2024-2025學年高考數學一輪復習講義(新高考)第05講指數與指數函數(知識+真題+14類高頻考點)(精講)(學生版+解析)

第05講指數與指數函數目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基礎知識 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點一遍過 3高頻考點一：指數與指數冪的運算 3高頻考點二：指數函數的概念 5高頻考點三：指數函數的圖象 7角度1：判斷指數型函數的圖象 7角度2：根據指數型函數圖象求參數 8角度3：指數型函數圖象過定點問題 9角度4：指數函數圖象應用 10高頻考點四：指數（型）函數定義域 15高頻考點五：指數（型）函數的值域 17角度1：指數函數在區(qū)間上的值域 17角度2：指數型復合函數值域 17角度3：根據指數函數值域（最值）求參數 19高頻考點六：指數函數單調性 22角度1：由指數（型）函數單調性求參數 22角度2：根據指數函數單調性解不等式 23高頻考點七：指數函數的最值 26角度1：求已知指數型函數的值域 26角度2：根據指數函數最值求參數 27第四部分：新定義題(解答題） 32第一部分：基礎知識（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指數，叫做被開方數．（2）性質：①(且)；②當為奇數時，；當為偶數時，2、分數指數冪①正數的正分數指數冪的意義是(，，且)；②正數的負分數指數冪的意義是(，，且)；③0的正分數指數冪等于0；0的負分數指數冪沒有意義．3、指數冪的運算性質①；②；③.4、指數函數及其性質（1）指數函數的概念函數(，且)叫做指數函數，其中指數是自變量，函數的定義域是．（2）指數函數的圖象和性質底數圖象性質定義域為，值域為圖象過定點當時，恒有；當時，恒有當時，恒有；當時，恒有在定義域上為增函數在定義域上為減函數注意指數函數(，且)的圖象和性質與的取值有關，應分與來研究第二部分：高考真題回顧1．（2023·天津·統考高考真題）設，則的大小關系為（

）A． B．C． D．2．（2022·浙江·統考高考真題）已知，則（

）A．25 B．5 C． D．3．（2022·北京·統考高考真題）已知函數，則對任意實數x，有（

）A． B．C． D．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：指數與指數冪的運算典型例題例題1．（2024上·湖北·高一校聯考期末）計算：．例題2．（2024上·河南漯河·高一漯河高中期末）計算．(1)；(2)．練透核心考點1．（2024上·安徽亳州·高一亳州二中?？计谀┗喦笾?(1)(2)2．（2024上·湖南長沙·高一統考期末）計算下列各式的值：(1)；(2).高頻考點二：指數函數的概念典型例題例題1．（2024上·內蒙古呼倫貝爾·高二?？计谀┮阎笖岛瘮登遥瑒t（

）A．3 B．2 C． D．例題2．（2024上·云南昆明·高一期末）若指數函數的圖象經過點，求的解析式及的值．練透核心考點1．（多選）（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）若函數是指數函數，則實數的值為（

）A． B． C． D．2．（2024上·山東棗莊·高一?？计谀┤糁笖岛瘮档膱D象經過點，則．高頻考點三：指數函數的圖象角度1：判斷指數型函數的圖象典型例題例題1．（2024下·浙江溫州·高一浙江省樂清中學校聯考開學考試）在同一直角坐標系中，函數與的圖像可能是（

）A．

B．

C．

D．

例題2．（2024上·江西宜春·高一?？计谀┖瘮档膱D象是（

）A．

B．

C．

D．

角度2：根據指數型函數圖象求參數典型例題例題1．（2024·上?！じ咭粚ｎ}練習）若函數的圖象與軸有公共點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（多選）（2024·全國·高一專題練習）函數的圖象如圖所示，其中為常數，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．角度3：指數型函數圖象過定點問題典型例題例題1．（2024上·重慶·高一重慶市青木關中學校?？计谀┖瘮登业亩c為.例題2．（2024上·廣東江門·高一統考期末）已知函數（，且）的圖象恒過定點，則的坐標為.角度4：指數函數圖象應用典型例題例題1．（2024下·四川遂寧·高三射洪中學?？奸_學考試）函數的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

