測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理

第2章測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理

1誤差的基本概念2誤差的估計(jì)和處理3測(cè)量不確定度4最小二乘法處理（自學(xué)）§1誤差的基本概念1.1誤差的定義測(cè)量的目的:獲得被測(cè)量的真值。真值:在一定的時(shí)間和空間環(huán)境條件下，被測(cè)量本身所具有的真實(shí)數(shù)值。測(cè)量誤差:“測(cè)不準(zhǔn)原理”：所有測(cè)量都有誤差1.2誤差的來(lái)源

儀器誤差：儀器設(shè)計(jì)、制造、檢定等不完善，儀器使用過(guò)程中老化、磨損、疲勞。影響誤差：環(huán)境（溫度、濕度、振動(dòng)、電源、電磁場(chǎng)等）變化引起。理論/方法誤差：測(cè)量原理、近似公式、測(cè)量方法不合理而造成的誤差。人身誤差：測(cè)量人員感官的分辨能力、反應(yīng)速度、視覺疲勞、固有習(xí)慣、操作不當(dāng)?shù)纫鸬?。測(cè)量對(duì)象變化誤差：測(cè)量過(guò)程中測(cè)量對(duì)象變化而使得測(cè)量值不準(zhǔn)確，引起動(dòng)態(tài)誤差等。1.3誤差的表示方法絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差1.絕對(duì)誤差（1）定義：由測(cè)量所得到的被測(cè)量值與其真值之差實(shí)際應(yīng)用中常用實(shí)際值A(chǔ)（高一級(jí)以上的測(cè)量?jī)x器或計(jì)量器具測(cè)量所得之值）來(lái)代替真值。（2）修正值修正值可以通過(guò)上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)的檢定給出，可以是數(shù)值表格、曲線或函數(shù)表達(dá)式等形式。2.相對(duì)誤差測(cè)量準(zhǔn)確程度，不僅與絕對(duì)誤差的大小，而且與這個(gè)量本身的大小有關(guān)。（1）相對(duì)真誤差：與真值之比（2）實(shí)際相對(duì)誤差：實(shí)際值之比（3）示值（標(biāo)稱）相對(duì)誤差：用測(cè)量值之比（4）滿度相對(duì)誤差（引用相對(duì)誤差）：

