第一次月考押題預(yù)測(cè)卷（考試范圍第十六十七章）2

第1次月考押題預(yù)測(cè)卷（12章）姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分120分，考試時(shí)間90分鐘，試題共26題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2022春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義，被開方數(shù)中不含能開得盡的因數(shù)或因式，被開方數(shù)中不含分母，分母中不含根號(hào)，判定即可．【詳解】解：A、，所以被開方數(shù)中含分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，故A不符合題意；B、是最簡(jiǎn)二次根式，故B符合題意；C、，所以分母中含有根號(hào)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故C不符合題意；D、，所以被開方數(shù)中含分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，故D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023·陜西西安·高新一中?？家荒＃┤鐖D，在中，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，將△ABC分成兩個(gè)特殊的直角三角形：△ABD和△ACD，從而解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，∵∠B＝45°，∠ADB＝90°，∴BD＝AD，ABBDAD，∵∠C＝30°，∠ADC＝90°，∴AC＝2AD，∴．

故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造特殊的直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2022·河北保定·統(tǒng)考三模）下列各數(shù)中，與的和為有理數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算法則以及有理數(shù)的定義，逐項(xiàng)求解判斷即可．【詳解】解：A、不是有理數(shù)，故不符合題意；B、不是有理數(shù)，故不符合題意；C、，不是有理數(shù)，故不符合題意；D、，2為有理數(shù)，故符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算以及有理數(shù)的定義，熟練掌握二次根式運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．4．（2022·江蘇揚(yáng)州·校聯(lián)考三模）漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，構(gòu)造了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖，大正方形由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，若，，則的面積為（

）A．6 B．5 C． D．【答案】A【分析】由已知證得，進(jìn)而證得即四個(gè)全等的直角三角形長(zhǎng)的直角邊為短的直角邊2倍，進(jìn)而求得各邊長(zhǎng)，再由圖形面積的割補(bǔ)關(guān)系，可得所求三角形的面積為一個(gè)直角三角形加半個(gè)小正方形的面積，進(jìn)而可得到答案．【詳解】解：如圖，∵∴∴∵∴∴∵∴∴∴∵∴∴∴故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查全等形的證明及性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．（2021·廣東·統(tǒng)考中考真題）設(shè)的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則的值是（

）A．6 B． C．12 D．【答案】A【分析】首先根據(jù)的整數(shù)部分可確定的值，進(jìn)而確定的值，然后將與的值代入計(jì)算即可得到所求代數(shù)式的值．【詳解】∵，∴，∴的整數(shù)部分，∴小數(shù)部分，∴．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，正確確定的整數(shù)部分與小數(shù)部分的值是解題關(guān)鍵．6．（2022·廣西·中考真題）活動(dòng)探究：我們知道，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所對(duì)的邊為，滿足已知條件的三角形有兩個(gè)（我們發(fā)現(xiàn)其中如圖的△ABC是一個(gè)直角三角形），則滿足已知條件的三角形的第三邊長(zhǎng)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】分情況討論，當(dāng)△ABC是一個(gè)直角三角形時(shí)，當(dāng)△AB1C是一個(gè)鈍角三角形時(shí)，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求解即可．【詳解】如圖，當(dāng)△ABC是一個(gè)直角三角形時(shí)，即，，；如圖，當(dāng)△AB1C是一個(gè)鈍角三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB1，，，，，，，，，，綜上，滿足已知條件的三角形的第三邊長(zhǎng)為或，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)已知條件作三角形，涉及含30°的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．7．（2022·江西·南城縣第二中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）已知，，，那么a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把化為再結(jié)合從而可得答案．【詳解】解：∵，，，而∴故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的大小比較，二次根式的混合運(yùn)算，掌握“二次根式的大小比較的方法”是解本題的關(guān)鍵．8．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，以為邊在外作，連接，則以下結(jié)論中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)△ABC是等邊三角形，得出∠ABC=60°，根據(jù)△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判斷A；根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷B；根據(jù)△BPQ是等邊三角形，△PCQ是直角三角形即可判斷D；求出∠APC=150°∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判斷C．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，所以A正確，不符合題意；PQ=PB=4，PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，所以B正確，不符合題意；∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，∴△BPQ是等邊三角形，∴∠BPQ=60°，∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，所以D正確，不符合題意；∠APC=360°150°60°∠QPC=150°∠QPC，∵PC=5，QC=PA=3,∴PC≠2QC，∵∠PQC=90°，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以C不正確，符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理，解決本題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用以上知識(shí)．9．（2022·綿陽(yáng)市·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知a滿足，則的值為（