例題2．（2024上·安徽·高一校聯考期末）函數在上的大致圖象為（

）A．

B．

C．

D．

例題3．（2024上·上海·高一上海南匯中學?？计谀┮阎瘮档亩x域為，值域為，則的最大值為（

）A． B． C． D．2練透核心考點1．（2024上·陜西西安·高一西安市鐵一中學校考期末）函數的圖象大致為（

）A．B．C． D．2．（多選）（2024上·湖南婁底·高一統考期末）在同一直角坐標系中，函數與的圖象可能是（

）A． B．C． D．3．（多選）（2024上·江蘇常州·高一統考期末）若函數（其中且）的圖象過第一、三、四象限，則（

）A． B．C． D．4．（多選）（2024下·全國·高一開學考試）已知函數（且的圖象如圖所示，則函數的大致圖象不可能為（

）B．C．D．5．（2024上·江蘇徐州·高三?？奸_學考試）函數在區(qū)間上的圖象大致是（

）A．

B．

C．

D．

6．（2024上·福建寧德·高一統考期末）函數（且）的圖象經過的定點坐標為.7．（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高一統考期末）函數，且的圖象恒過定點，點又在冪函數的圖象上，則.高頻考點四：指數（型）函數定義域典型例題例題1．（2024上·山東威?！じ咭唤y考期末）函數的定義域為（

）A． B． C． D．例題2．（2024上·北京·高二統考學業(yè)考試）函數的定義域為（

）A． B． C． D．練透核心考點1．（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）函數的定義域為（

）A． B．C． D．2．（2024上·安徽阜陽·高一統考期末）函數的定義域為.高頻考點五：指數（型）函數的值域角度1：指數函數在區(qū)間上的值域典型例題例題1．（2023上·廣西南寧·高一校考期中）函數的值域是（

）A． B． C． D．例題2．（2023上·上海浦東新·高三上海南匯中學?？茧A段練習）函數，的值域為．角度2：指數型復合函數值域典型例題例題1．（2023上·福建三明·高一校聯考期中）函數在時的值域是．例題2．（2023上·全國·高一專題練習）已知函數的圖象經過點.(1)求實數的值；(2)求函數的定義域和值域.例題3．（2023上·河南省直轄縣級單位·高一?？茧A段練習）求函數的單調區(qū)間與值域.角度3：根據指數函數值域（最值）求參數典型例題例題1．（2023下·廣東廣州·高一?？计谥校┖瘮担ㄇ遥┑闹涤蚴?，則實數（

）A．3 B． C．3或 D．或例題2．（2023上·全國·高一期末）如果函數且在區(qū)間上的最大值是，則的值為（

）A．3 B． C． D．3或練透核心考點1．（2023上·新疆喀什·高一統考期末）的值域是（）A． B． C． D．2．（2023上·廣東東莞·高一東莞市東莞中學?？计谥校┖瘮档闹涤驗?3．（2023上·黑龍江綏化·高三?？茧A段練習）當時，函數的值域為.4．（2023·江蘇·高一專題練習）已知函數在區(qū)間上的值域為，則實數的取值范圍為.5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若的值域是，求的值．2．（2024上·陜西渭南·高一?？计谀┮阎瘮担瑢τ谌我鈨蓚€不相等的實數，，都有成立，則實數的取值范圍是.3．（2024上·新疆烏魯木齊·高一校聯考期末）不等式的解集為．4．（2024上·山西長治·高一校聯考期末）已知函數，則不等式的解集為．高頻考點七：指數函數的最值角度1：求已知指數型函數的值域典型例題例題1．（2024·全國·高三專題練習）函數的最小值為.例題2．（2024上·廣東深圳·高一?？计谀┮阎x在上的函數()(1)若，求函數在上的最大值；(2)若存在，使得，求實數的取值范圍．角度2：根據指數函數最值求參數典型例題例題1．（2024·全國·高三專題練習）已知函數．若函數的最大值為1，則實數（