一個(gè)量程范圍內(nèi)的最大絕對(duì)誤差與該量程值（上限值－下限值）之比滿度相對(duì)誤差應(yīng)用電工儀表就是按引用誤差進(jìn)行分級(jí)的。是儀表在工作條件下不應(yīng)超過(guò)的最大引用相對(duì)誤差我國(guó)電工儀表共分七級(jí)：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5及5.0。如果儀表為S級(jí)，則說(shuō)明該儀表的最大引用誤差不超過(guò)S%測(cè)量點(diǎn)的最大相對(duì)誤差在使用這類儀表測(cè)量時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)牧砍?，使示值盡可能接近于滿度值，指針最好能偏轉(zhuǎn)在不小于滿度值2/3以上的區(qū)域。某待測(cè)電流約為100mA，現(xiàn)有0.5級(jí)量程為0～400mA和1.5級(jí)量程為0～100mA的兩個(gè)電流表，問(wèn)用哪一個(gè)電流表測(cè)量較好？用1.5級(jí)量程為0～100mA電流表測(cè)量100mA時(shí)的最大相對(duì)誤差為解：用0.5級(jí)量程為0～400mA電流表測(cè)100mA時(shí)，最大相對(duì)誤差為分貝誤差——相對(duì)誤差的對(duì)數(shù)表示用對(duì)數(shù)形式表示的誤差，單位：dB。電壓增益的測(cè)得值為誤差為用對(duì)數(shù)表示為增益測(cè)得值的分貝值增益的分貝誤差絕對(duì)誤差？相對(duì)誤差？1.4誤差的分類1.隨機(jī)誤差定義:在同一測(cè)量條件下（指在測(cè)量環(huán)境、測(cè)量人員、測(cè)量技術(shù)和測(cè)量?jī)x器都相同的條件下），多次重復(fù)測(cè)量同一量值時(shí)（等精度測(cè)量），每次測(cè)量誤差的絕對(duì)值和符號(hào)都以不可預(yù)知的方式變化，稱為隨機(jī)誤差或偶然誤差，簡(jiǎn)稱隨差。對(duì)測(cè)量值影響微小但卻互不相關(guān)的大量因素共同造成。噪聲干擾、電磁場(chǎng)微變、零件的摩擦和配合間隙、熱起伏、空氣擾動(dòng)、大地微震、測(cè)量人員感官的無(wú)規(guī)律變化等。隨機(jī)誤差（續(xù)）例：對(duì)一不變的電壓在相同情況下，多次測(cè)量得到1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。單次測(cè)量的隨差沒(méi)有規(guī)律，但多次測(cè)量的總體卻服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律?？赏ㄟ^(guò)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)處理,即求算術(shù)平均值隨機(jī)誤差大?。簻y(cè)量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值之差2.系統(tǒng)誤差定義：在同一測(cè)量條件下，多次測(cè)量重復(fù)同一量時(shí)，測(cè)量誤差的絕對(duì)值和符號(hào)都保持不變，或在測(cè)量條件改變時(shí)按一定規(guī)律變化的誤差例如儀器的刻度誤差和零位誤差，或值隨溫度變化的誤差。主要原因:儀器的制造、安裝或使用方法不正確，環(huán)境因素（溫度、濕度、電源等）影響，測(cè)量原理中使用近似計(jì)算公式，測(cè)量人員不良的讀數(shù)習(xí)慣等。系統(tǒng)誤差表明了一個(gè)測(cè)量結(jié)果偏離真值或?qū)嶋H值的程度。系差越小，測(cè)量就越準(zhǔn)確。在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值與被測(cè)量的真值之差。即系差和隨差之間在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化3.粗大誤差粗大誤差是一種顯然與實(shí)際值不符的誤差。 產(chǎn)生原因：①測(cè)量操作疏忽和失誤如測(cè)錯(cuò)、讀錯(cuò)、記錯(cuò)以及實(shí)驗(yàn)條件未達(dá)到預(yù)定的要求而匆忙實(shí)驗(yàn)等。②測(cè)量方法不當(dāng)或錯(cuò)誤如用普通萬(wàn)用表電壓檔直接測(cè)高內(nèi)阻電源的開路電壓③測(cè)量環(huán)境條件的突然變化如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾、機(jī)械沖擊等引起測(cè)量?jī)x器示值的劇烈變化等。含有粗差的測(cè)量值稱為壞值或異常值，在數(shù)據(jù)處理時(shí)，應(yīng)剔除掉。1.5測(cè)量結(jié)果的表征準(zhǔn)確度:系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差越小，則準(zhǔn)確度越高，即測(cè)量值與實(shí)際值符合的程度越高。精密度:隨機(jī)誤差。精密度越高，表示隨機(jī)誤差越小。隨機(jī)因素使測(cè)量值呈現(xiàn)分散而不確定，但總是分布在平均值附近。精確度:系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的綜合影響。精確度越高，表示正確度和精密度都高，意味著系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都小。射擊誤差示意圖1.6有效數(shù)字的處理（自學(xué)）1.數(shù)字修約規(guī)則由于測(cè)量數(shù)據(jù)和測(cè)量結(jié)果均是近似數(shù)，其位數(shù)各不相同。為了使測(cè)量結(jié)果的表示準(zhǔn)確唯一，計(jì)算簡(jiǎn)便，在數(shù)據(jù)處理時(shí)，需對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)和所用常數(shù)進(jìn)行修約處理。數(shù)據(jù)修約規(guī)則：（1）小于5舍去——末位不變。（2）大于5進(jìn)1——在末位增1。（3）等于5時(shí)，取偶數(shù)——當(dāng)末位是偶數(shù)，末位不變；末位是奇數(shù)，在末位增1（將末位湊為偶數(shù)）。舍入應(yīng)一次到位，不能逐位舍入。如0.69499→0.69，錯(cuò)誤做法是：0.69499→0.6950→0.695→0.70。2有效數(shù)字若截取得到的近似數(shù)其截取或舍入誤差的絕對(duì)值不超過(guò)近似數(shù)末位的半個(gè)單位，則該近似數(shù)從左邊第一個(gè)非零數(shù)字到最末一位數(shù)為止的全部數(shù)字，稱之為有效數(shù)字。例如：3.142 四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058.700 四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058.7×103 二位有效數(shù)字，極限誤差≤0.05×1030.0807 三位有效數(shù)字，極限誤差≤0.005中間的0和末尾的0都是有效數(shù)字，不能隨意添加。開頭的零不是有效數(shù)字?？茖W(xué)計(jì)數(shù)法，如a×10n，a的位數(shù)由有效數(shù)字的位數(shù)所決定。測(cè)量結(jié)果（或讀數(shù)）的有效位數(shù)應(yīng)由該測(cè)量的不確定度來(lái)確定，即測(cè)量結(jié)果的最末一位應(yīng)與不確定度的位數(shù)對(duì)齊。例如，某物理量的測(cè)量結(jié)果的值為63.44，且該量的測(cè)量不確定度u＝0.4，測(cè)量結(jié)果表示為63.4±0.4。3.近似運(yùn)算法則保留的位數(shù)原則上取決于各數(shù)中準(zhǔn)確度最差的那一項(xiàng)。加法運(yùn)算

