江西省等三省十校2025屆高二上數(shù)學期末檢測模擬試題含解析

江西省等三省十校2025屆高二上數(shù)學期末檢測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)極值點的個數(shù)為（）A.2 B.3C.4 D.52．已知直線l和拋物線交于A，B兩點，O為坐標原點，且，交AB于點D，點D的坐標為，則p的值為（）A. B.1C. D.23．設(shè),則是的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4．在正方體中中，，若點P在側(cè)面（不含邊界）內(nèi)運動，，且點P到底面的距離為3，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.5．定義焦點相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線為一對相關(guān)曲線.已知，是一對相關(guān)曲線的焦點，Р是這對相關(guān)曲線在第一象限的交點，則點Р與以為直徑的圓的位置關(guān)系是（）A.在圓外 B.在圓上C.在圓內(nèi) D.不確定6．命題“若，則”的逆否命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則7．如圖，在三棱錐中，點E在上，滿足，點F為的中點，記分別為，則（）A. B.C. D.8．已知點，點關(guān)于原點對稱點為，則（）A. B.C. D.9．已知實數(shù)a，b，c，若a＞b，則下列不等式成立的是（）A B.C. D.10．已知圓的方程為，圓的方程為，其中．那么這兩個圓的位置關(guān)系不可能為（）A.外離 B.外切C.內(nèi)含 D.內(nèi)切11．在中，已知，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形12．為迎接第24屆冬季奧運會，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名學生擔任冰球、冰壺和短道速滑三個項目的志愿者，每個比賽項目至少安排1人，每人只能安排到1個項目，則所有排法的總數(shù)為（）A.60 B.120C.150 D.240二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．阿基米德（公元前287—公元前212年）不僅是著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．已知橢圓經(jīng)過點，則當取得最大值時，橢圓的面積為_________14．定義方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點”.（1）設(shè)，則在上的“新駐點”為___________；（2）如果函數(shù)與的“新駐點”分別為、，那么和的大小關(guān)系是___________.15．展開式中的系數(shù)是___________.16．等差數(shù)列的前項和為，已知，則__.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+2，x=2是f(x)的一個極值點.（1）求實數(shù)a的值；（2）求f(x)在區(qū)間(-1，4]上的最大值和最小值.18．（12分）在復數(shù)集C內(nèi)方程有六個根分別為（1）解出這六個根；（2）在復平面內(nèi)，這六個根對應的點分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)；求多邊形ABCDEF的面積19．（12分）“綠水青山就是金山銀山”，中國一直踐行創(chuàng)新、協(xié)調(diào)、綠色、開放、共享的發(fā)展理念，著力促進經(jīng)濟實現(xiàn)高質(zhì)量發(fā)展，決心走綠色、低碳、可持續(xù)發(fā)展之路．新能源汽車環(huán)保、節(jié)能，以電代油，減少排放，既符合我國的國情，也代表了世界汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向工業(yè)部表示，到2025年我國新能源汽車銷量占總銷量將達20%以上.2021年，某集團以20億元收購某品牌新能源汽車制造企業(yè)，并計劃投資30億元來發(fā)展該品牌.2021年該品牌汽車的銷售量為10萬輛，每輛車的平均銷售利潤為3000元．據(jù)專家預測，以后每年銷售量比上一年增加10萬輛，每輛車的平均銷售利潤比上一年減少10%（1）若把2021年看作第一年，則第n年的銷售利潤為多少億元？（2）到2027年年底，該集團能否通過該品牌汽車實現(xiàn)盈利？（實現(xiàn)盈利即銷售利潤超過總投資，參考數(shù)據(jù)：，，）20．（12分）已知橢圓的離心率為，長軸長為，F(xiàn)為橢圓的右焦點（1）求橢圓C的方程；（2）經(jīng)過點的直線與橢圓C交于兩點，，且以為直徑的圓經(jīng)過原點，求直線的斜率；（3）點是以長軸為直徑的圓上一點，圓在點處的切線交直線于點，求證：過點且垂直于的直線過定點21．