數(shù)學教案：排列第三課時

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第三課時教學目標知識與技能利用捆綁法、插空法解決排列問題．過程與方法經歷把簡單的計數(shù)問題化為排列問題解決的過程，從中體會“化歸”的數(shù)學思想．情感、態(tài)度與價值觀能運用所學的排列知識，正確地解決實際問題，體會“化歸”思想的魅力．重點難點教學重點：利用捆綁法、插空法解決排列問題．教學難點：利用捆綁法、插空法解決排列問題．eq\o(\s\up7（)，\s\do5(教學過程)）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(復習回顧)）提出問題:7位同學排隊,根據(jù)上一節(jié)課所學的方法，解決下列排列問題．（1）7位同學站成一排，共有多少種不同的排法？（2)7位同學站成兩排（前3后4),共有多少種不同的排法？（3)7位同學站成一排，其中甲站在中間的位置,共有多少種不同的排法？（4)7位同學站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？（5）7位同學站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？活動設計：學生自己做，找學生到黑板上板演．活動成果：解：(1)問題可以看作:7個元素的全排列Aeq\o\al(7，7）＝5040。（2）根據(jù)分步乘法計數(shù)原理:7×6×5×4×3×2×1＝7?。?040。(3）問題可以看作：余下的6個元素的全排列Aeq\o\al（6，6）＝720。(4）根據(jù)分步乘法計數(shù)原理:第一步甲、乙站在兩端有Aeq\o\al(2,2)種;第二步余下的5名同學進行全排列有Aeq\o\al（5,5)種,所以，共有Aeq\o\al(2，2)·Aeq\o\al（5,5）＝240種排列方法．（5)第一步從(除去甲、乙）其余的5位同學中選2位同學站在排頭和排尾有Aeq\o\al(2,5）種方法；第二步從余下的5位同學中選5位進行排列（全排列）有Aeq\o\al(5,5)種方法,所以一共有Aeq\o\al（2,5）Aeq\o\al（5，5)＝2400種排列方法．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(典型例題））類型一：捆綁法例17位同學站成一排，(1)甲、乙兩同學必須相鄰的排法共有多少種?(2)甲、乙和丙三個同學都相鄰的排法共有多少種？(3）甲、乙兩同學必須相鄰,而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？(4）甲、乙、丙三個同學必須站在一起，另外四個人也必須站在一起的排法有多少種？解：(1)先將甲、乙兩位同學“捆綁"在一起看成一個元素,與其余的5個元素（同學)一起進行全排列有Aeq\o\al(6，6)種方法;再將甲、乙兩個同學“松綁”進行排列有Aeq\o\al(2，2)種方法．所以這樣的排法一共有Aeq\o\al（6,6)Aeq\o\al（2,2）＝1440種．（2）方法同上，一共有Aeq\o\al（5，5）Aeq\o\al（3，3）＝720種．（3)解法一：將甲、乙兩同學“捆綁”在一起看成一個元素,此時一共有6個元素，因為丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的5個元素中選取2個元素放在排頭和排尾，有Aeq\o\al(2,5)種方法；將剩下的4個元素進行全排列有Aeq\o\al(4,4）種方法；最后將甲、乙兩個同學“松綁”進行排列有Aeq\o\al(2，2)種方法．所以這樣的排法一共有Aeq\o\al（2，5)Aeq\o\al（4,4)Aeq\o\al(2，2）＝960種．解法二：將甲、乙兩同學“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，若丙站在排頭或排尾有2Aeq\o\al（5,5）種方法,所以，丙不能站在排頭和排尾的排法有（Aeq\o\al（6,6）－2Aeq\o\al(5，5）)·Aeq\o\al(2,2)＝960種．解法三:將甲、乙兩同學“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，因為丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的四個位置選擇共有Aeq\o\al(1,4)種方法,再將其余的5個元素進行全排列共有Aeq\o\al(5,5）種方法,最后將甲、乙兩同學“松綁"，所以,這樣的排法一共有Aeq\o\al（1,4）Aeq\o\al（5,5）Aeq\o\al(2,2)＝960種．