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文檔簡介
2022-2023學(xué)年湖北五校聯(lián)盟招生全國統(tǒng)一考試仿真卷(六)-高考數(shù)學(xué)試題仿真試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.是虛數(shù)單位,則()A.1 B.2 C. D.2.在中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,D是AB的中點,若,且,則面積的最大值是()A. B. C. D.3.已知數(shù)列的前項和為,且,,則()A. B. C. D.4.已知m為實數(shù),直線:,:,則“”是“”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件5.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.6.給出以下四個命題:①依次首尾相接的四條線段必共面;②過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面;③空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行,那么這兩個角必相等;④垂直于同一直線的兩條直線必平行.其中正確命題的個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.37.已知實數(shù)x,y滿足,則的最小值等于()A. B. C. D.8.若復(fù)數(shù)()是純虛數(shù),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.若非零實數(shù)、滿足,則下列式子一定正確的是()A. B.C. D.10.設(shè),隨機變量的分布列是01則當(dāng)在內(nèi)增大時,()A.減小,減小 B.減小,增大C.增大,減小 D.增大,增大11.已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上,平面,,若球的表面積為,則三棱錐的體積的最大值為()A. B. C. D.12.將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,如果在區(qū)間上單調(diào)遞減,那么實數(shù)的最大值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)f(x)=etx(t>0),過點P(t,0)且平行于y軸的直線與曲線C:y=f(x)的交點為Q,曲線C過點Q的切線交x軸于點R,若S(1,f(1)),則△PRS的面積的最小值是_____.14.已知實數(shù),滿足約束條件,則的最小值為______.15.設(shè)雙曲線的左焦點為,過點且傾斜角為45°的直線與雙曲線的兩條漸近線順次交于,兩點若,則的離心率為________.16.已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點,則該雙曲線的離心率為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,平面,底面是矩形,,,分別是,的中點.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)設(shè),求三棱錐的體積.18.(12分)第十四屆全國冬季運動會召開期間,某校舉行了“冰上運動知識競賽”,為了解本次競賽成績情況,從中隨機抽取部分學(xué)生的成績(得分均為整數(shù),滿分100分)進行統(tǒng)計,請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù),解答下列問題:(1)求、、的值及隨機抽取一考生其成績不低于70分的概率;(2)若從成績較好的3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取5人參加“普及冰雪知識”志愿活動,并指定2名負責(zé)人,求從第4組抽取的學(xué)生中至少有一名是負責(zé)人的概率.組號分組頻數(shù)頻率第1組150.15第2組350.35第3組b0.20第4組20第5組100.1合計1.0019.(12分)如圖,在三棱柱中,平面ABC.(1)證明:平面平面(2)求二面角的余弦值.20.(12分)已知等比數(shù)列,其公比,且滿足,和的等差中項是1.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)若,是數(shù)列的前項和,求使成立的正整數(shù)的值.21.(12分)在中,角、、的對邊分別為、、,且.(1)若,,求的值;(2)若,求的值.22.(10分)已知雙曲線及直線.(1)若l與C有兩個不同的交點,求實數(shù)k的取值范圍;(2)若l與C交于A,B兩點,O是原點,且,求實數(shù)k的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
由復(fù)數(shù)除法的運算法則求出,再由模長公式,即可求解.【詳解】由.故選:C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法和模,屬于基礎(chǔ)題.2.A【解析】
根據(jù)正弦定理可得,求出,根據(jù)平方關(guān)系求出.由兩端平方,求的最大值,根據(jù)三角形面積公式,求出面積的最大值.【詳解】中,,由正弦定理可得,整理得,由余弦定理,得.D是AB的中點,且,,即,即,,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.的面積,所以面積的最大值為.故選:.【點睛】本題考查正、余弦定理、不等式、三角形面積公式和向量的數(shù)量積運算,屬于中檔題.3.C【解析】
