9.5三角形的中位線2

9.5三角形的中位線同步培優(yōu)講練綜合三角形的中位線1．連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.2．定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.順次連接特殊的平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形的形狀（1）順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形.（2）順次連接矩形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形.（3）順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形.（4）順次連接正方形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是正方形.一、三角形中位線有關(guān)的求解問題【例1】如圖，為測(cè)量位于一水塘旁的兩點(diǎn)，間的距離，在地面上確定點(diǎn)，分別取，的中點(diǎn)，，量得，則，之間的距離是 B． C． D．【答案】C【解析】解：點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，，故選：．【例2】如圖，在中，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，連接，的平分線交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為．【答案】1【解析】解：連接并延長(zhǎng)交于，點(diǎn)、分別為邊、的中點(diǎn)，，，，在和中，，，，，，，，故答案為：1．【例3】如圖，在四邊形中，點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，則的度數(shù)是．【答案】120【解析】解：點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，又，，，，故答案為：．【例4】在中，，D為形內(nèi)一點(diǎn)，以為腰作等腰，使，連接，若分別是的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為_______．【答案】2【解析】解：如圖，連接，取的中點(diǎn)F，連接，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴，同理得，，，，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴．故答案為：2．【例5】有一塊梯形形狀的土地，現(xiàn)要平均分給兩個(gè)農(nóng)戶種植（即將梯形面積兩等分），試設(shè)計(jì)兩種方案，并說明理由．（平分圖案畫在備用圖上，保留作圖痕跡）【答案】見解析【解析】解：設(shè)梯形上、下底分別為a、b，高為h．方案一：如圖1，連接梯形上、下底的中點(diǎn)E、F，則；方案二：如圖2，連接，取的中點(diǎn)E，連接，則圖中的四邊形的面積=梯形的面積的一半，∵，∴，，∴，∴四邊形的面積=梯形的面積的一半．方案三：如圖3，分別量出梯形上、下底a、b的長(zhǎng)，在下底上截取，連接，∴，，則．【例6】如圖，在中，點(diǎn)，，分別是邊，，上的中點(diǎn)，且，，則四邊形的周長(zhǎng)等于．【答案】26【解析】解：點(diǎn)，，分別是邊，，上的中點(diǎn)，，都是的中位線，，，，，四邊形是平行四邊形，四邊形的周長(zhǎng)．故答案為：26．【例7】如圖，四邊形中，，，、分別是、的中點(diǎn)，則線段的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【解析】解：連接，取的中點(diǎn)，連接、，、分別是、的中點(diǎn)，，同理可得，，在中，，即，當(dāng)在上時(shí)，，，故選：．【例8】如圖，中，，，，、分別是其角平分線和中線，過點(diǎn)作于，交于，連接，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】解：中，，，∴，∵，∴．∵平分，∴，在和中，∴∴，∴，∵是的中線，∴，∴是的中位線，∴，故選：B．二、三角形中位線相關(guān)的面積問題【例1】如圖，在中，、、分別是、、的中點(diǎn)，若的面積是40，則四邊形的面積是A．10 B．12.5 C．15 D．20【答案】C【解析】解：、、分別是、、的中點(diǎn)，，，，，、、分別是、、的中點(diǎn)，，，四邊形的面積，故選：．【例2】、是線段上的兩點(diǎn)，且，，，點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，分別以、為斜邊在同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為、，如圖所示，連接并取中點(diǎn)，連接，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，則線段掃過的圖形面積為______．【答案】30【解析】解：分別延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)H，連接，，，∵、為等腰直角三角形，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴四邊形為矩形，∵點(diǎn)P為中點(diǎn)，∴點(diǎn)G、P、H三點(diǎn)共線，且P為的中點(diǎn)，過P作分別交、與M、N，∴為的中位線，且即為點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，∴掃過的圖形即為梯形，∵，，，∴，∴，過點(diǎn)H作垂直于O，∵，∴，，∴，∵為的中位線，∴，即梯形的高為4，∴，即線段掃過的圖形面積為30．故答案為：30．【例3】如圖，在中，D，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，，則_____【答案】8【解析】解：如圖，連接，∵E是的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∵F是的中點(diǎn)，∴，而，∴．故答案為：8．【例4】如圖，三邊的中線，，的公共點(diǎn)為G，且，若，則圖中陰影部分的面積是_____．【答案】4【解析】解：∵的三條中線，，交于點(diǎn)G，，∴，∴，，∵，∴，，∴．故答案為：4．【例5】如圖，在中，，分別是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接與交于點(diǎn)．，求四邊形的面積．【答案】15【解析】解：∵分別是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，，∵，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，在中，，，∴，，∴，∴．與三角形中位線有關(guān)的應(yīng)用和證明【例1】在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，平分，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，．（1）求證：；（2）求的長(zhǎng)．【答案】見解析【解析】（1）證明：平分，．，．在與中，，．（2），，．是的中點(diǎn)，，．【例2】如圖，中，于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，連接，，．（1）求證：；（2）若四邊形的周長(zhǎng)是30，的周長(zhǎng)是21，求的長(zhǎng)．【答案】見解析【解析】解：（1），，點(diǎn)是的中點(diǎn)，；（2），，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，，，四邊形的周長(zhǎng)是30，，的周長(zhǎng)是21，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，是的中位線，．【例3】如圖，在四邊形中，是對(duì)角線的中點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)，，，求的度數(shù)．【答案】20【解析】解：是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中位線，，同理，，，，．【例4】在中，，、分別是、的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接、、、，與交于點(diǎn)O．(1)試說明與互相平分；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【解析】（1）∵、分別是、的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴且．又，即，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴與互相平分；（2）∵在中，，，，∴由勾股定理得，又由（1）知，，且，∴．∴在中，，，，∴由勾股定理得．梯形中位線【例1】已知一個(gè)梯形的中位線長(zhǎng)為，其中一條底邊的長(zhǎng)為，那么該梯形的另一條底邊的長(zhǎng)是．【答案】4【解析】解：設(shè)梯形的另一條底邊為，由題意得：，解得．即梯形的另一條底邊的長(zhǎng)為．故答案為：4．【例2】如圖，已知直角梯形的一條對(duì)角線把梯形分為一個(gè)直角三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則梯形的中位線長(zhǎng)為 B． C． D．【答案】B【解析】解：是等邊三角形，，，，，，，梯形的中位線是，故選：．【例3】如圖，梯形的兩底長(zhǎng)為，，中位線為，且，若為上的一點(diǎn)，且將梯形分成面積相同的兩區(qū)域，則與梯形的面積比為．【答案】1：16【解析】解：梯形的兩底長(zhǎng)為，，，．，，．故答案為：．四、中點(diǎn)四邊形【例1】順次連接四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是菱形，則原四邊形一定是(

