高等代數(shù)：數(shù)環(huán)與數(shù)域

數(shù)環(huán)與數(shù)域數(shù)環(huán)的概念設(shè)S是一個(gè)非空數(shù)集,如果S中任意二數(shù)的和,差,積仍屬于S,則稱S是一個(gè)數(shù)環(huán).例如：整數(shù)集是一個(gè)數(shù)環(huán)，稱為整數(shù)環(huán)；全體偶數(shù)(包括負(fù)數(shù))也是一個(gè)數(shù)環(huán)，稱為偶數(shù)環(huán)；數(shù)集{0}本身就是一個(gè)數(shù)環(huán).想一想：全體奇數(shù)是一個(gè)數(shù)環(huán)嗎？{a|a∈R且a≠0}呢？數(shù)域的概念設(shè)K是一個(gè)含有不等于０的數(shù)的數(shù)集.如果K中任意二數(shù)的和,差,積,商(除數(shù)不為零)仍屬于K,則稱K是一個(gè)數(shù)域.有理數(shù)集,實(shí)數(shù)集和復(fù)數(shù)集都是數(shù)域,分別稱為有理數(shù)域,實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域.數(shù)域有無(wú)窮個(gè).數(shù)環(huán)和數(shù)域的聯(lián)系和區(qū)別相同點(diǎn)：(1)數(shù)域和數(shù)環(huán)的實(shí)質(zhì)都是一個(gè)數(shù)集;不同點(diǎn)：(1)數(shù)域一定含有非0的元素,數(shù)環(huán)則包含{0};(2)數(shù)域的含義中包含除法,數(shù)環(huán)則不包含;聯(lián)系：數(shù)域一定是數(shù)環(huán),但數(shù)環(huán)不一定是數(shù)域.如{0}與Z都是數(shù)環(huán),但都不是數(shù)域.(3)數(shù)域和數(shù)環(huán)都包含0.(3)數(shù)域必包含1,數(shù)環(huán)則不一定.(2)都是非空數(shù)集;用定義證明一個(gè)數(shù)集是數(shù)域

數(shù)域的充要條件設(shè)K是一個(gè)含有不等于0的數(shù)的數(shù)集,則K作為一個(gè)數(shù)域的充要條件是：K中任兩個(gè)數(shù)的差與商(除數(shù)不為0)仍屬于K.證：由定義可得其必要性.再證充分性：任取a,b∈K,若K中任兩個(gè)數(shù)的差與商仍屬于K,則a-a=0∈K,0-b=-b∈K,從而ab=a/(1/b)∈K,又當(dāng)b≠0時(shí),b/b=1∈K,1/b∈K,從而a+b=a-(-b)∈K,∴K是一個(gè)數(shù)域.用充要條件證明一個(gè)數(shù)集是數(shù)域證明：數(shù)集Q(i)={a+bi,a,b∈Q}是一個(gè)數(shù)域.證：當(dāng)ab≠0時(shí),a+bi≠0.任取α,β∈Q(i),令α=a+bi,β=c+di,(a,b,c,d∈Q)由Q是數(shù)域可知,α-β=(a-c)+(b-d)i∈Q(i),

∴Q(i)是一個(gè)數(shù)域.不妨設(shè)β=c+di≠0,則c-di≠0,證明任何數(shù)域都包含有理數(shù)域定理：任何數(shù)域都包含有理數(shù)域.證：設(shè)任意數(shù)域K,由數(shù)域的概念知,0,1∈K.于是有1+1=2,1+2=3,1+3=4,…0-1=-1,0-2=-2,0-3=-3,…∴Z?K;又由數(shù)域及有理數(shù)的概念,知Q?K.子域與擴(kuò)域的定義設(shè)K’,K是兩個(gè)數(shù)域.若K’?K,則稱K’是K的一個(gè)子域,而K是K’的一個(gè)擴(kuò)域.有理數(shù)域是最小的數(shù)域，它是任何數(shù)域的一個(gè)子域.復(fù)數(shù)域是最大的數(shù)域,它是任何數(shù)域的一個(gè)擴(kuò)域.數(shù)環(huán)的性質(zhì)證明證明：1)數(shù)環(huán)必包含0;2)如果一個(gè)數(shù)環(huán)包含有不等于0的數(shù),則它必含有無(wú)窮個(gè)數(shù).證：1)設(shè)S為任意數(shù)環(huán),由數(shù)環(huán)非空知,至少有某數(shù)a∈S,又由數(shù)環(huán)的概念有a-a=0∈S.2)由1)有a+a=2a∈S,a+2a=3a∈S,…,a+(n-1)a=na∈S,知當(dāng)a≠0時(shí),S有無(wú)窮個(gè)數(shù),得證！證明一類數(shù)集是數(shù)域

數(shù)域的交集和并集仍都是數(shù)域嗎？設(shè)K1,K2都是數(shù)域,1)證明：K1∩K2也是數(shù)域;1)證：∵Q?K1∩K2,∴K1∩K2包含非零的數(shù),任取a,b∈K1∩K2,則a,b∈K1,且a,b∈K2,

∴a-b∈K1,且a-b∈K2,∴a-b∈K1∩K2;不妨設(shè)b≠0,則有a/b∈K1,且a/b∈K2,∴a/b∈K1∩K2;∴K1∩K2是數(shù)域.2)問(wèn)：K1∪K2也是數(shù)域嗎？為什么？設(shè)K1,K2都是數(shù)域,1)證明：K1∩K2也是數(shù)域;當(dāng)K1≠K2時(shí),不妨設(shè)有a∈K1且a?K2,b∈K2且b?K1,則a,b∈K1∪K2,若K1∪K2是數(shù)域,則a-b∈K1∪K2,即a-b∈K1或a-b∈K2,當(dāng)a-b∈K1時(shí),a-(a-b)=b∈K1矛盾,2)問(wèn)：K1∪K2也是數(shù)域嗎？為什么？2)解：K1∪K2不一定是數(shù)域,理由如下.當(dāng)a-b∈K2時(shí),b+(a-b)=a∈K2矛盾,∴K1∪K2不是數(shù)域;另一方面,當(dāng)K1=K2時(shí),K1∪K2=K1=K2是數(shù)域;∴不一定.一個(gè)復(fù)數(shù)集是數(shù)域的證明

關(guān)于數(shù)域的數(shù)的證明

證明實(shí)數(shù)域R與復(fù)數(shù)域C之間不存在別的數(shù)域證明：在實(shí)數(shù)域R與復(fù)數(shù)域C之間不存在別的數(shù)域.證：設(shè)有數(shù)域K,使R?K?C,則必有a+b