2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第03講兩角和與差的正弦、余弦和正切公式(含新定義解答題)(分層精練)(學(xué)生版+解析)

A． B． C． D．8．（21-22高三上·湖南株洲·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，角與的頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O，始邊均為x軸的非負(fù)半軸．若角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，將OP繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與角的終邊重合，則（）A． B． C． D．二、多選題9．（23-24高一下·湖南岳陽·階段練習(xí)）計(jì)算下列各式，結(jié)果為的是（

）A． B． C． D．10．（23-24高一下·江蘇常州·階段練習(xí)）下列化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題11．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）已知，且，則.12．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知tanα＝－，cosβ＝，α∈(，π)，β∈(0，)，則α＋β＝．四、解答題13．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）（1）已知，且，求的值；（2）已知，求的值.14．（2024高一下·上海·專題練習(xí)）已知，，且.(1)求的值；(2)求的值.B能力提升1．（23-24高三下·河南濮陽·開學(xué)考試）如圖所示，（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北·二模）若，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）若，且，則的值為（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知函數(shù)在處取到最大值，則的值為．5．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）圭表是我國(guó)古代一種通過測(cè)量正午日影長(zhǎng)度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根呈南北方向的水平長(zhǎng)尺（稱為“圭”）和一根直立于圭面的標(biāo)桿（稱為“表”），如圖．成語有云：“立竿見影”，《周髀算經(jīng)》里記載的二十四節(jié)氣就是通過圭表測(cè)量日影長(zhǎng)度來確定的．利用圭表測(cè)得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太陽高度角分別為（）和（）．設(shè)表高為1米，則影差米（參考數(shù)據(jù)：，）C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）1．（23-24高一下·廣東江門·階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，其中雙曲正弦函數(shù)：，雙曲余弦函數(shù)：.（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）.雙曲函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集，其自變量的值叫做雙曲角，雙曲函數(shù)出現(xiàn)于某些重要的線性微分方程的解中，譬如說定義懸鏈線和拉普拉斯方程.(1)計(jì)算的值；(2)類比兩角和的余弦公式，寫出兩角和的雙曲余弦公式：______，并加以證明；(3)若對(duì)任意，關(guān)于的方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.第03講兩角和與差的正弦、余弦和正切公式(分層精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（23-24高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】逆用正切的和差公式，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可得解.【詳解】.故選：B.2．（23-24高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正弦的差角公式即可化簡(jiǎn)求解.【詳解】,故選：B3．（22-23高一下·江蘇蘇州·期末）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由兩角差的余弦公式逆用即可求解.【詳解】由題意.故選：C.4．（23-24高一上·浙江臺(tái)州·期末）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】，利用兩角和的正切公式求解.【詳解】已知，，則.故選：A5．（23-24高一上·廣東深圳·期末）如圖，有三個(gè)相同的正方形相接，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，由圖可得，結(jié)合兩角和的正切公式計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，由圖可得，則且，所以.故選：B.6．（2024·四川南充·二模）已知函數(shù)．設(shè)時(shí)，取得最大值．則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用輔助角公式求出，再利用誘導(dǎo)公式以及正弦的和差角公式可得答案.【詳解】，其中；所以當(dāng)時(shí)，，取得最大值，由題意，即..故選：C7．（23-24高一下·四川資陽·階段練習(xí)）已知都是銳角，，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】要求，先求，結(jié)合已知可有，利用兩角差的余弦公式展開可求．【詳解】、為銳角，，，由于為銳角，.故選：C8．（21-22高三上·湖南株洲·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，角與的頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O，始邊均為x軸的非負(fù)半軸．若角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，將OP繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與角的終邊重合，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義求得，，再利用兩角和的余弦公式求解．【詳解】由題意可得，，由于，所以．故選：A．二、多選題9．（23-24高一下·湖南岳陽·階段練習(xí)）計(jì)算下列各式，結(jié)果為的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】運(yùn)用二倍角公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函數(shù)值、三角恒等變換中“1”的代換化簡(jiǎn)即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.10．（23-24高一下·江蘇常州·階段練習(xí)）下列化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用和（差）角公式計(jì)算可得.【詳解】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，故D正確.故選：BCD三、填空題11．（23-24高一下·上海·階段練習(xí)）已知，且，則.【答案】【分析】根據(jù)題意利用兩角和差公式分析求解.【詳解】因?yàn)?，由題意可得，即，且，可知.故答案為：.12．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知tanα＝－，cosβ＝，α∈(，π)，β∈(0，)，則α＋β＝．【答案】【詳解】由cosβ＝，β∈（0，），得sinβ＝，tanβ＝2，所以tan（α＋β）＝＝＝1.因?yàn)棣痢剩?，π），β∈?，），所以＜α＋β＜，所以α＋β＝.四、解答題13．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）（1）已知，且，求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）7；（2）【分析】（1）利用同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系可求得，再由兩角差的正切公式可得結(jié)果；（2）根據(jù)與的關(guān)系式判斷出，即可得結(jié)果.【詳解】（1），且，可得所以（2）由兩邊平方可得：即，所以，則，因此.14．（2024高一下·上海·專題練習(xí)）已知，，且.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用平方關(guān)系將式子化成齊次式，再將弦化切，最后代入計(jì)算可得；（2）首先由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，，，由二倍角公式求出、，最后由并利用兩角差的余弦公式計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以；?）且，，則，，，，，且，解得（負(fù)值舍去），，又，，，.B能力提升1．（23-24高三下·河南濮陽·開學(xué)考試）如圖所示，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意求出的正弦值以及余弦值，根據(jù)兩角差的余弦公式求得，再由二倍角余弦公式，即可求得答案.【詳解】由題意知,則，，故，故，故選：C2．（2024·湖北·二模）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)公式化解條件等式，再結(jié)合二倍角和兩角差的正弦公式，即可化解求值.【詳解】由條件等式可知，，值，則的值為．【答案】【分析】利用兩角和的余弦公式將函數(shù)化簡(jiǎn)得到其中，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)及兩角差的正弦公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，其中，又函?shù)在處取到最大值，所以，不妨令，則，所以.故答案為：5．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）圭表是我國(guó)古代一種通過測(cè)量正午日影長(zhǎng)度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根呈南北方向的水平長(zhǎng)尺（稱為“圭”）和一根直立于圭面的標(biāo)桿（稱為“表”），如圖．成語有云：“立竿見影”，《周髀算經(jīng)》里記載的二十四節(jié)氣就是通過圭表測(cè)量日影長(zhǎng)度來確定的．利用圭表測(cè)得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太陽高度角分別為（）和（）．設(shè)表高為1米，則影差米（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】2.232【分析】由正弦定理和三角函數(shù)得到，利用正弦和差公式得到，求出（米）.【詳解】在中，（米）．在中，由正弦定理，得，即，所以（米）．因?yàn)椋?，所以，所以（米）．故答案為：C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）1．（23-24高一下·廣東江門·階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，其中雙曲正弦函數(shù)：，雙曲余弦函數(shù)：.（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）.雙曲函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集，其自變量的值叫做雙曲角，雙曲函數(shù)出現(xiàn)于某些重要的線性微分方程的解中，譬如說定義懸鏈線和拉普拉斯方程.(1)計(jì)算的值；(2)類比兩角和的余弦公式，寫出兩角和的雙曲余弦公式：______，并加以證明；(3)若對(duì)任意，關(guān)于的方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范