專題11三角形中的重要模型-特殊三角形中的分類討論模型（教師卷）

專題11三角形中的重要模型特殊三角形中的分類討論模型模型1、等腰三角形中的分類討論模型【知識儲備】凡是涉及等腰三角形邊、角、周長、面積等問題，優(yōu)先考慮分類討論，再利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形三邊關(guān)系解題即可。1）無圖需分類討論①已知邊長度無法確定是底邊還是腰時要分類討論；②已知角度數(shù)無法確定是頂角還是底角時要分類討論；③遇高線需分高在△內(nèi)和△外兩類討論；④中線把等腰△周長分成兩部分需分類討論。2）“兩定一動”等腰三角形存在性問題：即：如圖：已知，兩點是定點，找一點構(gòu)成等腰方法：兩圓一線具體圖解：①當時，以點為圓心，長為半徑作⊙，點在⊙上（，除外）②當時，以點為圓心，長為半徑作⊙，點在⊙上（，除外）③當時，作的中垂線，點在該中垂線上（除外）例1．（2023春·四川成都·八年級?？计谥校┮阎妊切蔚膬蛇呴L分別是，，若，滿足，那么它的周長是（）A．11 B．13 C．11或13 D．11或15【答案】C【分析】由已知等式，結(jié)合非負數(shù)的性質(zhì)求、的值，再根據(jù)、分別作為等腰三角形的腰，分類求解．【詳解】解：，，，，，解得：，，當作腰時，三邊為3，3，5，符合三邊關(guān)系定理，周長為：，當作腰時，三邊為3，5，5，符合三邊關(guān)系定理，周長為：，故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，非負數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求、的值，再根據(jù)或作為腰，分類求解．例2．（2023春·黑龍江佳木斯·八年級校考期中）一個等腰三角形的周長為18cm，且一邊長是4cm，則它的腰長為（

）A．4cm B．7cm C．4cm或7cm D．全不對【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，兩腰相等，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系，進行求解即可．【詳解】解：當cm為腰長時，則底邊長為cm，∵，不符合題意；∴cm為底邊長，∴等腰三角形的腰長為：；故選B．【點睛】本題考查等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系．解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的兩腰相等，注意討論時要根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，判斷能否構(gòu)成三角形．例3．（2023春·四川達州·八年級?？茧A段練習）等腰三角形的一個角是，則它頂角的度數(shù)是（）A． B．或 C．或 D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和為，進行分類討論即可【詳解】解：①當?shù)捉菫闀r，頂角，②當頂角為時，頂角度數(shù)，綜上：頂角度數(shù)為或；故選：B．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和為，等腰三角形兩底角相等，解題的關(guān)鍵是書熟練掌握相關(guān)內(nèi)容．例3．（2023·四川廣安·八年級?？计谥校┑妊切蔚囊粋€外角為，則它的底角為（）A． B． C．或 D．以上都不是【答案】D【分析】等腰三角形的一個外角等于，則等腰三角形的一個內(nèi)角為，但已知沒有明確此角是頂角還是底角，所以應(yīng)分兩種情況進行分類討論．【詳解】∵等腰三角形的一個外角等于，∴等腰三角形的一個內(nèi)角為，①當為頂角時，其他兩角都為、，②當為底角時，其他兩角為、，所以等腰三角形的底角可以是，也可以是．故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理；在解決與等腰三角形有關(guān)的問題，由于等腰所具有的特殊性質(zhì)，很多題目在已知不明確的情況下，要進行分類討論，才能正確解題，因此，解決和等腰三角形有關(guān)的邊角問題時，要仔細認真，避免出錯．例4．（2023·四川綿陽·八年級?？茧A段練習）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則等腰三角形的頂角度數(shù)為．【答案】或【分析】要注意分類討論，等腰三角形可能是銳角三角形也可能是鈍角三角形，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和以及三角形的外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：若三角形為銳角三角形時，如圖，，，為高，即，此時，∴，若三角形為鈍角三角形時，如圖，，，為高，即，此時，綜上，等腰三角形的頂角的度數(shù)為或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，并注意分類討論．