數(shù)學(xué)教案：古典概型第二課時

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時新課導(dǎo)入設(shè)計思路一：（問題導(dǎo)入)請同學(xué)們思考下面的問題：在一個有50名學(xué)生的班級，至少有兩位同學(xué)生日在同一天的概率是多少？設(shè)計思路二：（情境導(dǎo)入）(1）擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，結(jié)果只有2個，即“正面朝上”或“反面朝上”，它們都是隨機(jī)事件.（2）一個盒子中有10個完全相同的球,分別標(biāo)以號碼1，2,3,…，10，從中任取一球，只有10種不同的結(jié)果，即標(biāo)號為1，2，3…，10。根據(jù)上述情況，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同特點(diǎn)?推進(jìn)新課新知探究對于導(dǎo)入思路一：50個人的生日問題，這里的基本事件是什么呢？那一定是n個人的生日情況的所有可能性，共有多少個基本事件?事件“至少有一對生日相同”所包含的基本事件的個數(shù)如何來統(tǒng)計呢？是否符合古典概型呢？如果說你能夠說明它是古典概型，能夠清楚地找到基本事件,能夠分析好事件“至少有一對生日相同”包含了多少個基本事件，就能夠利用古典概型的概率計算公式計算出概率。在同學(xué)們討論的過程中，回顧復(fù)習(xí)有關(guān)古典概型的相關(guān)內(nèi)容：基本事件的概念：在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為基本事件。等可能事件的意義：如果在一次試驗(yàn)中，每一個基本事件發(fā)生的可能性都相同,那么稱這些基本事件為等可能事件。古典概型的兩個特點(diǎn)：（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個，即具有有限性；(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等即具有等可能性。古典概型的概率的計算方法:倘若一次試驗(yàn)的等可能基本事件共有n個，那么每一個等可能基本事件發(fā)生的概率都是.如果某個事件A包含了其中m個等可能基本事件，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）=。對于導(dǎo)入思路二：通過學(xué)生的討論、分析和總結(jié)，復(fù)習(xí)古典概型的有關(guān)知識。古典概型具有的兩個特點(diǎn)：（1）試驗(yàn)的等可能基本事件共有n個，那么每一個等可能基本事件發(fā)生的概率都是。如果某個事件A包含了其中m個等可能基本事件，那么事件A發(fā)生的概率為P（A)=。從集合的角度看古典概型概率的計算問題。在一次試驗(yàn)中,等可能出現(xiàn)的n個結(jié)果組成一個集合I，這n個結(jié)果就是集合I的n個元素。各基本事件均對應(yīng)于集合I的含有1個元素的子集，包含m個結(jié)果的事件A對應(yīng)于集合I的含有m個元素的子集,因此從集合的角度看，事件A發(fā)生的概率等于子集A含有的元素的個數(shù)與集合I含有的元素個數(shù)的比值.應(yīng)用示例思路1例1從字母a,b，c,d中任意取出兩個不同字母的試驗(yàn)中，有哪些基本事件？分析：我們可以按照字母排列的順序,把所有可能的結(jié)果都列出來。利用樹形圖可以將它們之間的關(guān)系列出來.(樹形圖)解：所求的基本事件共有6個：A=｛a，b}，B=｛a,c}，C=｛a，d｝，D=｛b，c｝，E=｛b,d}，F(xiàn)={c,d}。點(diǎn)評:我們一般用列舉法列出所有基本事件的結(jié)果，畫樹形圖是列舉法的基本方法,一般分布完成的結(jié)果(兩步以上）可以用樹形圖進(jìn)行列舉.例2從標(biāo)有1，2，3，…，8，9的9張卡片中任取2張，那么這2張卡片的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為________________。