空間向量的應(yīng)用（一）講義高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

一.空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示1.空間中點(diǎn)的位置向量：如圖，在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量來表示.我們把向量稱為點(diǎn)P的位置向量.2.空間中直線的向量表示式：直線l的方向向量為a，且過點(diǎn)A.如圖，取定空間中的任意一點(diǎn)O，可以得到點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使＝＋ta①，把＝a代入①式得＝＋t②，①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.3.平面的法向量定義：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，我們稱向量a為平面α的法向量.給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a，那么過點(diǎn)A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合.【注】一個(gè)平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時(shí)，可適當(dāng)取平面的一個(gè)法向量.已知一平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個(gè)法向量.二.空間中直線、平面的平行（1）線線平行的向量表示：設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1l2?u1u2??λ∈R，使得u1＝λu2.（2）線面平行的向量表示：設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則lα?u⊥n?u·n＝0.（3）面面平行的向量表示：設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則αβ?n1n2??λ∈R，使得n1＝λn2.1.利用向量證明線線平行的思路：證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線即可.2.證明線面平行問題的方法：（1）證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi)；（2）證明直線的方向向量可以用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量表示且直線不在平面內(nèi)；（3）證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內(nèi).3.證明面面平行問題的方法：（1）利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行.（2）將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進(jìn)行證明.三.空間中直線、平面的垂直（1）線線垂直的向量表示：設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.（2）線面垂直的向量表示：設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l⊥α?un??λ∈R，使得u＝λn.（3）面面垂直的向量表示：設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.1.證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標(biāo)系→寫出點(diǎn)的坐標(biāo)→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直.2.用坐標(biāo)法證明線面垂直的方法及步驟：（1）利用線線垂直：①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；②找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量；③判斷直線的方向向量與平面內(nèi)兩條直線的方向向量垂直.（2）利用平面的法向量：①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；②求出平面的法向量；③判斷直線的方向向量與平面的法向量平行.3.證明面面垂直的兩種方法：（1）常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明.（2）法向量法：證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直. 考點(diǎn)1求平面的法向量【例1】已知點(diǎn)，則下列向量可作為平面的一個(gè)法向量的是（

）A． B． C． D．【詳解】由知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，取，解得，選項(xiàng)D符合，另外選項(xiàng)ABC中的向量與選項(xiàng)D中的向量不共線.故選：D【例2】在空間直角坐標(biāo)系中，，，，則平面的一個(gè)法向量為（

）A． B． C． D．【詳解】由已知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，取，解得，選項(xiàng)A符合，另外選項(xiàng)BCD中的向量與選項(xiàng)A中的向量不共線.故選：A.考點(diǎn)2利用空間向量證明線線平行【例1】如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．證明：.【詳解】根據(jù)正四棱柱性質(zhì)可知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，所以，可得，即向量與共線，又不在同一條直線上，所以.【例2】已知長方體中，，，，點(diǎn)S、P在棱、上，且，，點(diǎn)R、Q分別為AB、的中點(diǎn)．求證：直線直線．【詳解】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以、與的方向?yàn)閤、y與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．則、、、、、、、，由題意知、、、，∴，．∴，又，不共線，∴.考點(diǎn)3利用空間向量證明線面平行【例1】如圖所示，在直角梯形中，，，，是的中點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)，將沿折起，使得平面，試用向量方法證明平面.【詳解】由題意可知底面為正方形，因?yàn)槠矫?，平面，所以兩兩垂直，如圖以為原點(diǎn)，以為方向向量建立空間直角坐標(biāo)系，則有關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)為：，，，，，A2,0,0，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取可得平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，又在平面外，所以平?【例2】如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，且點(diǎn)分別為和的中點(diǎn)，求證：平面.【詳解】以為原點(diǎn)，分別以所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，，又因?yàn)榉謩e為和的中點(diǎn)，可得，又由向量為平面的一個(gè)法向量，且,由此可得，又因?yàn)橹本€平面，所以平面.考點(diǎn)4利用空間向量證明面面平行【例1】如圖，已知在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)．證明：

(1)平面；(2)平面平面．【詳解】（1）證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為2，則，，，，，．

由正方體的性質(zhì)，知平面，所以為平面的一個(gè)法向量．由于，則，所以．又平面，所以平面．（2）證明：因?yàn)闉槠矫娴囊粋€(gè)法向量，由于，，則，即也是平面MNP的一個(gè)法向量，所以平面平面．【例2】如圖所示，正四棱的底面邊長1，側(cè)棱長4，中點(diǎn)為，中點(diǎn)為．求證：平面平面.