例5．（2023·山東濱州·八年級?？计谀┪覀兎Q網(wǎng)格線的交點為格點．如圖，在6行列的長方形網(wǎng)格中有兩個格點A、B，連接，在網(wǎng)格中再找一個格點C，使得是等腰直角三角形，則滿足條件的格點C的個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①為等腰直角底邊；②為等腰直角其中的一條腰．【詳解】如圖：分情況討論：①為等腰直角底邊時，符合條件的格點C點有2個；②為等腰直角其中的一條腰時，符合條件的格點C點有3個．故共有5個點，故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形，數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學解題中很重要的解題思想．例6．（2023·北京·八年級期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC為一邊．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，則線段BD的長為____．【答案】或或．【分析】根據(jù)題意分類討論，①，②，③，分別作出圖形，再結(jié)合已知條件勾股定理求解即可．【詳解】解：①如圖，當時，是等腰直角三角形，,，；②如圖，當時，過點作，交的延長線于點，，，是等腰直角三角形，，，又，是等腰直角三角形，，在中，，，在中，，在中，；③如圖，當時，，是等腰直角三角形，，在中，，在中，．綜上所述，的長為：或或．故答案為：或或．【點睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．例7．（2023·福建南平·八年級校考期中）已知△ABC中，如果過頂點B的一條直線把這個三角形分割成兩個三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為直角三角形，則稱這條直線為△ABC的關(guān)于點B的二分割線．如圖1，Rt△ABC中，顯然直線BD是△ABC的關(guān)于點B的二分割線．在圖2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直線BD是△ABC的關(guān)于點B的二分割線，則∠CDB的度數(shù)是．【答案】40°或90°或140°【分析】分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：①如圖，當∠DBC=90°，AD=BD時，直線BD是△ABC的關(guān)于點B的二分割線，∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，∴∠ABD=20°，∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=20°，∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；②如圖，當∠BDC=90°，AD=BD時，直線BD是△ABC的關(guān)于點B的二分割線，或當∠BDC=90°，CD=BD時，直線BD是△ABC的關(guān)于點B的二分割線，；③如圖，當∠ABD=90°，CD=BD時，直線BD是△ABC的關(guān)于點B的二分割線，∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，∴∠DBC=20°，∵CD=BD，∴∠C=∠DBC=20°，∴∠BDC=140°．綜上所述：當∠BDC的度數(shù)是40°或90°或140°時，直線BD是△ABC的關(guān)于點B的二分割線．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，理解二分割線是本題關(guān)鍵．例8．（2023·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，A、B兩點的坐標分別為，，點P是x軸上一點，且為等腰三角形，則點P的坐標為．【答案】或或或【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，分①AB=BP；②AB=AP；③AP=BP三種情況求解即可．【詳解】∵為等腰三角形，①當時，如圖①，∵，∴，∵，∴或；②當時，如圖②作于C點，則，∵，∴，∵，∴，∴．③當時，如圖③，作，∴，∴．綜上所述：點P的坐標為或或或，故答案為：或或或．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、坐標與圖形，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，靈活運用分類討論的思想解決問題是解答的關(guān)鍵．例9．（2023·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┤鐖D，中，，，，若點從點出發(fā)，以每秒的速度沿折線運動，設(shè)運動時間為秒（）．

