專題13解直角三角形（全章分層練習(xí)）（提升練）-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（浙教版）

專題1.3解直角三角形（全章分層練習(xí)）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2022·湖北咸寧·?？寄M預(yù)測）sin45°的值等于（）A． B．1 C． D．2．（2023上·福建莆田·九年級?？茧A段練習(xí)）一架長的梯子斜靠在墻上，測得它與地面的夾角是，則梯子頂端到地面的距離為（）A． B． C． D．3．（2022上·陜西西安·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點A為反比例函數(shù)圖像上一點，B、C分別在x、y軸上，連接AB與y軸相交于點D，已知，且的面積為2，則k的值為（

）

A．2 B． C． D．44．（2022下·廣東深圳·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，港口A在觀測站O的正東方向，OA=6km，某船從港口A出發(fā)，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達B處，此時從觀測站O處測得該船位于北偏東60°的方向，則該船航行的距離（即AB的長）為（）A．3km B．3km C．4km D．（33）km5．（2022·廣西貴港·中考真題）在正方形網(wǎng)格中，的位置如圖所示，則的值為（

）A． B． C． D．6．（2022·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在x軸負半軸和y軸正半軸上，點C在OB上，，連接AC，過點O作交AC的延長線于P．若，則的值是（

）A． B． C． D．37．（2022·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，顯示器的寬為22厘米，支架長14厘米，當支架與顯示器的夾角，支架與桌面的夾角，測得長為2厘米，則顯示器頂端到桌面的高度的長為（

）（，，）A．23厘米 B．24厘米 C．25厘米 D．26厘米8．（2021·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖是某廠家新開發(fā)的一款摩托車，它的大燈射出的光線，與地面的夾角分別為8°和10°，該大燈照亮地面的寬度的長為3.5米，則該大燈距地面的高度為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A．3.5米 B．2.5米 C．4.5米 D．5.5米9．（2021·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME）的會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形．若．，則的值為（

）A． B． C． D．10．（2021·重慶·統(tǒng)考中考真題）在學(xué)習(xí)解直角三角形以后，重慶八中數(shù)學(xué)興趣小組測量了旗桿的高度．如圖，某一時刻，旗桿AB的影子一部分落在平臺上的影長BC為6米，落在斜坡上的影長CD為4米，AB⊥BC，同一時刻，光線與旗桿的夾角為37°，斜坡的坡角為30°，旗桿的高度AB約為（）米．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）A．10.61 B．10.52 C．9.87

D．9.37填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）、11．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）計算：．12．（2020·四川自貢·?？家荒＃┰谥?，若，，都是銳角，則是三角形．13．（2023上·陜西西安·九年級西安市鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形的頂點A在反比例函數(shù)的圖象上，對角線軸，交y軸于點D．若矩形的面積是6，，則．

