人教版2024-2025學年八年級數(shù)學專題11.3三角形(壓軸題綜合測試卷)專題特訓(學生版+解析)

專題11.3三角形（滿分120）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________題號一二三總分得分評卷人得分一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）1．（23-24七年級下·山西臨汾·期末）a、b、c是三角形的三邊，其中a、b兩邊滿足a?3+b?22A．1 B．3 C．5 D．72．（23-24七年級下·河南周口·階段練習）在下列條件中：①∠C=∠A+∠B，②∠A:∠B:∠C=3:2:1，③∠A=90°?∠B，④∠A=∠B?∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（23-24七年級下·河南新鄉(xiāng)·期末）現(xiàn)有幾種形狀的多邊形地磚，分別是：①正三角形；②正方形；③正五邊形；④正六邊形；⑤一般三角形；⑥一般四邊形．每一種地磚的大小形狀都相同，且都有很多塊，如果只用其中的一種多邊形地磚鑲嵌，那么能夠鑲嵌成一個平面圖案的有（

）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種4．（2024七年級下·江蘇·專題練習）△ABC的兩條高的長度分別為4和12，若第三條高也為整數(shù)，則第三條高的長度是（

）A．3或4 B．4或5 C．5或6 D．6或75．（23-24七年級下·遼寧沈陽·階段練習）如圖，已知D、E分別為△ABC的邊BC，AC的中點，連接AD，DE，AF為△ADE的中線．若四邊形ABDE的面積為24，則△ABC的面積為（

）A．36 B．34 C．32 D．306．（23-24八年級上·天津東麗·期中）如圖，已知∠ABC=110°，AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，CE的延長線交AB于點F，設∠AEF=α，∠ADC=β，則下列關系正確的是（）

A．β=110°+2a B．β=220°?2aC．β=110°+a D．β=250°?2a7．（23-24七年級下·江蘇無錫·階段練習）如圖，點A是直線l外一點，點B、C是直線l上的兩動點，且BC=4，連接AB、AC，點D、E分別為AC、BC的中點，AF為△ABD的中線，連接EF，若四邊形AFEC的面積為10，則AB的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．98．（23-24七年級下·江蘇南京·期中）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點O，∠ACB的外角平分線所在直線與∠ABC的平分線交于點D，與∠ABC的外角平分線交于點E，下列結(jié)論：①∠BOC=90°+12∠A；②∠D=12∠A；③A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④9．（2024七年級下·江蘇·專題練習）如圖，△ABC，點P為△ABC外一點（點P不在直線AB、BC、AC上），連接PB、PC．若∠PBA=α，∠PCA=β，∠BAC=γ，對于①α+γ?β；②α?β?γ；③β?α?γ；④360°?α?β?γ，則∠BPC的度數(shù)可能是（

）A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④10．（23-24七年級下·江蘇無錫·期中）在三角形紙片ABC中，∠A=90°，∠C=20°，點D為AC邊上靠近點C處一定點，點E為BC邊上一動點，沿DE折疊三角形紙片，點C落在點C'處，①如圖1，當點C'落在BC邊上時，∠ADC'=40°；②如圖2，當點C'落在△ABC內(nèi)部時，∠ADC'+∠BEC'A．1 B．2 C．3 D．4評卷人得分二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分）11．（2024八年級下·全國·專題練習）如圖所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)是．

12．（23-24七年級下·山西臨汾·階段練習）如圖，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC和外角∠ACD的平分線交于點A1，∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點A2，…，∠A

13．（23-24七年級下·江蘇南京·期末）如圖，△ABC中，CE，BD分別是AB，AC邊上的高線．若∠ABC=62°，∠ACB=72°，則∠BOC的度數(shù)是°．14．（23-24七年級下·江蘇南京·期中）現(xiàn)有長分別為4，5，7，9，22（單位：cm）的五根直木條，從中選出四根圍一個四邊形木框，則該木框的對角線最長可以取到的整數(shù)是．15．（23-24七年級下·江蘇無錫·期中）如圖，在△ABC中，點D是AB邊上一點，AD:DB=3:1，連接CD，點E是線段AC上一點，AE:EC=1:2，連接BE，CD與BE交于點F，若AC=8，BC=9，則△BDF與△CEF面積之和的最大值是．評卷人得分三、解答題（本大題共8小題，滿分75分）16．（6分）（23-24七年級下·廣東深圳·期中）已知△ABC的三邊長為a，b，c，且a，b，c都是整數(shù)．（1）若a=2，b=5，且c為偶數(shù)．求（2）化簡：a?b+c?17．（6分）（22-23八年級·全國·課堂例題）如圖所示，P為△ABC中任意一點．證明：AB+BC+CA>PA+PB+PC．18．（8分）（22-23七年級下·江蘇揚州·期末）已知：如圖，BD是△ABC的角平分線，點E、F分別在BC、AC上，DE∥AB，EF平分

（1）判斷EF與BD的位置關系，并說明理由；（2）若CD=2AD，CE=2BE，CF=2DF，且△ABC的面積為27，求△DEF的面積．19．（8分）（23-24九年級下·江蘇無錫·階段練習）如圖是由25個邊長為1個單位長度的小正方形組成的5×5網(wǎng)格，△ABC的頂點都在小正方形的頂點上，請按要求畫圖并解決問題：