(1)若點在上，且滿足，求此時的值；(2)若點恰好在的角平分線上，求此時的值：(3)在運動過程中，當為何值時，為等腰三角形．【答案】(1)(2)或(3)或或或3【分析】（1）設(shè)，則，利用勾股定理求出，在中，依據(jù)，列方程求解即可得到的值．（2）如圖所示，當點P在上時，過作于，設(shè)，則，在中，依據(jù)，列方程求解即可得到的值．當點與點重合時，點也在的角平分線上，此時，．（3）分四種情況：當在上且時，當在上且時，當在上且時，當在上且時，分別依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到的值．【詳解】（1）解：如圖，設(shè)，則，

，，，，在中，由勾股定理得，，解得，，；（2）解：如圖所示，當點P在上時，過作于，

平分，，，，在與中，，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，解得，，，當點與點重合時，點也在的角平分線上，此時，．綜上所述，點恰好在的角平分線上，的值為或．（3）解：分四種情況：①如圖，當在上且時，∴，

∵，，，，是的中點，即，．②如圖，當在上且時，∴．③如圖，當在上且時，過作于，∵，∴，在中，由勾股定理得，，．④如圖，當在上且時，則，．綜上所述，當?shù)闹禐榛蚧蚧?時，為等腰三角形．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運用．畫出圖形，利用分類討論的思想是解第（3）題的關(guān)鍵．例10．（2022春·四川成都·八年級校考期中）如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，點O為坐標原點，經(jīng)過的直線交x軸正半軸于點B，交y軸于點，直線交x軸負半軸于點D，若的面積為

(1)求直線的表達式和點D的坐標；(2)橫坐標為m的點P在線段上（不與點重合），過點P作x軸的平行線交于點E，設(shè)的長為，求y與m之間的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出相應(yīng)的m取值范圍；(3)在（2）的條件下，在x軸上是否存在點F，使為等腰直角三角形？若存在求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點F的坐標為或或【分析】（1）據(jù)直線交軸正半軸于點，交軸于點，，設(shè)直線解析式為，把的坐標代入求得的值，從而求得的坐標，再根據(jù)三角形的面積建立方程求出的值，求出的值，從而求出點的坐標；（2）直接根據(jù)待定系數(shù)法求出的解析式，先根據(jù)的坐標求出直線的解析式，將點的橫坐標代入直線的解析式，求出的縱坐標，將的縱坐標代入直線的解析式就可以求出的橫坐標，根據(jù)線段的和差關(guān)系就可以求出結(jié)論；（3）要使為等腰直角三角形，分三種情況分別以點為直角頂點，據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出（2）中的值，就可以求出點的坐標．【詳解】（1）解：，∴設(shè)直線的解析式為，∵直線經(jīng)過，，，∴直線的解析式為，，，的面積為，，，，，直線的解析式為（2）解：設(shè)直線的解析式為，，∴，解得．∴直線的解析式為；∵點P在上，且橫坐標為m，，軸，∴E的縱坐標為，代入得，，解得，，的長；即，；（3）解：在x軸上存在點F，使為等腰直角三角形，①當時，如圖①，有，，，，解得，此時；②當時，如圖②，有，的長等于點E的縱坐標，，，解得：，∴點E的橫坐標為，∴；③當時，如圖③，有，．，．作，點R為垂足，，，．同理，．∵點R與點E的縱坐標相同，，∴，解得：，，∴點F的橫坐標為，．綜上，在x軸上存在點F使為等腰直角三角形，點F的坐標為或或．

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式的運用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式模型2、直角三角形中的分類討論模型【知識儲備】凡是涉及直角三角形問題，優(yōu)先考慮直角頂點（或斜邊）分類討論，再利用直角三角形的性質(zhì)或勾股定理解題即可。1）無圖需分類討論：①已知邊長度無法確定是直角邊還是斜邊時要分類討論；②已知無法確定是哪個角是直角時要分類討論（常見與折疊、旋轉(zhuǎn)中出現(xiàn)的直角三角形）。2）“兩定一動”直角三角形存在性問題：（常見于與坐標系綜合出題，后續(xù)會專題進行講解）即：如圖：已知，兩點是定點，找一點構(gòu)成方法：兩線一圓具體圖解：①當時，過點作的垂線，點在該垂線上（除外）②當時，過點作的垂線，點在該垂線上（除外）。③當時，以為直徑作圓，點在該圓上（，除外）。例1．（2023春·河南安陽·八年級?？计谀┤羧切蔚膬蛇呴L為4和5，要使其成為直角三角形，則第三邊的長為．