14．（2020·河南安陽·九年級統(tǒng)考自主招生）如圖，中，，，于點，是線段上的一個動點，則的最小值是．

15．（2020上·上海靜安·九年級上海市民辦揚波中學(xué)校考期中）如圖，在平行四邊形中，，垂足為E，如果，，，那么．

16．（2022·遼寧沈陽·沈陽市外國語學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，在斜坡AB上有一棵樹BD，由于受臺風(fēng)影響而傾斜，恰好與坡面垂直，在地面上C點處測得樹頂部D的仰角為60°，測得坡角∠BAE=30°，AB=6米，AC=4米．則樹高BD=．17．（2020·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四邊形ABCD，AC與BD相交于點O，∠ABC=∠DAC=90°，，則=．18．（2022·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，一艘漁船正以60海里/小時的速度向正東方向航行，在A處測得島礁P在東北方向上，繼續(xù)航行1.5小時后到達B處，此時測得島礁P在北偏東30°方向，同時測得島礁P正東方向上的避風(fēng)港M在北偏東60°方向．為了在臺風(fēng)到來之前用最短時間到達M處，漁船立刻加速以75海里/小時的速度繼續(xù)航行小時即可到達．（結(jié)果保留根號）三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2021·山東東營·統(tǒng)考中考真題）（1）計算：．（2）化簡求值：，其中．20．（8分）（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）（1）計算：．（2）請從以下不等式中選取兩個不等式組成不等式組，并解這個不等式組；；21．（10分）（2021·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，點P為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點，點P的縱坐標為4，軸，垂足為點B．（1）求m的值；（2）點M是函數(shù)圖象上一動點，過點M作于點D，若，求點M的坐標．22．（10分）（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）把矩形紙片ABCD，先沿AE折疊使點B落在AD邊上的B'，再沿AC折疊，恰好點E也落到AD上，記為E'．（1）求∠B'EE'的度數(shù)；（2）求∠DAC的正切值．23．（10分）（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，公園內(nèi)有一個垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個坡面，坡角．在陽光下，小明觀察到在地面上的影長為，在坡面上的影長為．同一時刻，小明測得直立于地面長60cm的木桿的影長為90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．24．（12分）（2022·山東濟寧·統(tǒng)考中考真題）知識再現(xiàn)：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．∵，∴，∴（1）拓展探究：如圖2，在銳角ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．請?zhí)骄浚?，之間的關(guān)系，并寫出探究過程．（2）解決問題：如圖3，為測量點A到河對岸點B的距離，選取與點A在河岸同一側(cè)的點C，測得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．請用拓展探究中的結(jié)論，求點A到點B的距離．參考答案：1．D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得出即可．解：sin45°=，故選D．【點撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)的應(yīng)用，能熟記特殊角的三角函數(shù)值是解此題的關(guān)鍵，難度適中．2．A【分析】根據(jù)題意畫出圖形，由于梯子、墻、地面恰好構(gòu)成直角三角形，故根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．解：如圖所示；∵梯子、墻、地面恰好構(gòu)成直角三角形，∠ABC=65°，∴AC=AB?sin65°，解得AC=5sin65°m．故選A．【點撥】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)的應(yīng)用，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．3．C【分析】先根據(jù)，得，根據(jù)同底等高可以得到，即可求得k的值．解：連結(jié)

