專題291投影與視圖（全章知識梳理與考點分類講解）-2023-2024學年九年級數(shù)學下冊全章復習與專題突破講與練（人教版）

專題29.1投影與視圖（全章知識梳理與考點分類講解）【知識點一】平行投影：1.定義理解：一般地，用光線照射物體，在某個平面(地面或墻壁等)上得到的影子，叫做物體的投影.只要有光線，有被光線照到的物體，就存在影子.太陽光線可看做平行的，象這樣的光線照射在物體上，所形成的投影叫做平行投影.由此我們可得出這樣兩個結(jié)論：

(1)等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在太陽光下，它們的影子一樣長.

(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示，它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度.

2.物高與影長的關系（1）在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時刻，物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東北→東，影長也是由長變短再變長.

（2）在同一時刻，不同物體的物高與影長成正比例.

即：.

利用上面的關系式可以計算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.

注意：利用影長計算物高時，要注意的是測量兩物體在同一時刻的影長.

特別提醒：

1．平行投影是物體投影的一種，是在平行光線的照射下產(chǎn)生的.利用平行投影知識解題要分清不同時刻和同一時刻.

2．物體與影子上的對應點的連線是平行的就說明是平行光線.

【知識點二】中心投影：若一束光線是從一點發(fā)出的，像這樣的光線照射在物體上所形成的投影，叫做中心投影.這個“點”就是中心，相當于物理上學習的“點光源”.生活中能形成中心投影的點光源主要有手電筒、路燈、臺燈、投影儀的燈光、放映機的燈光等.相應地，我們會得到兩個結(jié)論：(1)等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在燈光下，離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠的物體它的影子長.

(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示.一般情況下，離點光源越近，影子越長；離點光源越遠，影子越短，但不會比物體本身的長度還短.

在中心投影的情況下，還有這樣一個重要結(jié)論：點光源、物體邊緣上的點以及它在影子上的對應點在同一條直線上，根據(jù)其中兩個點，就可以求出第三個點的位置.

特別提醒：

光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影，光源或物體的方向改變，則該物體的影子的方向也發(fā)生變化，但光源、物體的影子始終分離在物體的兩側(cè).

【知識點三】正投影：正投影的定義：

如圖所示，圖(1)中的投影線集中于一點，形成中心投影；圖(2)(3)中，投影線互相平行，形成平行投影；圖(2)中，投影線斜著照射投影面；圖(3)中投影線垂直照射投影面(即投影線正對著投影面)，我們也稱這種情形為投影線垂直于投影面.像圖(3)這樣，投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影.

(1)線段的正投影分為三種情況.如圖所示.

①線段AB平行于投影面P時，它的正投影是線段A1B1，與線段AB的長相等；

②線段AB傾斜于投影面P時，它的正投影是線段A2B2，長小于線段AB的長；

③線段AB垂直于投影面P時，它的正投影是一個點.

(2)平面圖形正投影也分三種情況，如圖所示.

①當平面圖形平行于投影面Q時，它的正投影與這個平面圖形的形狀、大小完全相同，即正投影與這個平面圖形全等；

②當平面圖形傾斜于投影面Q時，平面圖形的正投影與這個平面圖形的形狀、大小發(fā)生變化，即會縮小，是類似圖形但不一定相似.

③當平面圖形垂直于投影面Q時，它的正投影是直線或直線的一部分.

(3)立體圖形的正投影.

物體的正投影的形狀、大小與物體相對于投影面的位置有關，立體圖形的正投影與平行于投影面且過立體圖形的最大截面全等.

特別提醒：

(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.

(2)由線段、平面圖形和立體圖形的正投影規(guī)律，可以識別或畫出物體的正投影.

(3)由于正投影的投影線垂直于投影面，一個物體的正投影與我們沿投影線方向觀察這個物體看到的圖象之間是有聯(lián)系的.

【知識點四】三視圖：1.三視圖的概念

（1）視圖

從某一角度觀察一個物體時，所看到的圖象叫做物體的一個視圖.

（2）正面、水平面和側(cè)面

用三個互相垂直的平面作為投影面，其中正對我們的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右邊的面叫做側(cè)面.

（3）三視圖

一個物體在三個投影面內(nèi)同時進行正投影，在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖.主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖.

2.三視圖之間的關系（1）位置關系

三視圖的位置是有規(guī)定的，主視圖要在左邊，它的下方應是俯視圖，左視圖在其右邊，如圖(1)所示.

（2）大小關系

三視圖之間的大小是相互聯(lián)系的，遵循主視圖與俯視圖的長對正，主視圖與左視圖的高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等的原則.如圖(2)所示.

特別提醒：

物體的三視圖的位置是有嚴格規(guī)定的，不能隨意亂放.三視圖把物體的長、寬、高三個方面反映到各個視圖上，具體地說，主視圖反映物體的長和高；俯視圖反映物體的長和寬，左視圖反映物體的高和寬，抓住這些特征能為畫物體的三視圖打下堅實的基礎.

【知識點五】畫幾何體的三視圖:畫圖方法：

畫一個幾何體的三視圖時，要從三個方面觀察幾何體，具體畫法如下：

(1)確定主視圖的位置，畫出主視圖；

(2)在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長對正”；

(3)在主視圖的正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”.

幾何體上被其他部分遮擋而看不見的部分的輪廓線應畫成虛線.

特別提醒：

畫一個幾何體的三視圖，關鍵是把從正面、上方、左邊三個方向觀察時所得的視圖畫出來，所以，首先要注意觀察時視線與觀察面垂直，即觀察到的平面圖是該圖的正投影；其二，要注意正確地用虛線表示看不到的輪廓線；其三，要充分發(fā)揮想象，多實踐，多與同學交流探討，多總結(jié)；最后，按三視圖的位置和大小要求從整體上畫出幾何體的三視圖.

【知識點五】由三視圖想象幾何體的形狀

由三視圖想象幾何體的形狀，首先應分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象主體圖的前面、上面和左側(cè)面，然后綜合起來考慮整體圖形.

特別提醒：

由物體的三視圖想象幾何體的形狀有一定的難度，可以從如下途徑進行分析：(1)根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀以及幾何體的長、寬、高；(2)根據(jù)實線和虛線想象幾何體看得見和看不見的輪廓線；(3)熟記一些簡單的幾何體的三視圖會對復雜幾何體的想象有幫助；(4)利用由三視圖畫幾何體與由幾何體畫三視圖為互逆過程，反復練習，不斷總結(jié)方法.

【考點目錄】【考點1】平行投影???概念理解、求值與證明【考點2】中心投影???概念理解與相關證明與運算【考點3】正投影???概念理解與相關證明與運算【考點4】視點、視角和盲區(qū)???概念理解與相關證明與運算【考點5】三視圖???物體三視圖的判斷與求值【考點6】三視圖???物體小正方體判斷與求值【考點1】平行投影???概念理解、求值與證明【例1】（2023上·四川巴中·九年級統(tǒng)考期中）已知：如圖，和是直立在地面上的兩根立柱，，某一時刻，在陽光下的投影．(1)請你在圖中畫出此時在陽光下的投影，并簡述畫圖步驟和說明作圖依據(jù)了太陽光線的哪一性質(zhì)；(2)在測量的投影長時，同時測出在陽光下的投影長為，請你計算的長．【答案】(1)見解析，作圖依據(jù)是運用了太陽光線是平行光線的性質(zhì)；(2)【分析】本題考查了相似三角形的判斷及性質(zhì)、平行投影：（1）利用平行投影的性質(zhì)即可求解；（2）利用相似三角形的判定及性質(zhì)即可求解；熟練掌握平行投影的性質(zhì)及相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關鍵．（1）解：連接，過點作，交直線于，如圖所示，就是的投影，作圖依據(jù)是運用了太陽光線是平行光線的性質(zhì)．（2），，又，，，，，，，．【舉一反三】【變式1】（2023上·山東青島·九年級統(tǒng)考期中）某一時刻太陽光下身高的小明的影長為2m，同一時刻旗桿的影長為6m則旗桿的高度為（

）A． B．8m C． D．7m【答案】A【分析】根據(jù)成比例關系可知，人身高比上人的影長等于旗桿長比上旗桿的影長，代入數(shù)據(jù)即可得出答案．解∶設旗桿高度為xm，有解得．故選∶A．【點撥】本題考查了平行投影以及一元一次方程的應用，解題關鍵是理解在同一時刻物體的高與其影子長比值是相同的．【變式2】（2023上·河北邢臺·九年級邢臺三中校聯(lián)考期中）公元前6世紀，古希臘學者泰勒斯用圖1的方法巧測金字塔的高度．如圖2，小明仿照這個方法，測量圓錐形小山包的高度，已知圓錐底面周長為．先在小山包旁邊立起一根木棒，當木棒影子長度等于木棒高度時，測得小山包影子長為（直線過底面圓心），則：（1）小山包的半徑為；（2）小山包的高為．（?。敬鸢浮俊痉治觥看祟}考查平行投影，解題關鍵是根據(jù)通過三角形相似，將小山包的高轉(zhuǎn)化為的長進行求解．根據(jù)平行投影，即可得相似三角形，那么可得到，根據(jù)圓錐底面周長求出圓錐底面圓的半徑，最后推論出高．解：連接，過作于，由題意可知，∴∵圓錐底面周長為．∴，解得，∵,∴∴小山包的高為．故答案為：，．【考點2】中心投影???概念理解與相關證明與運算【例3】（2023上·江蘇泰州·九年級校考期中）如圖，在路燈下，甲的身高如圖中線段所示，他在地面上的影子如圖中線段所示，小亮的身高如圖中線段所示，路燈M在線段上．