【答案】3或/或3【分析】根據(jù)勾股定理逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形就是直角三角形，再分5為斜邊或第三邊為斜邊兩種情況考慮，即可求出第三邊．【詳解】解：當較大的數(shù)5為斜邊時，第三邊，當?shù)谌厼樾边厱r，第三邊，故答案為：3或．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形就是直角三角形，熟練掌握勾股定理的逆定理及分情況考慮是解題關(guān)鍵．例2．（2023春·河南鄭州·八年級校考期中）如圖，是的角平分線，是的高，，，點F為邊上一點，當為直角三角形時，則的度數(shù)為．【答案】或【分析】分情況討論：①當時，②當時，根據(jù)角平分線和三角形高線的定義分別求解即可．【詳解】解：如圖所示，當時，∵是的角平分線，，∴，∴中，；如圖，當時，同理可得，∵，∴，∴，綜上所述：的度數(shù)為或．故答案為：或．【點睛】本題考查角平分線和高線的定義，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．例3．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·八年級?？计谀┤鐖D，在4×4的正方形網(wǎng)格中有兩個格點A，B，連接AB，在網(wǎng)格中再找一個格點C，使得△ABC是等腰直角三角形，則滿足條件的格點C的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰．【詳解】解：如圖：分情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊時，符合條件的C點有0個；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有3個．∵，，∴，，，∴，，都是等腰直角三角形，故共有3個點，故選C．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形，數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學解題中很重要的解題思想．例4．（2022·江西九江·八年級期末）已知在平面直角坐標系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．點P在x軸上運動，當點P與點A、B、C三點中任意兩點構(gòu)成直角三角形時，點P的坐標為________．【答案】（0，0），（，0），（﹣2，0）【分析】因為點P、A、B在x軸上，所以P、A、B三點不能構(gòu)成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC兩種情況進行分析即可．【詳解】解：∵點P、A、B在x軸上，∴P、A、B三點不能構(gòu)成三角形．設(shè)點P的坐標為（m，0）．當△PAC為直角三角形時，①∠APC＝90°，易知點P在原點處坐標為（0，0）；②∠ACP＝90°時，如圖，∵∠ACP＝90°∴AC2＋PC2＝AP2，，解得，m＝，∴點P的坐標為（，0）；當△PBC為直角三角形時，①∠BPC＝90°，易知點P在原點處坐標為（0，0）；②∠BCP＝90°時，∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，∴PO＝BO＝2，∴點P的坐標為（﹣2，0）．綜上所述點P的坐標為（0，0），（，0），（﹣2，0）．【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了數(shù)形結(jié)合和分類討論思想．解題的關(guān)鍵是不重復不遺漏的進行分類．例5．（2022秋·遼寧丹東·八年級?？计谥校┰凇鰽BC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以AC為一邊，在△ABC外作等腰直角△ACD，則線段BD的長為．【答案】或或【分析】根據(jù)題意分類討論，①，②，③，分別作出圖形，再結(jié)合已知條件勾股定理求解即可．【詳解】①如圖，當時，是等腰直角三角形，,②如圖，當時，過點作，交的延長線于點，，是等腰直角三角形，，又是等腰直角三角形在中，在中，在中，③如圖，當時，是等腰直角三角形，，在中，在中，綜上所述，的長為：或或【點睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．例6.（2023春·山東東營·八年級?？茧A段練習）如圖，長方形中，，，點為射線上的一個動點，若與關(guān)于直線對稱，若為直角三角形，則的長為．【答案】2或18【分析】分點在線段上，點在線段的延長線上兩種情況討論，由題意可得，，，，根據(jù)勾股定理和全等三角形的性質(zhì)，可求的長．【詳解】解：若點在線段上，若與△關(guān)于直線對稱，，，，△為直角三角形，，，，，，點，點，點共線，在中，．，，若點在線段的延長線上，且點在上，若與△關(guān)于直線對稱，，，在△中，，，，，且，，△，，，故答案為：2或18．