(4）將甲、乙、丙三個同學“捆綁”在一起看成一個元素，另外四個人“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有2個元素，∴一共有排法種數(shù)：Aeq\o\al（3，3）Aeq\o\al(4，4）Aeq\o\al（2，2)＝288種．點評：對于相鄰問題，常用“捆綁法”（先捆后松)．【鞏固練習】某商場中有10個展架排成一排,展示10臺不同的電視機，其中甲廠5臺，乙廠3臺，丙廠2臺，若要求同廠的產品分別集中，且甲廠產品不放兩端，則不同的陳列方式有多少種？解：將甲廠5臺不同的電視機“捆綁”在一起看成一個元素,乙廠3臺不同的電視機“捆綁”在一起看成一個元素，丙廠2臺不同的電視機“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有3個元素，甲不放兩端，甲有1種排法，乙、丙排在兩端有Aeq\o\al（2,2)種排法，共有Aeq\o\al(5,5）Aeq\o\al（3,3）Aeq\o\al（2，2）Aeq\o\al(2，2)＝2880種不同的排法．【變練演編】7位同學站成一排，（1)甲、乙兩同學之間恰好有一個人的排法共有多少種？(2）甲、乙兩同學之間恰好有兩個人的排法共有多少種？解：（1）先在甲、乙兩同學之間排一個人,有Aeq\o\al(1，5）種不同的排法，把甲、乙和中間的一人“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有5個元素,共有Aeq\o\al（1,5）Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al（2，2)＝1200種不同的排法．（2)先在甲、乙兩同學之間排兩個人，有Aeq\o\al（2,5）種不同的排法,把甲、乙和中間的兩人“捆綁"在一起看成一個元素，此時一共有4個元素，共有Aeq\o\al(2，5)Aeq\o\al（4,4）Aeq\o\al(2,2）＝960種不同的排法．類型二：插空法例27位同學站成一排，（1）甲、乙兩同學不能相鄰的排法共有多少種?（2）甲、乙和丙三個同學都不能相鄰的排法共有多少種?解：(1)方法一：（排除法）Aeq\o\al（7,7)－Aeq\o\al（6,6）·Aeq\o\al（2,2)＝3600；方法二:（插空法）先將其余五個同學排好有Aeq\o\al（5，5）種方法，此時他們留下六個位置（稱為“空"）,再將甲、乙同學分別插入這六個位置(空)有Aeq\o\al（2，6）種方法，所以一共有Aeq\o\al（5,5)Aeq\o\al（2，6)＝3600種方法．(2)先將其余四個同學排好有Aeq\o\al（4,4)種方法，此時他們留下五個“空”，再將甲、乙和丙三個同學分別插入這五個“空"有Aeq\o\al(3，5)種方法，所以一共有Aeq\o\al（4，4)Aeq\o\al(3,5)＝1440種方法．點評：對于不相鄰問題，常用“插空法”(特殊元素后考慮)．【鞏固練習】5男5女排成一排，按下列要求各有多少種排法:（1）男女相間；(2）女生按指定順序排列．解：（1）先將男生排好,有Aeq\o\al（5,5）種排法;再將5名女生插在男生之間的6個“空”（包括兩端,但不能同時排在兩端)中,有2Aeq\o\al（5,5)種排法,故本題的排法有N＝2Aeq\o\al(5,5）·Aeq\o\al（5，5)＝28800種．(2)方法1：N＝eq\f(A\o\al（10，10),A\o\al（5，5）)＝Aeq\o\al（5,10）＝30240;方法2：設想有10個位置，先將男生排在其中的任意5個位置上，有Aeq\o\al（5，10）種排法;余下的5個位置排女生，因為女生的位置已經指定，所以她們只有一種排法．故本題的排法為N＝Aeq\o\al(5,10)×1＝30240種．【變練演編】5男6女排成一列，問（1)5男排在一起有多少種不同排法？(2)5男不都排在一起有多少種排法？(3）5男每兩個不排在一起有多少種排法?（4)男女相互間隔有多少種不同的排法？解：（1)先把5男看成一個整體，得Aeq\o\al（7，7），5男之間排列有順序問題，得Aeq\o\al(5,5），共Aeq\o\al(7,7)Aeq\o\al(5，5）種．(2）全排列除去5男排在一起即為所求,得Aeq\o\al(11，11)－Aeq\o\al(7,7）Aeq\o\al(5,5).(3）因為男生人數(shù)少于女生人數(shù),利用男生插女生空的方法解決問題，得Aeq\o\al(6,6)Aeq\o\al(5,7）.(4）利用男生插女生空的方法，但要保證兩女生不能挨在一起，得Aeq\o\al(6，6)Aeq\o\al(5,5）?！具_標檢測】1．記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（)A．1440種B．960種C．720種D．480種2．