浙江省臺(tái)金七校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第二學(xué)期臺(tái)金七校聯(lián)盟期中聯(lián)考高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一.單選題：（本題共8小題，每題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知復(fù)數(shù)，則（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)模計(jì)算公式即可得到結(jié)果.【詳解】，.故選：B.2（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由相反向量和向量加法的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算.【詳解】.故選：A3.已知向量，，，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量數(shù)量積和向量的模求夾角的余弦.【詳解】.故選：D4.在中，N是上的點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由圖形關(guān)系的向量運(yùn)算和向量共線的結(jié)論計(jì)算即可.【詳解】由題意可知三點(diǎn)共線，設(shè)，所以，又因?yàn)?，所以，故選：C.5.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，M，N分別為，的中點(diǎn)，P在線段上運(yùn)動(dòng)（包含兩個(gè)端點(diǎn)），以下說法正確的是（）.A.存在點(diǎn)P，使得與異面B.三棱錐的體積與P點(diǎn)位置無關(guān)C.若P為中點(diǎn)，三棱錐的體積為D.若P與重合，則過點(diǎn)M、N、P作正方體的截面，截面為三角形【答案】B【解析】【分析】證明與共面判斷選項(xiàng)A；由，計(jì)算并判斷選項(xiàng)BC；作出正確截面判斷選項(xiàng)D.【詳解】正方體中，，與都在平面內(nèi)，所以與不可能異面，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；三棱錐，底面積，棱錐的高，則，由，所以三棱錐的體積為定值，與P點(diǎn)位置無關(guān)，B選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；若P與重合，則過點(diǎn)M、N、P作正方體的截面，截面梯形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.6.雷鋒塔，位于浙江省杭州市西湖區(qū)，是“西湖十景”之一、中國(guó)九大名塔之一，為中國(guó)首座彩色銅雕寶塔.如圖，某同學(xué)為測(cè)量雷鋒塔的高度，在雷鋒塔的正西方向找到一座建筑物，高約為，在地面上點(diǎn)E處（A，C，E三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部B，雷鋒塔頂部D的仰角分別為和，在B處測(cè)得塔頂部D的仰角為，則雷鋒塔的高度約為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在直角三角形中利用銳角三角函數(shù)表示斜邊長(zhǎng)，根據(jù)三角形內(nèi)角和以及平行線性質(zhì)可得角的度數(shù)，在結(jié)合正弦定理，可得答案.【詳解】在中，；在中，；由圖可知，易知，在中，，根據(jù)正弦定理可得：，則.故選：C.7.設(shè)O為的內(nèi)心，，，，則（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連，則為內(nèi)切圓的半徑，利用面積關(guān)系求出，得，再根據(jù)得，由平面向量基本定理求出可得答案.【詳解】取的中點(diǎn)，連，因?yàn)?，，所以，，所以的?nèi)心在線段上，為內(nèi)切圓的半徑，因?yàn)?，所以，所以，得，所以，所以，又，所以，又已知，所以，所?故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用面積關(guān)系求出內(nèi)切圓半徑,進(jìn)而得到是本題解題關(guān)鍵.8.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，S為的面積，且，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角形面積公式及余弦定理化簡(jiǎn)，利用三角恒等變換求出，再由余弦定理及均值不等式求的范圍即可.【詳解】由三角形面積公式及余弦定理可得：，即，可得，由，可知，所以，所以，即，由均值不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，解得，又，所以，故選：D二.多選題：（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的部分得分）9.下列命題正確的是（）A.已知，是兩個(gè)不共線的向量，，，則與可以作為平面向量的一組基底B.在中，，，，則這樣的三角形有兩個(gè)C.已知是邊長(zhǎng)為2的正三角形，其直觀圖的面積為D.已知，，若與的夾角為鈍角，則k的取值范圍為【答案】ABC【解析】【分析】由平面向量基底的定義即可判斷A，由正弦定理代入計(jì)算，即可判斷B，由原圖形與直觀圖的面積關(guān)系即可判斷C，由平面向量夾角的坐標(biāo)公式即可判斷D【詳解】因?yàn)?