【詳解】以為原點(diǎn)，，，所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則,0,，,1,，,0,，,0,，,1,，,1,，，，同理，平面，平面，平面，平面，平面，平面，又平面平面與平面平行．考點(diǎn)5利用空間向量證明線線垂直【例1】如圖，下列正方體中，為底面的中點(diǎn)，為所在棱的中點(diǎn)，、為正方體的頂點(diǎn)，則滿足的是（

）A．③④ B．①② C．②④ D．②③【詳解】設(shè)正方體的棱長為，對于①：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，則，所以與不垂直，即與不垂直，所以①錯(cuò)誤；對于②：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，則，所以，即，所以②正確；

對于③：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，則，所以，即，所以③正確；對于④：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，則，所以與不垂直，即與不垂直，所以④錯(cuò)誤；故選：D.【例2】在正方體中，點(diǎn)M，N分別是棱和線段上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足與垂直的直線MN（

）A．有且僅有1條 B．有且僅有2條C．有且僅有3條 D．有無數(shù)條【詳解】以正方向分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體棱長為1，則，所以，若，則，即，方程有無數(shù)組解，故選：D考點(diǎn)6利用空間向量證明線面垂直【例1】已知正方體的棱長為，、、分別是棱、、的中點(diǎn)，求證：平面．【詳解】建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，連結(jié)、．則、、、、．于是，，．設(shè)平面的法向量為．由，，得，．令，則，故．又，易知，這說明與共線．∴平面．【例2】已知正三棱臺中，，，、分別為、的中點(diǎn).

(1)求該正三棱臺的表面積；(2)求證：平面【詳解】（1）解：將正三棱臺補(bǔ)成正三棱錐，如圖所示：因?yàn)?，且，則、分別為、的中點(diǎn)，則，，故是邊長為的等邊三角形，由此可知，、都是邊長為的等邊三角形，易知是邊長為的等邊三角形，是邊長為的等邊三角形，故正三棱臺的表面積為.（2）解：設(shè)點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，則為正的中心，取的中點(diǎn)，連接，則，，則，因?yàn)槠矫?，平面，則，所以，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、、、，則，，，所以，，，所以，，，因?yàn)?，、平面，故平?考點(diǎn)7利用空間向量證明面面垂直【例1】如圖，在四棱錐中，平面，，，，.為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.求證：平面平面.【詳解】證明：如圖，以為原點(diǎn)，分別以，為軸，軸，過作平行線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，因?yàn)椋?，所以，即，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，平面的法向量為，則，令，則，所以，所以，所以，所以平面平面.【例2】如圖，正三棱柱中，分別是棱上的點(diǎn)，.

證明：平面平面.【詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接，

在正三棱柱中，不妨設(shè);以為原點(diǎn)，分別為軸和軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則,，；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，，即；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，，即.因?yàn)?，所以平面平面；【反饋練?xí)】一.單選題1．已知平面α上的兩個(gè)向量，，則平面α的一個(gè)法向量為（

）A． B．C． D．2．已知直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若直線平面，則（

）A．?7 B．2 C． D．3．若平面外的直線的方向向量為，平面的法向量為，則（

）A． B． C． D．與斜交4．若平面的法向量為，直線的方向向量為，，則下列四組向量中能使的是（

）A．， B．，C．， D．，5．如圖，在下列各正方體中，為正方體的一條體對角線，、分別為所在棱的中點(diǎn)，則滿足的是（

）A．

B．

C．

D．

6．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則（

）A．直線坐標(biāo)平面 B．直線坐標(biāo)平面C．直線坐標(biāo)平面 D．直線坐標(biāo)平面7．已知直線是正方體體對角線所在直線，為其對應(yīng)棱的中點(diǎn)，則下列正方體的圖形中滿足平面的是（

）A．（1）（2） B．（1）（3）C．（1）（4） D．（2）（4）8．在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則（