（1）將△ABC向上平移2個單位，向左平移1個單位得到△A'B（2）畫出AB邊上的高CD；（3）△A（4）若S△ABP=S△ABC，點P為異于點20．（10分）（22-23七年級下·江蘇徐州·期末）已知在△ABC中，∠BAC=α，過點D作DE⊥BC，垂足為E，BF為△ABC的一條角平分線，DG為∠ADE的平分線．（1）如圖1，若α=90°，點G在邊BC上且不與點B重合．①判斷∠1與∠2的數(shù)量關系，并說明理由，②判斷BF與GD的位置關系，并說明理由；（2）如圖2，若0°<α<90°，點G在邊AB上，DG與BF交于點M，用含有α的代數(shù)式表示∠BMD，則∠BMD=；（3）如圖3，若0°<α<90°，點G在邊BC上，DG與FB的延長線交于點H，用含有α的代數(shù)式表示∠H，并說明理由．21．（12分）（23-24七年級下·遼寧沈陽·期中）【問題背景】三角形和四邊形是我們熟悉的幾何圖形，我們知道三角形內(nèi)角和180°，四邊形的內(nèi)角和是360°．【問題思考】如圖1，在△ABC中，延長AB到點D，AM，BM分別平分∠CAB和∠CBD．（1）若∠CAB=58°，∠CBA=40°，求∠AMB的度數(shù)；（2）設∠CAB=x°，∠CBA=y°，x與y都是變量，但x與y的和是個常量，即x+y=m，m是常量．在x與y變化的過程中，∠AMB的大小是否變化，若不變，請直接寫出用含m的代數(shù)式表示∠AMB；若變化，請說明理由．【問題拓展】在四邊形ABCD中，設∠ADC=α，∠BCD=β，延長AB到點E，AP，BQ分別平分∠DAB和∠CBE．（3）如圖2，當α+β=180°，此時AP，BQ的位置關系為；（4）如圖3，當α+β>180°，AP，BQ所在直線交于點N，請說明∠ANB與α，β的數(shù)量關系；（5）將（4）中的條件α+β>180°改為α+β<180°，其余條件不變，請畫出簡圖，并直接寫出∠ANB與α，β的數(shù)量關系．22．（12分）（23-24七年級下·江蘇常州·期中）閱讀下列材料并解答問題：在一個三角形中，如果一個內(nèi)角α的度數(shù)是另一個內(nèi)角度數(shù)的3倍，那么這樣的三角形我們稱為“優(yōu)雅三角形”，其中α稱為“優(yōu)雅角”．例如：一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)分別是30°、90°、60°，這個三角形就是“優(yōu)雅三角形”，其中“優(yōu)雅角”為90°．反之，若一個三角形是“優(yōu)雅三角形”，那么這個三角形的三個內(nèi)角中一定有一個內(nèi)角α的度數(shù)是另一個內(nèi)角度數(shù)的3倍．（1）一個“優(yōu)雅三角形”的一個內(nèi)角為120°，若“優(yōu)雅角”為銳角，則這個“優(yōu)雅角”的度數(shù)為______．（2）如圖1，已知∠MON=60°，在射線OM上取一點A，過點A作AB⊥OM交ON于點B，以A為端點畫射線交線段OB于點C（點C不與點O、點B重合）．若△AOC是“優(yōu)雅三角形”，求∠ACB的度數(shù)．（3）如圖2，△ABC中，點D在邊BC上，DE平分∠ADB交AB于點E，F(xiàn)為線段AD上一點，且∠AFE+∠ADC=180°，∠FED=∠C．若△ADC是“優(yōu)雅三角形”，直接寫出∠C的度數(shù)．23．（13分）（22-23七年級下·江蘇鹽城·期中）典型題例：（1）如圖1，AD是△ABC的中線，△ABC與△ABD的面積有怎樣的數(shù)量關系？為什么？（2）如圖2，AD是△ABC的中線，你能把一個三角形分成面積相等的4個三角形嗎？試畫出相應的圖形？（兩種方法畫圖）

遷移應用：（3）如圖3，△ABC的兩條中線AD，BE相交于點G，求證：SΔ（4）如圖4，△ABC的三條中線AD，BE，CF相交于點G，①請你寫出所有與△AGE面積相等的三角形；②寫出AG與GD的數(shù)量關系式，并說明理由；

拓展應用；（5）設△ABC的面積為a，如圖①將邊BC、AC分別2等份，BE1、AD1相交于點O，△AOB的面積記為S1；如圖②將邊BC、AC分別3等份，BE1、AD1相交于點O