根據(jù)已知條件判斷出數(shù)列是等比數(shù)列,求得其通項公式,由此求得.【詳解】由于,所以數(shù)列是等比數(shù)列,其首項為,第二項為,所以公比為.所以,所以.故選:C【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列的證明,考查等比數(shù)列通項公式,屬于基礎(chǔ)題.4.A【解析】
根據(jù)直線平行的等價條件,求出m的值,結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】當(dāng)m=1時,兩直線方程分別為直線l1:x+y﹣1=0,l2:x+y﹣2=0滿足l1∥l2,即充分性成立,當(dāng)m=0時,兩直線方程分別為y﹣1=0,和﹣2x﹣2=0,不滿足條件.當(dāng)m≠0時,則l1∥l2?,由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2,由得m≠2,則m=1,即“m=1”是“l(fā)1∥l2”的充要條件,故答案為:A【點睛】(1)本題主要考查充要條件的判斷,考查兩直線平行的等價條件,意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)本題也可以利用下面的結(jié)論解答,直線和直線平行,則且兩直線不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗看兩直線是否重合.5.A【解析】
由復(fù)數(shù)的運算法則計算.【詳解】因為,所以故選:A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算.屬于簡單題.6.B【解析】
用空間四邊形對①進行判斷;根據(jù)公理2對②進行判斷;根據(jù)空間角的定義對③進行判斷;根據(jù)空間直線位置關(guān)系對④進行判斷.【詳解】①中,空間四邊形的四條線段不共面,故①錯誤.②中,由公理2知道,過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面,故②正確.③中,由空間角的定義知道,空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行,那么這兩個角相等或互補,故③錯誤.④中,空間中,垂直于同一直線的兩條直線可相交,可平行,可異面,故④錯誤.故選:B【點睛】本小題考查空間點,線,面的位置關(guān)系及其相關(guān)公理,定理及其推論的理解和認識;考查空間想象能力,推理論證能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.7.D【解析】
設(shè),,去絕對值,根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】因為實數(shù),滿足,設(shè),,,恒成立,,故則的最小值等于.故選:.【點睛】本題考查了橢圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查了運算能力和轉(zhuǎn)化能力,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.8.B【解析】
化簡復(fù)數(shù),由它是純虛數(shù),求得,從而確定對應(yīng)的點的坐標.【詳解】是純虛數(shù),則,,,對應(yīng)點為,在第二象限.故選:B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算,考查復(fù)數(shù)的概念與幾何意義.本題屬于基礎(chǔ)題.9.C【解析】
令,則,,將指數(shù)式化成對數(shù)式得、后,然后取絕對值作差比較可得.【詳解】令,則,,,,,因此,.故選:C.【點睛】本題考查了利用作差法比較大小,同時也考查了指數(shù)式與對數(shù)式的轉(zhuǎn)化,考查推理能力,屬于中等題.10.C【解析】
,,判斷其在內(nèi)的單調(diào)性即可.【詳解】解:根據(jù)題意在內(nèi)遞增,,是以為對稱軸,開口向下的拋物線,所以在上單調(diào)遞減,故選:C.【點睛】本題考查了利用隨機變量的分布列求隨機變量的期望與方差,屬于中檔題.11.B【解析】
由題意畫出圖形,設(shè)球0得半徑為R,AB=x,AC=y,由球0的表面積為20π,可得R2=5,再求出三角形ABC外接圓的半徑,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值,代入棱錐體積公式得答案.【詳解】設(shè)球的半徑為,,,由,得.如圖:設(shè)三角形的外心為,連接,,,可得,則.在中,由正弦定理可得:,即,由余弦定理可得,,.則三棱錐的體積的最大值為.故選:.【點睛】本題考查三棱錐的外接球、三棱錐的側(cè)面積、體積,基本不等式等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是中檔題.12.B【解析】
根據(jù)條件先求出的解析式,結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.【詳解】將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,則,設(shè),則當(dāng)時,,,即,要使在區(qū)間上單調(diào)遞減,則得,得,即實數(shù)的最大值為,故選:B.【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖象變換,考查根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù),屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
計算R(t,0),PR=t﹣(t),△PRS的面積為S,導(dǎo)數(shù)S′,由S′=0得t=1,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值.【詳解】∵PQ∥y軸,P(t,0),∴Q(t,f(t))即Q(t,),又f(x)=etx(t>0)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=tetx,∴過Q的切線斜率k=t,設(shè)R(r,0),則k,∴r=t,即R(t,0),PR=t﹣(t),又S(1,f(1))即S(1,et),∴△PRS的面積為S,導(dǎo)數(shù)S′,由S′=0得t=1,當(dāng)t>1時,S′>0,當(dāng)0<t<1時,S′<0,∴t=1為極小值點,也為最小值點,∴△PRS的面積的最小值為.故答案為:.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求面積的最值問題,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.14.【解析】
作出滿足約束條件的可行域,將目標函數(shù)視為可行解與點的斜率,觀察圖形斜率最小在點B處,聯(lián)立,解得點B坐標,即可求得答案.【詳解】作出滿足約束條件的可行域,該目標函數(shù)視為可行解與點的斜率,故由題可知,聯(lián)立得,聯(lián)立得所以,故所以的最小值為故答案為:【點睛】本題考查分式型目標函數(shù)的線性規(guī)劃問題,屬于簡單題.15.【解析】
設(shè)直線的方程為,與聯(lián)立得到A點坐標,由得,,代入可得,即得解.【詳解】由題意,直線的方程為,與聯(lián)立得,,由得,,從而,即,從而離心率.故答案為:【點睛】本題考查了雙曲線的離心率,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.16.【解析】
根據(jù)雙曲線方程,可得漸近線方程,結(jié)合題意可表示,再由雙曲線a,b,c關(guān)系表示,最后結(jié)合雙曲線離心率公式計算得答案.【詳解】因為雙曲線為,所以該雙曲線的漸近線方程為.又因為其一條漸近線經(jīng)過點,即,則,由此可得.故答案為:.【點睛】本題考查由雙曲線的漸近線構(gòu)建方程表示系數(shù)關(guān)系進而求離心率,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)取中點,連,,根據(jù)平行四邊形,可得,進而證得平面平面,利用面面垂直的性質(zhì),得平面,又由,即可得到平面.(Ⅱ)根據(jù)三棱錐的體積公式,利用等積法,即可求解.【詳解】(Ⅰ)取中點,連,,由,可得,可得是平行四邊形,則,又平面,∴平面平面,∵平面,平面,∴平面平面,∵,是中點,則,而平面平面,而,∴平面.(Ⅱ)根據(jù)三棱錐的體積公式,得.【點睛】本題主要考查了空間中線面位置關(guān)系的判定與證明,以及利用“等體積法”求解三棱錐的體積,其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理,以及合理利用“等體積法”求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與論證能力,屬于基礎(chǔ)題.18.(1),,,;(2)【解析】
(1)根據(jù)第1組的頻數(shù)和頻率求出,根據(jù)頻數(shù)、頻率、的關(guān)系分別求出,進而求出不低于70分的概率;(2)由(1)得,根據(jù)分層抽樣原則,分別從抽出2人,2人,1人,并按照所在組對抽出的5人編號,列出所有2名負責(zé)人的抽取方法,得出第4組抽取的學(xué)生中至少有一名是負責(zé)人的抽法數(shù),由古典概型概率公式,即可求解.【詳解】(1),,,由頻率分布表可得成績不低于70分的概率約為:(2)因為第3、4、5組共有50名學(xué)生,所以利用分層抽樣在50名學(xué)生中抽取5名學(xué)生,每組分別為:第3組:人,第4組:人,第5組:人,所以第3、4、5組分別抽取2人,2人,1人設(shè)第3組的3位同學(xué)為、,第4組的2位同學(xué)為、,第5組的1位同學(xué)為,則從五位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有10種可能抽法如下:,,,,,,,,,,其中第4組的2位同學(xué)、至少有一位同學(xué)是負責(zé)人有7種抽法,故所求的概率為.【點睛】本題考查補全頻率分布表、古典概型的概率,屬于基礎(chǔ)題.19.(1)證明見解析(2)【解析】
(1)證明平面即平面平面得證;(2)分別以所在直線為x軸,y軸.軸,建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz,再利用向量方法求二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:因為平面ABC,所以因為.所以.即又.所以平面因為平面.所以平面平面(2)解:由題可得兩兩垂直,所以分別以所在直線為x軸,y軸.軸,建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz,則,所以設(shè)平面的一個法向量為,由.得令,得又平面,所以平面的一個法向量為.所以二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查空間幾何位置關(guān)系的證明,考查二面角的計算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.20.(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由等差數(shù)列中項性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式,解方程可得首項和公比,可得所求通項公式;(Ⅱ),由數(shù)列的錯位相減法求和可得,解方程可得所求值.【詳解】(Ⅰ
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