解析:記“從標(biāo)有1，2，3,…，8，9的9張卡片中任取2張卡片的數(shù)字之和為偶數(shù)”為事件A,從標(biāo)有1，2，3，…，8，9的9張卡片中任取2張，共有36種等可能結(jié)果,即共有36個等可能基本事件，要使事件A發(fā)生，則取出的兩張卡片可以分為兩類：一類是卡片上的數(shù)字都為偶數(shù)，共有6種等可能結(jié)果即6個等可能基本事件；另一類是卡片上的數(shù)字都為奇數(shù)，共有10種等可能結(jié)果即共有10個等可能基本事件，因此，事件A包含的基本事件總數(shù)為16個，所以P(A）=.答案:點(diǎn)評:本題在計算事件“從標(biāo)有1，2，3,…，8，9的9張卡片中任取2張卡片的數(shù)字之和為偶數(shù)”時采用了分類討論的方法。分類討論是非常重要的數(shù)學(xué)思想方法。另外，本題還可以設(shè)置以下的問題,如“從標(biāo)有1，2，3，…,8，9的9張卡片中任取2張卡片的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率”，“從標(biāo)有1，2,3,…，8，9的9張卡片中任取2張卡片的數(shù)字之積為偶數(shù)的概率”等。例3同時擲兩個骰子，計算:（1）一共有多少種不同的結(jié)果？（2）其中向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種？（3）向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的概率是多少？分析：本題可以考慮用枚舉法得到等可能基本事件的總數(shù)，再通過所列舉出來的等可能基本事件得到事件“向上的點(diǎn)數(shù)之和是5”所包含的基本事件的總數(shù)，最后運(yùn)用古典概型的概率公式求解.解:(1）擲一個骰子的結(jié)果有6種，我們把兩個骰子標(biāo)上記號1，2以便區(qū)分,由于1號骰子的結(jié)果都可以與2號骰子的任意一個結(jié)果配對,我們用一個“有序?qū)崝?shù)對”來表示組成同時擲兩個骰子的一個結(jié)果(如表），其中第一個數(shù)表示1號骰子的結(jié)果，第二個數(shù)表示2號骰子的結(jié)果。（可由列表法得到）由表中可知同時擲兩個骰子的結(jié)果共有36種。(2）在上面的結(jié)果中,向上的點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果有4種,分別為：（1，4)，(2，3），（3,2)，(4,1）。（3)由于所有36種結(jié)果是等可能的,其中向上點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果（記為事件A)有4種，因此，由古典概型的概率計算公式可得P（A）＝＝.點(diǎn)評:枚舉法是解決計算等可能基本事件總數(shù)和某一個事件所包含的基本事件總數(shù)最有效的方法,而在枚舉時可以用列表、樹形圖等方法.例4用三種不同顏色給下圖中的三個矩形隨機(jī)染色，每個矩形只涂一種顏色,求：（1)3個矩形顏色都相同的概率;（2）3個矩形顏色都不同的概率。分析：本題中的基本事件較多,為了清楚地枚舉出所有可能的基本事件，可畫圖枚舉如下：解：本題的基本事件共有27個,見上圖。(1）記“3個矩形都涂同一顏色”為事件A，由上圖可知，事件A的基本事件有1×3=3個，故P(A）=。（2）“3個矩形顏色都不同”為事件B，由上圖可知，事件B的基本事件有2×3=6個，故P（B）=。答：（1）3個矩形顏色都相同的概率為；（2）3個矩形顏色都不同的概率為。點(diǎn)評：本例體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合"的巧妙性與重要性.運(yùn)用這種樹形圖，可以很輕松地得到等可能事件的總數(shù)以及某一事件所包含的基本事件的總數(shù).例5一個口袋有6個球，其中4個白球，2個黑球，求下列各事件的概率：(1)從中任意取出2個,連續(xù)取出的2個都是白球；（2）從中取出一個，然后放回后再摸出一個，兩次摸出的球是一黑一白；(3）從中摸出一個是黑球，放回后再摸出一個是白球；（4)從中摸出兩個球，一個是黑的，一個是白的；(5)從中摸出兩個球,先摸出的是黑球，后摸出的是白球.分析：本題可以考慮用枚舉法計算等可能基本事件的總數(shù)，此外,分清“有放回"和“不放回”是正確解答本題的關(guān)鍵。