唯一）思路引領(lǐng)：由于開方開不盡的數(shù)是無理數(shù)，然后確定的所求數(shù)的范圍即可求解．解：∵1=1，4=∴只要是被開方數(shù)大于1而小于16，且不是完全平方數(shù)的都可．同時π也符合條件．解題秘籍：此題主要考查了無理數(shù)的大小的比較，其中無理數(shù)包括開方開不盡的數(shù)，和π有關(guān)的數(shù)，有規(guī)律的無限不循環(huán)小數(shù)．4．（2021秋?沈北新區(qū)期中）化簡|1?3|+1＝思路引領(lǐng)：直接利用絕對值的性質(zhì)化簡，再利用實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算法則計算得出答案．解：原式=3=3故答案為：3．解題秘籍：此題主要考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，正確去絕對值是解題關(guān)鍵．5．（2021春?思明區(qū)校級期中）一個立方體的棱長是4cm，如果把它的體積擴(kuò)大為原來的8倍，則擴(kuò)大后的立方體的棱長是cm．思路引領(lǐng)：先求出立方體的棱長是4cm的體積，再求出新的體積，進(jìn)而求出擴(kuò)大后的立方體的棱長．解：∵立方體的棱長是4cm，∴它的體積：64（cm3）；∴它的體積擴(kuò)大為原來的8倍：512（cm3）；∴擴(kuò)大后的立方體的棱長是：8（cm），故答案為：8．解題秘籍：本題主要考查了立方根的概念的運(yùn)用，掌握立方根的應(yīng)用，根據(jù)題意求出數(shù)值是解題關(guān)鍵．6．（2022春?天河區(qū)校級期中）閱讀材料，解答問題：材料：∵4＜7＜9即：2＜7＜3，∴7的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為7?2．問題：已知5a+2的立方根是3，3a求（1）13的小數(shù)部分為．（2）求2a+b﹣c的平方根．思路引領(lǐng)：（1）估算無理數(shù)的大小即可得出答案；（2）根據(jù)立方根，算術(shù)平方根的定義求出a，b的值，根據(jù)無理數(shù)的估算得到c的值，代入代數(shù)式求值，最后求平方根即可．解：（1）∵9＜∴3＜13∴13的小數(shù)部分是13?故答案為：13?（2）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算術(shù)平方根是4，∴5a+2＝27