）A．0 B．1 C．2021 D．2022【答案】D【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得到a的取值范圍，根據(jù)a的取值范圍去絕對(duì)值，化簡(jiǎn)即可得出答案．【詳解】解：由題意知：，解得：，∴

，∵，∴，得：，∴

，即．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，出現(xiàn)二次根式中有未知數(shù)的題，想到二次根式有意義是解題的關(guān)鍵．10．（2022·山東泰安市·七年級(jí)期末）如圖，在中，，，垂足為，平分，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，，則線段的長(zhǎng)為（）A． B．3 C． D．1【答案】C【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根據(jù)角平分線和對(duì)頂角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用勾股定理得出答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，中，，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，F(xiàn)C=FG，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，與關(guān)于線段AF成軸對(duì)稱圖形∴AC=AG=3∴BG=53=2設(shè)FC=CE=FG=x∴BF=4x，在Rt中，解得x=，∴CF=CE=，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)，在重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上）11．（2022·江蘇南京·校聯(lián)考一模）計(jì)算的結(jié)果是______．【答案】【分析】先化為最簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，故答案為∶．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的計(jì)算，二次根式的化簡(jiǎn)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是化簡(jiǎn)二次根式．12．（2022·福建龍巖·八年級(jí)期末）圖1中的直角三角形斜邊長(zhǎng)為4，將四個(gè)圖1中的直角三角形分別拼成如圖2所示的正方形，其中陰影部分的面積分別記為，則的值為_____．【答案】16【分析】根據(jù)題意設(shè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為，較短的直角邊長(zhǎng)為，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)圖形面積可得，即可求得答案．【詳解】解：設(shè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為，較短的直角邊長(zhǎng)為，∴13．（2022·江蘇南通·八年級(jí)期中）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)P，A表示的數(shù)分別為?1，2，過(guò)A點(diǎn)的直線l垂直于數(shù)軸，點(diǎn)B在直線l上，且AB=OA．連接PB，以P為圓心，PB為半徑作弧，交數(shù)軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C表示的數(shù)為_______．【答案】##【分析】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出線段PB的長(zhǎng)度，然后根據(jù)PC＝BP即可求出PC的長(zhǎng)度，接著可以求出數(shù)軸上點(diǎn)C所表示的數(shù)．【詳解】解：在Rt△PAB中，，，∴，∵，∴，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、數(shù)軸上點(diǎn)的表示，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理求出PB的長(zhǎng)．14．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，則圖中陰影部分的面積為______．【答案】##【分析】根據(jù)勾股定理和，，，可以先求出的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷的形狀，從而可以求出陰影部分的面積．【詳解】解：，，，，，，，是直角三角形，，陰影，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面積，解題的關(guān)鍵是求出的長(zhǎng)．15．（2022·山東菏澤·八年級(jí)期中）閱讀材料：如果兩個(gè)正數(shù)a、b，即，，則有下面的不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)．我們把叫做正數(shù)a、b算術(shù)平均數(shù)，把叫做正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)，于是上述不等式可表述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數(shù)．它在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，是解決最大（?。┲祮?wèn)題的有力工具．根據(jù)上述材料，若，則y最小值為________．【答案】【分析】根據(jù)“兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數(shù)”可得的最小值．【詳解】解∶∵如果兩個(gè)正數(shù)a、b，即，，則有下面的不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，∴即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴y的最小值為．故答案為∶．【點(diǎn)睛】本題考查新定義以及算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系，正確理解新定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)和為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)和；②作直線交邊于點(diǎn)．