，是兩個(gè)不共線的向量，且，，所以與不共線，則與可以作為平面向量的一組基底，故A正確；因?yàn)樵谥校?，，，由正弦定理可得，所以，即有兩個(gè)角，故B正確；因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，則，設(shè)其直觀圖的面積為，因?yàn)橹庇^圖的面積與平面圖形的面積比為，即，故C正確；因?yàn)?，，則，設(shè)與的夾角為，則，且，解得且.故D錯(cuò)誤；故選：ABC10.已知復(fù)數(shù)，，下列結(jié)論正確的有（）A.B.若，則C.D.若，則點(diǎn)z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為【答案】ACD【解析】【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義判斷選項(xiàng)A；由復(fù)數(shù)的大小關(guān)系判斷選項(xiàng)B；由復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)判斷選項(xiàng)C；由復(fù)數(shù)的模的幾何意義判斷選項(xiàng)D.詳解】設(shè)，,對(duì)于A，，，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，當(dāng)為虛數(shù)時(shí)，可以比較大小，不能比較大小，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C，由復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)可知，，，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，若，則復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)z的集合所構(gòu)成的圖形是以為圓心，半徑為1和的兩圓之間的圓環(huán)，面積為，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD11.直三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)均位于一個(gè)半徑為2的球的球面上，，，則該直三棱柱的體積可能是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用正弦定理求出底面外接圓的半徑，利用勾股定理求出直三棱柱的高為，在底面中由正弦定理表示出，即可求出的取值范圍，從而求出的面積的取值范圍，再根據(jù)柱體的體積公式求出體積的取值范圍，即可得解.【詳解】設(shè)底面外接圓的半徑為，則，，設(shè)直三棱柱的高為，外接球的半徑為，則，則，在中，分別為角所對(duì)的邊，，，由正弦定理得，則，，∴，，則，，，，，即，∴，所以.故選：BCD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由已知條件，外接圓的半徑為和棱柱的高都是定值，由的面積的取值范圍，求出三棱柱體積的取值范圍，而，，由，通過正弦定理邊化角結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求取值范圍即可得出結(jié)果.非選擇題部分三.填空題：（本題共3題，每小題5分，共15分）12.已知，，則向量在向量上的投影向量為________.（用坐標(biāo)表示）【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影向量的公式計(jì)算即可.【詳解】向量在向量上的投影向量為.故答案為：.13.已知圓錐的側(cè)面積為，其側(cè)面展開圖是四分之一的圓，則圓錐的體積為________.【答案】##【解析】【分析】由側(cè)面展開圖是四分之一的圓知母線長(zhǎng)是底面圓半徑的四倍，代入數(shù)值解出底面圓面積和圓錐的高，從而求得體積【詳解】設(shè)圓錐的底面圓半徑為，母線長(zhǎng)為，高為，由側(cè)面展開圖是四分之一的圓知，故，則側(cè)面積，解得，則，圓錐的高，所以圓錐的體積為故答案為：14.在中，，，的外接圓為圓O，P為圓O上的點(diǎn)，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】由已知條件利用三角形面積公式，向量的數(shù)量積和三角恒等變換，得，，的外接圓半徑，，由向量的模和夾角討論運(yùn)算結(jié)果的取值范圍.【詳解】，又，由，解得，由，得，則有，.，則有，，則有，所以有，，外接圓為圓O，P為圓O上的點(diǎn)，由正弦定理得的外接圓半徑，則有，，，，為中點(diǎn)，，，當(dāng)與方向相同時(shí)，有最大值，當(dāng)與方向相反時(shí)，有最小值，所以的最大值為，最小值為，即的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義，具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用，本題利用向量數(shù)量積的定義結(jié)合了圖形幾何性質(zhì)求解.四.解答題：（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知平面向量，（1）若與垂直，求k；（2）若向量，若與共線，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）借助數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得；（2）借助向量共線定理與模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示計(jì)算即可得.