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵例7.（2023秋·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點D是邊上的點，將沿折疊得到，線段與邊交于點F．若為直角，則的長是．【答案】/【分析】過點A作于點G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而得到，進而得到，再由折疊的性質(zhì)可得，從而得到，進而得到，即可求解．【詳解】解：如圖，過點A作于點G，∵，，∴，∴，∴，∵將沿折疊得到，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，圖形的折疊問題，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．例8．（2023秋·河南商丘·八年級?？计谥校┤鐖D，中，cm，現(xiàn)有兩點M、N分別從點A、點B同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，已知點M的速度為，點N的速度為．當點N第一次到達B點時，M、N同時停止運動．

(1)點M、N運動幾秒后，M、N兩點重合？(2)點M、N運動幾秒后，可得到等邊三角形？(3)當點M、N在邊上運動時，能否得到以為底邊的等腰三角形？如存在，請求出此時M、N運動的時間．(4)點M、N運動______________________后，可得到直角三角形．【答案】(1)6(2)2(3)存在，此時M、N運動的時間為8秒(4)或或或9秒【分析】（1）首先設(shè)點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，表示出M、N的運動路程，N的運動路程比M的運動路程多6cm，列出方程求解即可；（2）根據(jù)題意設(shè)點M、N運動t秒后，可得到等邊三角形，然后表示出，的長，由于，所以只要，就是等邊三角形；（3）首先假設(shè)是等腰三角形，可證出，可得，設(shè)出運動時間，表示出、、的長，列出方程，可解出未知數(shù)的值；（4）分點N在、、上運動的三種情況，再分別就是和，列方程求解可得．【詳解】（1）解：設(shè)點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，則，解得：，即當點M、N運動6秒后，M、N兩點重合；（2）解：設(shè)點M、N運動t秒后，可得到等邊三角形，如圖1，，，，，∵，當時，是等邊三角形，∴，解得，∴點M、N運動2秒后，可得到等邊三角形；（3）解：當點M、N在邊上運動時，可以得到以為底邊的等腰三角形，由（1）知6秒時M、N兩點重合，恰好在C處，如圖2，假設(shè)是等腰三角形，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，在和中，∵，，，∴（AAS），∴，∴，解得，符合題意，所以假設(shè)成立，當點M、N運動8秒時，可以得到以為底邊的等腰三角形；（4）解：當點N在上運動時，如圖3，，，，，若，∵，，∴，∵，∴，即，解得；如圖4，若，由得，解得；當點N在上運動時，點M也在上，此時A、M、N不能構(gòu)成三角形；當點N在上運動時，如圖5，當點N位于中點處時，由是等邊三角形知，即是直角三角形，則，解得；如圖6，當點M位于中點處時，由是等邊直角三角形知，即是直角三角形，則；綜上，當，，，9時，可得到直角三角形．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定和直角三角形的定義與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，理清線段之間的數(shù)量關(guān)系．例9．（2023秋·河南漯河·八年級?？计谀┤鐖D，等邊三角形中，D、E分別是、邊上的點，，與相交于點P，，Q是射線上的動點．

(1)圖中共有__________組全等，請選擇其中的一組全等予以證明．(2)若為直角三角形，求的值．【答案】(1)2，證明見解析(2)2或8【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)，以及證明即可；（2）分為直角，兩種情況，結(jié)合30度角的直角三角形的性質(zhì)，進行求解即可．【詳解】（1）解：圖中有2組全等，；證明：∵等邊三角形，∴，∵，∴，在和中，，∴；在和中，，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵Q是射線上的動點，當為直角三角形時：①當時，如圖，則：，∴；