把4個不同的黑球，4個不同的紅球排成一排，要求黑球、紅球分別在一起，不同的排法種數(shù)是（)A．Aeq\o\al(8,8)B．Aeq\o\al（4,4）Aeq\o\al（4,4）C．Aeq\o\al（4，4）Aeq\o\al（4,4)Aeq\o\al(2,2）D．以上都不對3．某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目．如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中,那么不同插法的種數(shù)為（)A．42B．96C．48D．124答案:1。B2。C3.Aeq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（課堂小結）)1．知識收獲：進一步復習排列的概念和排列數(shù)公式．2．方法收獲：捆綁法、插空法．3．思維收獲:化歸思想、分類討論思想．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(補充練習)）【基礎練習】1．6人站成一排照相，其中甲、乙、丙三人要站在一起,且要求乙、丙分別站在甲的兩邊，則不同的排法種數(shù)為(）A．12B．24C．48D．1442．由數(shù)字0,1，2,3，4，5組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，其中是25的倍數(shù)的數(shù)共有______個（）A．9B．12C．24D．213．用數(shù)字0，1，2，3,4能組成沒有重復數(shù)字的且比20000大的五位奇數(shù)的個數(shù)為（）A．3B．30C．72D．184．將5名志愿者分配到3個不同的奧運場館參加接待工作，每個場館至少分配一名志愿者的方案種數(shù)為（)A．540B．300C．180D．150答案：1。C2。D3.B4。D【拓展練習】5．有4名男生、5名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法？（1）甲不在中間也不在兩端；（2)甲、乙兩人必須排在兩端;(3)男、女生分別排在一起；（4）男女相間；(5）甲、乙、丙三人從左到右順序保持一定．答案：(1）241920（2）10080（3）5760（4)2880（5)60480eq\o（\s\up7（）,\s\do5（設計說明)）本節(jié)課是排列的第三課時，本節(jié)課的主要目標是介紹排列中常用的捆綁法和插空法．本節(jié)課的特點是教師引導給學生以提示,在從例題中學會了方法后，馬上讓學生練習鞏固方法,在變練演編中,舉一反三，反復強化，使學生更好地掌握方法和技巧．eq\o（\s\up7(），\s\do5（備課資料））一、相鄰問題捆綁法:題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組,當作一個大元素參與排列．例A，B，C,D，E五人并排站成一排，如果A，B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法種數(shù)有________．解析：把A，B視為一人，且B固定在A的右邊，則本題相當于4人的全排列，有Aeq\o\al(4,4)＝24種排法．二、相離問題插空法：元素相離(即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列,再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端．例1書架上某層有6本書,新買3本插進去,要保持原有6本書的順序,有______種不同的插法(具體數(shù)字作答)．解析：Aeq\o\al(1，7）Aeq\o\al（3，3）＋Aeq\o\al(2，7）Aeq\o\al(2，3）＋Aeq\o\al（3，7）＝504種．例2高三（1)班學生要安排畢業(yè)晚會的4個音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序,要求兩個舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是________．解析：不同排法的種數(shù)為Aeq\o\al（5,5)Aeq\o\al（2，6)＝3600。例3某工程隊有6項工程需要單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程乙完成后才能進行，工程丁必須在工程丙完成后才能進行．那么安排這6項工程的不同排法種數(shù)是________．解析：依題意，只需將剩余兩個工程插在由甲、乙、丙、丁四個工程形成的5個“空”中,可得有Aeq\o\al(2,5）＝20種不同排法．例