專題11.3三角形（滿分120）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________題號一二三總分得分評卷人得分一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）1．（23-24七年級下·山西臨汾·期末）a、b、c是三角形的三邊，其中a、b兩邊滿足a?3+b?22A．1 B．3 C．5 D．7【思路點撥】本題主要考查了三角形的三邊關系，非負數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可得a=3,b=2，再由三角形的三邊關系，可得1<c<5，即可求解．【解題過程】解：∵a?3+∴a?3=0,b?2=0，解得：a=3,b=2，∵a、b、c是三角形的三邊，∴3?2<c<3+2，即1<c<5，∴這個三角形的第三邊可以是3．故選：B2．（23-24七年級下·河南周口·階段練習）在下列條件中：①∠C=∠A+∠B，②∠A:∠B:∠C=3:2:1，③∠A=90°?∠B，④∠A=∠B?∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【思路點撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，以及三角形的形狀判定，根據(jù)直角三角形的判定方法對各個選項進行分析，從而得到答案．【解題過程】解：①因為∠C=∠A+∠B，則2∠C=180°，∠C=90°，所以②因為∠A:∠B:∠C=3:2:1，設∠A=x，則x+2x+3x=180°，x=30°，∠C=30°×3=90°，所以△ABC是直角三角形；③因為∠A=90°?∠B，所以∠A+∠B=90°，則∠C=180°?90°=90°，所以△ABC是直角三角形；④因為∠A=∠B?∠C，所以∠C+∠A=∠B，又∠A+∠B+∠C=180°，2∠B=180°，解得∠B=90°，△ABC是直角三角形；能確定△ABC是直角三角形的有①②③④共4個，故選：D．3．（23-24七年級下·河南新鄉(xiāng)·期末）現(xiàn)有幾種形狀的多邊形地磚，分別是：①正三角形；②正方形；③正五邊形；④正六邊形；⑤一般三角形；⑥一般四邊形．每一種地磚的大小形狀都相同，且都有很多塊，如果只用其中的一種多邊形地磚鑲嵌，那么能夠鑲嵌成一個平面圖案的有（

）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【思路點撥】本題考查了平面鑲嵌（密鋪），掌握判斷一種或幾種圖形是否能夠鑲嵌，只要看一看拼在同一頂點處的幾個角能否構成周角，若能構成360°，則說明能夠進行平面鑲嵌，反之則不能是解題的關鍵．【解題過程】解：①∵正三角形的每個內(nèi)角是60°，∴能夠鑲嵌成一個平面圖案；②∵正方形的每個內(nèi)角是90°，∴能夠鑲嵌成一個平面圖案；③∵正五邊形的每個內(nèi)角是108°，∴不能鑲嵌成一個平面圖案；④∵正六邊形的每個內(nèi)角是120°，∴能夠鑲嵌成一個平面圖案；⑤∵一般三角形的三個內(nèi)角組合在一起是180°，6個就可以組成360°，∴能夠鑲嵌成一個平面圖案；⑥∵一般四邊形四個內(nèi)角組合在一起可以組成360°，∴4個即能夠鑲嵌成一個平面圖案．綜上所述，符合題意的有①②④⑤⑥共5種，故選：D．4．（2024七年級下·江蘇·專題練習）△ABC的兩條高的長度分別為4和12，若第三條高也為整數(shù)，則第三條高的長度是（

）A．3或4 B．4或5 C．5或6 D．6或7【思路點撥】本題主要考查了三角形的面積的應用，解題時需要熟練掌握并理解．依據(jù)題意，設△ABC的三邊分別為a，b，c，再結(jié)合面積法，令a邊上高為4，b邊上高為12，c邊上高為x，則4a=12b=xc，最后依據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即可得解．【解題過程】解：設△ABC的三邊分別為a，b，c，由題意，令a邊上高為4，b邊上高為12，c邊上高為x，∴S∴4a=12b=xc．∴a=xc4，∵a?b<c<a+b，∴xc4∵c>0，∴3<x<6．∵x為整數(shù)，∴x=4或5．故選：B．5．（23-24七年級下·遼寧沈陽·階段練習）如圖，已知D、E分別為△ABC的邊BC，AC的中點，連接AD，DE，AF為△ADE的中線．若四邊形ABDE的面積為24，則△ABC的面積為（

）A．36 B．34 C．32 D．30【思路點撥】本題考查了根據(jù)三角形中線求面積，根據(jù)中點和中線，得出圖中各三角形面積的倍數(shù)關系，推出四邊形ABDE的面積=6S△AEF=24【解題過程】解：∵D、E分別為△ABC的邊BC，AC的中點，連接AD，DE，AF為△ADE的中線，∴EF=DF，AE=CE，BD=CD，∴△AEF和△ADF等底同高，△AED和△CED等底同高，△ABD和△ACD等底同高，∴S△AEF=S△ADF，又∵S△AEF+S∴S△AED=S∴四邊形ABDE的面積=S△ABD+∴S△AEF∴S△ABC故選：C．6．（23-24八年級上·天津東麗·期中）如圖，已知∠ABC=110°，AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，CE的延長線交AB于點F，設∠AEF=α，∠ADC=β，則下列關系正確的是（）

A．β=110°+2a B．β=220°?2aC．β=110°+a D．β=250°?2a【思路點撥】延長AD交BC于點G，設∠BAD的度數(shù)為2x，∠DCB的度數(shù)為2y，通過角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)得到x+y=β?110°2之間的關系，在根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠B+∠BFC+∠BCF=180°，將【解題過程】解：如圖，延長AD交BC于點G，