)A．平行四邊形 B．對(duì)角線相等的四邊形C．矩形 D．對(duì)角線互相垂直的四邊【答案】B【解析】解：四邊形是菱形，，故AC．故選：B．【例2】若順次連接四邊形各邊的中點(diǎn)所得到的四邊形是矩形，則原四邊形必定是（

）A．正方形 B．對(duì)角線相等的四邊形C．菱形 D．對(duì)角線互相垂直的四邊形【答案】D【解析】解：如圖，四邊形是矩形點(diǎn)、的分別是、的中點(diǎn)是的中位線點(diǎn)、的分別是、的中點(diǎn)是的中位線．故選：D【例3】依次連接下列四邊形四條邊的中點(diǎn)得到四邊形不是菱形的是（

）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形【答案】B【解析】解：如圖所示，依次連接四邊形四條邊的中點(diǎn)，∵矩形，∴，，，，且點(diǎn)，，，分別為四邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴是菱形；∴選項(xiàng)不符合題意；如上圖所示，由選項(xiàng)結(jié)論得菱形，點(diǎn)，，，分別為四邊的中點(diǎn)，∴，且菱形的對(duì)角相等，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，不一定是菱形；∴選項(xiàng)符合題意；如下圖所示，正方形，點(diǎn)，，，分別為四邊的中點(diǎn)，∴，且，∴，∴，∴是菱形；∴選項(xiàng)不符合題意；如下圖所示，等腰梯形，點(diǎn)，，，分別為四邊的中點(diǎn)，∴，，，∴，∴，同理可得，，連接，在，中，點(diǎn)，，，分別為四邊的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)可知，，，，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，又∵，，∴是菱形；∴選項(xiàng)不符合題意．故選：．【例4】如圖，四邊形中，，．且，順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，得到四邊形，再順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，得到四邊形，如此進(jìn)行下去，得到四邊形．下列結(jié)論正確的是（

