湖北省“金太陽大聯考”2025屆高三上學期第一次聯考數學試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁湖北省“金太陽大聯考”2025屆高三上學期第一次聯考數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.命題“?a>0，a2+1<2”的否定為(

)A.?a>0，a2+1≥2 B.?a≤0，a2+1≥2

C.?a>0，a22.已知集合A={x|x2?3<0}，B={x|0<x+1<3}，則A∩B=A.(?1,3) B.(?3,2)3.已知函數f(x)=ex?f′(1)x，則A.f(1)=?e2 B.f′(1)=?e2 C.4.已知函數f(x)=(x?2)n，n∈N?，則“n=1”是“f(x)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.若對任意的x，y∈R，函數f(x)滿足f(x+y)2=f(x)+f(y)，則f(4)=(

)A.6 B.4 C.2 D.06.某公司引進新的生產設備投入生產，新設備生產的產品可獲得的總利潤s(單位：百萬元)與新設備運行的時間t(單位：年，t∈N?)滿足s=?2tA.6 B.7 C.8 D.97.如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是BC邊上靠近B點的三等分點，E是BC邊上的動點，則AE?CD的取值范圍為(

)A.[?77,103] B.8.已知函數f(x)=x3+3x+1，若關于x的方程f(sinx)+f(m+cosA.[?1,2] B.[?1,1] C.[0,1]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.在等比數列{an}中，a1a2A.{an}的公比為2 B.{an}的公比為2

C.10.已知函數f(x)=12tan(ωx?φ)(ω>0,0<φ<π)A.ω=2

B.φ=π3

C.f(x)的圖象與y軸的交點坐標為(0,?33)

11.已知a=2log4?1100，b=A.c>a B.a>b C.c>b D.b>a三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知平面向量m，n滿足m?n=3，且m⊥(m?213.若α∈(?π2,0)，且cos2α=cos(α+14.已知正實數a，b滿足2a+3b=2，則ab?a2+2b+4的最大值為四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)在公差不為0的等差數列{an}中，a1=1，且a(1)求{an(2)若bn=2an，cn=a16.(本小題12分)在銳角△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a(1)證明：B=2C．(2)若點D在邊AC上，且CD=BD=4，求a的取值范圍．17.(本小題12分)已知函數f(x)=x(1)若a=4，求f(x)的極值點;(2)討論f(x)的單調性．18.(本小題12分)已知數列{an}的前n項和為Sn，且(1)求{an(2)證明：S2S19.(本小題12分)當一個函數值域內任意一個函數值y都有且只有一個自變量x與之對應時，可以把這個函數的函數值y作為一個新的函數的自變量，而這個函數的自變量x作為新的函數的函數值，我們稱這兩個函數互為反函數.例如，由y=3x，x∈R，得x=y3，y∈R，通常用x表示自變量，則寫成y=x3，x∈R，我們稱y=3x，x∈R與y=x3，x∈R互為反函數.已知函數f(x)與g(x)互為反函數，若A，B兩點在曲線y=f(x)上，C，D兩點在曲線y=g(x)上，以A，B，C，D四點為頂點構成的四邊形為矩形，且該矩形的其中一條邊與直線(1)若函數f(x)=x，且點A(1(ⅰ)求曲線y=f(x)在點A處的切線方程;(ⅱ)求以點A為一個頂點的“關聯矩形”的面積．(2)若函數f(x)=lnx，且f(x)與g(x)的“關聯矩形”是正方形，記該“關聯矩形”的面積為S.證明：S>2(參考答案1.C

2.A

3.C

4.A

5.D

6.B

7.C

8.D

9.BC

10.AD

11.ACD

12.613.?π14.12615.解：(1)設{an}的公差為d(d≠0)，因為a5是a2與a14的等比中項，所以a52=a2a14，

即(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)，整理得d2=2a1d.

又a1=1，d≠0，所以16.(1)證明：因為ac=b2?c2b2?ac，所以ab2?a2c=b2c?c3，

整理得b2(a?c)=c(a+c)(a?c)，

又ac≠1，所以a?c≠0，從而b2=ac+c2=a2+c2?2accosB，

整理得a=c(1+2cosB)，則sinA=sinC(1+2cosB)，

由sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，得sinBcosC?cos17.解：(1)因為a=4，所以f(x)=x2?4ln(x+1)，x>?1，

則f′(x)=2x?4x+1=2(x+2)(x?1)x+1．

當x∈(?1,1)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減;當x∈(1,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增．

故f(x)的極小值點為1，無極大值點．

(2)由f(x)=x2?aln(x+1)，x>?1，得f′(x)=2x?ax+1=2x2+2x?ax+1．

令2x2+2x?a=0，若4+8a≤0，即a≤?12，

則方程2x2+2x?a=0無解或有兩個相等的實數解，

從而2x2+2x?a≥0恒成立，則f(x)的單調遞增區(qū)間為(?1,+∞)，無單調遞減區(qū)間．

若4+8a>0，即a>?12，則方程2x2+2x?a=0的解為x1=?1+1+2a2，x2=?1?1+2a2．18.(1)解：∵數列{an}的前n項和為Sn，且a1=12，Sn=(2n?1)an．

∴當n≥2時，Sn?1=(2n?1?1)an?1，則an=Sn?Sn?1=(2n?1)an?(2n?119.(1)解：(i)因為點A(14,y1)在曲線f(x)=x上，所以y1=14=12．

由f(x)=x得，f′(x)=12x，f′(14)=1，

則曲線y=f(x)在點A處的切線方程為y=x+14．

(ii)由f(x)=x得，g(x)=x2(x≥0)．

根據對稱性可設A，D關于直線y=x對稱，可得D(12,14)，

則|AD|=(12?14)2+(14?12)2=24，kAD=?1．

若AB