解：（1)記“連續(xù)取出的2個都是白球”為事件A,任意取出兩個球，共有15個等可能基本事件，而事件A包含了其中的6個基本事件，所以P(A)==0。4.（2）記“從中取出一個,然后放回后再摸出一個，兩次摸出的球是一黑一白”為事件B，從中摸出一個,放回后再摸出一個，共有6×6=36個等可能基本事件，而事件B包含了其中的2×4×2=16個基本事件，所以P(B）=。（3）記“從中摸出一個是黑球，放回后再摸出一個是白球"為事件C,從中摸出一個，放回后再摸出一個，共有6×6=36個等可能基本事件，而事件C包含了其中的4×2=8個基本事件，所以P(C）=.(4）記“從中摸出兩個球，一個是黑的，一個是白的"為事件D，從口袋中任意取出兩個球，共有15個等可能基本事件，而事件D包含了其中的8個基本事件，所以P（A）=。(5）記“從中摸出兩個球，先摸出的是黑球，后摸出的是白球”為事件E,從中先后摸出兩個球,共有6×5=30個基本事件，而事件E包含了其中的8個基本事件,所以P（E)=.點(diǎn)評：在解本題時注意:一要分清“放回”和“不放回”，二要弄清取球時是否有先后順序，這樣才能正確解答“取球”問題。思路2例1在盒子中有十個相同的球,分別標(biāo)為號碼1,2，…10，從中任取一球,求此球的號碼為偶數(shù)的概率.分析：用枚舉法正確計算出事件“從十個標(biāo)有號碼為1,2，…10的球中任取一個”的基本事件總數(shù)以及正確計算事件“從十個標(biāo)有號碼為1，2,…10的球中任取一個，所取的球的號碼為偶數(shù)”包含的基本事件總數(shù)，最后用公式計算概率。解：記事件A“所取球的號碼為偶數(shù)”，因?yàn)槭菑氖畟€標(biāo)有號碼為1，2,…10的球中任取一個，所以該試驗(yàn)有10個可能的結(jié)果，即該試驗(yàn)有10個基本事件，且是等可能的。事件A“所取球的號碼為偶數(shù)"發(fā)生就是指所取球的號碼為2,4，6，8，10，共包含5個基本事件，所以P(A)=510=.答:所取球的號碼為偶數(shù)的概率為.點(diǎn)評：求一個事件的概率，可以從不同的角度來考慮，因而有不同的解法.對于本題一定要認(rèn)清該試驗(yàn)的基本事件是什么，否則引起混淆并導(dǎo)致謬誤。本題還有如下解法：該試驗(yàn)共有2個可能的結(jié)果,即所取球的號碼為偶數(shù)，所取球的號碼為奇數(shù)，且是等可能的.所以所取球的號碼為偶數(shù)的概率為。例2同時拋擲兩顆骰子,計算向上一面的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的概率.有人解答如下:點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)，可取3，5,7，9,11共5種可能結(jié)果，點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，可取2,4，6，8,10，12共6種可能結(jié)果，因此,出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的概率為.這樣的解答正確嗎？如有錯誤，說明理由，并給出正確的解答.分析:正確理解古典概型的特點(diǎn),再求出等可能事件的總數(shù)以及某一個事件所包含的基本事件總數(shù)，最后計算概率.解：題中的解答是錯誤的，因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)和偶數(shù)的11種可能結(jié)果不是等可能的，因而不能用古典概型來求解.正確解答如下：拋擲兩顆骰子共有n=36種等可能的結(jié)果，即共有n=36個等可能基本事件，其中點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的事件A含有的等可能的結(jié)果即事件A包含等可能基本事件的個數(shù)為m=18，所以P(A）==0。5.點(diǎn)評：在解古典概型的問題時，一定要滿足古典概型的兩個特征：（1)所有的基本事件只有有限個;（2)每個基本事件的發(fā)生都是等可能的。此外本題還可以有如下的解法：解法一：拋擲兩顆骰子共有基本事件：偶偶、偶奇、奇偶、奇奇，即n=4，其中點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的事件A包含的基本事件數(shù)為m=2，所以P（A）=0.5.