第3題 單選題中空間幾何體元素的數(shù)量關(guān)系（解析）

第3題單選題中空間幾何體元素的數(shù)量關(guān)系一、原題呈現(xiàn)【原題】已知圓錐的底面半徑為,其側(cè)面展開圖為一個半圓,則該圓錐的母線長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)圓錐的母線長為,由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長,則,解得.故選B.【就題論題】本題考查圓錐的側(cè)面展開圖,求解時只用到一個關(guān)系式,考查知識點(diǎn)單一、運(yùn)算簡單,依然屬于送分題,這提醒我們在復(fù)習(xí)時要注重基礎(chǔ)知識,基礎(chǔ)題失分過多是考生高考數(shù)學(xué)考不好的主要原因.二、考題揭秘【命題意圖】本題考查圓錐及圓錐的側(cè)面展開圖,考查直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).難度：容易.【考情分析】立體幾何在高考中一般有2道客觀題,一般有一道是多面體,一道是旋轉(zhuǎn)體；一道是容易題,一道是較難的題.考查熱點(diǎn)是幾何體中元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系、幾何體的表面積與體積、球與幾何體的切接等.另外,單選題中考查空間幾何體元素數(shù)量關(guān)系的題,常與數(shù)學(xué)文化及生產(chǎn)生活相聯(lián)系.【得分秘籍】1．在研究圓柱、圓錐、圓臺的相關(guān)問題時,主要方法就是研究它們的軸截面,這是因?yàn)樵谳S截面中容易找到這些幾何體的有關(guān)元素之間的位置關(guān)系以及數(shù)量關(guān)系．2．幾何體的展開與折疊(1)幾何體的表面積,除球以外,一般都是利用展開圖求得的,利用空間問題平面化的思想,把一個平面圖形折疊成一個幾何體,再研究其性質(zhì),是考查空間想象能力的常用方法．(2)多面體的展開圖①直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形；②正棱錐的側(cè)面展開圖是由一些全等的等腰三角形拼成的,底面是正多邊形；③正棱臺的側(cè)面展開圖是由一些全等的等腰梯形拼成的,底面是正多邊形．(3)旋轉(zhuǎn)體的展開圖①圓柱的側(cè)面展開圖是矩形,矩形的長(或?qū)?是底面圓周長,寬(或長)是圓柱的母線長；②圓錐的側(cè)面展開圖是扇形,扇形的半徑長是圓錐的母線長,弧長是圓錐的底面周長；③圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán),扇環(huán)的上、下弧長分別為圓臺的上、下底面周長．注：圓錐和圓臺的側(cè)面積公式S圓錐側(cè)＝eq\f(1,2)cl和S圓臺側(cè)＝eq\f(1,2)(c′＋c)l與三角形和梯形的面積公式在形式上相同,可將二者聯(lián)系起來記憶．3．空間幾何體的表面積的計算方法有關(guān)空間幾何體的表面積的計算通常是將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題,這是解決立體幾何問題常用的基本方法．(1)計算棱柱、棱錐、棱臺等多面體的表面積,可以分別求各面面積,再求和,對于直棱柱、正棱錐、正棱臺也可直接利用公式．(2)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面,計算其側(cè)面積時需將曲面展為平面圖形計算,而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．(3)組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．4．空間幾何體的體積的計算方法(1)計算柱、錐、臺體的體積,關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高,應(yīng)注意充分利用多面體的截面,特別是軸截面,將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解．