以小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的為準(zhǔn)（各項(xiàng)無(wú)小數(shù)點(diǎn)則以有效位數(shù)最少者為準(zhǔn)），其余各數(shù)可多取一位。例如：

減法運(yùn)算：當(dāng)兩數(shù)相差甚遠(yuǎn)時(shí)，原則同加法運(yùn)算；當(dāng)兩數(shù)很接近時(shí)，有可能造成很大的相對(duì)誤差，因此，第一要盡量避免導(dǎo)致相近兩數(shù)相減的測(cè)量方法，第二在運(yùn)算中多一些有效數(shù)字。

近似運(yùn)算法則（續(xù)）乘除法運(yùn)算

以有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)為準(zhǔn)，其余參與運(yùn)算的數(shù)字及結(jié)果中的有效數(shù)字位數(shù)與之相等。例如：

→也可以比有效數(shù)字位數(shù)最少者多保留一位有效數(shù)字。例如上面例子中的517.43和4.08各保留至517和4.08，結(jié)果為35.5。乘方、開方運(yùn)算

運(yùn)算結(jié)果比原數(shù)多保留一位有效數(shù)字。例如：（27.8）2≈772.8 (115)2≈1.322×104§2誤差的估計(jì)和處理隨機(jī)誤差不可避免。多次測(cè)量，測(cè)量值和隨機(jī)誤差服從概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律。用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法處理測(cè)量數(shù)據(jù)，減少隨機(jī)誤差的影響。2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法

1.隨機(jī)誤差的性質(zhì)和特點(diǎn)隨機(jī)誤差的特點(diǎn)（殘差）

①對(duì)稱性②單峰性③有界性④抵償性古典誤差理論認(rèn)為隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布理論依據(jù)：中心極限定理【假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立的隨機(jī)變量的和，其中每一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和只起微小作用，則可認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布】

隨機(jī)誤差的性質(zhì)和特點(diǎn)——正態(tài)分布高爾頓釘板2.隨機(jī)誤差的數(shù)字特征

數(shù)學(xué)期望定義:

離散型隨機(jī)變量：連續(xù)型隨機(jī)變量：物理意義:以正態(tài)分布為例數(shù)學(xué)期望描述隨機(jī)變量在數(shù)軸上的位置。隨機(jī)變量的所有可能值都圍繞數(shù)學(xué)期望擺動(dòng)，當(dāng)需要用一個(gè)數(shù)值來(lái)表征隨機(jī)變量大小時(shí)，該值就是數(shù)學(xué)期望！方差和標(biāo)準(zhǔn)偏差描述隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的分散程度

D(X)=E(X－E(X))2與隨機(jī)變量有相同量綱。方差是最小的二階矩二階矩：隨機(jī)變量與任一常數(shù)A的偏離程度。隨機(jī)變量關(guān)于其數(shù)學(xué)期望的偏離程度比其它任何值都小。這說(shuō)明數(shù)學(xué)期望是被測(cè)量的最可信賴的值（概然值）。

標(biāo)準(zhǔn)偏差的物理意義標(biāo)準(zhǔn)偏差是代表測(cè)量數(shù)據(jù)和測(cè)量誤差分布離散程度的特征數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，則曲線形狀越尖銳，說(shuō)明數(shù)據(jù)越集中；標(biāo)準(zhǔn)偏差越大，則曲線形狀越平坦，說(shuō)明數(shù)據(jù)越分散。以正態(tài)分布為例：3.

數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)求被測(cè)量的數(shù)字特征，理論上需無(wú)窮多次測(cè)量，但在實(shí)際測(cè)量中只能進(jìn)行有限次測(cè)量，怎么辦？用事件發(fā)生的頻度代替事件發(fā)生的概率，當(dāng)則令n個(gè)不相同的測(cè)試數(shù)據(jù)xi(i=1.2…,n)

次數(shù)都計(jì)為1,當(dāng)時(shí)，則（1）數(shù)學(xué)期望的估計(jì)——算術(shù)平均值被測(cè)量X的數(shù)學(xué)期望，就是當(dāng)測(cè)量次數(shù)時(shí)，各次測(cè)量值的算術(shù)平均值算術(shù)平均值(續(xù)）當(dāng)測(cè)量次數(shù)有限時(shí)，算術(shù)平均值作為測(cè)量真值的估計(jì)值是否可以？如果算術(shù)平均值是數(shù)學(xué)期望的無(wú)偏估計(jì)值（或一致估計(jì)值、最大似然估計(jì)值），就可以用算術(shù)平均值來(lái)估計(jì)測(cè)量真值。作為無(wú)偏估計(jì)，就要證明估計(jì)值的數(shù)學(xué)期望正好等于未知參量（真值）?。?）算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差比總體或單次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差小倍。隨機(jī)誤差的抵償性。圖2-9、2-10

*用算術(shù)平均值作為估計(jì)值的精度問(wèn)題!（3）標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差（標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值），貝塞爾公式：實(shí)驗(yàn)方差是標(biāo)準(zhǔn)方差的無(wú)偏估計(jì)！但實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差是標(biāo)準(zhǔn)偏差的有偏估計(jì)，其無(wú)偏估計(jì)要帶一個(gè)修偏系數(shù)。算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值：標(biāo)準(zhǔn)偏差是以“真誤差”來(lái)計(jì)算的。有限次測(cè)量只能得到“殘差”,如何根據(jù)“殘差”估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)偏差?

①平均值

②殘差用公式計(jì)算列于上表中③實(shí)驗(yàn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差計(jì)算舉例用溫度計(jì)重復(fù)測(cè)量某個(gè)不變的溫度，得11個(gè)測(cè)量值的序列（見下表）。求測(cè)量值的平均值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。4.測(cè)量結(jié)果的置信度算術(shù)平均值數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值 實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差分布離散程度的估計(jì)值