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以，，因?yàn)榕c垂直，所以，整理得，解得；【小問2詳解】因?yàn)椋?，，所以，，因?yàn)榕c共線，故，所以，解得，所以，，所以.16.如圖，在直角梯形中，，，，以邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的面圍成一個(gè)幾何體.（1）求該幾何體的表面積；（2）一只螞蟻在形成的幾何體上從點(diǎn)A繞著幾何體的側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)A，求螞蟻爬行的最短距離.【答案】（1）（2）6.【解析】【分析】（1）得到幾何體為上底面半徑為，下底面半徑，母線長(zhǎng)的圓臺(tái)，求出表面積；（2）將圓臺(tái)的側(cè)面沿母線展開，得到如圖所示的一個(gè)扇環(huán)，作出輔助線，設(shè)，根據(jù)弧長(zhǎng)得到方程，求出，進(jìn)而得到為等邊三角形，求出最短路徑為線段，得到答案.【小問1詳解】如圖所示，滿足題意的直角梯形，以邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周，形成一個(gè)上底面半徑為，下底面半徑，母線長(zhǎng)的圓臺(tái)，其表面積為.【小問2詳解】將圓臺(tái)的側(cè)面沿母線展開，得到如圖所示的一個(gè)扇環(huán)，因?yàn)閳A臺(tái)上下底面半徑的關(guān)系為，所以，，又∵，∴，∴，設(shè)，則的弧長(zhǎng)，解得，連接，為等邊三角形，∴所以螞蟻從點(diǎn)A繞著圓臺(tái)的側(cè)面爬行一周，回到點(diǎn)A的最短路徑即為線段，所以螞蟻爬行的最短距離為6.17.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為且與垂直.（1）求大??；（2）若邊上的中線長(zhǎng)為，求的面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用垂直的向量表示進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦定理結(jié)合條件即可得到結(jié)果；（2）利用余弦定理與邊上中線有進(jìn)行化簡(jiǎn)，在利用基本不等式即可得到結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?，垂直，所?由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，，所?【小問2詳解】設(shè)邊上的中線為，在中，由余弦定理得：，即①.在和中，，所以，即，，，化簡(jiǎn)得，代入①式得，，由基本不等式，∴，當(dāng)且僅當(dāng)取到“”；所以的面積最大值為.18.在三棱錐中，（1）若點(diǎn)，，，分別是棱，，，上的點(diǎn)，其中，.求證：，，三線共點(diǎn)；（2）在三棱錐中，所有棱長(zhǎng)都為.①求三棱錐的體積；②求三棱錐外接球的表面積.【答案】（1）證明見解析（2）①；②【解析】【分析】（1）依題意可得，，，四點(diǎn)共面，并且可設(shè)，即可得到平面，平面，再由平面平面，即可得到，從而得證；（2）①將正四面體放到正方體中，根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算可得，②正方體的外接球即為正四面體的外接球，正方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑，從而求出球的表面積.【小問1詳解】∵，，∴，，，四點(diǎn)共面，并且可設(shè)，∵，，又∵平面，平面，∴平面，平面，∴為平面與平面的公共點(diǎn).又∵平面平面，∴，即原題設(shè)得證.【小問2詳解】①以四面體的各棱為面對(duì)角線還原為棱長(zhǎng)為的正方體，如圖所示.所以，同理，，所以，而，所以.②三棱錐的外接球的半徑∴外接球的表面積.19.設(shè)非空數(shù)集M，對(duì)于M中的任意兩個(gè)元素，如果滿足：①兩個(gè)元素之和屬于M②兩個(gè)元素之差屬于M.③兩個(gè)元素之積屬于M④兩個(gè)元素之商（分母不為零）也屬于M.定義：滿足條件①②③的數(shù)集M為數(shù)環(huán)（即數(shù)環(huán)對(duì)于加、減、乘運(yùn)算封閉）；滿足④的數(shù)環(huán)M為數(shù)域（即數(shù)域?qū)τ诩?、減、乘、除運(yùn)算封閉）.（1）判斷自然數(shù)集N、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R、復(fù)數(shù)集C是不是數(shù)環(huán)，假如該集合是數(shù)環(huán)，那么它是不是數(shù)域（無需說明理由）；（2）若M是一個(gè)數(shù)環(huán)，證明：；若S是一個(gè)數(shù)域，證明：；（3）設(shè)，證明A是數(shù)域.【答案】（1）自然數(shù)集不是數(shù)環(huán)；整數(shù)集是數(shù)環(huán)，不是數(shù)域；有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、復(fù)數(shù)集是數(shù)環(huán)也是數(shù)域；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由數(shù)環(huán)與數(shù)域的定義判斷即可；（2）根據(jù)題意，由數(shù)域的定義即可證明；（