(2)注意求體積的一些特殊方法：分割法、補(bǔ)體法、還臺為錐法、等積變換法(如求三棱錐的體積可靈活變換頂點(diǎn)與底面)等,它們是計算一些不規(guī)則幾何體體積常用的方法,應(yīng)熟練掌握．(3)利用三棱錐的“等體積性”可以解決一些點(diǎn)到平面的距離問題,即將點(diǎn)到平面的距離視為一個三棱錐的高,通過將其頂點(diǎn)和底面進(jìn)行轉(zhuǎn)化,借助體積的不變性解決問題．【易錯警示】(1)求解空間幾何體中元素的數(shù)量關(guān)系問題,不善于借組直觀圖、截面圖,致使求解失誤；(2)求幾何體的表面積忽略了對重疊部分的處理；(3)求椎體體積時忽略乘以；(4)求幾何體表面上兩點(diǎn)之間的最短距離,不要忘記利用展開圖.三、以例及類（以下所選試題均來自新高考Ⅰ卷地區(qū)2020年1-6月模擬試卷）單選題1．（2021江蘇省南通學(xué)科基地高三下學(xué)期高考全真模擬（四））中國氣象局規(guī)定：一天里的降雨的深度當(dāng)作日降水量,通常用毫米表示降水量的單位,的降水量是指單位面積上水深.如圖,這是一個雨量筒,其下部是直徑為?高為的圓柱,上部承水口的直徑為.某同學(xué)將該雨量筒放在雨中,雨水從圓形容器口進(jìn)入容器中,后,測得容器中水深,則該同學(xué)測得的降水量約為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意,水的體積,容器口的面積.∴降雨量.∴該同學(xué)測得的降水量約為.故選C.2．（2021湖南省永州市高三下學(xué)期三模）有一個裝有水且底面直徑為12cm的圓柱形容器,水面與容器口的距離為cm．現(xiàn)往容器中放入一個半徑為r（單位：cm）的小球,該小球放入水中后直接沉入容器底部,若使該容器內(nèi)的水不溢出,則小球半徑r的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】小球放入水中后直接沉入容器底部,若使該容器內(nèi)的水不溢出,則球的最大體積與圓柱上部的體積相等,小球半徑,可得,解得．故選C．3．（2021湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三下學(xué)期二模）已知某圓錐的軸截面是邊長為4的正三角形,則它的體積為（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示：為邊長為4的正三角形,所以AB=AC=BC=4,取BC中點(diǎn)為O,則,所以圓錐的體積.故選C4．（2021福建省廈門市高三5月二模）2008年北京奧運(yùn)會游泳中心(水立方)的設(shè)計靈感來于威爾·弗蘭泡沫,威爾·弗蘭泡沫是對開爾文胞體的改進(jìn),開爾文體是一種多面體,它由正六邊形和正方形圍成(其中每一個頂點(diǎn)處有一個正方形和兩個正六邊形),已知該多面體共有24個頂點(diǎn),且棱長為1,則該多面體表面積是（）

A． B． C． D．【答案】C【解析】棱長為1的正方形的面積為,正六邊形的面積為,又正方形有4個頂點(diǎn),正六邊形有6個頂點(diǎn),該多面體共有24個頂點(diǎn),所以最多有6個正方形,最少有4個正六邊形,1個正六邊形與3個正方形相連,所以該多面體有6個正方形,正六邊形有個,所以該多面體的表面積為,故選C.5．（2021江蘇省泰州市高三下學(xué)期考前練筆）如圖是一款多功能粉碎機(jī)的實(shí)物圖,它的進(jìn)物倉為正四棱臺,已知該四棱臺的上底面棱長為,下底面棱長為,側(cè)棱長為,則該款粉碎機(jī)進(jìn)物倉的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】畫出滿足題意的正四棱臺如下,則底面的棱長為,底面的棱長為,側(cè)棱,則,,上底面的面積為,下底面的面積為,過點(diǎn)作于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),根據(jù)正四棱臺的結(jié)構(gòu)特征可得：與都是該正棱臺的高,且,,因此,所以正四棱臺的體積為,即該款粉碎機(jī)進(jìn)物倉的體積為.故選B.6．（2021福建省三明市高三圍題卷）斗拱是中國古典建筑最富裝飾性的構(gòu)件之一,并為中國所持有,圖一圖二是北京故宮太和殿斗拱實(shí)物圖,圖三是斗拱構(gòu)件之一的“斗”的幾何體,本圖中的斗是由棱臺與長方體形凹槽(長方體去掉一個長相等,寬和高分別為原長方體一半的小長方體)組成.若棱臺兩底面面積分別是,,高為,長方體形凹槽的高為.那么這個斗的體積是（）

