2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)全書要點(diǎn)速記學(xué)案新人教A版必修第一冊(cè)

全書要點(diǎn)速記第一章集合與常用邏輯用語1．常用數(shù)集數(shù)集名稱非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集字母表示NN*或N＋ZQR2．集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性和無序性．3．元素與集合的關(guān)系：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(屬于，記為a∈A，,不屬于，記為a?A.))4．集合的表示方法：列舉法、描述法．5．集合間的基本關(guān)系[重要結(jié)論](1)若集合A中含有n個(gè)元素，則有2n個(gè)子集，有2n－1個(gè)非空子集，有2n－1個(gè)真子集，有2n－2個(gè)非空真子集．(2)子集關(guān)系的傳遞性，即A?B，B?C?A?C.[易錯(cuò)警示]空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合關(guān)系時(shí)，必需優(yōu)先考慮空集的狀況，否則會(huì)造成漏解．6．集合的基本運(yùn)算(1)并集：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；(2)交集：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；(3)補(bǔ)集：?UA＝{x|x∈U且x?A}．[重要結(jié)論]A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.7．充分條件與必要條件若p，則q若q，則pp是q的______條件真命題假命題充分不必要假命題真命題必要不充分真命題真命題充要假命題假命題既不充分也不必要8．全稱量詞命題與存在量詞命題的否定含有一個(gè)量詞的命題的否定，既要否定量詞，又要否定結(jié)論．全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定為p：?x0∈M，p(x0)；存在量詞命題p：?x0∈M，p(x0)，它的否定為p：?x∈M，p(x)．9．依據(jù)集合間的關(guān)系推斷充分、必要條件集合關(guān)系p是q的______條件A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}AB充分不必要BA必要不充分A＝B充要AB且BA既不充分也不必要其次章一元二次函數(shù)、方程和不等式1．作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a<b.2．不等式性質(zhì)性質(zhì)1(對(duì)稱性)：a>b?b<a；性質(zhì)2(傳遞性)：a>b，b>c?a>c；性質(zhì)3(可加性)：a>b?a＋c>b＋c；性質(zhì)4：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；性質(zhì)5：a>b，c>d?a＋c>b＋d；性質(zhì)6：a>b>0，c>d>0?ac>bd；性質(zhì)7：a>b>0，n∈N，n≥2?an>bn；性質(zhì)8：a>b>0，n∈N，n≥2?eq\r(n,a)>eq\r(n,b).3．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．(3)基本不等式的變形：ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(5)最值定理：已知x>0，y>0，則①假如積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值2eq\r(p).(簡(jiǎn)記：積定和最小)②假如和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值eq\f(p2,4).(簡(jiǎn)記：和定積最大)[易錯(cuò)警示]應(yīng)用基本不等式求最值的前提條件：“一正、二定、三相等”．4．解一元二次不等式的一般步驟計(jì)算判別式Δ＞0Δ＝0Δ＜0求根有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1，x2有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1，x2無實(shí)數(shù)根畫圖f(x)＞0{x|x＜x1或x＞x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rf(x)＜0{x|x1<x＜x2}??[記憶口訣]大于取兩邊，小于取中間．5．不等式恒成立問題的解法(1)a≠0時(shí)，ax2＋bx＋c>0(<0)對(duì)隨意實(shí)數(shù)x恒成立的條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0))(eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0)))．(2)對(duì)于較易分別且分別后函數(shù)最值易求的問題都可以采納分別參數(shù)法，其常用的結(jié)論是：g(a)>f(x)(g(a)<f(x))恒成立等價(jià)于g(a)>f(x)max(g(a)<f(x)min)．第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)1．函數(shù)的概念定義一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，假如對(duì)于集合A中的隨意一個(gè)數(shù)x，依據(jù)某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)三要素對(duì)應(yīng)關(guān)系y＝f(x)，x∈A定義域自變量x的取值范圍值域與x的值相對(duì)應(yīng)的y值的函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}[特殊提示](1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)；(2)在求分段函數(shù)的值f(x0)時(shí)，肯定首先要推斷x0屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代相應(yīng)的關(guān)系式．2．單調(diào)性的定義：對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域Ⅰ內(nèi)某個(gè)區(qū)間[a，b]上的隨意兩個(gè)自變量的值x1，x2，且x1≠x2.(1)若(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0?f(x)在[a，b]上是減函數(shù)．[拓展]復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性滿意同增異減的原則．3．函數(shù)的奇偶性(1)f(x)是奇函數(shù)?對(duì)定義域內(nèi)隨意x，都有f(－x)＝－f(x)?f(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；(2)f(x)是偶函數(shù)?對(duì)定義域內(nèi)隨意x，都有f(－x)＝f(x)?f(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．[重要結(jié)論]若奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有意義，則f(0)＝0.4．五個(gè)常見冪函數(shù)的圖象第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1．根式的性質(zhì)(1)(eq\r(n,a))n＝a.(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)a＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)．(2)a＝eq\f(1,a)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)．(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．3．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．4．指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系(1)互化式：若a>0，且a≠1，則ax＝N?logaN＝x.(2)對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)①零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，即真數(shù)N>0；②1的對(duì)數(shù)為0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)；③底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)．(3)兩個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)；②logaaN＝N(a>0，且a≠1)．5．對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則假如a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．6．對(duì)數(shù)的換底公式及推論(1)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)．