設∠BAD的度數(shù)為2x，∠DCB的度數(shù)為2y，∵AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，∴∠EAF=1∵∠ADC=β，∴∠DGC=∠ADC?∠DCG=β?2y，∴∠BGD=180°?∠DGC=180°?β+2y，在△BAG中，∠B+∠BAG+∠BGA=110°+2x+180°?β+2y=180°，∴x+y=β?110°∵∠AEF=α，∴∠CFB=∠FAE+∠AEF=x+α，在△BFC中，∠BFC+∠FBC+∠B=x+α+y+110°=180°，將x+y=β?110°2代入可得整理得β=250°?2a，故選：D．7．（23-24七年級下·江蘇無錫·階段練習）如圖，點A是直線l外一點，點B、C是直線l上的兩動點，且BC=4，連接AB、AC，點D、E分別為AC、BC的中點，AF為△ABD的中線，連接EF，若四邊形AFEC的面積為10，則AB的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【思路點撥】本題考查了三角形中線的性質(zhì)和三角形的面積．連接CF，如圖，利用三角形中線的性質(zhì)依次求出△ADF，△CDF，△CEF與△ABC的面積間的關系，然后根據(jù)四邊形AFEC的面積為5求出△ABC的面積，進而可求出BC邊上的高，即為AB的最小值．【解題過程】解：連接CF，如圖，∵點D為AC的中點，∴S∵AF為△ABD的中線，∴S△ABF=∵點E為BC中點，∴S∵四邊形AFEC的面積為10，∴S即14解得S△ABC作AG⊥BC于點G，如圖，∵BC=4，∴12∴AG=8，∵AB≥AG，∴AB的最小值是8；故選：C．8．（23-24七年級下·江蘇南京·期中）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點O，∠ACB的外角平分線所在直線與∠ABC的平分線交于點D，與∠ABC的外角平分線交于點E，下列結(jié)論：①∠BOC=90°+12∠A；②∠D=12∠A；③A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④【思路點撥】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的定義和三角形的外角性質(zhì)，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．由角平分線的定義可得∠OBC+∠OCB=12∠ABC+∠ACB，再由三角形的內(nèi)角和定理可求解∠BOC=90°+12∠A，即可判定①；由角平分線的定義可得∠DCF=1【解題過程】解：如圖，∵∠ACB，∠ABC的平分線交于點O，∴∠ABO=∠OBC=12∠ABC∴∠OBC+∠OCB=1∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A，∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，∴∠BOC=180°?∠OBC+∠OCB∵CD平分∠ACF，∴∠DCF=1∵∠ACF=∠ABC+∠A，∠DCF=∠OBC+∠D，∴∠D=1∵∠MBC=∠A+∠ACB，∠BCN=∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC=180°，∴∠MBC+∠BCN=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，∴∠MBC=2∠EBC，∠BCN=2∠BCE，∴∠EBC+∠BCE=90°+1∵∠E+∠EBC+∠BCE=180°，∴∠E=180°?∠EBC+∠BCE∵∠DCF=∠DBC+∠D，∴∠E+∠DCF=90°?1∵∠ABD=∠DBC，∴∠E+∠DCF=綜上正確的有：①②④，故選：C．9．（2024七年級下·江蘇·專題練習）如圖，△ABC，點P為△ABC外一點（點P不在直線AB、BC、AC上），連接PB、PC．若∠PBA=α，∠PCA=β，∠BAC=γ，對于①α+γ?β；②α?β?γ；③β?α?γ；④360°?α?β?γ，則∠BPC的度數(shù)可能是（

）A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【思路點撥】根據(jù)點P有6種可能的位置，分情況進行討論，依據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及外角的性質(zhì)進行計算即可求解．【解題過程】解：如圖一，∠P+∠PDB+α=∠ADC+β+γ，∵∠PDB=∠ADC，∴∠P+α=β+γ，∴∠P=β+γ?α；如圖二，在四邊形ABPC中，α+β+γ+∠P=360°，∴∠P=360°?α?β?γ；如圖三，α+γ+∠ADB=∠P+β+∠PDC，∵∠ADB=∠PDC，∴α+γ=∠P+β，∴∠P=α+γ?β；如圖四，延長CA交PB于點D，∵∠BDA是△PCD的外角，∴∠BDA=∠P+β，∵∠BAC是△ABD的外角，∴γ=α+∠BDA=α+β+∠P，∴∠P=γ?α?β；如圖五，延長CB，∵∠1是△BCP的外角，∴∠1=∠4+∠BPC，同理，∠2=∠3+∠BAC，∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠BPC+∠BAC，又∵∠1+∠2=α，∠3+∠4=β，∠BAC=γ，∴α=β+γ+∠BPC，∴∠BPC=α?β?γ；如圖六，延長BC，∵∠3是△ABC的外角，∴∠3=∠1+∠BAC，同理，∠4=∠2+∠BPC，∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠BAC+∠BPC，∵∠1+∠2=α，∠3+∠4=β，∠BAC=γ，∴β=α+γ+∠BPC，∴∠BPC=β?α?γ．綜上判斷①、②、③、④都正確，故選：D．10．（23-24七年級下·江蘇無錫·期中）在三角形紙片ABC中，∠A=90°，∠C=20°，點D為AC邊上靠近點C處一定點，點E為BC邊上一動點，沿DE折疊三角形紙片，點C落在點C'處，①如圖1，當點C'落在BC邊上時，∠ADC'=40°；②如圖2，當點C'落在△ABC內(nèi)部時，∠ADC'+∠BEC'A．1 B．2 C．3 D．4【思路點撥】該題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關鍵是掌握以上知識，正確畫出圖象．根據(jù)題意可得∠C=20°，①如圖1，當點C'落在BC邊上時，根據(jù)折疊性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)求解即可；②如圖2，當點C'落在△ABC內(nèi)部時，根據(jù)折疊性質(zhì)以及平角的定義即可求解；③如圖3，當點C'落在△ABC上方時，根據(jù)折疊性質(zhì)可得=180°?2∠CED?2∠CDE?180°即可求解；④當C【解題過程】解：根據(jù)題意可得∠C=20°，，①如圖1，當點C'落在BC根據(jù)折疊性質(zhì)可得∠C=∠DC∴∠ADC②如圖2，當點C'落在△ABC根據(jù)折疊性質(zhì)可得∠C=∠D∴∠AD=180°×2?=360°?2=360°?2=2∠C=40°，故②正確；③如圖3，當點C'落在△ABC根據(jù)折疊性質(zhì)可得∠C=∠D∴∠BE=180°?∠CE=180°?2∠CED?=360°?2=360°?2=2∠C=40°，故③正確；④當C'∵∠A=90°，∴∠B=70°，∵C'∴∠CEC根據(jù)折疊性質(zhì)可得∠CED=∠C∴∠CED=1∴∠CDE=180°?35°?20°=125°；當C'∵∠A=90°，∴∠B=70°，∵C'∴∠BEC根據(jù)折疊性質(zhì)可得∠CED=∠C'ED∴∠DFC=∠BEC∴∠CDF=70°，∴∠CDE=1綜上∠CDE=35°或∠CDE=125°；故④正確；故選：D．評卷人得分二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分）11．（2024八年級下·全國·專題練習）如圖所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)是．