若，，，則的長(zhǎng)為_________．【答案】7【分析】連接EC，依據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得．由已知易得，在Rt△AEC中運(yùn)用勾股定理求得AE，即可求得答案．【詳解】解：由已知作圖方法可得，是線段的垂直平分線，連接EC，如圖，所以，所以，所以∠BEC=∠CEA=90°，因?yàn)?，，所以，在中，，所以，因此的長(zhǎng)為7．答案：7．【點(diǎn)睛】本題主要考查中垂線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握中垂線上一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等，由勾股定理求得即可．17．（2022·浙江八年級(jí)專題練習(xí)）已知，則2x﹣18y2＝_____．【答案】【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)將已知化簡(jiǎn)，再將原式變形求出答案．【詳解】解：∵一定有意義，∴x≥11，∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，整理得：＝3y，∴x﹣11＝9y2，則2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．故答案為：22．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式有意義的應(yīng)用，以及二次根式的性質(zhì)應(yīng)用，屬于提高題．18．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)期末）如圖，等腰直角與等腰直角，，，，連接、．若，M為中點(diǎn)，交于點(diǎn)N，則的長(zhǎng)為___________．【答案】##【分析】延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使，連接，過(guò)E作于H，根據(jù)證明，可求，進(jìn)而可求，根據(jù)證明，可得，，然后在根據(jù)勾股定理求出，最后根據(jù)等積法求解即可．【詳解】解∶延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使，連接，過(guò)E作于H，∵，，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，又，，∴，∴，，又，∴，∴，即，在中，，，，，∴，，在中，，，，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的定義，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，添加合適的輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8小題，共66分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19．（2022春·湖北武漢·八年級(jí)校考階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)0；(2)6．【分析】（1）先化簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式即可；（2）先將除變?yōu)槌耍缓蟾鶕?jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：（2）【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算；熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．20．（2022·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考二模）在修建某高速公路的線路中需要經(jīng)過(guò)一座小山．如圖，施工方計(jì)劃從小山的一側(cè)C處沿AC方向開挖隧道到小山的另一側(cè)三點(diǎn)在同一直線上處．為了計(jì)算隧道CD的長(zhǎng)，現(xiàn)另取一點(diǎn)B，測(cè)得，，，求隧道CD的長(zhǎng)．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，在中，通過(guò)含30度角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可求出BE，AE的長(zhǎng)．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出的度數(shù)，結(jié)合可求出的度數(shù)，即可判斷為等腰直角三角形，得出，最后由和即可求出結(jié)論．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，如圖所示：在中，，，，，．，在中，，，，，答：隧道CD的長(zhǎng)為【點(diǎn)睛】本題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理和等腰直角三角形的判定．求出AE，DE的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．21．（2022·北京市燕山教研中心八年級(jí)期中）閱讀材料：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記半周長(zhǎng)為p，即，那么這個(gè)三角形的面積，這個(gè)公式叫“海倫公式”，它是利用三角形的三條邊長(zhǎng)直接求三角形面積的公式．中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶也得出了類似的公式，稱“三斜求積術(shù)”，所以這個(gè)公式也稱為“海倫—秦九韶公式”．完成下列問(wèn)題：如圖，△ABC中，三邊長(zhǎng)分別為a＝7，b＝5，c＝6．(1)求△ABC的面積；(2)過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并求線段BD的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析，BD＝5.【分析】（1）根據(jù)海倫公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)等面積法求出CD的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求BD即可．(1)解：，=