——估計(jì)的可靠程度有多大？測(cè)量結(jié)果的置信度問(wèn)題 估計(jì)值落在某一數(shù)值區(qū)間的概率有多大？

——數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的區(qū)間估計(jì)問(wèn)題

（1）置信概率與置信區(qū)間

置信概率:置信區(qū)間內(nèi)包含真值的概率

置信限：

置信系數(shù)（置信因子）:k置信概率（2）正態(tài)分布的置信概率當(dāng)分布和k值確定之后，則置信概率可定

正態(tài)分布,當(dāng)k=3時(shí)置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997的意義：我們可以有68.27%的把握認(rèn)為測(cè)量誤差不超出（3）t分布的置信概率給定置信概率和測(cè)量次數(shù)n，查表得置信因子kt。自由度：v=n-1當(dāng)v很小時(shí)，t分布的中心值比較小，分散度較大，即對(duì)于相同的概率，t分布比正態(tài)分布有更大的置信區(qū)間。正態(tài)分布是t分布極限。n>20以上，t分布趨于正態(tài)分布。t分布:學(xué)生分布算術(shù)平均值的分布測(cè)量次數(shù)較小時(shí)（4）非正態(tài)分布及其置信因子當(dāng)組成隨機(jī)誤差的因素中有一個(gè)或幾個(gè)因素具有突出影響時(shí)，誤差分布會(huì)偏離正態(tài)性。均勻分布，如儀器最小分辨力誤差。常見的非正態(tài)分布都是有限的，設(shè)其置信限為誤差極限，即誤差的置信區(qū)間為置信概率為100％。（P=1)反正弦均勻三角分布例：均勻分布

有故:2.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法1.系統(tǒng)誤差的特征在同一條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，誤差按一定的規(guī)律變化。

多次測(cè)量求平均不能減少系差。2.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法不變系差：校準(zhǔn)、修正和實(shí)驗(yàn)比對(duì)。變化系差：①

殘差觀察法，適用于系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差大的情況 將所測(cè)數(shù)據(jù)及其殘差按先后次序列表或作圖，觀察各數(shù)據(jù)的殘差值的大小和符號(hào)的變化。

存在線性變化的系統(tǒng)誤差無(wú)明顯系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法

（續(xù)）②馬林科夫判據(jù)：若有累進(jìn)性系差，D值應(yīng)明顯異于零。

n為偶數(shù)n為奇數(shù)

③阿貝赫梅特判據(jù)：檢驗(yàn)周期性系差

排除累進(jìn)性系差的前提下使用3.系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法

（1）從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差根源上采取措施減小系統(tǒng)誤差①

從測(cè)量原理和測(cè)量方法盡力做到正確、嚴(yán)格。②

測(cè)量?jī)x器定期檢定和校準(zhǔn)，正確使用儀器。③注意環(huán)境對(duì)測(cè)量的影響，特別是溫度的影響較大。④

盡量減少或消除測(cè)量人員主觀原因造成的系統(tǒng)誤差。（2）用修正方法減少系統(tǒng)誤差

修正值＝－誤差=－（測(cè)量值－真值）實(shí)際值＝測(cè)量值＋修正值（3）采用一些專門的測(cè)量方法如替代法、交換法、對(duì)稱測(cè)量法、減小周期性系差的半周期法

系差忽略不計(jì)的準(zhǔn)則：系差或殘差代數(shù)和的絕對(duì)值不超過(guò)測(cè)量結(jié)果擴(kuò)展不確定度的最后一位有效數(shù)字的一半。減少系差的測(cè)量方法（復(fù)合式比較）（1）零示法與微差法在零示法中，要仔細(xì)調(diào)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)量S使之與未知量x相等，這通常很費(fèi)時(shí)間，有時(shí)甚至不可能做到，微差法進(jìn)行測(cè)量時(shí)，測(cè)量誤差公式：測(cè)量?jī)x器的誤差對(duì)測(cè)量的影響被大大地削弱優(yōu)點(diǎn)：測(cè)量速度快和測(cè)量準(zhǔn)確度高。

