第10講空間向量(原卷版+解析)

第10講空間向量高考預(yù)測(cè)一：線線角、線面角、二面角、距離問(wèn)題1．如圖，在三棱錐中，底面，，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，．（1）求證：平面；（2）求與平面成角的正弦值；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．如圖，在三棱柱中，，，，為的中點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）求多面體的體積；（3）求二面角的平面角的余弦值．3．如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，試求的取值范圍．4．如圖，在幾何體中，底面是平行四邊形，，，，，，平面，與交于點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若平面與平面所成的銳二面角余弦值為，求線段的長(zhǎng)度．5．在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，為的中點(diǎn)，平面平面．求與成角的余弦值（1）求平面與平面所成的銳二面角的大??；（Ⅲ）在棱上是否存在點(diǎn)使得平面？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由6．如圖，三棱柱中，側(cè)面為的菱形，．（1）證明：平面平面．（2）若，直線與平面所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值．7．如圖所示的幾何體中，為三棱柱，且平面，四邊形為平行四邊形，，．（Ⅰ）若，求證：平面；（Ⅱ）若，，二面角的余弦值為，求三棱錐的體積．8．如圖，在三棱錐中，平面，，，，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．9．如圖，在直三棱柱中，．（1）若，求證：平面；（2）若，是棱上的一動(dòng)點(diǎn)．試確定點(diǎn)的位置，使點(diǎn)到平面的距離等于．10．如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，．（1）證明：；（2）當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)二面角的大小．第10講空間向量高考預(yù)測(cè)一：線線角、線面角、二面角、距離問(wèn)題1．如圖，在三棱錐中，底面，，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，．（1）求證：平面；（2）求與平面成角的正弦值；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）證明：底面，，又，，平面，平面，．為的中點(diǎn)，，．．平面；（2）由題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．，0，，，2，，，2，，，0，，，1，，．，1，，，2，，．設(shè)平面的法向量為，，，則，取，，．設(shè)與平面成角為，則．（3）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得平面．設(shè)，，2，，．，平面，平面的法向量為，0，，，解得．點(diǎn)是靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)．2．如圖，在三棱柱中，，，，為的中點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）求多面體的體積；（3）求二面角的平面角的余弦值．【解析】解：（1）證明：，為的中點(diǎn)．又，平面又，面．（2）棱錐（3）以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．則，0，，，0，，，0，，，2，，，2，，0，設(shè)是面的一個(gè)法向量，則由得可取，1，同理設(shè)是面的一個(gè)法向量，且，，，0，則由得取二面角為銳二面角，所以其平面角的余弦值為．3．如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，試求的取值范圍．【解析】解：證明：在梯形中，，，，平面平面，平面平面，平面平面由可建立分別以直線，，為軸，軸，軸的如圖所示空間直角坐標(biāo)系，令，則，，1，，，0，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由得取，則，是平面的一個(gè)法向量當(dāng)時(shí)，有最小值，當(dāng)時(shí)，有最大值．．4．如圖，在幾何體中，底面是平行四邊形，，，，，，平面，與交于點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若平面與平面所成的銳二面角余弦值為，求線段的長(zhǎng)度．【解析】（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連接，．又點(diǎn)為的中點(diǎn)，，又，，．．四邊形為平行四邊形，．又平面，平面，平面；（Ⅱ）解：，，，．，．又平面，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系．可得：，0，，，，，，0，，，0，，，，，，，，，0，，，1，，，，．設(shè)平面的法向量為，，，則，可得：，取，，．設(shè)平面的法向量為，，，則，可得：，取，，．平面與平面所成的銳二面角余弦值為，，解得或．由平面與平面所成二面角為銳二面角，因此取．5．在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，為的中點(diǎn)，平面平面．求與成角的余弦值（1）求平面與平面所成的銳二面角的大?。唬á螅┰诶馍鲜欠翊嬖邳c(diǎn)使得平面？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由【解析】解：取的中點(diǎn)，連接，，，平面平面，平面平面，平面，平面；如圖所示，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，在平面內(nèi)過(guò)垂直于的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系；由直角梯形中，，可得，0，，，1，，，2，，，0，，，0，，，2，，，0，；，，與成角的余弦值為；（Ⅱ）由，，，，1，，設(shè)平面的法向量為，，，，即，令，得，，；取平面的一個(gè)法向量，1，；，，平面與平面所成的銳二面角為；（Ⅲ）設(shè)，則，0，，，0，，若平面，則，解得，即時(shí)，滿足平面．6．如圖，三棱柱中，側(cè)面為的菱形，．（1）證明：平面平面．（2）若，直線與平面所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值．【解析】證明：（1）連接交于，連接，側(cè)面為菱形，，，為的中點(diǎn)，又，平面平面平面平面．（2）由，，，平面，平面，從而，，，兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，直線與平面所成的角為，，設(shè)，則，又，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，0，，，0，，，1，，，，，，，，設(shè)是平面的法向量，則，令，設(shè)直線與平面所成的角為．則．直線與平面所成角的正弦值為．7．如圖所示的幾何體中，為三棱柱，且平面，四邊形為平行四邊形，，．（Ⅰ）若，求證：平面；（Ⅱ）若，，二面角的余弦值為，求三棱錐的體積．【解析】證明：（Ⅰ）若，則四邊形為正方形，則，，，為直角三角形，則，平面，平面，則，，平面；（Ⅱ）若，，，則，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：則，0，，，0，，，，，，0，，，，，則，，，，0，，，，，設(shè)面的一個(gè)法向量為，0，．則，，則，，令，則，則，，設(shè)面的一個(gè)法向量為，，，，則，，令，則，則，0，，二面角的余弦值為，，，即，得，即，則三棱錐的體積．8．如圖，在三棱錐中，平面，，，，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．【解析】解：如圖示：，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得：，0，，，0，，，1，，，2，，，0，，（Ⅰ）證明：，1，，，1，，，0，，，，即，，，平面；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，1，為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，，，而，1，，，0，，則，即，不妨設(shè)，可得，1，，易知二面角為銳角，因此有，，即二面角的余弦值是；（Ⅲ）解：，0，，，1，，，0，，作平面，垂足為，設(shè)，，，且，由，，得：，解得，，，，，即點(diǎn)到平面的距離是．9．如圖，在直三棱柱中，．（1）若，求證：平面；（2）若，是棱上的一動(dòng)點(diǎn)．試確定點(diǎn)的位置，使點(diǎn)到平面的距離等于．【解析】（1）證明：當(dāng)時(shí)，．又，，且，平面．而平面，．由，得到平面．（2）解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為，0，、，2，、，2，，設(shè)，0，．設(shè)平面的法向量為，則，．，2，，，且，，，取，得平面的一個(gè)法向量為，且，又，于是點(diǎn)到平面的距離，或（舍所以，當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離等于．10．如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，．（1）證明：；（2）當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)二面角的大小．【解析】（1）證明：分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，在中，因?yàn)榇怪逼椒?，所以，又因?yàn)?，，所以，從而可得；?）解：由（1）