）A． B． C． D．例題2．（2024上·河南·高三校聯考階段練習）已知函數，若恒成立，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．角度3：含參指數（型）函數最值典型例題例題1．（2024上·云南昆明·高一統考期末）已知函數，.(1)當時，求的最小值；(2)記的最小值為，求的解析式.練透核心考點1．（2024上·北京·高三階段練習）若函數有最小值，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023上·北京·高一北京市十一學校校考期末）函數在區(qū)間上的最小值是，則的值是.3．（2024上·吉林·高一長春外國語學校校聯考期末）已知函數，.(1)時，求的值域；(2)若的最小值為4，求的值.4．（2023上·江蘇連云港·高一?？茧A段練習）設函數是定義在上的奇函數.(1)求的值，并判斷的單調性（不證明）；(2)若，且在上的最小值為，求的值.第四部分：新定義題1．（2023上·上海·高一?？茧A段練習）對于定義域在上的函數，定義．設區(qū)間，對于區(qū)間上的任意給定的兩個自變量的值、，當時，總有，則稱是的“函數”．(1)判斷函數是否存在“函數”，請說明理由；(2)若非常值函數是奇函數，求證：存在“函數”的充要條件是存在常數，使得；(3)若函數與函數的定義域都為，且均存在“函數”，求實數的值．第05講指數與指數函數目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基礎知識 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點一遍過 3高頻考點一：指數與指數冪的運算 3高頻考點二：指數函數的概念 5高頻考點三：指數函數的圖象 7角度1：判斷指數型函數的圖象 7角度2：根據指數型函數圖象求參數 8角度3：指數型函數圖象過定點問題 9角度4：指數函數圖象應用 10高頻考點四：指數（型）函數定義域 15高頻考點五：指數（型）函數的值域 17角度1：指數函數在區(qū)間上的值域 17角度2：指數型復合函數值域 17角度3：根據指數函數值域（最值）求參數 19高頻考點六：指數函數單調性 22角度1：由指數（型）函數單調性求參數 22角度2：根據指數函數單調性解不等式 23高頻考點七：指數函數的最值 26角度1：求已知指數型函數的值域 26角度2：根據指數函數最值求參數 27第四部分：新定義題（解答題） 32第一部分：基礎知識（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指數，叫做被開方數．（2）性質：①(且)；②當為奇數時，；當為偶數時，2、分數指數冪①正數的正分數指數冪的意義是(，，且)；②正數的負分數指數冪的意義是(，，且)；③0的正分數指數冪等于0；0的負分數指數冪沒有意義．3、指數冪的運算性質①；②；③.4、指數函數及其性質（1）指數函數的概念函數(，且)叫做指數函數，其中指數是自變量，函數的定義域是．（2）指數函數的圖象和性質底數圖象性質定義域為，值域為圖象過定點當時，恒有；當時，恒有當時，恒有；當時，恒有在定義域上為增函數在定義域上為減函數注意指數函數(，且)的圖象和性質與的取值有關，應分與來研究第二部分：高考真題回顧1．（2023·天津·統考高考真題）設，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據對應冪、指數函數的單調性判斷大小關系即可.【詳解】由在R上遞增，則，由在上遞增，則.所以.故選：D2．（2022·浙江·統考高考真題）已知，則（