，軸，故選C．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．4．A解：如圖，如圖，過點A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=6km，根據(jù)在直角三角形中30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AD=3km．在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=∠CAB∠AOB=75°30°=45°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BD=AD=3km，由勾股定理可得AB=3km，即該船航行的距離（即AB的長）為3km．故選A．點睛：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，難度適中，正確作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解覺本題的關(guān)鍵．5．C【分析】連接．利用格點和勾股定理求出，，，利用勾股定理的逆定理可證是直角三角形，再利用正切的定義即可求出的值．解：如圖，連接．，，，，是直角三角形，，，，，故選C．【點撥】本題考查勾股定理與格點問題，勾股定理的逆定理，正切的定義等，解題的關(guān)鍵是利用格點構(gòu)造直角三角形．6．C【分析】由可知，OP與x軸的夾角為45°，又因為，則為等腰直角形，設(shè)OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他線段進而求解．解：∵P點坐標為（1，1），則OP與x軸正方向的夾角為45°，又∵，則∠BAO=45°，為等腰直角形，∴OA=OB，設(shè)OC=x，則OB=2OC=2x，則OB=OA=3x，∴．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理和銳角三角函數(shù)的求解，根據(jù)P點坐標推出特殊角是解題的關(guān)鍵．7．C【分析】作延長線于點F，再延長DF、CB交于點G．由含角的直角三角形的性質(zhì)可求出，再由三角形內(nèi)角和定理即可求出，從而求出．在中，又利用三角函數(shù)可求出，根據(jù)題意又可求出，即求出．最后在中，利用三角函數(shù)即可求出最后結(jié)果．解：如圖，作延長線于點F，再延長DF、CB交于點G．由題意可知．∵，，∴，∴．在中，．∵，∴．在中，．故顯示器頂端到桌面的高度AD的長為25cm．故選C．【點撥】本題考查三角形內(nèi)角和定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)解直角三角形．正確的作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．8．B【分析】過點A作AD⊥MN于點D，由銳角三角函數(shù)的定義得出BD≈7AD，CD≈AD，再由BD?CD=BC，得7AD?AD＝3.5，即可得出答案．解：過點A作AD⊥MN于點D，如圖所示：在Rt△ADB與Rt△ACD中，tan∠ABD=＝tan8°≈，tan∠ACD＝＝tan10°≈，∴BD≈7AD，CD≈AD，∵BD?CD＝BC，∴7AD?AD＝3.5，解得：AD＝2.5，即該大燈距地面的高度2.5米，故選：B．【點撥】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義求解是解答此題的關(guān)鍵．9．A【分析】根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)求解．解：∵在中，，∴在中，，故選：A．【點撥】本題主要考查勾股定理和三角函數(shù)．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么．10．A【分析】通過作垂線把特殊角放在直角三角形中，利用三角函數(shù)由邊求邊，即由PH求AP，由DQ可求出QH，最后AP+PB=AB求出旗桿高度.解：如圖，過點C作CG⊥EF于點G，延長GH交AD于點H，過點H作HP⊥AB于點P，則四邊形BCHP為矩形，∴BC=PH=6，BP=CH，∠CHD=∠A=37°，∴AP===8，過點D作DQ⊥GH于點Q，∴∠CDQ=∠CEG=30°，∴CQ=CD=2，DQ=CDcos∠CDQ=4×=2，∵QH===，∴CH=QH﹣CQ=﹣2，則AB=AP+PB=AP+CH=8+﹣2≈10.61，故答案為A．【點撥】本題主要考查了解直角三角形，解直角三角形的應(yīng)用．11．4【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值、負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、算術(shù)平方根的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡，進而得出答案．解：原式．故答案為：．【點撥】此題主要考查了實數(shù)的運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．12．等邊【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)分別求出∠A和∠B，繼而可判斷的形狀．解：∵，∴，，∴，，∴∠A=60°，∠B=60°，∴是等邊三角形．故答案為：等邊．【點撥】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，非負數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判斷，解題關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．13．//【分析】過A作軸于M，、則