(2)常用推論：①logab·logba＝1；②logab·logbc·logca＝1；③logambn＝eq\f(n,m)logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0)．7．指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)[說明](1)探討指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，要首先考慮底數(shù)a的取值范圍，分a>1和0<a<1兩種狀況進(jìn)行探討，在這兩種狀況下，函數(shù)的單調(diào)性不同，相應(yīng)的圖象也不同，其次要留意函數(shù)的定義域．(2)底數(shù)互為倒數(shù)，兩指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；兩對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱．(3)同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．8．函數(shù)的應(yīng)用(二)(1)函數(shù)的零點(diǎn)概念：函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x.(2)函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)、對(duì)應(yīng)方程的根的關(guān)系：(3)函數(shù)零點(diǎn)存在定理①條件：①函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連綿不斷的曲線；②f(a)·f(b)<0.②結(jié)論：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根．[特殊提示](1)函數(shù)零點(diǎn)存在定理只能推斷出零點(diǎn)的存在性，而不能推斷出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．如圖①②，雖然都有f(a)·f(b)<0，但圖①中函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)，圖②中函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)僅有1個(gè)零點(diǎn)．①②③(2)函數(shù)零點(diǎn)存在定理是不行逆的，因?yàn)閒(a)·f(b)<0可以推出函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)．但是，已知函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)，不肯定推出f(a)·f(b)<0.如圖③，雖然在區(qū)間(a，b)內(nèi)函數(shù)有零點(diǎn)，但f(a)·f(b)>0.(3)假如單調(diào)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連綿不斷的曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)解．(4)二分法：對(duì)于在區(qū)間[a，b]上圖象連綿不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步靠近零點(diǎn)，從而得到零點(diǎn)近似值的方法，叫做二分法．第五章三角函數(shù)1．隨意角和弧度制(1)終邊相同的角全部與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．(2)角度與弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)弧度數(shù)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度數(shù)(3)弧度制下的弧長與扇形面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則①弧長公式：l＝αR.②扇形面積公式：S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2.2．隨意角的三角函數(shù)的定義設(shè)α是一個(gè)隨意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)，(1)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα，即sinα＝y(tǒng)；(2)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù)，記作cosα，即cosα＝x；(3)把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值eq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．[拓展](1)若點(diǎn)P(x，y)是角α終邊上的隨意一點(diǎn)，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為r(r>0)，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).(2)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)符號(hào)為正的口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商數(shù)關(guān)系：tanα＝eq\f(sinα,cosα).4．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名變更，符號(hào)看象限5．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RReq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))))值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))遞減區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]無對(duì)稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對(duì)稱軸方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ無[重要結(jié)論]函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z);f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)．6．三角恒等變換(1)兩角和與差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))；cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))；sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))；sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))；tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(T(α－β))；tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(T(α＋β))．(2)二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).(3)半角公式sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))；coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))；taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))；taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝eq\f(sin\f(α,2)·2cos\f(α,2),cos\f(α,2)·2cos\f(α,2))＝eq\f(sinα,1＋cosα)；taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝eq\f(sin\f(α,2)·2sin\f(α,2),cos\f(α,2)·2sin\f(α,2))＝eq\f(1－cosα,sinα).(4)協(xié)助角公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)其中sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).[重要結(jié)論](1)公式的常用變式tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)；sin2α＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)；cos2α＝eq\f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α).(2)降冪公式：sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α.7．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(1)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω