數(shù)學(xué)教材梳理向量的概念及表示

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精皰丁巧解牛知識(shí)·巧學(xué)1.向量（Vector)的概念及表示我們把既有大小又有方向的量稱為向量，更具體些，我們可把一個(gè)向量理解為“一個(gè)位移"或表達(dá)“一點(diǎn)相對(duì)于另外一點(diǎn)位置的”量.深化升華有些向量不僅有大小和方向，而且還有作用點(diǎn).例如，力就是既有大小、方向又有作用點(diǎn)的點(diǎn)向量，有些量只有大小和方向，而無(wú)特定的位置，例如，位移、速度等，通常把后一類向量叫做自由向量.本章學(xué)習(xí)的主要是自由向量.以后我們說(shuō)到向量，如無(wú)特別說(shuō)明,指的都是自由向量,這就是說(shuō)，本章所學(xué)的向量只有大小、方向兩個(gè)要素，如果兩個(gè)向量的大小、方向都相同則說(shuō)這兩個(gè)向量相等。辨析比較數(shù)量是只有大小的量，其大小可以用正數(shù)、負(fù)數(shù)和零來(lái)表示，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算,也可以比較大小,“大于”“小于”對(duì)數(shù)量是適用的；向量有方向、大小雙重性，不能比較大小.向量有兩個(gè)要素：大小和方向。在畫圖時(shí)，向量一般用有向線段來(lái)表示，用有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向.用有向線段來(lái)表示向量，顯示了圖形的直觀性，為以后學(xué)習(xí)向量提供了幾何方法,這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。如圖2—1—圖2向量也可以用小寫字母或表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的大寫字母表示。如以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的向量記為,在書寫時(shí)一定要注意起點(diǎn)字母與終點(diǎn)字母的順序。誤區(qū)警示“向量與向量可以表示同一個(gè)向量"的說(shuō)法是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)楸硎镜氖且訟為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的向量，而則表示的是以B為起點(diǎn)、A為終點(diǎn)的向量，兩個(gè)向量的方向不同，則不能表示同一個(gè)向量.2。向量的長(zhǎng)度向量的大小稱為向量的模，記作：||.深化升華向量的模實(shí)質(zhì)是代表向量的有向線段的長(zhǎng)度——這就是向量模的幾何意義，利用向量的幾何表示和向量模的幾何意義，我們可以將向量和平面幾何有機(jī)地結(jié)合起來(lái).長(zhǎng)度（模）為0的向量稱為零向量,記作0。0的方向是任意的。長(zhǎng)度(模）為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量。由向量模的定義可知，向量的模是一個(gè)非負(fù)數(shù)，它是一個(gè)數(shù)量，它可以比較大小.而對(duì)于零向量要把它和常數(shù)0區(qū)分開(kāi),向量0和數(shù)量0的區(qū)別與聯(lián)系在于：零向量的大小為數(shù)量0，零向量是有方向的,它的方向是任意的。對(duì)于單位向量:單位向量有無(wú)數(shù)多個(gè),它們的長(zhǎng)度都是1，單位向量的大小相等，但單位向量不一定相等。3.平行向量（1)平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,若向量a與向量b和向量c都平行，則可記作：a∥b∥c。規(guī)定：0與任一向量平行。(2)相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a與向量b相等，則記作：a=b.規(guī)定：0=0。由相等向量的定義可知,把一個(gè)向量平移后所得的向量與原向量是相等的，因此平行的向量都可以經(jīng)過(guò)平移使它們都落在同一條直線上，故平行向量也叫做共線向量.所以，平行向量和共線向量是同一個(gè)概念的不同稱呼,平行向量就是共線向量，共線向量也是平行向量.辨析比較共線向量中的“共線"的含義不是平面幾何中“共線"的含義。共線向量所在的直線可以平行也可以重合.而平面幾何中的“共線”是指必須在同一條直線上。深化升華共線向量有以下四種情況：方向相同且長(zhǎng)度相等；方向相反且長(zhǎng)度相等；方向相同且長(zhǎng)度不相等;方向相反且長(zhǎng)度不相等.這樣，也就找到了共線向量與相等向量的關(guān)系，即共線向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共線向量。(3)相反向量與向量a長(zhǎng)度相同、方向相反的向量叫向量a的相反向量。記作-a，a與—a互為相反向量.互為相反向量的兩個(gè)向量也是共線向量.規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.對(duì)于任意一個(gè)向量a都有:-(—a)=a.典題·熱題知識(shí)點(diǎn)1向量的概念及表示例1度有零上與零下之分,溫度是不是向量，為什么?思路分析：判斷一個(gè)量是不是向量,關(guān)鍵就是看這個(gè)量是否同時(shí)具備兩條:既有大小又有方向。解：不是,因?yàn)闇囟戎挥写笮](méi)有方向。方法歸納一個(gè)量是不是向量,就是看它是否同時(shí)具備向量的兩個(gè)要素：大小和方向.若同時(shí)具備這兩個(gè)要素則是向量，否則不是。例2斷下面哪些量是向量.（1)面積；（2)體積；(3）質(zhì)量；(4）位移；(5）路程；(6）速度;(7）加速度;（8）長(zhǎng)度；(9)力；（10）功。思路分析：用向量的兩個(gè)要素來(lái)判斷.解:由于位移、速度、加速度、力都是由大小和方向來(lái)確定的，所以這些量是向量，而其余的量只有大小沒(méi)有方向，因此它們不是向量。深化升華向量不同于數(shù)量，數(shù)量是只有大小的量，其大小可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)、零，它是一個(gè)代數(shù)量。而向量是既有大小又有方向的量，且其大小只能是非負(fù)數(shù).知識(shí)點(diǎn)2相等向量例3如圖2—圖2（1）分別寫出圖中的相等向量;（2）寫出圖中互為相反的向量。思路分析：利用相等向量和相反向量的定義，根據(jù)它們的定義和圖形的性質(zhì)及圖中的向量作出判斷.解：(1)；;(2）和互為相反向量.方法歸納判斷兩個(gè)向量是否相等,要看向量的方向和模，只有方向相同和模相等這兩個(gè)條件同時(shí)成立時(shí)，兩個(gè)向量才相等。而互為相反向量具備的條件是：模相等，方向相反.誤區(qū)警示共線向量不一定是相等向量，如上圖中向量EC和向量DC是共線向量，但它們不是相等向量，因?yàn)檫@兩個(gè)向量的模不相等。例4下列命題正確的是_____________________.①平行向量的方向一定相同;②共線向量一定相等；③起點(diǎn)不同，但方向相同模相等的幾個(gè)向量是相等向量；④不相等的向量一定不平行。思路解析:由于平行向量的方向可以相同也可以相反，則①中命題是假命題；②相等向量是共線向量,但共線的向量不一定相等，則②中命題是假命題；根據(jù)相等向量的概念，③中命題正確；由共線向量和相等向量的關(guān)系知④中命題是假命題.答案：③方法歸納解此題的關(guān)鍵是應(yīng)區(qū)分開(kāi)平行向量、共線向量、相等向量和相反向量之間的區(qū)別和聯(lián)系.誤區(qū)警示解此題時(shí)容易把平行向量和相等向量之間的關(guān)系混淆，認(rèn)為不相等的向量一定不是平行向量，從而導(dǎo)致出現(xiàn)(4）是真命題的錯(cuò)誤。問(wèn)題·探究交流討論探究問(wèn)題在初學(xué)本節(jié)時(shí)，由于受到實(shí)數(shù)學(xué)習(xí)的負(fù)面影響，或相關(guān)概念理解不深,易發(fā)生一些錯(cuò)誤的判斷，請(qǐng)問(wèn)你們能不能歸納出一些常見(jiàn)的錯(cuò)誤判斷？探究過(guò)程：學(xué)生甲:由于向量可以用有向線段來(lái)表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小,方向表示向量的方向,所以容易出現(xiàn)“向量就是有向線段"的錯(cuò)誤判斷。學(xué)生乙：在實(shí)數(shù)中,若|a|=｜b｜，則有a=b或a=—b，受它的影響易出現(xiàn)“若|a|=｜b｜，則有a=b或a=-b”的錯(cuò)誤論斷。學(xué)生丙：還有一條，由于實(shí)數(shù)中零書寫的影響，容易出“若｜a｜=0，則a=0”的錯(cuò)誤判斷。學(xué)生丁：由于零向量與任意向量平行，當(dāng)b=0時(shí)，不共線的兩個(gè)非零向量a、c都與b平行,即a∥b，b∥c的錯(cuò)誤,但受平面幾何知識(shí)的影響，就易出現(xiàn)“若a∥b，b∥c，則a∥c”的錯(cuò)誤判斷。再有本節(jié)中的概念比較多，如果對(duì)概念理解不深，還會(huì)出現(xiàn)“向量與向量是共線向量，則點(diǎn)A、B、C、D必在同