②當時，如圖，則：，∴．綜上：．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形．熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．例10．（2023·四川成都·八年級?？计谀┤鐖D1，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（4，4），點B的坐標為（0，2）．（1）求直線AB的解析式；（2）以點A為直角頂點作∠CAD=90°，射線AC交x軸的負半軸于點C，射線AD交y軸的負半軸于點D．當∠CAD繞著點A旋轉(zhuǎn)時，OCOD的值是否發(fā)生變化？若不變，求出它的值；若變化，求出它的變化范圍；（3）如圖2，點M（4，0）和N（2，0）是x軸上的兩個點，點P是直線AB上一點．當△PMN是直角三角形時，請求出滿足條件的所有點P的坐標．【答案】（1）直線AB的解析式為：y=x+2；（2）（2）不變．理由見解析；（3）點P的坐標為（4，4）或（2，1）或（，+2）或（，+2）．【分析】（1）設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，把A與B坐標代入列出方程組，求出方程組的解得到k與b的值，即可確定出直線AB解析式；（2）當∠CAD繞著點A旋轉(zhuǎn)時，OCOD的值不變，理由為：過A作AE垂直于x軸，AF垂直于y軸，利用同角的余角相等得到一對角相等，求出A的坐標得到AE=AF，再由已知直角相等，利用ASA得到三角形AEC與三角形AFD全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到EC=FD，進而求出OCOD的值即可；（3）分三種情況考慮：①當M為直角頂點時；②N為直角頂點時；③P為直角頂點時；分別求出P坐標即可．【詳解】（1）設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b（k≠0），∵點A（4，4），點B（0，2）在直線AB上，∴，解得：．∴直線AB的解析式為：y=x+2；（2）不變．理由如下：過點A分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)（如答圖1），可得∠AEC=∠AFD=90°，又∵∠BOC=90°，∴∠EAF=90°，即∠DAE+∠DAF=90°，∵∠CAD=90°，即∠DAE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠DAF，∵A（4，4），∴OE=AF=AE=OF=4，在△AEC和△AFD中，，∴△AEC≌△AFD（ASA），∴EC=FD，∴OCOD=（OE+EC）（FDOF）=OE+OF=8，則OCOD的值不發(fā)生變化，值為8；（3）①當M為直角頂點時，點P的橫坐標為4，∵點P在直線AB上，將x=4代入y=x+2得，y=4，∴點P的坐標為P（4，4）；②當N為直角頂點時，點P的橫坐標為2，∵點P在直線AB上，將x=2代入y=x+2得，y=1，∴點P的坐標為P（2，1）；③當P為直角頂點時，∵點P在直線AB上，可設(shè)點P的坐標為（x，x+2），則MP2=（x+4）2+（x+2）2，NP2=（x2）2+（x+2）2，在Rt△PMN中，MP2+NP2=MN2，MN=6，∴（x+4）2+（x+2）2+（x2）2+（x+2）2=62，解得：x1=，x2=，∴P（，+2）或（，+2），綜上所述，滿足條件的所有點P的坐標為（4，4）或（2，1）或（，+2）或（，+2）．【點睛】此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，坐標與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．課后專項訓練1．（2023·福建龍巖·八年級?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼祒Oy中，點，，若點C在x軸上，且為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】分為、，三種情況畫圖判斷即可．【詳解】解：如圖所示：當時，符合條件的點有2個；當時，符合條件的點有1個；當，即當點C在的垂直平分線上時，符合條件的點有一個．符合條件的點C有4個．故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·山東青島·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，為坐標原點，點的坐標為，若為軸上一點，且使得為等腰三角形，則滿足條件的點有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【分析】分別以O(shè)、A為圓心，以O(shè)A長為半徑作圓，與x軸交點即為所求點M，再作線段OA的垂直平分線，與坐標軸的交點也是所求的點M，作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解即可．【詳解】解：如圖，滿足條件的點M的個數(shù)為2．故選A．【點睛】本題考查了坐標與圖形的性質(zhì)及等腰三角形的判定；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論．3．（2022·安徽淮北·九年級階段練習）如圖，在中，，，．