【思路點撥】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理把求角的和的問題轉(zhuǎn)化為求多邊形的內(nèi)角和的問題．連接BE，則∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，則圖中所求的幾個角的和是五邊形ABEFG的內(nèi)角和．【解題過程】解：連接BE，

在△CDM與△BEM中，∠CMD=∠BME，∴∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，∴在五邊形ABEFG中∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G=∠A+∠ABC+∠CBE+∠DEB+∠DEF+∠F+∠G=∠A+∠ABE+∠BEF+∠F+∠G=(5?2)?180°=540°．故答案為：540°．12．（23-24七年級下·山西臨汾·階段練習）如圖，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC和外角∠ACD的平分線交于點A1，∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點A2，…，∠A

【思路點撥】本題主要考查了角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，圖形類的規(guī)律探索，利用類推法找出規(guī)律是解題的關鍵．根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)得出∠A1和∠A的關系，進而求出∠A2與∠A的關系，找出規(guī)律，得到【解題過程】解：∵∠ACD是△ABC一個外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠A=∠ACD?∠ABC，∵∠ABC和外角∠ACD的平分線交于點A1∴∠A1BC=∴∠A同理∠A∠A以此類推：∠A∴∠A∵∠A=60°∴∠A故答案為：60213．（23-24七年級下·江蘇南京·期末）如圖，△ABC中，CE，BD分別是AB，AC邊上的高線．若∠ABC=62°，∠ACB=72°，則∠BOC的度數(shù)是°．【思路點撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，解題的關鍵是在△BEC中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BCE的度數(shù)，在△BCD中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CBD的度數(shù)，在△BOC中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BOC的度數(shù)即可．【解題過程】解：∵CE，BD分別是AB，AC邊上的高線，∴∠BEC=90°，∠BDC=90°，在△BEC中，∠EBC+∠BEC+∠BCE=180°，∵∠ABC=62°，∠BEC=90°，∴∠BCE=180°?90°?62°=28°，在△BCD中，∠DCB+∠BDC+∠CBD=180°，∵∠ACB=72°，∠BDC=90°，∴∠CBD=180°?90°?72°=18°，在△BOC中，∠CBO+∠BOC+∠BCO=180°，∴∠BOC=180°?28°?18°=134°，故答案為：134．14．（23-24七年級下·江蘇南京·期中）現(xiàn)有長分別為4，5，7，9，22（單位：cm）的五根直木條，從中選出四根圍一個四邊形木框，則該木框的對角線最長可以取到的整數(shù)是．【思路點撥】此題主要考查三角形的三邊關系，解題的關鍵是熟知兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．根據(jù)三角形的三邊關系，進行分類討論即可求解．【解題過程】解：根據(jù)三角形的三邊關系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，∴選4，5，7，9，如圖，①當AB=4,BC=5,AD=7,CD=9時，∴5?4<AC<4+5，即1<AC<9，且9?7<AC<7+9，即2<AC<16，∴2<AC<9，此時對角線最長可以取到的整數(shù)是8，②當AB=4,BC=5,AD=7,CD=9時，∴7?4<BD<4+7，即3<BD<11，且9?5<BD<5+9，即4<BD<14，∴4<BD<11此時對角線最長可以取到的整數(shù)是10，如圖，當AB=4,BC=9,AD=7,CD=5時，③當AB=4,BC=5,AD=7,CD=9時，∴9?4<AC<4+9，即5<AC<13，且7?5<AC<7+5，即2<AC<12，∴5<AC<12，此時對角線最長可以取到的整數(shù)是11，④當AB=4,BC=5,AD=7,CD=9時，∴7?4<BD<4+7，即3<BD<11，且9?5<BD<5+9，即4<BD<14，∴4<BD<11此時對角線最長可以取到的整數(shù)是10，綜上，∴該木框的對角線最長可以取到的整數(shù)是11．故答案為：11．15．（23-24七年級下·江蘇無錫·期中）如圖，在△ABC中，點D是AB邊上一點，AD:DB=3:1，連接CD，點E是線段AC上一點，AE:EC=1:2，連接BE，CD與BE交于點F，若AC=8，BC=9，則△BDF與△CEF面積之和的最大值是．【思路點撥】本題考查了三角形的面積，連接AF，設S△BDF=a，S△AEF=b，S△BCF=c，由AD:DB=3:1，AE:EC=1:2，可得S△ADF=3a，S△CEF=2b，進而可得S△ABE=4a+b，S△BCE=2b+c，由2S△ABE=S△BCE【解題過程】解：連接AF，設S△BDF=a，S△AEF∵AD:DB=3:1，AE:EC=1:2，∴S△ADF=3a，∴S△ABE=4a+b，∵2S∴24a+b∴c=8a，∵S△ADC=3a+3b，S△BDC∴3a+3b=3×9a，∴b=8a，∴S△ABC當S△ABC取最大時，a當AC⊥BC時，S△ABC∴S△ABC由S△ABC=36a=36得，∴△BDF與△CEF面積之和的最大值=1+2×8×1=17，故答案為：17．評卷人得分三、解答題（本大題共8小題，滿分75分）16．（6分）（23-24七年級下·廣東深圳·期中）已知△ABC的三邊長為a，b，c，且a，b，c都是整數(shù)．（1）若a=2，b=5，且c為偶數(shù)．求（2）化簡：a?b+c?【思路點撥】本題主要考查了三角形的三邊關系、化簡絕對值、整式的加減運算等知識點，理解三角形的三邊關系成為解題的關鍵．（1）根據(jù)三角形的三邊關系確定c的取值范圍，進而c的值，最后求周長即可；（2）先根據(jù)三角形的三邊關系確定a?b+c、b?c?a、a+b+c的正負，再化簡絕對值，然后再合并同類項即可解答．【解題過程】（1）解：∵a=2,?∴5?2<c<5+2，即3<c<7，由于c是偶數(shù)，則c=4或6，當c=4時，△ABC的周長為a+b+c=2+5+4=11，當c=6時，△ABC的周長為a+b+c=2+5+6=13．綜上所述，△ABC的周長為11或13．（2）解：∵△ABC的三邊長為a，b，c，∴a+c>b，∴|a?b+c|?|b?c?a|+|a+b+c|=a+c?b?(a+c?b)+a+b+c=a+b+c．17．（6分）（22-23八年級·全國·課堂例題）如圖所示，P為△ABC中任意一點．證明：AB+BC+CA>PA+PB+PC．【思路點撥】此題考查了三角形三邊關系，熟練掌握三角形任意兩邊之和大于第三邊是解題的關鍵．延長BP交AC于點D．利用三角形三邊關系得到AB+AC>BP+PC，同理可得AC+BC>AP+BP，AB+BC>AP+PC，進一步即可得到結(jié)論．【解題過程】證明：如圖所示，延長BP交AC于D，∵在△ABD中，AB+AD>BD=BP+PD，在△DPC中，DP+DC>PC，∴AB+AD+DP+DC>BP+PD+PC，∴AB+AC>BP+PC.①同理可得AC+BC>AP+BP，②AB+BC>AP+PC.③由①＋②＋③得2AB+2AC+2BC>2AP+2BP+2PC，即AB+BC+CA>PA+PB+PC．18．（8分）（22-23七年級下·江蘇揚州·期末）已知：如圖，BD是△ABC的角平分線，點E、F分別在BC、AC上，DE∥AB，EF平分