）①四邊形是矩形；②四邊形是菱形；③四邊形的周長(zhǎng)是，④四邊形的面積是．A．①②③ B．②③④ C．①② D．②③【答案】B【解析】解：①連接A1C1，B1D1．∵在四邊形ABCD中，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A1B1C1D1，∴A1D1BD，B1C1BD，C1D1AC，A1B1AC；∴A1D1B1C1，A1B1C1D1，∴四邊形A1B1C1D1是平行四邊形；∵ACBD，∴四邊形A1B1C1D1是矩形，∴B1D1=A1C1（矩形的兩條對(duì)角線相等）；∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（中位線定理），∴四邊形A2B2C2D2是菱形；故①錯(cuò)誤；②由①知，四邊形A2B2C2D2是菱形；∴根據(jù)中位線定理知，四邊形A4B4C4D4是菱形；故②正確；③根據(jù)中位線的性質(zhì)易知，A5B5=A3B3=A1B1=AC，B5C5=B3C3=B1C1=BD，∴四邊形A5B5C5D5的周長(zhǎng)是故③正確；④∵四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且ACBD，∴S四邊形ABCD=ab；由三角形的中位線的性質(zhì)可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉淼囊话?，四邊形AnBnCnDn的面積是故④正確；綜上所述，②③④正確．故選：B．1、如圖，在中，，，．若，分別為邊，的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為A．5 B．5.5 C．6 D．6.5【答案】D【解析】解：，，，，，，，故選：．2、如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，其中，點(diǎn)是斜梁的中點(diǎn)，、垂直于橫梁，，則的長(zhǎng)為 B． C． D．【答案】B【解答】解：，，，、垂直于橫梁，，點(diǎn)是斜梁的中點(diǎn)，．故選：．3、如圖，點(diǎn)、、分別是、、中點(diǎn)，且是的角平分線．求證：．【答案】見解析【解析】【解答】證明：連接，點(diǎn)、、分別是、、中點(diǎn)．，，四邊形是平行四邊形，，是的角平分線，，，，．4．如圖，平行四邊形中，對(duì)角線，相交于，，，，分別是，，的中點(diǎn)，下列結(jié)論中：①；②四邊形是平行四邊形；③；④平分，正確的是（）A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③④【答案】B【解析】解：如圖，四邊形是平行四邊形，，，又，，且點(diǎn)是中點(diǎn)，，故①正確，、分別是、的中點(diǎn)，，，點(diǎn)是斜邊上的中點(diǎn)，，無法證明，故③錯(cuò)誤，，四邊形是平行四邊形故②正確，，，，，,，，，平分，故④正確；故選：B．5．如圖，四邊形中，對(duì)角線，且，，各邊中點(diǎn)分別為，，，，順次連接得到四邊形；再取各邊中點(diǎn)，，，，順次連接得到四邊形；依此類推，這樣得到四邊形，則四邊形的面積為____．【答案】【解析】∵四邊形中，對(duì)角線，且，∴∵中點(diǎn)四邊形的面積是原四邊形面積的一半∴以此類推，6．已知一個(gè)對(duì)角線長(zhǎng)分別為和的菱形，順次連接它的四邊中點(diǎn)得到的四邊形的面積是______．【答案】48【解析】解：、、、分別為各邊中點(diǎn)，，，，，，，四邊形是矩形，，，矩形的面積，故答案為：．7．如圖，在和中，，、、分別為、、的中點(diǎn)，若，則________．【答案】1【解析】解：中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，點(diǎn)、分別是、中點(diǎn)，，故答案為：8、如圖，在中，，、分別是、的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使．連接、、．若，求的長(zhǎng)．【答案】3【解析】解：連接，，是的中點(diǎn)，，、分別是、的中點(diǎn)，，，，，又，四邊形是平行四邊形，．9．如圖，在四邊形中，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)．(1)若，求的長(zhǎng)．(2)若，求證：．【答案】（1）13（2）見解析【解析】（1）如圖，取的中點(diǎn)P，連接，∵E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，，∴，且，且．又∵，∴，∴．在中，．（2）證明：如圖，取的中點(diǎn)P，連接．∵E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，∴，且，，且．∴．∵，∴，∴，∴，∴．10．已知：如圖，四邊形四條邊上的中點(diǎn)分別為、、、，順次連接、、、，得到四邊形即四邊形的中點(diǎn)四邊形．(1)四邊形的形狀是______，請(qǐng)證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)四邊形的對(duì)角線滿足______條件時(shí)，四邊形是菱形；(3)你學(xué)過的哪種特殊的平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形？請(qǐng)寫出一種．【答案】(1)平行四邊形．證明見解析(2)；(3)矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形．【解析】（1）四邊形的形狀是平行四邊形．理由如下：如圖，連接．、分別是、中點(diǎn)，，，同理，，，，四邊形是平行四邊形；故答案為：平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形的對(duì)角線滿足的條件時(shí)，四邊形是菱形．理由如下：如圖，連接、．、、、分別為四邊形四條邊上的中點(diǎn)，，，，，，，又四邊形是平行四邊形平行四邊形是菱形；故答案為：；（3）矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形．理由如下：連接、．、、、分別為四邊形四條邊上的中點(diǎn)，，，，，，，四邊形是矩形，，，四邊形是菱形．11．定義：既相等又垂直的兩條線段稱為“等垂線段”，如圖1，在中，，，點(diǎn)、分別在邊、上，，連接、，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，且連接、．(1)觀察猜想線段與______填（“是”或“不是”）“等垂線段”．(2)繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，連接，，試判斷與是否為“等垂線段”，并說明理由．(3)拓展延伸把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請(qǐng)直接寫出與的積的最大值．【答案】】(1)是(2)是，答案見解析(3)【解析】（1）解：線段與是“等垂線段”．理由如下：∵點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，∴，，∵，，∴，即，∴．∵點(diǎn)、、分別為、、的