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓上一點滿足，且的面積為（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓有且只有一個公共點，過點作直線的垂線．設(shè)直線交軸于，交軸于，且點，求的軌跡方程22．（10分）在所有棱長均為2的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠B1BC=60°，求證:（1）AB1⊥BC；（2）A1C⊥平面AB1C1.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)給定的導函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的極值的定義，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)導函數(shù)的圖象與軸的交點分別為，根據(jù)函數(shù)的極值的定義可知在該點處的左右兩側(cè)的導數(shù)符號相反，可得為函數(shù)的極大值點，為函數(shù)的極小值點，所以函數(shù)極值點的個數(shù)為4個.故選：C.2、B【解析】由垂直關(guān)系得出直線l方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達定理以及數(shù)量積公式得出p的值.【詳解】，，即聯(lián)立直線和拋物線方程得設(shè)，則解得故選：B3、B【解析】,，所以是必要不充分條件，故選B.考點：1.指、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；2.充分條件與必要條件.4、A【解析】如圖建立空間直角坐標系，先由，且點P到底面的距離為3，確定點P的位置，然后利用空間向量求解即可【詳解】如圖，以為坐標原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，所以，所以，所以，因為,所以平面，因為平面平面，點P在側(cè)面（不含邊界）內(nèi)運動，，所以，因為點P到底面的距離為3，所以，所以，因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，故選：A5、A【解析】設(shè)橢圓的長軸長為，橢圓的焦距為，雙曲線的實軸長為，根據(jù)題意可得，設(shè)，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義將分別用表示，設(shè)，再根據(jù)兩點的距離公式將點的坐標用表示，從而可判斷出點與圓的位置關(guān)系.【詳解】解：設(shè)橢圓的長軸長為，橢圓的焦距為，雙曲線的實軸長為，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，則，所以，以為直徑的圓的方程為，設(shè)，則有，所以，設(shè)，，所以①，②，則①②得，所以，所以，將代入②得，所以，，則點到圓心的距離為，所以點Р在以為直徑的圓外.故選：A.6、C【解析】根據(jù)逆否命題的定義寫出逆否命題即得【詳解】解：以否定的結(jié)論作條件、否定的條件作結(jié)論得出的命題為原命題的逆否命題，即“若，則”的逆否命題是“若，則”故選：C7、B【解析】利用空間向量加減、數(shù)乘的幾何意義，結(jié)合三棱錐用表示出即可.【詳解】由題設(shè)，，，，.故選：B8、C【解析】根據(jù)空間兩點間距離公式，結(jié)合對稱性進行求解即可.【詳解】因為點關(guān)于原點的對稱點為，所以,因此，故選：C9、C【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一分析即可得出答案.【詳解】解：對于A，因為a＞b，若，則，故A錯誤；對于B，若，則，故B錯誤；對于C，若a＞b，又，所以，故C正確；對于D，當時，，故D錯誤.故選：C.10、C【解析】求出圓心距的取值范圍，然后利用圓心距與半徑的和差關(guān)系判斷.【詳解】由兩圓的標準方程可得，，，；則，所以兩圓不可能內(nèi)含.故選：C.11、B【解析】利用誘導公式、兩角和的正弦公式化簡已知條件，由此判斷出三角形的形狀.【詳解】由，得，得，由于，所以，所以.故選：B12、C【解析】結(jié)合排列組合的知識，分兩種情況求解.【詳解】當分組為1人,1人,3人時，有種，當分組為1人，2人，2人時有種，所以共有種排法.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用基本不等式得出取得最大值時的條件結(jié)合可知，再利用點在橢圓方程上，故可求得、的值,進而求出橢圓的面積.詳解】由基本不等式可得，當且僅當時取得最大值，由可知，∵橢圓經(jīng)過點，∴，解得，，則橢圓的面積為.故答案為：.14、①.