(2)替代法

用已知的標(biāo)準(zhǔn)量去替代未知的被測(cè)量，通過(guò)調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)量而保持替代前后儀器示值不變，于是標(biāo)準(zhǔn)量的值等于被測(cè)量值。(3)交換法通過(guò)交換被測(cè)量和標(biāo)準(zhǔn)量的位置，從前后兩次換位測(cè)量結(jié)果的處理中，削弱或消除系統(tǒng)誤差。特別適用于平衡對(duì)稱結(jié)構(gòu)的測(cè)量裝置。消除不等臂誤差！消除R1，R2不準(zhǔn)確帶來(lái)的誤差！2.3粗大誤差及其判斷準(zhǔn)則

1.粗大誤差產(chǎn)生原因以及防止與消除的方法

粗大誤差的產(chǎn)生原因

①測(cè)量人員的主觀原因②客觀外界條件的原因消除粗大誤差的方法：大誤差出現(xiàn)的概率很小，列出可疑數(shù)據(jù)，分析是否是粗大誤差，若是則將對(duì)應(yīng)的測(cè)量值剔除。檢驗(yàn)法都是人為主觀擬定的，至今無(wú)統(tǒng)一的規(guī)定。當(dāng)偏離正態(tài)分布和測(cè)量次數(shù)少時(shí)檢驗(yàn)不一定可靠。若有多個(gè)可疑數(shù)據(jù)同時(shí)超過(guò)檢驗(yàn)所定置信區(qū)間，應(yīng)逐個(gè)剔除。2.

粗大誤差的判別準(zhǔn)則統(tǒng)計(jì)學(xué)方法的基本思想：給定置信概率，確定相應(yīng)的置信區(qū)間，超過(guò)置信區(qū)間的誤差就認(rèn)為是粗大誤差，逐個(gè)予以剔除。萊特準(zhǔn)則：萊特準(zhǔn)則基于測(cè)量次數(shù)無(wú)窮大，測(cè)量測(cè)數(shù)較小時(shí)不可靠。格拉布斯準(zhǔn)則基本思想：從樣本極大/小值的分布出發(fā)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。G按重復(fù)測(cè)量次數(shù)n、置信概率Pc共同確定（剔除數(shù)據(jù)的寬嚴(yán)：數(shù)據(jù)量越大，誤差較大的數(shù)據(jù)越可能出現(xiàn)?。┙猓孩儆?jì)算得s=0.033 計(jì)算殘差填入表3－7，最大，是可疑數(shù)據(jù)。②用萊特檢驗(yàn)法3·s=3×0.033=0.099故可判斷是粗大誤差，應(yīng)予剔除。再對(duì)剔除后的數(shù)據(jù)計(jì)算得：s′=0.016 3·s′=0.048各測(cè)量值的殘差V′填入表3－7，殘差均小于3s′故14個(gè)數(shù)據(jù)都為正常數(shù)據(jù)?！纠繉?duì)某電爐的溫度進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量，所得結(jié)果列于表3－7，試檢查測(cè)量數(shù)據(jù)中有無(wú)粗大誤差。2.4測(cè)量數(shù)據(jù)的處理1.等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的處理