A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知,棱臺的體積為,設(shè)長方體的長為,寬為,則,且原長方體的高為,所以,長方體凹槽的體積為,所以,“斗”的體積為.故選C.7．（2021湖南省長沙市長郡中學(xué)高三下學(xué)期保溫卷）鼎是古代烹煮用的器物,它是我國青銅文化的代表,在古代被視為立國之器,是國家和權(quán)力的象征.圖①是一種方鼎,圖②是根據(jù)圖①繪制的方鼎簡易直觀圖,圖中四棱臺是鼎中盛烹煮物的部分,四邊形是矩形,其中,,,點(diǎn)到平面的距離為,則這個方鼎一次最多能容納的食物體積為（）（假定烹煮的食物全在四棱臺內(nèi)）A． B． C． D．【答案】D【解析】幾何體為四棱臺,所以延長必交于一點(diǎn),記為O,且四棱錐相似于,所以.過點(diǎn)作OH⊥面于H,作OG⊥面于G,則,又,解得：OG=,OH=,四棱臺的體積.故選D8．（2021江蘇省連云港市高三下學(xué)期高考考前一模）攢尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖如圖屬重檐四角攢尖,它的上層輪廓可近似看作一個正四棱錐,若此正四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍,則此正四棱錐的底面邊長與內(nèi)切球半徑比為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】上層輪廓近似正四棱錐如下圖示,若為底面中心,為內(nèi)切球球心,面且為中點(diǎn),令內(nèi)切球半徑為,,∵正四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍,∴,即,故,則,又∵,即,∴,故正四棱錐的底面邊長與內(nèi)切球半徑比為.故選D9．（2021廣東省佛山市順德區(qū)高三下學(xué)期仿真）“中國天眼”歷時22年建成,是具有我國自主知識產(chǎn)權(quán),世界最大單口徑（球冠底面直徑500米）、最靈敏的球面射電望遠(yuǎn)鏡,其形狀可近似地看成一個球冠（球面被平面所截得的一部分叫做球冠,如圖所示,截得的圓叫做球冠的底,垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高．球面的半徑是R,球冠的高是h,那么球冠的表面積公式為：）．已知天眼的反射面總面積（球冠面積）約為25萬平方米,則天眼的球冠高度約為（）A．60米 B．100米 C．130米 D．160米【答案】C【解析】由題意得：,,,故選C.10．（2021廣東省惠州市高三下學(xué)期一模）切割是焊接生產(chǎn)備料工序的重要加工方法,各種金屬和非金屬切割已經(jīng)成為現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)中的一道重要工序.被焊工件所需要的幾何形狀和尺寸,絕大多數(shù)是通過切割來實(shí)現(xiàn)的.原材料利用率是衡量切割水平的一個重要指標(biāo).現(xiàn)需把一個表面積為的球形鐵質(zhì)原材料切割成為一個底面邊長和側(cè)棱長都相等的正三棱柱工業(yè)用零配件,則該零配件最大體積為（）A．6 B． C．18 D．【答案】C【解析】正三棱柱體積最大時,是其頂點(diǎn)外接于球的時候,如圖,為底面的中心,因?yàn)?設(shè)底面邊長,則,且,其中為外接圓半徑解得,所以.故選C.11．（2021廣東省廣州市高三下學(xué)期二模）學(xué)生到工廠參加勞動實(shí)踐,用薄鐵皮制作一個圓柱體,圓柱體的全面積為,則該圓柱體的外接球的表面積的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓柱的高為,底面圓的半徑為,該圓柱外接球的半徑為,由題意可得,則；所以,,則,根據(jù)圓柱與球的對稱性可得：,所以該圓柱體的外接球的表面積為,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立.