＝；(2)解：補(bǔ)全圖形如圖所示：，∴CD＝，∴BD＝＝5．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的應(yīng)用、數(shù)學(xué)常識(shí)，根據(jù)等面積法求出CD的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．22．（2022·江西宜春·八年級(jí)期中）在學(xué)習(xí)了勾股定理后，數(shù)學(xué)興使小組在江老師的引導(dǎo)下，利用正方形網(wǎng)格和勾股定理運(yùn)用構(gòu)圖法進(jìn)行了一系列探究活動(dòng)：(1)在中，、、三邊的長(zhǎng)分別為、、，求的面積．如圖1，在正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）中，畫出格點(diǎn)（即三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），不需要求的高，借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積，這種方法叫做構(gòu)圖法．則的面積為___________．(2)在平面直角坐標(biāo)系中，①若點(diǎn)A為，點(diǎn)B為，則線段的長(zhǎng)為___________；②若點(diǎn)A為，點(diǎn)B為，則線段的長(zhǎng)可表示為__________∶(3)在圖2中運(yùn)用構(gòu)圖法畫出圖形，比較大?。篲______（填“>”或“<”）；(4)若三邊的長(zhǎng)分別為、、（，．且），請(qǐng)?jiān)谌鐖D3的長(zhǎng)方形網(wǎng)格中（設(shè)每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為m，寬為n），運(yùn)用構(gòu)圖法畫出，并求出它的面積（結(jié)果用m，n表示）．【答案】(1)(2)①5；②(3)<(4)【分析】（1）利用構(gòu)圖法求出的面積，即可求解；（2）①利用勾股定理，即可求解；②類比①的方法，即可求解；（3）構(gòu)造出三邊長(zhǎng)分別為的三角形，即可求解；（4）先畫出三邊長(zhǎng)分別為、、的，再利用構(gòu)圖法求解，即可求解．（1）解：的面積為；故答案為：（2）解：①；故答案為：5；②線段的長(zhǎng)可表示為；故答案為：(3)解：如圖，根據(jù)題意得：，，，∴，∵，∴；故答案為：<（4）解：解：如圖，，，，【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了三角形的面積，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想解決問(wèn)題，屬于中考常見(jiàn)題，23．（2022·山東濟(jì)寧·八年級(jí)期中）我們知道，是一個(gè)無(wú)理數(shù)，將這個(gè)數(shù)減去整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，即的整數(shù)部分是1，小數(shù)部分是，請(qǐng)回答以下問(wèn)題：(1)的小數(shù)部分是________，的小數(shù)部分是________．(2)若a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，求的平方根．(3)若，其中x是整數(shù)，且，求的值．【答案】(1)，；(2)；(3)11．【分析】（1）確定的整數(shù)部分，即可確定它的小數(shù)部分；確定的整數(shù)部分，即可確定的整數(shù)部分，從而確定的小數(shù)部分；（2）確定的整數(shù)部分，即知a的值，同理可確定的整數(shù)部分，從而求得它的小數(shù)部分，即b的值，則可以求得代數(shù)式+1的值，從而求得其平方根；（3）由得即，從而得x=9，y=，將x、y的值代入原式即可求解．（1）解：∵，∴的整數(shù)部分為3，∴的小數(shù)部分為，∵，∴，∴即，∴的整數(shù)部分為1，∴的小數(shù)部分為，故答案為：，；（2）解：∵，a是的整數(shù)部分，∴a=9，∵，∴的整數(shù)部分為1，∵b是的小數(shù)部分，∴，∴∵9的平方根等于，∴的平方根等于；（3）解：∵，∴即，∵，其中x是整數(shù)，且，∴x=9，y=，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算、求平方根以及求代數(shù)式的值，關(guān)鍵是掌握二次根式的大小估算方法．24．（2022·河北·九年級(jí)專題練習(xí)）已知和都是等腰直角三角形，．(1)如圖1，連接，，求證：和全等：(2)如圖2，將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)N恰好在邊上時(shí)，求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）通過(guò)代換得對(duì)應(yīng)角相等，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得對(duì)應(yīng)邊相等，利用“SAS”證明△AOM≌△BON，即可得到AM=BN；（2）連接AM，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，利用“SAS”證明△AOM≌△BON，得對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，從而可證∠MAN=90°，再根據(jù)勾股定理，結(jié)合線段相等進(jìn)行代換，即可證明結(jié)論成立；（1）證明：∵∠AOB=∠MON=90°，∴∠AOB+∠AON=∠MON+∠AON，即∠AOM=∠BON，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA=OB，OM=ON，∴△AOM≌△BON（SAS），∴AM=BN；（2）證明：連接AM，∵∠AOB=∠MON=90°，∴∠AOB∠AON=∠MON∠AON，即∠AOM=∠BON，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA=OB，OM=ON，∴△AOM≌△BON（SAS），∴∠MAO=∠NBO=45°，AM=BN，∴∠MAN=90°，∴AM2+AN2=MN2，∵△MON是等腰直角三角形，∴MN2=2ON2，∴BN2+AN2=2ON2；【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．25．（2022·重慶·八年級(jí)期末）閱讀下述材料：我們?cè)趯W(xué)習(xí)二次根式時(shí)，熟悉的分母有理化以及應(yīng)用．其實(shí)，有一個(gè)類似的方法叫做“分子有理化”：與分母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式．比如：分子有理化可以用來(lái)比較某些二次根式的大小，也可以用來(lái)處理一些二次根式的最值問(wèn)題．例如：比較和的大?。梢韵葘⑺鼈兎肿佑欣砘缦拢?/p>

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