在相同的測(cè)量條件下在短時(shí)間內(nèi)進(jìn)行的重復(fù)測(cè)量。對(duì)測(cè)量值進(jìn)行系統(tǒng)誤差修正，將數(shù)據(jù)依次列成表格；求出算術(shù)平均值列出殘差，并驗(yàn)證按貝塞爾公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值按萊特準(zhǔn)則，或格拉布斯準(zhǔn)則檢查和剔除粗大誤差；判斷有無(wú)系統(tǒng)誤差。如有系統(tǒng)誤差，應(yīng)查明原因，修正或消除系統(tǒng)誤差后重新測(cè)量；計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差寫出最后結(jié)果的表達(dá)式（單位，置信度）?！纠繉?duì)某電壓進(jìn)行了16次等精度測(cè)量，測(cè)量數(shù)據(jù)中已記入修正值，列于表中。要求給出包括誤差在內(nèi)的測(cè)量結(jié)果表達(dá)式。2.非等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的處理（不作要求）在測(cè)量條件不同時(shí)進(jìn)行的測(cè)量，測(cè)量結(jié)果的精密度將不同。權(quán)：各測(cè)量結(jié)果相對(duì)的可信賴程度，測(cè)量結(jié)果越可靠，其“權(quán)”越大?？煽啃源蟮臏y(cè)量結(jié)果在最后結(jié)果中所占的比重大?！皺?quán)”是一個(gè)相對(duì)的概念,與標(biāo)準(zhǔn)偏差的平方成反比加權(quán)平均值：精度高的儀器測(cè)得的數(shù)據(jù)作為測(cè)量結(jié)果最佳么？以多組重復(fù)測(cè)量為例說(shuō)明加權(quán)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差：證明思路:誤差合成原理等精度測(cè)量為特例§3測(cè)量不確定度

3.1不確定度的概念不確定度：測(cè)量結(jié)果可能的分散程度的參數(shù)。用標(biāo)準(zhǔn)偏差或標(biāo)準(zhǔn)偏差的倍數(shù)或置信區(qū)間的半寬度表示。標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用標(biāo)準(zhǔn)偏差表示的不確定度①A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：統(tǒng)計(jì)方法②B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：非統(tǒng)計(jì)方法合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度：由不確定度分量合成的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。（因?yàn)闇y(cè)量結(jié)果是受若干因素聯(lián)合影響）擴(kuò)展不確定度用合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的倍數(shù)表示。包含因子的取值決定了擴(kuò)展不確定度的置信水平。不確定度的分類

不確定度與誤差的關(guān)系定義 誤差以約定真值為中心，理想概念 不確定度以估計(jì)值為中心，反映認(rèn)識(shí)不足程度分類 誤差按性質(zhì)分類，但各類誤差之間不存在絕對(duì)界限 不確定度按評(píng)定方法分類，按實(shí)際情況的選用。不論“出身”、只認(rèn)“結(jié)果”聯(lián)系 不確定度以誤差分析為基礎(chǔ)，是經(jīng)典誤差理論的補(bǔ)充， 還有待進(jìn)一步完善1.A類評(píng)定（統(tǒng)計(jì)方法）

3.2不確定度的評(píng)定方法

自由度：數(shù)值越大，說(shuō)明測(cè)量不確定度越可信。2.B類評(píng)定（非統(tǒng)計(jì)方法）主要信息來(lái)源是以前測(cè)量的數(shù)據(jù)、生產(chǎn)廠的技術(shù)證明書、儀器的鑒定證書或校準(zhǔn)證書等。確定測(cè)量值的誤差區(qū)間（α,-α），并假設(shè)被測(cè)量的值的概率分布，由要求的置信水平估計(jì)包含因子k（通常在2～3之間），則B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度uB為分布三角梯形均勻反正弦

k(p=1)概率P%5068.27909595.459999.73置信因子0.67611.6451.96022.5763表3－9正態(tài)分布時(shí)概率與置信因子的關(guān)系表3－10幾種非正態(tài)分布的置信因子k

3.3合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度1、誤差傳遞與合成（1）誤差傳遞理論測(cè)量函數(shù)為和、差關(guān)系時(shí)，求絕對(duì)誤差較方便測(cè)量函數(shù)為積、商、開方、乘方關(guān)系時(shí)，求相對(duì)誤差較方便（2）標(biāo)準(zhǔn)偏差的合成相關(guān)系數(shù)、協(xié)方差2、標(biāo)準(zhǔn)不確定度的合成各不確定度分量不相關(guān)，不能寫出函數(shù)關(guān)系的：①