）A．25 B．5 C． D．【答案】C【分析】根據指數式與對數式的互化，冪的運算性質以及對數的運算性質即可解出．【詳解】因為，，即，所以．故選：C.3．（2022·北京·統考高考真題）已知函數，則對任意實數x，有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接代入計算，注意通分不要計算錯誤．【詳解】，故A錯誤，C正確；，不是常數，故BD錯誤；故選：C．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：指數與指數冪的運算典型例題例題1．（2024上·湖北·高一校聯考期末）計算：．【答案】24【分析】由指數冪運算和對數運算可求.【詳解】．故答案為：24例題2．（2024上·河南漯河·高一漯河高中期末）計算．(1)；(2)．【答案】(1)3(2)2【分析】（1）利用分數指數冪的運算法則計算即可；（2）先將根式轉化為指數冪，利用指數的運算法則計算即可.【詳解】（1）=；（2）.練透核心考點1．（2024上·安徽亳州·高一亳州二中?？计谀┗喦笾?(1)(2)【答案】(1)(2)7【分析】（1）利用分數指數冪和根式的運算公式，即可化解求值；（2）利用對數運算法則和運算公式，化解求值.【詳解】（1）；（2）.2．（2024上·湖南長沙·高一統考期末）計算下列各式的值：(1)；(2).【答案】(1)(2)1【分析】（1）根據指數冪的運算法則，化簡求值，即得答案；（2）根據對數的運算法則，化簡求值，即得答案；【詳解】（1）原式.（2）原式.高頻考點二：指數函數的概念典型例題例題1．（2024上·內蒙古呼倫貝爾·高二?？计谀┮阎笖岛瘮登?，則（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】先根據函數值求出，再求函數值即可.【詳解】，故選：A.例題2．（2024上·云南昆明·高一期末）若指數函數的圖象經過點，求的解析式及的值．【答案】，【分析】設，由可求出的值，可得出函數的解析式，進而可求得的值.【詳解】解：設指數函數，則，解得，所以，，故.練透核心考點1．（多選）（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）若函數是指數函數，則實數的值為（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據指數函數的定義求解.【詳解】因為函數是指數函數，所以，解得或.故選：AB2．（2024上·山東棗莊·高一?？计谀┤糁笖岛瘮档膱D象經過點，則．【答案】/【分析】采用待定系數法，結合指數函數所過點可求得函數解析式，代入即可.【詳解】設指數函數且，過點，，解得：，，.故答案為：.高頻考點三：指數函數的圖象角度1：判斷指數型函數的圖象典型例題例題1．（2024下·浙江溫州·高一浙江省樂清中學校聯考開學考試）在同一直角坐標系中，函數與的圖像可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】分和兩種情況，利用函數的單調性進行判斷即可．【詳解】對于A，B，當時，函數在R上為單調遞減函數；又，所以在區(qū)間和區(qū)間上單調遞減，且當時，，故A和B均錯誤；對于C，當時，函數在R上為單調遞增函數，又，所以在區(qū)間和區(qū)間上單調遞增，故C錯誤，D正確．故選：D．例題2．（2024上·江西宜春·高一?？计谀┖瘮档膱D象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據圖象變換可得函數的圖象是由函數的圖象向左平移1個單位長度得到的，由此可得出結論【詳解】因為函數的圖象是由函數的圖象向左平移1個單位長度得到的，而的圖象過點，且在上是增函數，所以的圖象過點，且在上是增函數，故選：A角度2：根據指數型函數圖象求參數典型例題例題1．（2024·上?！じ咭粚ｎ}練習）若函數的圖象與軸有公共點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】與有公共點，轉化為與有公共點，結合函數圖象，可得結果.【詳解】與有公共點，即與有公共點，圖象如圖可知故選：B【點睛】本題考查了函數的交點問題，考查了運算求解能力和數形結合思想，屬于基礎題目.例題2．（多選）（2024·全國·高一專題練習）函數的圖象如圖所示，其中為常數，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據的單調性確定，由確定.【詳解】，由圖知為減函數，故，所以，故A正確C錯誤；由圖知，所以，故B錯誤D正確.故選：AD角度3：指數型函數圖象過定點問題典型例題例題1．（2024上·重慶·高一重慶市青木關中學校?？计谀┖瘮登业亩c為.【答案】【分析】根據指數函數過定點的性質即可確定定點的坐標．【詳解】因為且，令，得到，此時，所以函數的定點為，故答案為：.例題2．（2024上·廣東江門·高一統考期末）已知函數（，且）的圖象恒過定點，則的坐標為.【答案】【分析】根據指數型函數的性質求解即可.【詳解】由函數可知，當時，，即函數圖象恒過點.故答案為：角度4：指數函數圖象應用典型例題例題1．（2024下·四川遂寧·高三射洪中學?？奸_學考試）函數的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據函數奇偶性即可排除CD，由特殊點的函數值即可排除A.【詳解】，則的定義域為R，又，所以為奇函數，圖象關于原點對稱，故排除CD，當時，，故排除A.故選：B.例題2．（2024上·安徽·高一校聯考期末）函數在上的大致圖象為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據給定函數的奇偶性，結合即可判斷得解.【詳解】依題意，，因此函數是偶函數，其圖象關于y軸對稱，排除AB；又，選項C不滿足，D符合題意.故選：D例題3．（2024上·上海·高一上海南匯中學?？计谀┮阎瘮档亩x域為，值域為，則的最大值為（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據題意畫出函數圖象，結合指數函數圖象相關性質和對數的運算法則進行計算即可.【詳解】由題意得，，作出函數圖象如圖所示，