）A．平面平面B．平面平面C．平面平面D．平面平面二.多選題9．（多選）已知平面內(nèi)兩向量，且，若為平面的一個(gè)法向量，則（

）A． B． C． D．10．在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則（

）A．//平面 B．平面//平面C．⊥平面 D．平面平面三.填空題11．已知（a，）是直線l的方向向量，是平面的法向量，如果，則.12．如圖，在直角梯形中，E為的中點(diǎn)，，，M，N分別是，的中點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)D不在平面內(nèi)，則下命題中正確的序號為．①；②；③平面；④存在某折起位置，使得平面平面．四.解答題13．四邊形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量.14．如圖，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求證：15．如圖，四邊形為正方形，平面，，.(1)證明：平面平面；(2)證明：平面.16．如圖，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，.(1)求證：；(2)在線段BE上是否存在一點(diǎn)P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【參考答案】1．C1【詳解】顯然與不平行，設(shè)平面α的法向量為，則，所以，令，得，.所以．2．D【詳解】由直線平面，得，則，所以.3．B【詳解】根據(jù)題意，直線的方向向量為，平面的法向量為，易得，又直線在平面外，則有．4．A【詳解】根據(jù)題意，平面的法向量為，直線的方向向量為，，若，即，又由，則有，依次分析選項(xiàng)：對于A，，，，即成立，符合題意；對于B，，，，即不成立，不符合題意；對于C，，，，即不成立，不符合題意；對于D，，，，即不成立，不符合題意．5．C【詳解】在正方體中，建立空間直角坐標(biāo)系，令棱長為2，體對角線的端點(diǎn)為，對于A，，直線的方向向量，

，顯然，直線與不垂直，A不是；對于B，由選項(xiàng)A知，直線的方向向量，，

則,顯然，直線與不垂直，B不是；對于C，由選項(xiàng)A知，直線的方向向量，，

則,顯然，，C是；對于D，由選項(xiàng)A知，直線的方向向量，，

則,顯然，直線與不垂直，D不是.6．C【詳解】由題意可知，，平面的法向量為，因?yàn)?，且所以與既不平行也不垂直，所以直線與坐標(biāo)平面既不平行也不垂直，故AB錯(cuò)誤；坐標(biāo)平面的法向量為，，所以，且平面，故C正確，D錯(cuò)誤.7．B【詳解】設(shè)正方體的邊長為2，對于圖（1），建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，直線的方向向量為，，，因?yàn)?，，所以，，，平面，所以平面，故圖（1）正確；對于圖（2），建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，直線的方向向量為，則，因?yàn)椋耘c不垂直，所以與平面不垂直，故圖（2）錯(cuò)誤；對于圖（3），建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，直線的方向向量為，因?yàn)?，，所以，，，平面，所以平面，故圖（3）正確；對于圖（4），建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，直線的方向向量為，因?yàn)?，所以與不垂直，所以與平面不垂直，故圖（4）正確.綜上，正確的有圖（1）（3）.8．D【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)邊長為2，則，則，，設(shè)平面的法向量為m=x1,令，則，同理可得平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量，平面的法向量為，對A，因?yàn)?，則可知與不平行，故A錯(cuò)誤；對B，因?yàn)?，則與不垂直，故B錯(cuò)誤；對C，因?yàn)?，所以與不平行，故C錯(cuò)誤；對D，因?yàn)?，與垂直，故D正確；9．AC【詳解】，由為平面的一個(gè)法向量，得得解得故B，D錯(cuò)誤.10．AD【詳解】由正方體性質(zhì)易得平面//平面，又平面，故EF//平面，故A正確如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則,,,，,,則，，對B,設(shè)平面的法向量為，則有，令，則而，故平面//平面不成立，故B錯(cuò)誤；對C,因?yàn)?，故⊥平面不成立，C錯(cuò)誤；對D，設(shè)平面的法向量為，，令，則平面的法向量為因?yàn)椋瑒t平面平面，故D正確.11．39【詳解】因，依題意，必有，即存在唯一的實(shí)數(shù)，使，即：，則，解得：，故.12．②③【詳解】①③，如圖所示：直角梯形中，，又因?yàn)?，，所以，故四邊形為矩形，因?yàn)镹分別是的中點(diǎn)，連接，則與相交于點(diǎn)，故點(diǎn)是的中點(diǎn)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，而與相交于點(diǎn)，故與不平行，故與不平行，①錯(cuò)誤，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，③正確；②，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，由①知，所以，②正確；④，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，故，設(shè)平面的法向量為，故，解得，令，則，故，設(shè)平面的法向量為，故，解得，令，則，故，故，因?yàn)?，故，故，故不存在某折起位置，使得平面平面，④錯(cuò)誤.13．即為平面的法向量，是平面的法向量【詳解】因?yàn)?，，所?/p>