，先根據(jù)矩形性質(zhì)求得，，再根據(jù)余弦定義得到，證明求得，利用求解k值即可．解：過A作軸于M，、則

，

∵四邊形是矩形，面積是6，∴，，∵，∴，∵軸，∴，又，∴，∴，∴，又，∴，故答案為：．【點撥】本題考查矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，利用相似三角形的性質(zhì)求得的面積是解答的關(guān)鍵．14．【分析】過點D作于，過點C作于，首先通過勾股定理及求出AE,BE的長度，然后根據(jù)等腰三角形兩腰上的高相等得出，然后通過銳角三角函數(shù)得出，進而可得出，最后利用即可求值．解：如圖，過點D作于，過點C作于．

∵，∴，∵，設(shè)，，∴，∴，∴或（舍棄），∴，∵，，，∴（等腰三角形兩腰上的高相等）∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為,故答案為：．【點撥】本題主要考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短等，學(xué)會添加輔助線并利用轉(zhuǎn)化的思想是解題的關(guān)鍵．15．/【分析】先解直角三角形求得、，再利用平行四邊形的性質(zhì)證得，然后利用等角對等邊證得，在中求解即可求解．解：∵在中，，，∴，則，∵四邊形是平行四邊形，，∴，，，，∴，，∴，在中，，∴，故答案為：．【點撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形、等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，證明是解答的關(guān)鍵．16．（2+4）米/（4+）米【分析】過A作AM⊥AB交CD于M，再過M作MN⊥BD于N，可得△MCA是等邊三角形；再由ABNM是矩形求得BN和MN的長；然后解Rt△DMN求得DN的長即可解答.解：如圖，過A作AM⊥AB交CD于M，再過M作MN⊥BD于N，∵∠CAM=180°∠MAB∠BAE=60°，∠C=60°，∴△MCA是等邊三角形，∴AM=AC=4米，∠AMC=60°，∵∠ABN=∠MAB=∠MNB=90°，∴四邊形ABNM是矩形，∴MN=AB=6米，BN=AM=4米，∠AMN=90°，Rt△DMN中，∠DMN=180°∠AMN∠AMC=30°，∴DN=MN?tan∠DMN==米，∴BD=BN+ND=（+4）米，故答案為：（+4）米.【點撥】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形；正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．17．【分析】過B點作BE//AD交AC于點E，證明，得到再證明利用設(shè)利用三角形的面積公式可得答案．解：過B點作BE//AD交AC于點E，BE⊥AD，，∴∴由，∴設(shè)則故答案為：18．【分析】如圖，過點P作PQ⊥AB交AB延長線于點Q，過點M作MN⊥AB交AB延長線于點N，通過解直角△AQP、直角△BPQ求得PQ的長度，即MN的長度，然后通過解直角△BMN求得BM的長度，則易得所需時間．解：如圖，過點P作PQ⊥AB交AB延長線于點Q，過點M作MN⊥AB交AB延長線于點N，在直角△AQP中，∠PAQ=45°，則AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），所以BQ=PQ﹣90．在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，則BQ=PQ?tan30°=PQ（海里），所以PQ﹣90=PQ，所以PQ=45（3+）（海里），所以MN=PQ=45（3+）（海里），在直角△BMN中，∠MBN=30°，所以BM=2MN=90（3+）（海里），所以（小時），故答案為：．【點撥】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，此題是一道方向角問題，結(jié)合航海中的實際問題，將解直角三角形的相關(guān)知識有機結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實際生活的思想．19．（1）；（2）．【分析】（1）先化簡二次根式、特殊角的正切三角函數(shù)、化簡絕對值、零指數(shù)冪、積的乘方的逆用，再計算實數(shù)的混合運算即可得；（2）先計算分式的加法運算，再根據(jù)得出代入求值即可得．解：（1）原式，，；（2）原式，，，，，∵，∴，∴原式．【點撥】本題考查了化簡二次根式、特殊角的正切三角函數(shù)、零指數(shù)冪、分式的化簡求值等知識點，熟練掌握各運算法則是解題關(guān)鍵．20．（1）；（2）或或【分析】（1）首先根據(jù)零指數(shù)冪運算、特殊角的三角函數(shù)值、負整數(shù)指數(shù)冪運算、化簡絕對值符號，進行運算，再進行實數(shù)的混合運算，即可求解；（2）組成不等式組，解不等式組，即可求解．解：（1）（2）由解得，，由解得，，所以，此不等式組的解集為；由解得，，由解得，，所以，此不等式組的解集為；由解得，，由解得，，所以，此不等式組的解集為．【點撥】本題考查了零指數(shù)冪運算、特殊角的三角函數(shù)值、負整數(shù)指數(shù)冪運算、化簡絕對值符號、解一元一次不等式組，熟練掌握和運用各運算法則是解決本題的關(guān)鍵．21．（1）24；（2）M點的坐標為【分析】（1）根據(jù)交點坐標的意義，求得點P的橫坐標，利用k=xy計算m即可；（2）利用分類思想，根據(jù)正切的定義，建立等式求解即可.解：（1）∵點P縱坐標為4，∴，解得，∴，∴．（2）∵，∴，設(shè)，則，當M點在P點右側(cè)，∴M點的坐標為，∴（6+2t）（4t）=24，解得：，（舍去），當時，，∴M點的坐標為，當M點在P點的左側(cè)，∴M點的坐標為，∴（62t）（4+t）=24，解得：，，均舍去．綜上，M點的坐標為．【點撥】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，反比例函數(shù)解析式的確定，三角函數(shù)，一元二次方程的解法，熟練掌握函數(shù)圖像交點的意義，靈活運用三角函數(shù)的定義，構(gòu)造一元二次方程并準確解答是解題的關(guān)鍵．22．（1）22.5°；（2）tan∠DAC＝【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可證明四邊形ABEB'為正方形．△AEE'為等腰三角形．故AE＝AE'，由∠B'AE＝∠AEB'＝45°，可推出∠AEE'＝∠AE'E＝67.5°，進而∠B'EE'＝∠AEE'﹣∠AEB'＝22.5°；（2）設(shè)正方形ABEB'的邊長為a，由勾股定理得AE＝＝AE'，B'E'＝AE'﹣AB'＝，由同角的余角相等可推出∠DAC＝∠B'EE'，由此tan∠DAC＝tan∠B'EE'＝，即可求得答案．（1）解：由折疊性質(zhì)可知，∠ABE＝∠AB'E＝90°，AB＝AB'，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BAB'＝90°，∴四邊形ABEB'為矩形，又∵AB＝AB'，∴四邊形ABEB'為正方形，∴∠B'AE＝∠AEB'＝45°，又∵沿AC折疊，點E也落到AD上，∴AE＝AE'，∴∠AEE'＝∠AE'E＝＝67.5°，∴∠B'EE'＝∠AEE'﹣∠AEB'＝67