令，解得或，則當，時，取得最大值，此時.故選：B練透核心考點1．（2024上·陜西西安·高一西安市鐵一中學?？计谀┖瘮档膱D象大致為（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】根據奇偶性可知函數為偶函數，結合賦值法和排除法即可求解.【詳解】由題可知，，所以函數的定義域為，關于原點對稱，又，所以函數為偶函數，排除A，C；又，排除B．故選：D．2．（多選）（2024上·湖南婁底·高一統考期末）在同一直角坐標系中，函數與的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】按照、討論，結合二次函數及指數函數的性質即可得解.【詳解】若，則函數是R上的增函數，函數的圖象的對稱軸方程為，故A可能，B不可能；若，則函數是R上的減函數，，函數的圖象與軸的負半軸相交，對稱軸為，故C可能，D不可能.故選：AC.3．（多選）（2024上·江蘇常州·高一統考期末）若函數（其中且）的圖象過第一、三、四象限，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據圖象的性質可得：，即可求解.【詳解】函數（其中且）的圖象在第一、三、四象限，根據圖象的性質可得：，即，故選：BD.4．（多選）（2024下·全國·高一開學考試）已知函數（且的圖象如圖所示，則函數的大致圖象不可能為（

）B．C．D．【答案】AD【分析】由指數函數的圖象特征，結合冪函數在第一象限的圖象特征可得答案.【詳解】根據題意可得，的圖象是向上平移a個單位得到的，結合冪函數的性質可知在上為單調遞增函數，當a為奇數時，圖象如C選項所示；當a為偶數時，圖象如B選項所示，選項A，D不符合題意．故選：AD.5．（2024上·江蘇徐州·高三?？奸_學考試）函數在區(qū)間上的圖象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】判斷函數為奇函數得到選項C錯誤，計算，得到選項D錯誤，根據時，，選項B錯誤，得到答案.【詳解】函數，的定義域關于原點對稱，，所以是奇函數，函數的圖象關于原點對稱，選項C錯誤；因為，所以選項D錯誤；當時，，選項B錯誤．故選：A．6．（2024上·福建寧德·高一統考期末）函數（且）的圖象經過的定點坐標為.【答案】【分析】由指數型函數的定點問題，令，即可得定點坐標．【詳解】由函數（且），令，得，所以，所以函數（且）的圖象經過的定點坐標為.故答案為：.7．（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高一統考期末）函數，且的圖象恒過定點，點又在冪函數的圖象上，則.【答案】4【分析】由已知求出定點的坐標，根據待定系數法求出，從而可得結果.【詳解】由，得，所以定點，設，又，得，所以，所以，故答案為：4.高頻考點四：指數（型）函數定義域典型例題例題1．（2024上·山東威?！じ咭唤y考期末）函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據指數函數的單調性及二次根式的意義可求得原函數的定義域.【詳解】對于函數，有，可得，解得，因此，函數的定義域為.故選：A.例題2．（2024上·北京·高二統考學業(yè)考試）函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據函數的解析式有意義，列出不等式，即可求解.【詳解】由函數有意義，則滿足，即，解得，所以函數的定義域為.故選：C.練透核心考點1．（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）函數的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】函數的定義域滿足，解得答案.【詳解】函數的定義域滿足，解得且.故答案為：D2．（2024上·安徽阜陽·高一統考期末）函數的定義域為.【答案】【分析】根據偶次根式被開方數大于等于、中求解出的范圍，則定義域可知.【詳解】由題意可知，解得且，故函數的定義域為．故答案為：.高頻考點五：指數（型）函數的值域角度1：指數函數在區(qū)間上的值域典型例題例題1．（2023上·廣西南寧·高一?？计谥校┖瘮档闹涤蚴牵?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指數函數的單調性即可得解.【詳解】因為是定義域在上的增函數．所以當時，，，所以的值域為．故選：C.例題2．（2023上·上海浦東新·高三上海南匯中學?？茧A段練習）函數，的值域為．【答案】【分析】根據函數的單調性求得正確答案.【詳解】函數在區(qū)間上單調遞增，所以，所以值域為.故答案為：角度2：指數型復合函數值域典型例題例題1．（2023上·福建三明·高一校聯考期中）函數在時的值域是．【答案】【分析】利用指數函數性質，結合二次函數求出值域即得.【詳解】當時，，函數，顯然當，即時，，當，即時，，所以所求值域是.故答案為：例題2．（2023上·全國·高一專題練習）已知函數的圖象經過點.(1)求實數的值；(2)求函數的定義域和值域.【答案】(1)(2)R；【分析】（1）把已知點代入函數解析式計算即得；（2）根據函數解析式只需使分母不等于零，解不等式即得函數定義域，將函數式分離常數成，再從的值域開始，從內到外利用不等式性質推導出解析式的取值范圍即得值域.【詳解】（1）將點代入可得：，解得：.（2）由（1）可得：，要使函數有意義，須使，而此式恒成立，故函數的定義域為.因，當時，，，則，故，即函數的值域為.例題3．（2023上·河南省直轄縣級單位·高一?？茧A段練習）求函數的單調區(qū)間與值域.【答案】單調減區(qū)間是，單調增區(qū)間是；值域是【分析】單調性根據復合函數的單調性同增異減得出，值域根據換元法得出.【詳解】函數，設.，當時，，，即.函數在上的值域是.又原函數是由和兩個函數復合而成，第一個函數是單調減函數，第二個函數在區(qū)間上是單調增函數，在區(qū)間上是單調減函數函數的單調減區(qū)間是，單調增區(qū)間是.角度3：根據指數函數值域（最值）求參數典型例題例題1．（2023下·廣東廣州·高一?？计谥校┖瘮担ㄇ遥┑闹涤蚴牵瑒t實數（

）A．3 B． C．3或 D．或【答案】C【分析】由指數函數的性質分別對和的情況討論單調性并求值域，從而列方程組即可得到答案.【詳解】函數（且）的值域為，又由指數函數的單調性可知，當時，函數在上單調遞減，值域是所以有，即，解得；當時，函數在上單調遞增，值域是所以有，即，解得.綜上所述，或.故選：C.例題2．（2023上·全國·高一期末）如果函數且在區(qū)間上的最大值是，則的值為（

）A．3 B． C． D．3或【答案】D【分析】利用換元法，令，轉化為二次函數，根據單調性及在區(qū)間上的最大值是，求出的值即可.【詳解】令，則．當時，因為，所以，又因為函數在上單調遞增，所以，解得（舍去）．當時，因為，所以，又函數在上單調遞增，則，解得（舍去）．綜上知或．故選：D.練透核心考點1．（2023上·新疆喀什·高一統考期末）的值域是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據函數的單調性，即可求解函數的值域.【詳解】函數單調遞減，所以函數的最大值為，最小值為，所以函數的值域為.故選：D2．（2023上·廣東東莞·高一東莞市東莞中學?？计谥校┖瘮档闹涤驗?【答案】【分析】根據指數函數的單調性進行求解即可.【詳解】令，因為指數函數在R上單調遞增，所以有，而，因此函數的值域為.故答案為：3．（2023上·黑龍江綏化·高三?？茧A段練習）當時，函數的值域為.【答案】【分析】利用換元法及二次函數的性質計算可得.【詳解】因為，令，由于，則，則原函數可化為，，當時，取最小值，當時，取最大值，故，即.故答案為：4．（2023·江蘇·高一專題練習）已知函數在區(qū)間上的值域為，則實數的取值范圍為.【答案】【分析】利用函數的最值求出，通過函數的值域，求出的取值范圍【詳解】，則在上遞減，在上遞增，所以當時，函數取得最小值0，由，得或，所以函數在區(qū)間上的值域為時，，故答案為：5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若的值域是，求的值．【答案】0【分析】利用換元法，令，則，則由題意可知的值域為，從而可求出的值【詳解】令，則，因為的值域是，即的值域是，所以的值域為，若，則為二次函數，其值域不可能為，若，則，其值域為，所以高頻考點六：指數函數單調性角度1：由指數（型）函數單調性求參數典型例題例題1．（2024下·內蒙古赤峰·高三?？奸_學考試）若函數是上的減函數，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意，利用指數函數、二次函數的單調性，以及分段函數的性質，列出不等式組，即可求解.【詳解】由函數在上為單調遞減函數，則滿足，解得，即實數的取值范圍為.故選：A.例題2．（2024上·湖南湘西·高一統考期末）若函數在區(qū)間上單調遞增，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意得：在上單調遞增，根據二次函數的性質列不等式即可.【詳解】由題意得：在上單調遞增，所以對稱軸，所以.故選：B.角度2：根據指數函數單調性解不等式典型例題例題1．（2024上·廣東潮州·高一統考期末）已知函數，則滿足的的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析函數的奇偶性及其在上的單調性，將所求不等式變形為，解之即可.【詳解】因為函數的定義域為，且，所以，函數為偶函數，則不等式等價于，因為函數、在上均為增函數，當時，單調遞增，所以，，可得，解得，故原不等式的解集為.