若點P為直線BC上一點，且為等腰三角形，則符合條件的點P有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，分為三種情況：①AB＝AP，②AB＝BP，③AP＝BP，得出即可．【詳解】解：在△ABC中，∠B=90°，BC＝8，AC＝6，由勾股定理的：，如圖，以點A為圓心，以10為半徑畫圓，交直線BC于兩點，即點B和點P1；以點B為圓心，以10為半徑畫圓，交直線BC于兩點，即點P2和P3；作線段AB的垂直平分線交直線BC與一點，即點P4；即共4個點，故選：D【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵要用分類討論的思想．4．（2022·四川廣元·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C為原點，C所在直線為y軸，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系，在坐標軸上取一點M使△MAB為等腰三角形，符合條件的M點有（

）A．6個B．7個C．8個D．9個【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（簡稱：在同一三角形中，等邊對等角）”分三種情況解答即可．【詳解】解：如圖，①以A為圓心，AB為半徑畫圓，交直線AC有二點M1，M2，交BC有一點M3，（此時AB＝AM）；②以B為圓心，BA為半徑畫圓，交直線BC有二點M5，M4，交AC有一點M6（此時BM＝BA）．③AB的垂直平分線交AC一點M7（MA＝MB），交直線BC于點M8；∴符合條件的點有8個．故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定；構(gòu)造等腰三角形時本著截取相同的線段就能作出等腰三角形來，思考要全面，做到不重不漏．5．（2023·四川涼山·八年級?？计谥校┑妊切我谎系母吲c另一腰的夾角是，則底角是．【答案】或【分析】等腰三角形的高相對于三角形有三種位置關(guān)系：三角形的內(nèi)部、三角形的邊上、三角形的外部，根據(jù)條件可知第二種高在三角形的邊上這種情況不成立，因而應(yīng)分兩種情況進行討論即可得解．【詳解】解：①當高在三角形內(nèi)部時，如圖：∵，∴，∵，∴，∴；②當高在三角形外部時，如圖：∵，∴，∵，∴，∴．∴綜上所述，底角是或．故答案是：或．【點睛】本題主要考查了與三角形的高有關(guān)的計算、直角三角形兩銳角互余、三角形外角的性質(zhì)三角形的分類以及等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形的高相對于三角形的三種位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·四川達州·八年級?？茧A段練習）我們規(guī)定：等腰三角形的頂角與一個底角度數(shù)的比值叫作等腰三角形的“特征值”，記作k．若，則該等腰三角形的頂角為度．【答案】90【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，∴設(shè)頂角，則底角，∴，∴，∴該等腰三角形的頂角為，故答案為：90．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的兩底角相等是解題的關(guān)鍵．7．（2022·河南平頂山·八年級期末）如圖，中，，，的平分線與線段交于點，且有，點是線段上的動點（與A、不重合），連接，當是等腰三角形時，則的長為___________．【答案】4或【分析】現(xiàn)根據(jù)已知條件得出，再根據(jù)BC=6，分別求出AB、AC、BD、AD、CD的長，然后分類討論即可．【詳解】解：∵ABC中BD平分ABC，∴CBD=ABD，∵BD=AD，∴ABD=BAD，∴CBD=ABD=BAD，∵ACB=90°，∴CBD+ABD+BAD=90°，∴CBD=ABD=BAD=30°,∵BC=6，∴AB=2BC=12，AC=，∵，且BC=6，∴BD=2CD，∵BD2=CD2+BC2，即(2CD)2=CD2+62，∴CD=，BD==AD；（1）當BE=BD=時，如圖：（2）當BE=DE，如圖：∵BE=DE，∴EDB=ABD=30°，∴AED=EDB+ABD=60°，∴ADE=180°AEDA=180°60°30°=90°，∴ADE為直角三角形，又∵且AD=，∴DE=4，∴BE=4；（3）當BD=DE，時，點E與A重合，不符合題意；綜上所述，BE為4或．故答案為：4或．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，30°直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，按三種不同的情況進行討論是解題的關(guān)鍵．8．（2023·上虞市初二月考）在如圖所示的三角形中，∠A＝30°，點P和點Q分別是邊AC和BC上的兩個動點，分別連接BP和PQ，把△ABC分割成三個三角形△ABP，△BPQ，△P