（1）判斷EF與BD的位置關系，并說明理由；（2）若CD=2AD，CE=2BE，CF=2DF，且△ABC的面積為27，求△DEF的面積．【思路點撥】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠DBC=12∠ABC,∠FEC=12∠DEC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得（2）由CD=2AD，△ABD中AD上的高與△DBC中CD上高相同，可得S△DBC=2S△ABD，因此S△DBC=23S【解題過程】（1）EF∥∵BD平分∠ABC，EF平分∠DEC，∴∠DBC=1∵DE∥AB，∴∠ABC=∠DEC，∴∠DBC=∠FEC，∴EF∥BD．（2）∵CD=2AD，△ABD中AD上的高與△DBC中CD上高相同，∴S∴S∵CE=2BE，△DEC中CE上的高與△DBE中BE上的高相同，∴S∴S∵CF=2DF，△FEC中CF上的高與△DEF中DF上的高相同，∴S∴S19．（8分）（23-24九年級下·江蘇無錫·階段練習）如圖是由25個邊長為1個單位長度的小正方形組成的5×5網(wǎng)格，△ABC的頂點都在小正方形的頂點上，請按要求畫圖并解決問題：

（1）將△ABC向上平移2個單位，向左平移1個單位得到△A'B（2）畫出AB邊上的高CD；（3）△A（4）若S△ABP=S△ABC，點P為異于點【思路點撥】本題考查了平移作圖，面積的求法，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．（1）根據(jù)平移作圖方法即可；（2）根據(jù)三角形高的定義即可作圖；（3）把三角形的面積看成正方形的面積減去周圍的三個三角形面積即可；（4）設△ABC中AB邊上的高為?1，△ABP中AB邊上的高為?2，由S△ABP=S△ABC，得?1【解題過程】（1）解：根據(jù)題意可得：△ABC向上平移2個單位，向左平移1個單位，如圖，