(1)請你確定路燈M所在的位置，并畫出表示乙在燈光下形成的影子線段．(2)如果燈距離地面，乙的身高，乙與燈桿的距離，請求出乙影子的長度．【答案】(1)見解析；(2)1米【分析】本題考查中心投影，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是：（1）連接進而延長交于點，再連接并延長交于點，得出進而得出答案；（2）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出答案．（1）解：如圖所示：路燈,即為所求；

（2），，，燈距離地面，乙的身高，乙與燈桿的距離，，解得：∴乙影子的長度為．【舉一反三】【變式1】（2023上·全國·九年級專題練習）一塊三角形板，測得邊的中心投影長為，則邊的中心投影的長為（）

A．24cm B．20cm C．15cm D．5cm【答案】B【分析】由投影得，由相似性質(zhì)得，求得．解：∵，∴，∵，∴，故選：B．【點撥】本題考查中心投影，相似三角形的性質(zhì)；由相似三角形得到線段間的數(shù)量關系是解題的關鍵．【變式2】（2023上·遼寧阜新·九年級阜新實驗中學?？计谥校┤前逶邳c光源O的照射下形成投影，三角板的頂點A與其投影的對應點B的位置如圖，經(jīng)測量，且三角板的面積為，則其投影的面積為．【答案】50【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，易得三角板與它的投影成相似圖形，再根據(jù)面積比等于相似比的平方，進行列式作答．解：依題意，三角板與它的投影成相似圖形∵，三角板的面積為∴三角板的面積∶其投影的面積即其投影的面積為故答案為：50【考點3】正投影???概念理解與相關證明與運算【例3】（2018上·九年級單元測試）如圖，在底面是正三角形的三棱柱中，邊AB，A'B'垂直于投影面P且AB，A'B'上的高所在截面平行于投影面，若已知CD的投影長為2cm，CC'的投影長為6cm.(1)畫出三棱柱在投影面P上的正投影;(2)求出三棱柱的表面積.【分析】（1）根據(jù)正投影的畫法即可畫出；解：(1)三棱柱在投影面P上的正投影如圖.(2)∵CD∥MH，∴CD=MH.又∵MH=2cm，∴CD=2cm.在Rt△ADC中，設AD=xcm，則AC=2xcm，又CD=2cm，由勾股定理，解得AC=cm.三棱柱表面積S=2S△ABC+3S矩形ACC'A'，CC'=HK=6cm，因此，三棱柱表面積S=2××2×+3×6×=(cm2).【點撥】本題考查了正投影的畫法以及直三棱柱的表面積的求法.【舉一反三】【變式1】（2023上·廣東深圳·九年級北大附中深圳南山分校?？茧A段練習）下列說法正確的是（）A．物體在太陽光下產(chǎn)生的投影是物體的正投影B．正投影一定是平行投影C．物體在燈光下產(chǎn)生的投影是物體的正投影D．正投影可能是中心投影【答案】B【分析】先明確：平行投射線垂直于投影面的稱為正投影；接下來根據(jù)正投影的定義進行分析即可得答案．解：A．物體在太陽光下產(chǎn)生的投影不一定是物體的正投影，錯誤，不合題意；B．正投影一定是平行投影，正確，符合題意；C．物體在燈光下產(chǎn)生的投影不一定是物體的正投影，錯誤，不合題意；D．正投影是平行投影，錯誤，不合題意．故選：B．【點撥】本題考查平行投影中正投影的相關知識，解題需掌握正投影的特點．【變式2】（2023上·山東青島·九年級統(tǒng)考期中）如圖，一條線段在平面α內(nèi)的正投影為，，，則的度數(shù)為．

【答案】/60度【分析】本題考查平行投影，解直角三角形等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．過A作，交于C點．求出的值，可得結(jié)論．解：過A作，交于C點．

