2024-2025學年高二上學期期中模擬考試數(shù)學試題（北師大版2019選擇性必修第一冊第1-3章：直線與圓 圓錐曲線 空間向量與立體幾何）（全解全析）

2024-2025學年高二數(shù)學上學期期中模擬卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：北師大版（2019）選擇性必修第一冊第一章~第三章（直線與圓+圓錐曲線+空間向量與立體幾何）。5．難度系數(shù)：0.65。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知雙曲線的方程為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，.故選A.2．已知分別是平面的法向量，若，則（）A． B． C．7 D．1【答案】C【解析】因為，又，所以，所以，解得，故選.3．在同一平面直角坐標系中，直線與圓的位置不可能為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圓的圓心坐標為，半徑為，直線過圓內(nèi)定點，斜率可正可負可為0，ABD選項都有可能，C選項不可能.故選C.4．阿基米德在他的著作《關于圓錐體和球體》中計算了一個橢圓的面積，當我們垂直地縮小一個圓時，得到一個橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的面積為，兩個焦點分別為，，直線與橢圓交于，兩點，若四邊形的周長為12，則橢圓的短半軸長為（A．6 B．4 C．3 D．2【答案】D【解析】依題意，，由橢圓對稱性，得線段互相平分于原點，則四邊形為平行四邊形，由橢圓的定義得，解得，所以橢圓的短半軸長.故選D.

5．在長方體中，已知，，E為的中點，則直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，為坐標原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，∴，設直線與所成角為，則，即異面直線與所成角的余弦值為.故選A.6．已知實數(shù)x，y滿足，且，則的取值范圍（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由于點滿足關系式，且，可知在線段上移動，且設，則，因為點在線段上，所以的取值范圍是，故選A.

7．已知拋物線的焦點為F，過F的直線交E于A，B兩點，點P滿足，其中O為坐標原點，直線AP交E于另一點C，直線BP交E于另一點D，記，的面積分別為，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)已知條件作出圖形，如圖所示由題意知，又，所以.顯然直線AB的斜率不為0，設直線AB的方程為，Ax1,y由，得，顯然，所以.顯然直線BD的斜率不為0，設，直線BD的方程為，由，得，顯然，所以，又，所以，設，同理可得，.故選C.8．已知圓與圓，過動點分別作圓?圓的切線（分別為切點），若，則到圓距離的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題，，因為，則，即，化簡得，即動點在直線上，

圓的圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離為，所以到圓距離的最小值是.故選A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中正確的是（）

A．CC1⊥BD B．C．夾角是60° D．直線與直線的距離是【答案】ABD【解析】如圖，設，則

對于A，因，則，故A正確；對于B，因，，則，故B正確；對于C，，則，且設夾角為，則，因，則，即C錯誤；對于D,在平行六面體中，易得,則得,故,故點到直線的距離即直線與直線的距離.因，且，則，故D正確.故選ABD.10．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為、，過點且傾斜角為的直線l與雙曲線的右支交于A、B兩點（A在第一象限），則下列說法中正確的是（）A．雙曲線C的虛軸長為 B．C．的周長的最小值為16 D．當時，的內(nèi)切圓面積為【答案】BCD【解析】對于A:因為，所以虛軸長為，A錯誤；對于B:因為雙曲線漸近線方程為，傾斜角分別為，過點且傾斜角為的直線l與雙曲線的右支交于A、B兩點,得出B正確；對于C:的周長為,結合雙曲線的定義，設雙曲線的右焦點為，，當直線AB斜率不存在時，直線AB的方程為，則當直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為聯(lián)立，消去，得，又，故或,而，所以當直線AB與x軸垂直時，的長最小，即最小值為，的周長最小值為，故C正確；對于D:當時,設直線AB的方程為聯(lián)立，消去，得，，當時,A點坐標，，的周長，設的內(nèi)切圓半徑為r，則，解得，因此的內(nèi)切圓面積為，D正確.故選BCD.11．已知直線，圓為圓上任意一點，則下列說法正確的是（）A．的最大值為5 B．的最大值為C．直線與圓相切時， D．圓心到直線的距離最大為4【答案】BC【解析】圓的方程可化為，所以圓的圓心為，半徑.，Px0所以的最大值為，A選項錯誤.如圖所示，當直線的斜率大于零且與圓相切時，最大，此時，且，B選項正確.直線，即，過定點，若直線與圓相切，則圓心到直線的距離為，即，解得，所以C選項正確.圓心到直線的距離，當時，，當時，，所以D選項錯誤.故選BC.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．設為雙曲線的兩個焦點，點是雙曲線上的一點，且，則的面積為.【答案】2【解析】解法一：如圖，由可知，設，由定義，的面積為.解法二：如圖，的面積為.故答案為：2.13．《九章算術》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形狀體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵中，M，N分別是的中點，，動點在線段MN上運動，若，則.