∴△A（2）解：如圖，CD即為所求；（3）△A'B故答案為：3.5．（4）設△ABC中AB邊上的高為?1，△ABP中AB邊上的高為?則S△ABC=1∵S△ABP∴?1=?如圖，格點P1，P2在過點C且平行于即：當S△ABP=S△ABC時，異于點故答案為：2．20．（10分）（22-23七年級下·江蘇徐州·期末）已知在△ABC中，∠BAC=α，過點D作DE⊥BC，垂足為E，BF為△ABC的一條角平分線，DG為∠ADE的平分線．（1）如圖1，若α=90°，點G在邊BC上且不與點B重合．①判斷∠1與∠2的數(shù)量關系，并說明理由，②判斷BF與GD的位置關系，并說明理由；（2）如圖2，若0°<α<90°，點G在邊AB上，DG與BF交于點M，用含有α的代數(shù)式表示∠BMD，則∠BMD=；（3）如圖3，若0°<α<90°，點G在邊BC上，DG與FB的延長線交于點H，用含有α的代數(shù)式表示∠H，并說明理由．【思路點撥】（1）①利用角平分線的定義及直角三角形的性質(zhì)即可解答；②利用三角形外角的性質(zhì)可求得∠BFC=∠GDC，即可證明BF與GD的位置關系；（2）根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°可求出∠BMD=360°?90°?(∠MBE+∠MDE)，α+90°+∠ABE+∠ADE=360°，根據(jù)角平分線的定義可得出∠ABE=2∠MBE，∠ADE=2∠MDE，進而得到∠MBE+∠MBE=1（3）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)先得到∠H=∠FBG+∠EDG?90°，∠BGD=∠EDG+90°，∠BFD=∠ABF+α，再利用角平分線的定義和四邊形內(nèi)角和等于360°進行等量代換即可求出．【解題過程】（1）①∠1+∠2=90°，理由如下∵∠ABC+∠C=90°，∠CDE+∠C=90°，∴∠ABC=∠CDE=2∠1．又∵∠CDE+∠ADE=180°，∴2∠1+2∠2=180°，即2(∠1+∠2)=180°，∴∠1+∠2=90°．②BF∥GD，理由如下∵∠BFC=∠BAC+∠ABF=90°+∠1，∠GDC=∠GDE+∠CDE=∠2+2∠1=∠1+∠2+∠1=90°+∠1，∴∠BFC=∠GDC=90°+∠1，∴BF∥GD．（2）三角形內(nèi)角和為180°，則四邊形可以看作是兩個三角形拼接而成，即有四邊形內(nèi)角和為：180°×2=360°，∵∠BMD+90°+∠MBE+∠MDE=360°，∴∠BMD=360°?90°?(∠MBE+∠MDE)=270°?(∠MBE+∠MDE)．又∵α+90°+∠ABE+∠ADE=360°，∠ABE=2∠MBE，∠ADE=2∠MDE，∴α+90°+2∠MBE+2∠MDE=α+90°+2(∠MBE+∠MDE)=360°，∴∠MBE+∠MBE=1將其代入∠BMD=270°?(∠MBE+∠MDE)，得∠BMD=270°?(135°?1故答案為：135°+1（3）∠H=45°?1∵∠H+∠BGH=∠FBG，∠BGH=∠DGE=90°?∠EDG，∴∠H+90°?∠EDG=∠FBG，∴∠H=∠FBG+∠EDG?90°．∵∠BGD=∠EDG+90°，∠BFD=∠ABF+α，∠BGD+∠BFD+∠FBG+∠FDG=360°，∴∠EDG+90°+∠ABF+α+∠FBG+∠FDG=360°．又∵∠ABF=∠FBG，∠FDG=∠EDG，∴∠EDG+90°+∠ABF+α+∠FBG+∠FDG=∠EDG+90°+∠FBG+α+∠FBG+∠EDG=360°，整理得2(∠EDG+∠FBG)=360°?90°?α=270°?α，∴∠FBG+∠EDG=1將其代入∠H=∠FBG+∠EDG?90°，得∠H=135°?121．（12分）（23-24七年級下·遼寧沈陽·期中）【問題背景】三角形和四邊形是我們熟悉的幾何圖形，我們知道三角形內(nèi)角和180°，四邊形的內(nèi)角和是360°．【問題思考】如圖1，在△ABC中，延長AB到點D，AM，BM分別平分∠CAB和∠CBD．（1）若∠CAB=58°，∠CBA=40°，求∠AMB的度數(shù)；（2）設∠CAB=x°，∠CBA=y°，x與y都是變量，但x與y的和是個常量，即x+y=m，m是常量．在x與y變化的過程中，∠AMB的大小是否變化，若不變，請直接寫出用含m的代數(shù)式表示∠AMB；若變化，請說明理由．【問題拓展】在四邊形ABCD中，設∠ADC=α，∠BCD=β，延長AB到點E，AP，BQ分別平分∠DAB和∠CBE．（3）如圖2，當α+β=180°，此時AP，BQ的位置關系為；（4）如圖3，當α+β>180°，AP，BQ所在直線交于點N，請說明∠ANB與α，β的數(shù)量關系；（5）將（4）中的條件α+β>180°改為α+β<180°，其余條件不變，請畫出簡圖，并直接寫出∠ANB與α，β的數(shù)量關系．【思路點撥】（1）根據(jù)角平分線的定義可求得∠MAB和∠MBD的度數(shù)，再根據(jù)∠MBD=∠M+∠MAB，即可求出∠AMB的度數(shù)．（2）由（1）得∠AMB=∠MBD?∠MAB，將∠CAB=x°，∠CBA=y°代入化，再將x+y=m代入化簡以后的式子中即可得∠AMB與m的關系式．（3）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°，且α+β=180°，可得∠DAB+∠CBA=180°，進一步可得∠DAB=∠CBE．