空間幾何體知識點歸納

柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征（1）棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：或用對角線的端點字母，如五棱柱幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。（2）棱錐定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。（3）棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等表示：幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖是一個矩形。（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點；③側(cè)面展開圖是一個扇形。（6）圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點；③側(cè)面展開圖是一個弓形。（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。空間幾何體的三視圖和直觀圖1三視圖：正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下2畫三視圖的原則：長對齊、高對齊、寬相等3直觀圖：斜二測畫法4斜二測畫法的步驟：（1）.在已知圖形中取相互垂直的軸和軸，兩軸相交于。畫直觀圖時，把它們畫成對應的軸與軸，兩軸交于點，且使，它們確定的平面表示水平面。（2）.已知圖形中平行于軸或軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于軸或軸的線段；（3）.已知圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于軸的線段，長度為原來的一半。5用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側(cè)棱（4）成圖1.3空間幾何體的表面積與體積（一）空間幾何體的表面積1棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和2圓柱的表面積3圓錐的表面積4圓臺的表面積5球的表面積（二）空間幾何體的體積1柱體的體積2錐體的體積3臺體的體積4球體的體積基礎練習1選擇題1．如圖的組合體的結(jié)構(gòu)特征是()A．一個棱柱中截去一個棱柱 B．一個棱柱中截去一個圓柱C．一個棱柱中截去一個棱錐 D．一個棱柱中截去一個棱臺[答案]C2．有下列命題：①圓錐頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線；②在圓臺上、下底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；③圓柱的任意兩條母線所在的直線是平行的．其中正確的有()A．0個 B．1個C．2個 D．3個[答案]B3．(2013～2014·南京模擬)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)可以得到圖1中幾何體的是圖2中的()[答案]A4．圖中最左邊的幾何體由一個圓柱挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得．現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是()A．(1)(2) B．(1)(3)C．(1)(4) D．(1)(5)[答案]D5．若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為eq\r(3)，則這個圓錐的全面積是()A．3πB．3eq\r(3)πC．6πD．9π解析：設圓錐底面半徑為R，∴eq\f(1,2)·2R·eq\r(3)R＝eq\r(3)，∴R＝1，母線l長為2，∴S全＝πR2＋πRl＝π＋2π＝3π.答案：A6．長方體三個面的面積分別為2,6和9，則長方體的體積是()A．6eq\r(3)B．3eq\r(6)C．11D．12解析：設長方體長、寬、高分別為a，b，c，不妨設ab＝2，ac＝6，bc＝9，相乘得(abc)2＝108，∴V＝abc＝6eq\r(3).答案：A7．(2013·湖北卷)一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體從上到下由四個簡單幾何體組成，其體積分別記為V1，V2，V3，V4，上面兩個簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個簡單幾何體均為多面體，則有()A．V1<V2<V4<V3B．V1<V3<V2<V4C．V2<V1<V3<V4D．V2<V3<V1<V4答案：C8．用平行于圓錐底面的平面截圓錐，所得截面面積與底面面積的比是1∶3，這截面把圓錐母線分成的兩段的比是()A．1∶3B．1∶(eq\r(3)－1)C．1∶9D.eq\r(3)∶2解析：由題意可知，截面面積與底面面積之比為1∶3，∴截面半徑與底面半徑之比為1∶eq\r(3)，∴這兩段母線長之比為1∶eq\r(3)－1.答案：B二、填空題1．如圖是一個幾何體的表面展成的平面圖形，則這個幾何體是________．[答案]圓柱2．已知一個正方體內(nèi)接于一個球，過球心作一截面，則下圖中，截面不可能是________(填序號)．[答案]④3．如圖，已知長方體ABCDA1B1C1D1，過BC和AD分別作一個平面交底面A1B1C1D1于EF、PQ，則長方體被分成的三個幾何體中，棱柱的個數(shù)是________．解析：三個幾何體都是棱柱．答案：34．若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示，則其表面積等于________．解析：通過三視圖還原三棱柱直觀圖如圖所示，通過正視圖可以得出該三棱柱底面邊長為2，側(cè)棱長為1，三個側(cè)面為矩形，上下底面為正三角形，∴S表＝3×(2×1)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)×22))＝6＋2eq\r(3).答案：6＋2eq\r(3)5．如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為eq\f(2,π)cm，高為2cm，AB、CD分別是兩底面的直徑，AD、BC是母線，若一只小蟲從A點出發(fā)，從側(cè)面爬行到C點，則小蟲爬行的最短路線的長度是________cm(結(jié)果保留根式)．答案：2eq\r(2)6．圓臺的上、下底面半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角是180°，圓臺的表面積是（）分析：由題目可獲取以下主要信息：①求圓臺的表面積應考慮上、下底面及側(cè)面積；②上、下底面面積易得，主要求側(cè)面積．解答本題可先把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，即在展開圖內(nèi)求母線的長，再進一步代入側(cè)面積公式求出側(cè)面積，進而求出表面積．