解法二：拋擲兩顆骰子共有基本事件：向上一面的奇偶性相同、向上一面的奇偶性相異，即n=2，其中點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的事件A包含的基本事件數(shù)為m=1，所以P(A）=0。5。例3甲、乙兩人參加知識競賽，共有10個不同的題目,其中選擇題6個，判斷題4個，甲、乙兩人依次各抽一題.（1)甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率是多少？（2）甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？分析：要解決本題所涉及的概率計算問題,首先要計算各個事件所包含的基本事件的總數(shù).解：甲、乙兩人依次從10個不同的題目中隨機(jī)地各抽取一題，其中一人抽取時有10種可能的結(jié)果,接下來抽取時，第一人抽取的每一個結(jié)果對應(yīng)第二人的有9種可能的結(jié)果，即可能出現(xiàn)的結(jié)果有10×9=90種可能的結(jié)果，因此，事件“甲、乙兩人依次從10個不同的題目中隨機(jī)地各抽取一題"共有90個等可能基本事件。（1）甲從6道選擇題中抽取一題的可能結(jié)果有6種，乙在甲抽完后在4道判斷題中抽取一題的可能結(jié)果有4種，因此，甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的可能結(jié)果有6×4=24種，即事件“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”包含的等可能基本事件有24個，所以,事件“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”的概率為P=。(2）甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題可以分為以下三種情形：①甲抽到選擇題，乙抽到選擇題，可能的結(jié)果有6×5=30種;②甲抽到選擇題，乙抽到判斷題,可能的結(jié)果有6×4=24種；③甲抽到判斷題,乙抽到選擇題,可能的結(jié)果有4×6=24種；所以甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的可能結(jié)果有30+24+24=78種，即事件“甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題"包含的等可能基本事件總數(shù)為78種.所以，事件“甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題”的概率為P=.點(diǎn)評：對于（2）還可以用如下的方法解答：甲、乙兩人都抽到判斷題的可能結(jié)果為4×3=12種，所以，事件“甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題"包含的等可能基本事件總數(shù)為90－12=78種，因此,事件“甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題”的概率為P=.這種解法在計算事件“甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題”包含的等可能基本事件總數(shù)時采用逆向思維的方式，先求事件“甲、乙兩人都抽到判斷題”包含的等可能基本事件總數(shù)，再用事件“甲、乙兩人依次從10個不同的題目中隨機(jī)地各抽取一題”的等可能基本事件的總數(shù)90減去事件“甲、乙兩人都抽到判斷題”包含的等可能基本事件總數(shù)12得到事件“甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題”包含的等可能基本事件總數(shù).值得注意的是采用逆向思維的方式解決概率問題是常用的方法.知能訓(xùn)練1。從5名學(xué)生中選出3人作代表，其中某甲被選中的概率為________________.2。有甲、乙兩把不同的鎖，各配有2把鑰匙,則從4把鑰匙中任取2把，能打開甲、乙兩把鎖的概率為________________。3。將10本不同的書排在書架上(同一層），其中指定的3本書恰好放在一起的概率為________________。4.