根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)可得AP∥（4）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°，可得∠DAB+∠ABC=360°?α+β，由平角的定義可得∠CBE=180°?∠ABC．根據(jù)角平分線的定義可得∠NAB=12∠DAB，∠NBE=12∠CBE．再根據(jù)∠ANB=∠NBE?∠NAB（5）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°，可得∠DAB+∠ABC=360°?α+β，由平角的定義可得∠CBE=180°?∠ABC．根據(jù)角平分線的定義可得∠NAB=12∠DAB，∠NBE=12∠CBE，再根據(jù)∠ANB=∠PAB?∠ABN【解題過程】（1）∵∠CBA=40°，∴∠CBD=180°?∠CBA=180°?40°=140°．∵AM，BM分別平分∠CAB和∠CBD，∴∠MAB=12∠CAB=∵∠MBD=∠AMB+∠MAB，∴∠AMB=∠MBD?∠MAB=70°?29°=41°．（2）∠AMB的大小不變，理由如下：由（1）得∠AMB=∠MBD?∠MAB，====90°?=90°?=90°?=90?（3）∵四邊形內(nèi)角和等于360°，而α+β=180°，∴∠DAB+∠CBA=180°，∵∠CBA+∠CBE=180°，∴∠DAB=∠CBE，∵AP，BQ分別平分∠DAB和∠CBE，∴∠PAB=12∠DAB∴∠PAB=∠QBE，∴AP∥故答案為：平行（4）∵四邊形ABCD中α+β+∠DAB+∠ABC=360°，∴∠DAB+∠ABC=360°?α+β∵∠ABC+∠CBE=180°，∴∠CBE=180°?∠ABC，∵AN、BN分別平分∠DAB和∠CBE，∴∠NAB=12∠DAB∴∠ANB=∠NBE?∠NAB===90°?=90°?=90°?180°+=1（5）如圖，α+β<180°時，∵四邊形ABCD中α+β+∠DAB+∠ABC=360°，∴∠DAB+∠ABC=360°?α+β∵∠ABC+∠CBE=180°，∴∠CBE=180°?∠ABC．∵AN、BN分別平分∠DAB和∠CBE，∴∠PAB=12∠DAB∴∠ANB=∠PAB?∠ABN，=∠PAB?∠QBE======180°?=90°?122．（12分）（23-24七年級下·江蘇常州·期中）閱讀下列材料并解答問題：在一個三角形中，如果一個內(nèi)角α的度數(shù)是另一個內(nèi)角度數(shù)的3倍，那么這樣的三角形我們稱為“優(yōu)雅三角形”，其中α稱為“優(yōu)雅角”．例如：一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)分別是30°、90°、60°，這個三角形就是“優(yōu)雅三角形”，其中“優(yōu)雅角”為90°．反之，若一個三角形是“優(yōu)雅三角形”，那么這個三角形的三個內(nèi)角中一定有一個內(nèi)角α的度數(shù)是另一個內(nèi)角度數(shù)的3倍．（1）一個“優(yōu)雅三角形”的一個內(nèi)角為120°，若“優(yōu)雅角”為銳角，則這個“優(yōu)雅角”的度數(shù)為______．（2）如圖1，已知∠MON=60°，在射線OM上取一點A，過點A作AB⊥OM交ON于點B，以A為端點畫射線交線段OB于點C（點C不與點O、點B重合）．若△AOC是“優(yōu)雅三角形”，求∠ACB的度數(shù)．（3）如圖2，△ABC中，點D在邊BC上，DE平分∠ADB交AB于點E，F(xiàn)為線段AD上一點，且∠AFE+∠ADC=180°，∠FED=∠C．若△ADC是“優(yōu)雅三角形”，直接寫出∠C的度數(shù)．【思路點撥】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，鄰補角的性質(zhì)．新定義的應用，解題的關鍵是能對新定義的理解和運用．（1）結(jié)合“優(yōu)雅三角形”的定義以及三角形的內(nèi)角和性質(zhì)列式計算，即可作答．（2）先證明∠MON=60°，△AOC是“優(yōu)雅三角形”，結(jié)合①當“優(yōu)雅角”為60°；②當另兩個角中有優(yōu)雅角這兩個情況，分別得出∠ACB的度數(shù)為80°，∠ACB的度數(shù)為90°，以及∠ACB的度數(shù)為150°，即可作答．（3）進行角的運算得∠ADC=∠EFD，結(jié)合DE平分∠ADB以及△ADC是“優(yōu)雅三角形”，三角形的內(nèi)角和定理等性質(zhì)，進行分類討論，再逐一列式計算，即可作答．【解題過程】（1）解：一個“優(yōu)雅三角形”的一個內(nèi)角為120°，另兩個角之和為：180°?120°=60°，“優(yōu)雅角”為銳角，根據(jù)“優(yōu)雅三角形”的定義得：60°×3故答案為：45°；（2）解：∵AB⊥OM交ON于點B，∴∠OAB=∠MAB=90°，∵點C在線段OB上∴0°≤∠OAC≤90°∵∠MON=60°，△AOC是“優(yōu)雅三角形”，∴①當“優(yōu)雅角”為60°時，另一個角為∠OAC=20°，則∠ACO=100°，∠ACB的度數(shù)為80°，②當另兩個角中有“優(yōu)雅角”時，180°?60°=120°即另兩個角之和為120°，根據(jù)“優(yōu)雅三角形”的定義，設另兩個