所有的輸入量都相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)ｒ(ｘｉ,ｘｊ)＝1②Y＝A1X1＋A2X2＋…＋ANXN，且X1,X2,…,XN不相關(guān)③，且X1,X2,…,XN不相關(guān)

例:電功率P=IV則不確定度傳播律公式的幾種簡(jiǎn)化公式3.4擴(kuò)展不確定度擴(kuò)展不確定度U由合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度ｕC與包含因子ｋ的乘積得到U＝k·uC

測(cè)量結(jié)果表示為Y＝ｙ±U，即Y=y±kuc

y是被測(cè)量Y的最佳估計(jì)值,k由置信概率（常取0.95或0.99）和概率分布（正態(tài)、均勻、t分布等）確定。包含因子k選取方法:(A)無(wú)法得到合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度，且測(cè)量值接近正態(tài)分布時(shí)，則一般?。氲牡湫椭禐?或3。(B)根據(jù)測(cè)量值分布規(guī)律和所要求的置信水平選?。胫怠＠?，假設(shè)為均勻分布時(shí)，置信水平P＝0.95，查表得k＝1.65。P﹪k57.741951.65991.711001.73均勻分布時(shí)置信概率與置信因子k的關(guān)系自由度：測(cè)量不確定度的不確定度A類不確定度分量的自由度

B類不確定度分量的自由度合成不確定度的自由度Ci——靈敏度系數(shù)CiU(xi)=Ui(y)3.5應(yīng)用實(shí)例對(duì)測(cè)量設(shè)備進(jìn)行校準(zhǔn)或檢定后，要出具校準(zhǔn)或檢定證書；對(duì)某個(gè)被測(cè)量進(jìn)行測(cè)量后也要報(bào)告測(cè)量結(jié)果，并說(shuō)明測(cè)量不確定度。①明確被測(cè)量的定義和數(shù)學(xué)模型及測(cè)量條件，明確測(cè)量原理、方法，以及測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)、測(cè)量設(shè)備等；②分析不確定度來(lái)源；③分別采用A類和B類評(píng)定方法，評(píng)定各不確定度分量。A類評(píng)定時(shí)要剔除異常數(shù)據(jù)；④計(jì)算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度；⑤計(jì)算擴(kuò)展不確定度；⑥報(bào)告測(cè)量結(jié)果。Y=y±kuc【例】用電壓表直接測(cè)量一個(gè)標(biāo)稱值為200Ω的電阻兩端的電壓，以便確定該電阻承受的功率。測(cè)量所用的電壓的技術(shù)指標(biāo)由使用說(shuō)明書得知，其最大允許誤差為±1％，經(jīng)計(jì)量鑒定合格，證書指出它的自由度為10。(當(dāng)證書上沒(méi)有有關(guān)自由度的信息時(shí)，就認(rèn)為自由度是無(wú)窮大。)標(biāo)稱值為200Ω的電阻經(jīng)校準(zhǔn)，校準(zhǔn)證書給出其校準(zhǔn)值為199.99Ω，校準(zhǔn)值的擴(kuò)展不確定度為0.02Ω（包含因子k為2）。用電壓表對(duì)該電阻在同一條件下重復(fù)測(cè)量5次，測(cè)量值分別為：2.2V、2.3V、2.4V、2.2V、2.5V。測(cè)量時(shí)溫度變化對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響可忽略不計(jì)。求功率的測(cè)量結(jié)果及其擴(kuò)展不確定度。電壓的B類不確定度電阻的B類不確定度電壓的A類不確定度解：（1）數(shù)學(xué)模型（2）測(cè)量結(jié)果的最佳估計(jì)值（3）標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的評(píng)定①電壓測(cè)量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度電壓表不準(zhǔn)引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u1-（V），B類評(píng)定a1=2.32V×1%=0.023V(b)電壓測(cè)量重復(fù)性引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u2-（V），A類評(píng)定電壓不確定度:電壓的自由度：

②電阻不準(zhǔn)引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u（R）