2024-2025學年北京市西城區(qū)第三十五中學高二上學期10月月考數(shù)學試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市西城區(qū)第三十五中學高二上學期10月月考數(shù)學試題一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面，下列說法正確的是A.若m//α,n//α,則m//n B.若m⊥α，n?α，則m⊥n

C.若m⊥α，m⊥n，則n//α D.若m//α，m⊥n，則n⊥α2.下列說法正確的是(

)A.任何三個不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個基底

B.空間的基底有且僅有一個

C.兩兩垂直的三個非零向量可構(gòu)成空間的一個基底

D.任一個向量p在基底a,b,3.若直線l的方向向量為a?=(1,?2,3)，平面α的法向量為n?A.l?α B.l//α C.l⊥α D.l與α相交4.如圖，已知斜三棱柱ABC?A1B1C1，設(shè)AB=a,A.?12B.12a+bD.15.已知空間三點A1,3,?2,B2,5,1,Cp+1,7,q共線，則p和A.3，6 B.2，4 C.1，4 D.2，66.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為BA.π2 B.π3 C.π4 7.棱長為2的正四面體ABCD中，點E是AD的中點，則BA?CE=A.1 B.?1 C.3 D.8.已知長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1A.33 B.22 C.9.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1、BB1的中點，M為棱A1B1上的一點，且A.3λ B.22 C.10.在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M,N分別為BD1A.點P可以是棱BB1的中點 B.線段MP的最大值為32

C.點P的軌跡是正方形 D.二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。11.已知點P?3,1,5，則該點關(guān)于yOz平面的對稱點坐標為

．12.若a=(2,?3,1),b=(2,0,3),c=(3,4,2)，則a?(b+2c)=

，若13.如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，設(shè)AD=AA1=1，AB=2，則C14.正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為3，則側(cè)面與底面所成二面角的余弦值為

15.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E為線段PB的中點，F(xiàn)為線段BC上的動點，平面AEF與平面PBC

(填“垂直”或“不垂直”)；?AEF的面積的最大值為

．

16.如圖，正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直．點P在正方形ABCD及其內(nèi)部運動，點Q在矩形ABEF及其內(nèi)部運動．設(shè)AB=2,AF=1，給出下列四個結(jié)論：①存在點P,Q，使PQ=3；②存在點P,Q，使CQ//EP；③到直線AD和EF的距離相等的點P有無數(shù)個；④若PA⊥PE，則四面體PAQE體積的最大值為13其中所有正確結(jié)論的序號是

．三、解答題：本題共3小題，共36分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題12分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD//BC，PA=AB=BC=2AD=2．

(1)設(shè)點M為AB上任意一點，求證：AD⊥PM；(2)求直線PB和平面PCD所成角的正弦值;(3)求二面角A?PD?C的余弦值．18.(本小題12分)如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA(1)求證：B1M//平面(2)求直線BC1與直線(3)若直線AB1與平面BCM所成角為π4，求點A119.(本小題12分)設(shè)nn≥2為正整數(shù)，若α=x1,x2,???,xn滿足：①xi∈0,1,???,n?1，i=1,2,???,n；②對于1≤i<j≤n(1)設(shè)α=0,1,2，若β具有性質(zhì)E3，請寫出一個β及相應的(2)設(shè)α=0,1,2,3,4，請寫出一個具有性質(zhì)E5的β，滿足(3)設(shè)α=0,1,2,3,4,5,6，是否存在具有性質(zhì)E7的β，使得Tα,β=0,1,2,3,4,5,6參考答案1.B

2.C

3.C

4.D

5.B

6.D

7.A

8.C

9.D

10.D

11.3,1,5

12.?1

3

13.51

14.215.垂直

16.①③④

17.(1)因為PA⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,所以PA⊥AD，又因為AB⊥AD，PA∩AB=A,PA,AB?平面PAB，所以AD⊥平面PAB，點M為AB上任意一點，則PM?平面PAB，所以AD⊥PM．

(2)因為PA⊥平面ABCD,AB⊥AD，所以以點A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為PA=AB=BC=2AD=2，所以A0,0,0因為PB=設(shè)平面PCD的法向量為n=x,y,z取y=2，可得x=?1,z=1，所以n=設(shè)直線PB和平面PCD所成角的大小為θ，所以sinθ=直線PB和平面PCD所成角的正弦值3(3)平面APD的法向量為m=設(shè)二面角A?PD?C的平面角大小為α，所以cosα=因為二面角A?PD?C的平面角為鈍角，所以二面角A?PD?C的余弦值?

18.(1)連接B1M，由三棱柱性質(zhì)可得平面ABC//平面又B1M?平面A1B1(2)因為AA1⊥平面ABC，AB,AC?所以AA1⊥AB,A故AB,AC,AA故可建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)?xyz：

則A(0,0,0),A連接BC1，則由BC1?故直線BC1與直線AB(3)設(shè)M(0,a,1)，a∈0,1，則BM設(shè)平面BCM的法向量為n=(x,y,z)有{n??BM?=?x+ay+z=0n即n?因為直線AB1與平面BCM所成角為所以cosA解得a=12，即n=(1,1,所以點A1到平面BCM的距離為A

19.(1)令β=0,1,2，即y1=0，y2=1，y(2)當α=0,1,2,3,4，∵4∈Tα,β=0,1,2,3,4，∴β=y1,y2,???,y5中的y1=4或者y5=0，不妨設(shè)y5=0，接下來，3∈T，∴可能y1=3或(3)不存在證明：不妨設(shè)α=0,1,2,3,4,5,6，β=假設(shè)Tα,β∵集合{0,1,2,3,4}中有3個奇數(shù)，4個偶數(shù)．設(shè)數(shù)列α中有x個奇數(shù)與有序數(shù)組β中x個偶數(shù)對應作差的絕對值，α中y個偶數(shù)與β中的y個奇數(shù)對應作差的絕對值