②.【解析】（1）根據(jù)“新駐點”的定義求得，結(jié)合可得出結(jié)果；（2）求出的值，利用零點存在定理判斷所在的區(qū)間，進而可得出與的大小關(guān)系.詳解】（1），，根據(jù)“新駐點”的定義得，即，可得，，解得，所以，函數(shù)在上的“新駐點”為；（2），則，根據(jù)“新駐點”的定義得，即.，則，由“新駐點”的定義得，即，構(gòu)造函數(shù)，則函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，，，，由零點存在定理可知，，.故答案為：（1）；（2）.【點睛】本題考查導數(shù)的計算，是新定義的題型，關(guān)鍵是理解“新駐點”的定義.15、【解析】根據(jù)二項展開式的通項公式，可知展開式中含的項，以及展開式中含的項，再根據(jù)組合數(shù)的運算即可求出結(jié)果.【詳解】解：由題意可得，展開式中含的項為，而展開式中含的項為，所以的系數(shù)為.故答案為：.16、【解析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出.【詳解】因為等差數(shù)列的前項和為，，則，故答案為：33.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）最大值為18，最小值為.【解析】（1）解方程即得解；（2）利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間分析即得解.【小問1詳解】解：因為，所以，因為在處有極值，所以，即，所以.經(jīng)檢驗，當時，符合題意.所以.【小問2詳解】解：由（1）可知，所以，令，得，當時，由得，；由得，或.所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，又.所以的最小值為，又，所以的最大值為，所以在的最大值為18，最小值為.18、（1）（2）【解析】（1）原式可因式分解為，令，設(shè)可求解出的兩個虛根，同理可求解的兩個虛根，即得解；（2）六個點構(gòu)成的圖形為正六邊形，邊長為1，計算即可【小問1詳解】由題意，當時，設(shè)故，所以解得：，即當時，設(shè)故所以解得：，即故：【小問2詳解】六個根對應的點分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)，其中在復平面中描出這六個點如圖所示：六個點構(gòu)成的圖形為正六邊形，邊長為1故19、（1）億元（2）該集團能通過該品牌汽車實現(xiàn)盈利【解析】（1）由題意可求得第n年的銷售量，第n年每輛車的平均銷售利潤，從而可求出第n年的銷售利潤，（2）利用錯位相減法求出到2027年年底銷售利潤總和，再與總投資額比較即可【小問1詳解】設(shè)第n年的銷售量為萬輛，則該汽車的年銷售量構(gòu)成首項為10，公差為10的等差數(shù)列，所以，設(shè)第n年每輛車的平均銷售利潤為元，則每輛汽車的平均銷售利潤構(gòu)成首項為3000，公比為0.9的等比數(shù)列，所以，記第n年的銷售利潤為，則萬元；即第n年的銷售利潤為億元【小問2詳解】到2027年年底，設(shè)銷售利潤總和為S億元，則①，②，①﹣②得億元，而總投資為億元，因為，則到2027年年底，該集團能通過該品牌汽車實現(xiàn)盈利20、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由題意中離心率和長軸長可求出，即可求出橢圓方程.（2）設(shè)出與的坐標即直線的方程，把直線與橢圓方程進行聯(lián)立寫出韋達定理，由題意以為直徑圓經(jīng)過原點可得，化簡即可求出直線的斜率.（3）由題意可得圓的方程，設(shè)，由和直線的方程化簡，即可得到答案.【小問1詳解】，，橢圓C的方程為.【小問2詳解】由題意知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為.設(shè).把直線的方程與橢圓的方程進行聯(lián)立得：..由以為直徑圓經(jīng)過原點知，..經(jīng)檢驗，滿足，所以.【小問3詳解】由題意可得圓的方程為，設(shè)，由得.①.當時，，直線的方程為.直線過橢圓的右焦點.當時，直線的斜率為且過，②把①代入②中得.故直線過橢圓的右焦點.綜上所述，直線過橢圓的右焦點.21、（1）；（2）.【解析】（1）利用可得，由橢圓關(guān)系可求得，進而得到橢圓方程；（2）將與橢圓方程聯(lián)立可得，得，結(jié)合韋達定理可確定點坐標，由此可得方程，進而得到，化簡整理即可得到所求軌跡方程.【小問1詳解】由焦點坐標可知：；，即，，，解得：，，解得：（舍）或，，橢圓的方程為：；【小問2詳解】由得：，，整理可得：；，解得：，，則，令，解得：；令，解得：；，即，又，，則的軌跡方程為：.【點睛】思路點睛：本題考查動點軌跡方程的求解問題，解題基本思路是能夠利用變量表示出所求點的坐標，根據(jù)坐標之間關(guān)系，化簡整理消掉變量得到所求軌跡方程；易錯點是忽略題目中的限制條