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文檔簡介
全國百強名校2025屆數(shù)學(xué)高三上期末檢測試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.使得的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為()A. B. C. D.2.如圖是國家統(tǒng)計局于2020年1月9日發(fā)布的2018年12月到2019年12月全國居民消費價格的漲跌幅情況折線圖.(注:同比是指本期與同期作對比;環(huán)比是指本期與上期作對比.如:2019年2月與2018年2月相比較稱同比,2019年2月與2019年1月相比較稱環(huán)比)根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯誤的是()A.2019年12月份,全國居民消費價格環(huán)比持平B.2018年12月至2019年12月全國居民消費價格環(huán)比均上漲C.2018年12月至2019年12月全國居民消費價格同比均上漲D.2018年11月的全國居民消費價格高于2017年12月的全國居民消費價格3.若,則,,,的大小關(guān)系為()A. B.C. D.4.閱讀下側(cè)程序框圖,為使輸出的數(shù)據(jù)為31,則①處應(yīng)填的數(shù)字為A.4 B.5 C.6 D.75.拋物線y2=ax(a>0)的準線與雙曲線C:x28A.8 B.6 C.4 D.26.的展開式中,項的系數(shù)為()A.-23 B.17 C.20 D.637.已知集合,則()A. B. C. D.8.已知拋物線的焦點為,準線為,是上一點,是直線與拋物線的一個交點,若,則()A. B.3 C. D.29.已知雙曲線的一條漸近線傾斜角為,則()A.3 B. C. D.10.已知實數(shù),滿足,則的最大值等于()A.2 B. C.4 D.811.天干地支,簡稱為干支,源自中國遠古時代對天象的觀測.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”稱為十天干,“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”稱為十二地支.干支紀年法是天干和地支依次按固定的順序相互配合組成,以此往復(fù),60年為一個輪回.現(xiàn)從農(nóng)歷2000年至2019年共20個年份中任取2個年份,則這2個年份的天干或地支相同的概率為()A. B. C. D.12.已知函數(shù),若恒成立,則滿足條件的的個數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若為假,則實數(shù)的取值范圍為__________.14.設(shè)集合,,則____________.15.已知數(shù)列滿足對任意,若,則數(shù)列的通項公式________.16.(5分)已知橢圓方程為,過其下焦點作斜率存在的直線與橢圓交于兩點,為坐標(biāo)原點,則面積的取值范圍是____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)求證:當(dāng)時,;(2)若對任意存在和使成立,求實數(shù)的最小值.18.(12分)設(shè)橢圓:的右焦點為,右頂點為,已知橢圓離心率為,過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)過點的直線與橢圓交于點(不在軸上),垂直于的直線與交于點,與軸交于點,若,且,求直線斜率的取值范圍.19.(12分)已知集合,,,將的所有子集任意排列,得到一個有序集合組,其中.記集合中元素的個數(shù)為,,,規(guī)定空集中元素的個數(shù)為.當(dāng)時,求的值;利用數(shù)學(xué)歸納法證明:不論為何值,總存在有序集合組,滿足任意,,都有.20.(12分)每年3月20日是國際幸福日,某電視臺隨機調(diào)查某一社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從該社區(qū)群中隨機抽取18名,用“10分制”記錄了他們的幸福度指數(shù),結(jié)果見如圖所示莖葉圖,其中以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉.若幸福度不低于8.5分,則稱該人的幸福度為“很幸?!保?Ⅰ)求從這18人中隨機選取3人,至少有1人是“很幸?!钡母怕剩?Ⅱ)以這18人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記表示抽到“很幸?!钡娜藬?shù),求的分布列及.21.(12分)設(shè)等差數(shù)列滿足,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求的前項和及使得最小的的值.22.(10分)為了解廣大學(xué)生家長對校園食品安全的認識,某市食品安全檢測部門對該市家長進行了一次校園食品安全網(wǎng)絡(luò)知識問卷調(diào)查,每一位學(xué)生家長僅有一次參加機會,現(xiàn)對有效問卷進行整理,并隨機抽取出了200份答卷,統(tǒng)計這些答卷的得分(滿分:100分)制出的頻率分布直方圖如圖所示,由頻率分布直方圖可以認為,此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布,其中近似為這200人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表).(1)請利用正態(tài)分布的知識求;(2)該市食品安全檢測部門為此次參加問卷調(diào)查的學(xué)生家長制定如下獎勵方案:①得分不低于的可以獲贈2次隨機話費,得分低于的可以獲贈1次隨機話費:②每次獲贈的隨機話費和對應(yīng)的概率為:獲贈的隨機話費(單位:元)概率市食品安全檢測部門預(yù)計參加此次活動的家長約5000人,請依據(jù)以上數(shù)據(jù)估計此次活動可能贈送出多少話費?附:①;②若;則,,.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】二項式展開式的通項公式為,若展開式中有常數(shù)項,則,解得,當(dāng)r取2時,n的最小值為5,故選B【考點定位】本題考查二項式定理的應(yīng)用.2、D【解析】
先對圖表數(shù)據(jù)的分析處理,再結(jié)簡單的合情推理一一檢驗即可【詳解】由折線圖易知A、C正確;2019年3月份及6月份的全國居民消費價格環(huán)比是負的,所以B錯誤;設(shè)2018年12月份,2018年11月份,2017年12月份的全國居民消費價格分別為,由題意可知,,,則有,所以D正確.故選:D【點睛】此題考查了對圖表數(shù)據(jù)的分析處理能力及進行簡單的合情推理,屬于中檔題.3、D【解析】因為,所以,因為,,所以,.綜上;故選D.4、B【解析】考點:程序框圖.分析:分析程序中各變量、各語句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是利用循環(huán)求S的值,我們用表格列出程序運行過程中各變量的值的變化情況,不難給出答案.解:程序在運行過程中各變量的值如下表示:Si是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11/第一圈32是第二圈73是第三圈154是第四圈315否故最后當(dāng)i<5時退出,故選B.5、A【解析】
求得拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程,解得兩交點,由三角形的面積公式,計算即可得到所求值.【詳解】拋物線y2=ax(a>0)的準線為x=-a4,雙曲線C:x28-y24【點睛】本題考查三角形的面積的求法,注意運用拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程,考查運算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
根據(jù)二項式展開式的通項公式,結(jié)合乘法分配律,求得的系數(shù).【詳解】的展開式的通項公式為.則①出,則出,該項為:;②出,則出,該項為:;③出,則出,該項為:;綜上所述:合并后的項的系數(shù)為17.故選:B【點睛】本小題考查二項式定理及展開式系數(shù)的求解方法等基礎(chǔ)知識,考查理解能力,計算能力,分類討論和應(yīng)用意識.7、C【解析】
解不等式得出集合A,根據(jù)交集的定義寫出A∩B.【詳解】集合A={x|x2﹣2x﹣30}={x|﹣1x3},,故選C.【點睛】本題考查了解不等式與交集的運算問題,是基礎(chǔ)題.8、D【解析】
根據(jù)拋物線的定義求得,由此求得的長.【詳解】過作,垂足為,設(shè)與軸的交點為.根據(jù)拋物線的定義可知.由于,所以,所以,所以,所以.故選:D【點睛】本小題主要考查拋物線的定義,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】
由雙曲線方程可得漸近線方程,根據(jù)傾斜角可得漸近線斜率,由此構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程可知:,漸近線方程為:,一條漸近線的傾斜角為,,解得:.故選:.【點睛】本題考查根據(jù)雙曲線漸近線傾斜角求解參數(shù)值的問題,關(guān)鍵是明確直線傾斜角與斜率的關(guān)系;易錯點是忽略方程表示雙曲線對于的范圍的要求.10、D【解析】
畫出可行域,計算出原點到可行域上的點的最大距離,由此求得的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示,其中,由于,,所以,所以原點到可行域上的點的最大距離為.所以的最大值為.故選:D【點睛】本小題主要考查根據(jù)可行域求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
利用古典概型概率計算方法分析出符合題意的基本事件個數(shù),結(jié)合組合數(shù)的計算即可出求得概率.【詳解】20個年份中天干相同的有10組(每組2個),地支相同的年份有8組(每組2個),從這20個年份中任取2個年份,則這2個年份的天干或地支相同的概率.故選:B.【點睛】本小題主要考查古典概型的計算,考查組合數(shù)的計算,考查學(xué)生分析問題的能力,難度較易.12、C【解析】
由不等式恒成立問題分類討論:①當(dāng),②當(dāng),③當(dāng),考查方程的解的個數(shù),綜合①②③得解.【詳解】①當(dāng)時,,滿足題意,②當(dāng)時,,,,,故不恒成立,③當(dāng)時,設(shè),,令,得,,得,下面考查方程的解的個數(shù),設(shè)(a),則(a)由導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用可得:(a)在為減函數(shù),在,為增函數(shù),則(a),即有一解,又,均為增函數(shù),所以存在1個使得成立,綜合①②③得:滿足條件的的個數(shù)是2個,故選:.【點睛】本題考查了不等式恒成立問題及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的解得個數(shù),重點考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬難度較大的題型.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由為假,可知為真,所以對任意實數(shù)恒成立,求出的最小值,令即可.【詳解】因為為假,則其否定為真,即為真,所以對任意實數(shù)恒成立,所以.又,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立,所以.故答案為:.【點睛】本題考查全稱命題與特稱命題間的關(guān)系的應(yīng)用,利用參變分離是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.14、【解析】
先解不等式,再求交集的定義求解即可.【詳解】由題,因為,解得,即,則,故答案為:【點睛】本題考查集合的交集運算,考查解一元二次不等式.15、【解析】
由可得,利用等比數(shù)列的通項公式可得,再利用累加法求和與等比數(shù)列的求和公式,即可得出結(jié)論.【詳解】由,得,數(shù)列是等比數(shù)列,首項為2,公比為2,,,,,滿足上式,.故答案為:.【點睛】本題考查數(shù)列的通項公式,遞推公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列是解題的關(guān)鍵,利用累加法求通項公式,屬于中檔題.16、【解析】
由題意,,則,得.由題意可設(shè)的方程為,,聯(lián)立方程組,消去得,恒成立,,,則,點到直線的距離為,則,又,則,當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號.故面積的取值范圍是.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)【解析】
(1)不等式等價于,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)可證恒成立,從而原不等式成立.(2)由題設(shè)條件可得在上有兩個不同零點,且,利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性后可得其最小值,結(jié)合前述的集合的包含關(guān)系可得的取值范圍.【詳解】(1)設(shè),則,當(dāng)時,由,所以在上是減函數(shù),所以,故.因為,所以,所以當(dāng)時,.(2)由(1)當(dāng)時,;任意,存在和使成立,所以在上有兩個不同零點,且,(1)當(dāng)時,在上為減函數(shù),不合題意;(2)當(dāng)時,,由題意知在上不單調(diào),所以,即,當(dāng)時,,時,,所以在上遞減,在上遞增,所以,解得,因為,所以成立,下面證明存在,使得,取,先證明,即證,令,則在時恒成立,所以成立,因為,所以時命題成立.因為,所以.故實數(shù)的最小值為.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在不等式恒成立、等式能成立中的應(yīng)用,前者注意將欲證不等式合理變形,轉(zhuǎn)化為容易證明的新不等式,后者需根據(jù)等式能成立的特點確定出函數(shù)應(yīng)該具有的性質(zhì),再利用導(dǎo)數(shù)研究該性質(zhì),本題屬于難題.18、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)由題意可得,,,解得即可求出橢圓的C的方程;(Ⅱ)由已知設(shè)直線l的方程為y=k(x-2),(k≠0),聯(lián)立直線方程和橢圓方程,化為關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系求得B的坐標(biāo),再寫出MH所在直線方程,求出H的坐標(biāo),由BF⊥HF,解得.由方程組消去y,解得,由,得到,轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的不等式,求得k的范圍.【詳解】(Ⅰ)因為過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為3,所以,因為橢圓離心率為,所以,又,解得,,,所以橢圓的方程為;(Ⅱ)設(shè)直線的斜率為,則,設(shè),由得,解得,或,由題意得,從而,由(Ⅰ)知,,設(shè),所以,,因為,所以,所以,解得,所以直線的方程為,設(shè),由消去,解得,在中,,即,所以,即,解得,或.所以直線的斜率的取值范圍為.【點睛】本題考查在直線與橢圓的位置關(guān)系中由已知條件求直線的斜率取值范圍問題,還考查了由離心率求橢圓的標(biāo)準方程,屬于難題.19、;證明見解析.【解析】
當(dāng)時,集合共有個子集,即可求出結(jié)果;分類討論,利用數(shù)學(xué)歸納法證明.【詳解】當(dāng)時,集合共有個子集,所以;①當(dāng)時,,由可知,,此時令,,,,滿足對任意,都有,且;②假設(shè)當(dāng)時,存在有序集合組滿足題意,且,則當(dāng)時,集合的子集個數(shù)為個,因為是4的整數(shù)倍,所以令,,,,且恒成立,即滿足對任意,都有,且,綜上,原命題得證.【點睛】本題考查集合的自己個數(shù)的研究,結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,屬于難題.20、(Ⅰ).(Ⅱ)見解析.【解析】
(Ⅰ)人中很幸福的有人,可以先計算其逆事件,即人都認為不很幸福的概率,再用減去人都認為不很幸福的概率即可;(Ⅱ)根據(jù)題意,隨機變量,列出分布列,根據(jù)公式求出期望即可.【詳解】(Ⅰ)設(shè)事件抽出的人至少有人是“很幸?!钡?,則表示人都認為不很幸福(Ⅱ)根據(jù)題意,隨機變量,的可能的取值為;;;所以隨機變量的分布列為:所以的期望【點睛】本題考查了離散型隨機變量的概率分布列,數(shù)學(xué)期望的求解,概率分布中的二項分布問題,屬于常規(guī)
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