福建省三明市四校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 附答案

2023-2024年高一下學(xué)期四校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知，，向量與的夾角為120°，若與垂直，則的值為（

）A．1 B． C． D．3．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，，，若的面積為，則（）A． B． C． D．4．在梯形中，已知，，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，則（）A． B．C． D．5．某運(yùn)動(dòng)會(huì)上舉行升旗儀式，在坡角為15°的看臺(tái)上，同一列上的第一排B處和最后一排C處測(cè)得旗桿頂部P處的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10eq\r(6)m(如圖所示)，則旗桿的高度為（）A．10m B．30mC．10eq\r(3)m D．10eq\r(6)m6．在等腰三角形中，，若為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．2 B．4 C．8 D．07．已知平面向量與的夾角為，若恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．某中學(xué)開(kāi)展結(jié)合學(xué)科知識(shí)的動(dòng)手能力大賽，參賽學(xué)生甲需要加工一個(gè)外輪廓為三角形的模具，原材料為如圖所示的，，是邊上一點(diǎn)，，，，要求分別把，的內(nèi)切圓，裁去，則裁去的圓，的面積之和為（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知i為虛數(shù)單位，則以下四個(gè)說(shuō)法中正確的是（

）A． B．復(fù)數(shù)的虛部為C．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則 D．10．已知a，b，c分別是三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，則下列命題中錯(cuò)誤的是（）A．若是銳角三角形，則B．若是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則C．若，，，則有一解D．若，則是等腰直角三角形11．“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等，如圖，已知圓的半徑2，點(diǎn)是圓內(nèi)的定點(diǎn)，且，弦，均過(guò)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．為定值B．當(dāng)時(shí)，為定值C．當(dāng)時(shí)，面積的最大值為D．的取值范圍是第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知向量，，若與方向相反，則．13．已知平面向量，則向量在向量上的投影向量是．14．在銳角三角形中，內(nèi)角所對(duì)的邊滿(mǎn)足，若存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）已知復(fù)數(shù)，，，i為虛數(shù)單位．（1）若是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若，求的值．16．（15分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，已知．（1）求角；（2）設(shè)邊的中點(diǎn)為，若，且的面積為，求的長(zhǎng)．17.（15分）年福建省油菜花節(jié)，三明市某縣通過(guò)層層遴選，最終在全省20個(gè)申辦縣中脫穎而出，取得了此次活動(dòng)的會(huì)場(chǎng)承辦權(quán)，主辦方為了讓油菜花種植區(qū)與觀(guān)賞路線(xiàn)布局最優(yōu)化、合理，設(shè)計(jì)者們首先規(guī)劃了一個(gè)平面圖（如圖）．已知：四點(diǎn)共圓，，，，，其中（不計(jì)寬度）是觀(guān)賞路線(xiàn)，與是油菜花區(qū)域．（1）求觀(guān)賞路線(xiàn)的長(zhǎng)度；（2）因?yàn)閳?chǎng)地原因，只能使，求區(qū)域面積的最大值．18．（17分）在中，角所對(duì)的邊分別為，，，，且．（1）求角的值；（2）若為銳角三角形，且，求的取值范圍．19．（17分）定義非零向量的（相伴函數(shù)）為，向量稱(chēng)為函數(shù)的“相伴向量”（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）（1）求的相伴向量；（2）求（1）中函數(shù)的“相伴向量”模的取值范圍；（3）已知點(diǎn)，其中為銳角中角的對(duì)邊.若角為，且向量的“相伴向量”在處取得最大值．求的取值范圍．2023-2024年高一下學(xué)期四校聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案一、二、選擇題1234567891011DBCDBCADADBCDABD8．【詳解】在，設(shè)，則，，所以，在中，，由正弦定理得,即，即，化簡(jiǎn)得或，因?yàn)?，所以（?fù)值舍去），，故為等邊三角形，為等腰三角形，,在中，設(shè)圓的半徑為，根據(jù)等面積有，即，化簡(jiǎn)得，在中，設(shè)圓的半徑為，根據(jù)等面積有，即，化簡(jiǎn)得，所以圓的面積之和為，故選：D三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.13．14．14．【詳解】由余弦定理可得，則，由正弦定理可得，因?yàn)闉殇J角三角形，則，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，可得，由于為銳角三角形，則，即，解得，則，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)榇嬖谧畲笾担瑒t，解得．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．【答案】(1)(2)【詳解】（1），，所以，因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，得.（2）由（1）知，，因?yàn)椋?，得，所以，，所?16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，由正弦定理得，，因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，，在中，由余弦定理得，，又因?yàn)?，所以?）由，得，由，得，所以．又因?yàn)檫叺闹悬c(diǎn)為，所以，所以17.【詳解】（1）四點(diǎn)共圓，，，，；在中，由正弦定理得：，，，，；在中，由余弦定理知：，即，解得：或（舍），.（2）在中，，；在中，由余弦定理得：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，即區(qū)域面積的最大值為.18．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)?，，且，所以利用正弦定理化?jiǎn)得：即，由余弦定理可得，又因?yàn)椋?；?）由（1）得，即，又因?yàn)槿切螢殇J角三角形，所以解得：，因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫核?，，所以因?yàn)?，所以，所以則的取值范圍為19.【詳解】