故選B.12．（2021山東省泰安市高三四模）如圖是我國古代米斗,它是稱量糧食的量器,是古代官倉、糧棧、米行等必備的用具．它是隨著糧食生產(chǎn)而發(fā)展出來的用具,早在先秦時期就有,到秦代統(tǒng)一了度量衡,漢代又進(jìn)一步制度化,十升為斗、十斗為石的標(biāo)準(zhǔn)最終確定下來．若將某個米斗近似看作一個四棱臺,上、下兩個底面都是正方形,側(cè)棱均相等,上底面邊長為,下底面邊長為,側(cè)棱長為,則該米斗的容積約為（）附：A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖,設(shè)上、下底面的中心分別為,,過作,垂足為,由題意易知,,故,故,故該四棱臺的體積．故選C．13．（2021山東省日照市高考數(shù)學(xué)模擬訓(xùn)練）一個封閉的圓柱形容器,內(nèi)部裝有高度為三分之一的水（圖一）,將容器歪倒放在水平放置的的桌面上,設(shè)水面截底面得到的弦所對的圓心角為,則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)圓柱體底面半徑為,高為,則水的體積為,水平放置后,水的體積為,所以,解得故選D14．（山東省臨沂市高三二模）如圖為一個圓錐形的金屬配件,重75.06克,其正視圖是一個等邊三角形,現(xiàn)將其打磨成一個體積最大的球形配件,則該球形配件的重量約為（）A．32.69克 B．33.36克 C．34.03克 D．34.37克【答案】B【解析】設(shè)圓錐形的體積為：,底面半徑為；內(nèi)切球的體積為,,,,故選B.15．（2021廣東省梅州市高三下學(xué)期二模）玉琮是一種內(nèi)圓外方的筒型玉器,是古代人們用于祭祀神明的一種禮器,距今約5100年．至新石器中晚期,玉琮在江浙一帶的良渚文化、廣東石峽文化、山西陶寺文化中大量出現(xiàn),尤以良渚文化的玉琮最發(fā)達(dá),出土與傳世的數(shù)量很多．現(xiàn)一仿古玉琮呈扁矮的方柱體,通高,內(nèi)圓外方,上下端為圓面的射,中心有一上下垂直相透的圓孔,孔徑,外徑,試估計該仿古玉琮的體積約為（）（單位：）A．3300 B．3700 C．3900 D．4500【答案】A【解析】根據(jù)題中條件可得：該玉琮的體積為底面邊長為、高為的長方體的體積減去底面直徑為、高為的圓柱的體積,因此.結(jié)合該玉琮外面方形偏低且去掉雕刻的部分,可估計該玉琮的體積約為3300.故選A.16．（2021江蘇省南京師范大學(xué)《數(shù)學(xué)之友》高三下學(xué)期一模）鉞（yuè）的本字其實(shí)是“戊（yuè）”,是一種斧頭．在中國古代,長江流域以南的少數(shù)民族都被稱為越人,由于民族很雜部落眾多,也稱“百越”,有學(xué)者指出,“越人”的“越”,其含義可能由“戊”而來,意指這些都是一幫拿著斧頭的人．此外,“戊（wù）”的本意和“戊”一樣,也是指斧頭．如圖是一把斧子,它的斧頭由鐵質(zhì)鍛造,它的形狀可以近似看做由上下兩個多面體組合而成,上部是一個長方體,下部是一個“楔（xie）形”,其尺寸如圖標(biāo)注（單位：cm）,已知鐵的比重為,斧頭上用作安裝斧柄的洞眼仍看作實(shí)心,這只斧頭的質(zhì)量（單位：g）所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題得幾何體有一個長方體、一個三棱柱和兩個三棱錐組成,長方體的體積：；三棱柱的體積：；兩個三棱錐的體積：；所以幾何體的體積為,所以這只斧頭的質(zhì)量為.故選A17．（2021山東省日照市高三下學(xué)期5月校際聯(lián)合考）在棱長為的正方體中,球同時與以為公共頂點(diǎn)的三個面相切,球同時與以為公共頂點(diǎn)的三個面相切,且兩球相切于點(diǎn),若球,的半徑分別為,,則（）A．B．C．這兩個球的體積之和的最小值是D．這兩個球的表面積之和的最小值是【答案】C【解析】球同時與以為公共頂點(diǎn)的三個面相切,以為對角線可構(gòu)造一個正方體,邊長為所以同理則,所以故這兩個球的體積之和為：因?yàn)?所以即,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立;這兩個球的表