1.4.1空間中點(diǎn)直線平面的向量表示教學(xué)設(shè)計(jì)-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

包頭市景泰高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教案本2024包頭市景泰高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教案本2024包頭市景泰高級(jí)中學(xué)教務(wù)處包頭市景泰高級(jí)中學(xué)教務(wù)處包頭市景泰高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué)教案課題空間中點(diǎn)線面的向量表示授課教師授課班級(jí)授課時(shí)間9月份課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)背景分析（一）課題及教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊第一章第四節(jié)第一課時(shí)的內(nèi)容，主要研究空間向量的應(yīng)用。從本節(jié)知識(shí)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)看,這樣空間向量可表示空間中點(diǎn)的位置，直線和平面的方向。根據(jù)其方向的特點(diǎn)，空間中的直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的相關(guān)問題.對于“平行”與“垂直”兩種特殊的位置關(guān)系，以向量的運(yùn)算為工具，可證明空間中線面間的平行與垂直的關(guān)系，并能解決直線與平面、平面與平面和異面直線的夾角問題.本節(jié)的核心內(nèi)容是探求利用空間向量解決立體幾何問題的一般方法?；谝陨戏治?，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：用向量表示空間幾何中的點(diǎn)、直線和平面；利用向量共線定理、平面向量基本定理推導(dǎo)直線和平面的向量表達(dá)式以及求平面法向量的方法?？傮w學(xué)生情況分析已具備的認(rèn)知基礎(chǔ):學(xué)生在“立體幾何初步”的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)能夠解決立體幾何中的點(diǎn)線面的位置關(guān)系和度量問題,學(xué)生經(jīng)歷過運(yùn)用平面向量解決平面幾何的問題，自然能提出運(yùn)用空間向量解決立體幾何的問題。景泰的學(xué)生整體上數(shù)學(xué)成績不高，基礎(chǔ)比較弱，思維薄弱，計(jì)算能力比較差，對抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)理解困難，記憶有限，積極性不足，空間想象能力不足，應(yīng)用方面易失誤，缺少綜合的分析能力。（三）本班學(xué)生情況分析教學(xué)目標(biāo)1.會(huì)將空間中的點(diǎn)、直線、平面用規(guī)范的向量語言表示出來，通過學(xué)會(huì)空間中的點(diǎn)、直線、平面的向量表示再來研究空間的直、平面的平行、垂直的關(guān)系；2.通過恰當(dāng)選取幾何體中的一個(gè)向量基底，加深理解向量基本定理，能夠用向量規(guī)范表示空間中的點(diǎn)、直線、平面，體悟數(shù)學(xué)“元”思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：點(diǎn)、直線和平面的向量表示，以及平面法向量的求法。難點(diǎn)：點(diǎn)、直線和平面的向量表示的探究過程。通過問題引導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷“痛苦”的思考過程，使學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)為什么“向量可以代替點(diǎn)、直線和平面”，“如何借助向量來表示點(diǎn)、直線和平面”，繼而通過抓主線——點(diǎn)的位置向量，轉(zhuǎn)化、類比，最后得到正確的結(jié)論。教學(xué)資源和教學(xué)方法本節(jié)課采用“問題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)模式，通過設(shè)置聯(lián)系性問題、理解性問題、歸納性問題、拓展性問題實(shí)現(xiàn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，主動(dòng)探究，合作交流，利用小組匯報(bào)，學(xué)生講解，學(xué)生小結(jié)等多種方式，借助動(dòng)態(tài)實(shí)物圖將空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示制作成動(dòng)態(tài)圖形，通過創(chuàng)設(shè)物理情境，數(shù)學(xué)情境，落實(shí)重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，在師生互動(dòng)、生生互動(dòng)中，通過對空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示的探究，使學(xué)生學(xué)會(huì)空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示方法,進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).讓學(xué)習(xí)過程成為學(xué)生心靈愉悅的主動(dòng)認(rèn)知過程.不斷地提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力，努力實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)的目標(biāo)。教學(xué)中以引導(dǎo)學(xué)生和學(xué)生活動(dòng)為主，提高學(xué)生們自主學(xué)習(xí)的積極性和能力，加強(qiáng)學(xué)生們對內(nèi)容的理解和分析，實(shí)際操作中需要高質(zhì)量的做一些試題來鞏固新的知識(shí)，從而得到掌握本節(jié)課的內(nèi)容。教學(xué)設(shè)計(jì)一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)開幕式上的1100架中國無人機(jī)表演震撼全世界。無人機(jī)編織的光影，在埃菲爾鐵塔上舞動(dòng)，讓巴黎的夜晚比平時(shí)更加璀璨耀眼。隨著節(jié)奏，它們迅速變換著各種圖案，首先是奧運(yùn)五環(huán)，在空中勾勒出五個(gè)閃亮的環(huán)，每一個(gè)環(huán)都閃耀著不同的顏色，仿佛象征著世界五大洲的團(tuán)結(jié)和友誼。接著，五環(huán)變幻成巴黎奧運(yùn)會(huì)的會(huì)徽，那細(xì)致的圖案在空中綻放，仿佛一幅巨大的畫卷展開在夜空中。隨后，無人機(jī)又迅速排列成火炬手的形象，一位高舉火炬的運(yùn)動(dòng)員躍然于天際，她手中的火炬仿佛真的在燃燒。無人機(jī)在空中靈活飛行，仿佛被賦予了生命一樣，全世界所有的觀眾都被這精準(zhǔn)、優(yōu)美變換而鼓掌和歡呼。把無人機(jī)看作一個(gè)點(diǎn)的話，根據(jù)1100架無人機(jī)所組成的不同空間結(jié)構(gòu)圖，現(xiàn)回答下列問題：【問題1】：你能確定每一架無人機(jī)在空中的位置嗎？【問題2】：多架無人機(jī)在空中能組成一條直線或一個(gè)平面嗎？【問題3】：你會(huì)用空間向量法來表示空間中變幻的無人機(jī)嗎？【設(shè)計(jì)意圖】用無人機(jī)的精彩表演做情境，無人機(jī)表演的各種圖案，學(xué)生們印象深刻，有利于學(xué)生的理解和分析，并且為接下來學(xué)習(xí)的空間向量研究直線、平面的位置奠定基礎(chǔ)。二、分析問題，引入新課師生活動(dòng)：分析上面的例子，讓學(xué)生復(fù)習(xí)空間直角坐標(biāo)系的建立，點(diǎn)的坐標(biāo)表示。要想學(xué)會(huì)表示，請認(rèn)真學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系?！驹O(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生思考，從多個(gè)具體的實(shí)例中抽象概括出共同特征，形成較為抽象的數(shù)學(xué)語言，并通過實(shí)際例子讓學(xué)生更好地理解本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。三、探究新知，形成概念師生活動(dòng)：板書1探究1：如何用空間向量表示空間中的一個(gè)點(diǎn)P？師：想象一下，平常我們打的時(shí)候，有人問你“你現(xiàn)在在哪里？”，你是怎樣回答的呢？通過看書：在空間中選一個(gè)起點(diǎn)O作為基點(diǎn)，則空間中任意一個(gè)點(diǎn)P就可以用向量OP來表示。我們把向量OP稱為點(diǎn)P的位置向量。這樣的表示往往比較隨意，需要學(xué)生認(rèn)真理解基點(diǎn)O。圖形語言向量語言空間中一點(diǎn)【設(shè)計(jì)意圖】通過空間內(nèi)任意點(diǎn)的向量來表示，即主要確定點(diǎn)的位置，這樣去讓學(xué)生體會(huì)點(diǎn)與“基”點(diǎn)的一一對應(yīng)關(guān)系，這樣空間中的向量就可以表示出來了。探究2：如何用空間向量表示空間中的一條直線？師：用向量表示直線，就是要利用點(diǎn)和直線的方向向量表示直線上的任意點(diǎn)？在直線上取非零向量a，我們把向量a稱為直線l的方向向量，設(shè)是直線上的任意一點(diǎn)，由向量共線的條件可知，點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得，即。取定空間中任意一點(diǎn)，可以得到點(diǎn)是直線上的任意一點(diǎn)，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得，①將代入①，即，②。①和②都稱為空間直線的向量表示式。由此可知，空間任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定?！驹O(shè)計(jì)意圖】：在空間向量表示空間直線的基礎(chǔ)上，得出“空間中的一點(diǎn)和一個(gè)方向也可以確定空間中的一條直線”，引導(dǎo)學(xué)生利用共線定理尋找向量表示直線方法，學(xué)生在探究問題的過程中體悟數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。圖形語言向量語言直線直線探究3：一個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)定方向能否確定一個(gè)平面？如何用向量來表示這個(gè)平面？設(shè)兩條相交直線的交點(diǎn)為，它們的方向向量分別為向量和向量，那么，由平面向量基本定理得到，這個(gè)平面的任意一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對使得向量①這樣，點(diǎn)與向量和向量，不僅可以確定平面，還可以具體表示出內(nèi)的任意一點(diǎn)，這種表示在解決幾何問題時(shí)有著重要作用。師：我們可以回憶平面向量的基本定理，來聯(lián)想空間向量的任意一向量分解。進(jìn)一步，取定空間任意一點(diǎn)為，可以得到，空間一點(diǎn)位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得，③。我們把③式稱為空間平面ABC的向量表示式，所以，空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定。【設(shè)計(jì)意圖】：通過平面內(nèi)的任意一點(diǎn)的向量表示，對“存在實(shí)數(shù)x,y,使xAB+yAC”有了更深刻的理解，能夠得出空間一點(diǎn)位于平面ABC內(nèi)的充要條件是：存在實(shí)數(shù)x,y,使OP=OA+xAB+yAC。探究4：給定空間一點(diǎn)A和一條直線l，則過點(diǎn)A且垂直直線l的平面是唯一確定的。由此得到啟發(fā)，我們可以點(diǎn)A和直線l的方向向量來確定平面。如果另有一條直線，在直線m上任取向量，向量與向量有什么關(guān)系呢？師：①垂直于平面虛線叫法線。②數(shù)學(xué)中把垂直于平面的直線方向向量叫平面的法向量。③平面是點(diǎn)的集合，如何用點(diǎn)A和平面α的法向量a表示平面內(nèi)所有的點(diǎn)P構(gòu)成的集合？直線，取直線l的方向向量，我們稱向量為平面的法向量，給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量，那么過點(diǎn)A為法向量的平面完全確定，可以表示為滿足集合。【設(shè)計(jì)意圖】通過直線垂直平面的方法，來引導(dǎo)學(xué)生在直線上取一個(gè)方向向量，這樣很容易得到一個(gè)平面的法向量，圖形語言向量語言平面平面平面板書2：四、例題分析，理解鞏固例:如圖,在長方體中，,,是的中點(diǎn)，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。(1)求直線的方向向量(2)求平面的法向量(3)求平面的法向量.(4)求平面的法向量.師生活動(dòng)：下面由學(xué)生分組對上述例題進(jìn)行改編或變式。五、課堂小結(jié)，復(fù)習(xí)回顧空間中一個(gè)點(diǎn)如何用向量表示二、空間中一條線如何用向量表示三、空間中一個(gè)面如何用向量表示四、如何表示一個(gè)平面的法向量六、達(dá)標(biāo)檢查，鞏固提示1.如圖，在三棱錐ABC