數(shù)學教材習題點撥：二項式定理

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習題點撥1．探究：你能仿照上述過程,自己推導出（a＋b）3，（a＋b)4的展開式嗎?解：(a＋b)3的展開式略，只推導(a＋b)4的展開式．由于(a＋b)4＝（a＋b)（a＋b)（a＋b)（a＋b），右式展開的每一項是從每個括號里任取一個字母的乘積，因此(a＋b）4展開后各項都是4次式,分別為a4,a3b，a2b2，ab3，b4.從組合的觀點來看，組成（a＋b）4的展開式中的每一項，都需要分兩個步驟完成，即第一步取b,第二步取a。a4項：從四個因式中都不取b，而全部取a,共有個a4，所以（a＋b）4的展開式的第1項為；a3b項:從四個因式中取出一個因式中的b，再從其余三個因式中全部取a，共有個a3b,所以（a＋b）4的展開式的第2項為；a2b2項:從四個因式中取出兩個因式中的b，再從其余兩個因式中全部取a,共有個a2b2，所以(a＋b)4的展開式的第3項為；ab3項:從四個因式中取出三個因式中的b,再從其余一個因式中取a，共有個ab3，所以(a＋b）4的展開式的第4項為；b4項：從四個因式中全部取b，而不取a，共有個b4,所以(a＋b)4的展開式的第5項為。因此，。2．？你能用組合意義解釋一下這個“組合等式”嗎?解：展開式左邊是n個(1＋x）相乘,按照取x的個數(shù)，可以將乘積中的項分為n＋1類：第1類，n個(1＋x)都取1，即取0個x,共有種取法；第2類，n個(1＋x)中,1個取eq\a\vs4\al(）x，其余取1，共有種取法；第3類,n個（1＋x）中，2個取x，其余取1，共有種取法;……一般地，第k類，n個(1＋x）中,k個取xeq\a\vs4\al()，其余(n－k)個取1，共有種取法；……第n類，n個（1＋x)中全部取x，共有種取法．練習11．解：p7＋7p6q＋21p5q2＋35p4q3＋35p3q4＋21p2q5＋7pq6＋q7.點撥：利用二項式定理直接展開．2．解：T3＝（2a）4·(3b）2＝2160a4b2。點撥:利用二項展開式的通項公式求解．3．解：Tk＋1＝。點撥：利用二項展開式的通項公式求解．4．D點撥:。練習21．（1)n為偶數(shù)時，最大值是;當n為奇數(shù)時，最大值是與（2)1024(3）點撥：(2）。2．證明：∵，＝，＝＝＝2n，∴.3．解：11121133114641151010511615201561172135352171182856705628811936841261268436911104512021025621012045101點撥：從上行到下行按規(guī)律：除端點的1外，每個數(shù)都是肩上的兩個數(shù)之和．習題1.3A組1．解:(1)；（2）.點撥:根據二項式定理直接展開．2．解:(1）（a＋）9＝a9＋9a8＋36a7＋84a6b＋126a5b＋126a4b＋84a3b2＋36a3b2＋9ab2＋b3；(2）.點撥:利用二項展開式的通項公式展開．3．解：（1)2＋20x＋10x2；(2)192x＋432x－1.點撥：利用二項展開式的通項公式展開．4．解：(1）前4項分別是1,－30x,420x2，－3640x3；(2）T8＝－2099520a9b14；(3)T7＝924;(4）展開式的中間兩項分別為T8,T9，其中T8＝,T9＝。點撥:利用二項式定理求展開式中的特定項．5．解：(1)令的項是第6項，它的系數(shù)是;（2）常數(shù)項是第6項，T6＝.6．證明：（1)Tk＋1＝。由2n－2k＝0，得k＝n，即的展開式中常數(shù)項是Tn＋1＝(－1)n＝（－1)n＝（－1)n＝(－1)n＝(－2)n。(2）(1＋x）2n的展開式共有2n＋1項，所以中間一項是Tn＋1＝（2x）n。點撥:(1）求常數(shù)項就是令通項中的x指數(shù)等于0；(2）求中間項要先看總的項數(shù)是多少,然后確定是求第幾項．7．解:r01234567Cr7172135352171點撥:按列表描點的思路，圖象是8個點．有對稱性．8．解：展開式的第4項與第8項的二項式系數(shù)分別是與,由＝，得3＝n－7,即n＝10，所以這兩個二項式系數(shù)分別是與,即120。點撥：根據二項式系數(shù)及組合數(shù)的性質求出n的值，進而解決問題．B組1．解:(1)∵（n＋1)n－1＝＋…＋＝＋…＋n2＋n2＝n2(nn－2＋＋＋…＋），∴（n＋1）n－1能被n2整除．(2)9910－1＝（100－1）10－1＝10010－·1009＋·1008＋…＋·1002－·100＋1－1＝10010－·1009＋·1008＋…＋·1002－10×100＝1000(1017－·1015＋·1013＋…＋·10－1）．∴9910－1能被1000整除．點撥：要想整除需要找