故選：A.例題2．（2024上·河北邯鄲·高一統考期末）已知函數，則的解集為．【答案】【分析】根據題意，求得函數的單調性與奇偶性，把不等式轉化為，即可求解.【詳解】由函數，可得其定義域為，且，所以為偶函數，當時，，可得在上單調遞增，根據偶函數的性質，不等式，即為，可得，整理得，解得，所以的解集為．故答案為：．練透核心考點1．（2024·全國·高一專題練習）已知函數在區(qū)間上是增函數，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據指數型復合函數的單調性，可得關于a的不等式，解不等式即可得答案.【詳解】由題意知函數由復合而成，在上為增函數，由復合函數的同增異減性，可知需為R上的增函數，故，∴，∴或，故選：D.2．（2024上·陜西渭南·高一?？计谀┮阎瘮?，對于任意兩個不相等的實數，，都有成立，則實數的取值范圍是.【答案】【分析】根據函數的單調性列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由于對于任意兩個不相等的實數，，都有成立，所以在上單調遞減，所以，解得，所以的取值范圍是.故答案為：3．（2024上·新疆烏魯木齊·高一校聯考期末）不等式的解集為．【答案】【分析】根據函數的單調性、一元二次不等式的解法求得正確答案.【詳解】依題意，，即，由于在上單調遞增，所以，，解得或，所以不等式的解集為.故答案為：4．（2024上·山西長治·高一校聯考期末）已知函數，則不等式的解集為．【答案】【分析】根據函數的單調性化簡不等式，由此求得不等式的解集.【詳解】在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，則由得，解得，即不等式的解集為．故答案為：高頻考點七：指數函數的最值角度1：求已知指數型函數的值域典型例題例題1．（2024·全國·高三專題練習）函數的最小值為.【答案】【解析】根據函數解析式，先令，將問題轉為求函數在上的最值問題，根據單調性，即可求解.【詳解】因為，，令，則，所以令，，因為指數函數與一次函數都是增函數，所以也是增函數，所以時，.故答案為：.例題2．（2024上·廣東深圳·高一?？计谀┮阎x在上的函數()(1)若，求函數在上的最大值；(2)若存在，使得，求實數的取值范圍．【答案】(1)8(2)【分析】（1）換元，令，可得，結合二次函數求最值；（2）由，換元令，整理得，結合函數單調性分析求解.【詳解】（1）若，則，因為，令，可得的圖象開口向上，對稱軸為，可知：當時，取得最大值，所以函數在上的最大值為8.（2）因為，即，整理得，令，當且僅當，即時，等號成立，則，，則，整理得，由題意可知：方程在內有解，因為在內單調遞增，可知在內單調遞增，則，可得，所以實數的取值范圍為.角度2：根據指數函數最值求參數典型例題例題1．（2024·全國·高三專題練習）已知函數．若函數的最大值為1，則實數（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，由指數函數的單調性以及二次函數的性質得出.【詳解】，令，則，當時，，解得.故選：B例題2．（2024上·河南·高三校聯考階段練習）已知函數，若恒成立，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】參變分離可得恒成立，結合基本不等式求出的最小值，即可求出參數的取值范圍.【詳解