∵線段在平面α內(nèi)的正投影為，，，∴，∴，且，則即為所求．∴，∴．故答案為：．【考點4】視點、視角和盲區(qū)???概念理解與相關證明與運算【例4】（2021·福建廈門·統(tǒng)考三模）如圖是某校校史榮譽室的正方形網(wǎng)格平面圖，實線表示墻體或門．在點處安裝了360度旋轉(zhuǎn)攝像頭，由于墻體的的遮擋，陰影部分無法監(jiān)控，這部分無法監(jiān)控到的區(qū)域通常稱為監(jiān)控盲區(qū)．（1）小紅同學進入校史榮譽室隨意參觀，站在監(jiān)控盲區(qū)的概率是多少？（2）為了監(jiān)控效果更好，使得監(jiān)控盲區(qū)最小，請你幫助學校在墻體上重新設計攝像頭安裝的位置，畫出示意圖，并說明理由．【答案】（1）；（2）見詳解【分析】（1）分別求出榮譽室面積和盲區(qū)面積，再利用概率公式，即可求解；（2）把攝像頭安裝在AB的中點處，計算出監(jiān)控盲區(qū)的面積，然后把攝像頭安裝在AB的其他位置，表達出監(jiān)控盲區(qū)的面積，即可得到結(jié)論．解：（1）設小正方形的邊長為1，∴榮譽室面積=2×2+2×2+2×6=20，盲區(qū)面積=2×2×2×1=3，∴站在監(jiān)控盲區(qū)的概率=3÷20=；（2）如圖所示：攝像頭安裝在AB的中點處，監(jiān)控盲區(qū)的面積最小，此時，監(jiān)控盲區(qū)面積=2××1×2=2，若攝像頭不安裝在AB的中點處，則監(jiān)控盲區(qū)面積=×(CM+2)×2＞2．【點撥】本題主要考查幾何概率，掌握概率公式和方格紙的面積的計算，是解題的關鍵．【舉一反三】【變式1】（2013上·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在房子屋檐E處安有一臺監(jiān)視器，房子前有一面落地的廣告牌，那么監(jiān)視器的盲區(qū)是（）

A． B． C． D．四邊形【答案】C【分析】解答此題首先要了解盲區(qū)的定義，視線覆蓋不到的地方即為該視點的盲區(qū)，由圖知，是視點，找到在點處看不到的區(qū)域即可．解：由圖知：在視點的位置，看不到段，因此監(jiān)視器的盲區(qū)在所在的區(qū)域，故選：C．【點撥】本題考查了投影和視圖的概念，解答此類問題，首先要確定視點，然后再根據(jù)盲區(qū)的定義進行判斷．【變式2】（2019·九年級單元測試）電影院的座位排列時，后一排總比前一排高，并且每一橫排呈圓弧形，這是為了．【答案】增加視野，后面的觀眾看清屏幕，保證同一排上的人看屏幕的視角相等【分析】從減小盲區(qū)角度可理解后一排總比前一排高，從滿足有相同的視角可理解每一橫排呈圓弧形．解：電影院的座位排列時，后一排總比前一排高是為了增加視野，后面的觀眾看清屏幕，每一橫排呈圓弧形是利用圓周角相等，保證同一排上的人看屏幕的視角相等．故答案為增加視野，后面的觀眾看清屏幕，保證同一排上的人看屏幕的視角相等．【點撥】本題考查了視點、視角和盲區(qū)：把觀察者所處的位置定為一點，叫視點；人眼到視平面的距離視固定的（視距），視平面左右兩個邊緣到人眼的連線得到的角度就是視角．視線到達不了的區(qū)域為盲區(qū)．【考點5】三視圖???物體三視圖的判斷與求值【例5】（2023上·全國·七年級期中）如圖，是由6個大小相同的小立方體塊搭建的幾何體，其中每個小正方體的棱長為1厘米．(1)直接寫出這個幾何體的表面積（包括底部）：__________；(2)請按要求在方格內(nèi)分別畫出從這個幾何體的三個不同方向看到的形狀圖．【答案】(1)；(2)畫圖見解析【分析】本題考查簡單組合體的三視圖，（1）三視圖面積和的2倍即可；（2）利用三視圖的畫法畫出圖形即可．解：（1），故答案為：；（2）根據(jù)三視圖的畫法，畫出相應的圖形如下：【舉一反三】【變式1】（2023上·陜西西安·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖是由8個小立方塊搭成的幾何體從上面看到的形狀圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置的小立方塊的個數(shù)，則這個幾何體從正面看到的形狀是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)從上面看到的幾何體形狀及個數(shù)即可得到從正面看到的形狀及對應的個數(shù)．【詳解】解：根據(jù)從上面看到的幾何體形狀及個數(shù)可知：該幾何體從正面看到的形狀共三列，從左往右依次是2、2、3，故選：B．【點撥】本題考查了三種視圖之間的關系，解題的關鍵是通過空間想象能力得到相應位置上正方體的個數(shù)．【變式2】（2021上·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期末）如圖，某機器零件的三種視圖中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是．【答案】俯視圖【分析】畫出零件的三視圖，根據(jù)該三視圖，結(jié)合軸對稱、中心對稱的意義進行判斷即可．解：該幾何體的三視圖如下：