解析：如圖所示，設圓臺的上底面周長為C，因為扇環(huán)的圓心角是180°，故C＝π·SA＝2π×10，∴SA＝20，同理可得SB＝40，∴AB＝SB－SA＝20，∴S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πreq\o\al(2,1)＋πreq\o\al(2,2)＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圓臺的表面積為1100πcm2.7.如右圖所示，在底半徑為2，母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個高為eq\r(3)的圓柱，圓柱的表面積為（）解析：圓錐高h＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)，畫軸截面積圖(如右圖)，則eq\f(\r(3),2\r(3))＝eq\f(2－x,2).故圓錐內(nèi)接圓柱的底半徑x＝1.則圓柱的表面積S＝2π×12＋2π×1×eq\r(3)＝(2＋2eq\r(3))π.答案：(2＋2eq\r(3))π強化提升一選擇題1．在棱柱中()A．只有兩個面平行B．所有的棱都平行C．所有的面都是平行四邊形D．兩底面平行，且各側(cè)棱也互相平行[答案]D2．下列命題中，正確的是()A．有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．棱柱中互相平行的兩個面叫做棱柱的底面C．棱柱的側(cè)面是平行四邊形，而底面不是平行四邊形D．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形[答案]D3．(2012－2013·嘉興高一檢測)如下圖都是正方體的表面展開圖，還原成正方體后，其中兩個完全一樣的是()A．(1)(2) B．(2)(3)C．(3)(4) D．(1)(4)[答案]B[解析]在圖(2)、(3)中，⑤不動，把圖形折起，則②⑤為對面，①④為對面，③⑥為對面，故圖(2)、(3)完全一樣，而(1)、(4)則不同[解題提示]讓其中一個正方形不動，其余各面沿這個正方形的各邊折起，進行想象后判斷．4．下列說法不正確的是()A．圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形B．圓錐過軸的截面是一個等腰三角形C．直角三角形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐D．圓臺平行于底面的截面是圓面[答案]C5．如右圖所示的平面中陰影部分繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體形狀為()A．一個球體B．一個球體中間挖出一個圓柱C．一個圓柱D．一個球體中間挖去一個長方體[答案]B[解析]圓旋轉(zhuǎn)一周形成球，圓中的矩形旋轉(zhuǎn)一周形成一個圓柱，所以選B.6．已知某空間幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體為()A．圓臺 B．四棱錐C．四棱柱 D．四棱臺[答案]D7．下列幾何體中，正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都相同的幾何體的序號是()A．(1)(2) B．(2)(3)C．(3)(4) D．(1)(4)[答案]D8．(2012－2013·安徽淮南高三模擬)下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④[答案]D[解析]①正方體，三視圖均相同；②圓錐，正視圖和側(cè)視圖相同；③三棱臺，三視圖各不相同；④圓臺，正視圖和側(cè)視圖相同．[點評]熟悉常見幾何體的三視圖特征，對于畫幾何體的直觀圖是基本的要求．下圖是最基本的常見幾何體的三視圖.幾何體直觀圖形正視圖側(cè)視圖俯視圖正方體長方體圓柱圓錐圓臺球9．給出以下關于斜二測直觀圖的結(jié)論，其中正確的個數(shù)是()①角的水平放置的直觀圖一定是角．②相等的角在直觀圖中仍相等．③相等的線段在直觀圖中仍然相等．④若兩條線段平行，則在直觀圖中對應的兩條線段仍然平行．A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]由斜二測畫法規(guī)則可知，直觀圖保持線段的平行性，∴④對，①對；而線段的長度，角的大小在直觀圖中都會發(fā)生改變，∴②③錯．10．利用斜二測畫法得到：①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③正方形的直觀圖是正方形；④菱形的直觀圖是菱形．以上說法正確的是()A．① B．①②C．③④ D．①②③④[答案]B[解析]根據(jù)畫法規(guī)則，平行性保持不變，與y軸平行的線段長度減半．二填空題1．如圖，在透明塑料制成的長方體ABCD－A1B1C1D1容器中灌進一些水，將容器底面一邊BC置于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜程度的不同，以下命題：①水的形狀成棱柱形；②水面EFGH的面積不變；③水面EFGH始終為矩形．其中正確的命題序號是________．[答案]①③2．下列圖形：①三角形；②直線；③平行四邊形；④四面體；⑤球．其中投影不可能是線段的是________．[答案]②④⑤[解析]三角形的投影是線段成三角形；直線的投影是點或直線；平行四邊形的投影是線段或平行四邊形；四面體的投影是三角形或四邊形；球的投影是圓．3．由若干個小正方體組成的幾何體的三視圖如下圖，則組成這個組合體的小正方體的個數(shù)是________．[答案]5[解析]由三視圖可作出直觀圖，由直觀圖易知共有5個小正方體．4．(2012～2013·煙臺高一檢測)已知某一幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖所示，則下列圖形中，可以是該幾何體的俯視圖的圖形有________．[答案]①②③④5．(2012－2013·湖南高三“十二校聯(lián)考”)一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為4的兩個全等的等腰直角三角形，則用________個這樣的幾何體可以拼成一個棱長為4的正方體．[答案]3[解析]該幾何體是四棱錐，其底面是邊長為4的正方形，高等于4，如圖(1)所示的四棱錐A－A1B1C1D1，如圖(2)所示，三個相同的四棱錐A－A1B1C1D1，A－BB1C1C，A－DD1C1C可以拼成一個棱長為4的正方體．6．斜二測畫法中，位于平面直角坐標系中的點M(4,4)在直觀圖中的對應點是M′，則點M′的坐標為________，點M′的找法是________．[答案]M′(4,2)在坐標系x′O′y′中，過點(4,0)和y′軸平行的直線與過點(0,2)和x′軸平行的直線的交點即是點M′.[解析]在x′軸的正方向上取點M1，使O1M1＝4，在y′軸上取點M2，使O′M2＝2，過M1和M2分別作平行于y′軸和x′軸的直線，則交點就是M′.7．如右圖，水平放置的△ABC的斜二測直觀圖是圖中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，則AB邊的實際長度是________．[答案]10[解析]由斜二測畫法，可知△ABC是直角三角形，且∠BCA＝90°，AC＝6，BC＝4×2＝8，則AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝10.8．如圖，是△AOB用斜二測畫法畫出的直觀圖，則△AOB的面積是________．[答案]16[解析]由圖易知△AOB中，底邊OB＝4，又∵底邊OB的高為8，∴