【答案】【解析】如圖，取的中點，連接AE交于點．

因為M，N分別是的中點，所以．因為平面，所以平面．因為平面EMN，所以平面平面，點在平面EMN內(nèi)，所以由等和面定理可知，．故答案為：.14．已知線段是圓的一條動弦，且，若點為直線上的任意一點，則的最小值為.【答案】【解析】如圖，為直線上的任意一點，過圓心作，連接，由，可得，由，當共線時取等號，又是的中點，所以，所以.則此時，的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知直線：，：，且滿足，垂足為C.（1）求m的值及點C的坐標.（2）設直線與x軸交于點A，直線與x軸交于點B，求△ABC的外接圓方程.【解析】（1）解：顯然，可得，，-----------------------------------------2分由，可得，即，解得，----------------------------3分所以直線：，直線：，------------------------------------------------------4分聯(lián)立方程組，解得，所以點．------------------------------------------6分（2）解：由直線：，直線：，可得，，------------8分所以△ABC的外接圓是以為直徑的圓，-----------------------------------------------------------10分可得圓心，半徑，---------------------------------------------------------------------12分所以△ABC的外接圓方程是．------------------------------------------------------13分16．（15分）已知橢圓過點，且其一個焦點與拋物線的焦點重合.（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓交于，兩點，若點是線段的中點，求直線的方程.【解析】（1）拋物線的焦點為，----------------------------------------------------------------1分由題意得，解得，，--------------------------------------------------------------4分所以橢圓的方程為.-------------------------------------------------------------------------------5分（2）直線的斜率存在，設斜率為，直線的方程為，即，-----------------------------------------------------7分聯(lián)立，消去得：，-------------------------------------------------9分設，因為，即，--------------------------------------------------------------------10分所以，解得，此時滿足題意----------------------------------------------------------------------------------13分所以所求直線的方程為.------------------------------------------------------------------15分17．（15分）如圖，在直三棱柱中，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，的中點．

（1）證明：平面；（2）若，，，求點E到平面的距離．【解析】（1）因為為直三棱柱，所以，又D，E，分別為AB，BC的中點，所以，-----------------------------------------------2分所以，----------------------------------------------------------------------------------3分又平面，平面，--------------------------------------------------------------4分所以平面.--------------------------------------------------------------------------------------5分（2）因為為直三棱柱，且，以為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，-----------------------------------------7分設，且，則，則，，------------------------------------------------------------------8分由可得，即，且，解得，------------------------9分設，則，即，-------------------------------10分設平面的法向量為，則，解得，取，則，所以平面的一個法向量為，----------------------------------------------------------------12分又，即，所以點E到平面的距離.------------------------------------------------15分18．（17分）已知拋物線的焦點為，過圓的圓心的直線交拋物線與圓分別為（從左到右）.

（1）若拋物線的焦點與圓心重合，求拋物線的方程；（2）若拋物線和圓只有一個公共點，求的取值范圍；（3）在（1）的條件下，的面積滿足：，求弦的長.【解析】（1）由可知圓心坐標為0,1，因為拋物線的焦點與圓心重合，---------------------------------------------------------------2分所以，------------------------------------------------------------------------------3分所以拋物線的方程.-----------------------------------------------------------------------5分（2），消去并整理方程可得，------------------6分解得，---------------------------------------------------------------------------7分拋物線和圓恒有一個公共點，且恒成立，所以令2p-2≧0，解得.----------------------------------------------------------------------9分（3）設，直線的方程為，原點到直線的距離為，由消去可得，其中，，---------------------------------------------------------------------11分所以，則，①--------------------------------------------------------------------------13分因為，②-------------------------------------------15分由①②解得所以----------------------------------------------------17分19．（17分）在空間直角坐標系中，已知向量，點．若平面以為法向量且經(jīng)過點，則平面的點法式方程可表示為，一般式方程可表示為．（1）若平面：，平面：，直線l為平面和平面的交線，求直線的一個方向向量；（2）已知集合，，．記集合Q中所有點構成的幾何體的體積為，中所有點構成的幾何體的體積為，集合T中所有點構成的幾何體為W．（?。┣蠛偷闹?；（ⅱ）求幾何體W的體積和相鄰兩個面（有公共棱）所成二面角的余弦值．【解析】（1）直線是兩個平面與的交線，所以直線上的點滿足，-------------------------------------------------------------------2分不妨設，則，不妨設，則，直線的一個方向向量為：；------------------------------------------4分（2）（ⅰ）記集合，中所有點構成的幾何體的體積分別為，，考慮集合的子集，即為三個坐標平面與轉成的四面體，--------------------------------------------------5分四面體四