從1，2，3,4，7中任選4個不同的數(shù)字填入等式中的空格，能使等式成立的概率為________________。5。從所有的三位正整數(shù)中任取一個數(shù)，它既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的概率為________________.解答:1.2。給鑰匙編號,甲鎖的兩把：A1，A2，乙鎖的兩把B1,B2選出的2把中，只要有A，有B就可以了。3.（指定的三本書放在一起,看作一個元素）P(A)=.4.注意到只有3個算式可以滿足:3×4=12，2×7=14,3×7=21,但注意到乘法滿足交換律，故P=.5.三位數(shù)共有900個（從100到999），其中既被2整除又被5整除即為被10整除，這樣的數(shù)只有90個，∴P=.點(diǎn)評：選擇合適的解題角度，采用直接或間接（如逆向思維)的思想方式解決有關(guān)的概率問題。課堂小結(jié)求一個事件的概率，可以有不同的解法，但一定要認(rèn)清該試驗(yàn)的基本事件是誰，否則要引起混淆并導(dǎo)致謬誤.用數(shù)形結(jié)合的方法可以大大簡化我們的思維量.如果從正面考慮一個問題比較困難或難以入手時，我們可以從這個問題的反面去分析、考慮。在解有關(guān)概率問題時，可以按照如下步驟進(jìn)行:第一步：先判斷該試驗(yàn)是否符合古典概型；第二步:求出該試驗(yàn)共包含多少個等可能的基本事件，記為n；第三步:求出要求概率的事件A包含了多少個基本事件，記為m；第四步:根據(jù)古典概型的概率計算公式的P(A)=；第五步：寫出答。作業(yè)課本習(xí)題3.26～10.設(shè)計感想由于上一節(jié)課中已經(jīng)學(xué)習(xí)了古典概型的概念及特點(diǎn)，所以本節(jié)課主要是運(yùn)用古典概型知識來解決一些實(shí)際問題，進(jìn)一步鞏固對古典概型的理解.注重學(xué)生的參與。課堂練習(xí)主要由學(xué)生完成，教師適時作出適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥。最后的課堂小結(jié)要由學(xué)生來參與完成，最好由學(xué)生自己來總結(jié)，更利于學(xué)生對知識、技能的掌握與提高.習(xí)題詳解習(xí)題3.21..2.記A=｛買到一等品｝，B=｛買到合格品}。從100件產(chǎn)品中買了1件，共有100個等可能的基本事件，符合古典概型。買到的1件為一等品共包含28個基本事件，買到的1件為合格品共包含93個基本事件，所以根據(jù)古典概型求概率的計算公式得:P(A）=，P(B）=。答：他買到一等品的概率為,買到合格品的概率為.3。從64塊小正方體中任取一塊，共有64個等可能的基本事件.事件“取出的一塊至少有一面涂有紅漆”共包含8+24+24=56個基本事件，故所求事件的概率為.答:取出的一塊至少有一面涂有紅漆的概率為。4。連續(xù)3次拋擲同一顆骰子,共有33=27個基本事件,且是等可能的,符合古典概型。3次擲得的點(diǎn)數(shù)之和為16共包含(4，6，6),（6,4，6），（6，6，4，），（5，5，6），（5，6,5）,（6，5，5），這樣6個基本事件，根據(jù)古典概型的求概率計算公式，得所求事件的概率為P=.答：3次擲得的點(diǎn)數(shù)之和為16的概率為.5.(1)令1≤6n≤100，n∈N，解得1≤n≤16，故任取其中一張,這張卡片上寫的數(shù)是6的倍數(shù)的結(jié)果共有16個.（2）從100張卡片中任取其中一張,共有100個等可能的基本事件，符合古典概型.又因?yàn)槿稳∑渲幸粡?，這張卡片上寫的數(shù)是6的倍數(shù)的結(jié)果共有16個，所以根據(jù)古典概型的求概率計算公式，得所求事件的概率為P=。答：（1）任取其中一張，這張卡片上寫的數(shù)是6的倍數(shù)的結(jié)果共有16個.（2）任取其中一張，這張卡片上寫的數(shù)是6的倍數(shù)的概率為。6.該試驗(yàn)共有兩個等可能的基本事件：甲排在乙前面值班，甲排在乙后面值班.故事件“甲排在乙前面值班”的概率為.答：甲排在乙前面值班的概率為。7。8.從一副52張的撲克牌中抽取一張,共有52個等可能的基本事件，符合古典概型.（1）事件“抽出一張7"包含4個基本事件，故P(抽出一張7)=；（2）事件“抽出一張方塊”包含