專題113平行線中的最值問題（分層練習）（綜合練）-2023-2024學年七年級數(shù)學下冊全章復(fù)習與專題突破講與練（浙教版）

專題1.13平行線中的最值問題（分層練習）（綜合練）一、單選題1．（2021下·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，且相鄰兩條直線間的距離都是2，A，B，C分別為，，上的動點，連接AB、AC、BC，AC與交于點D，，則BD的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2022·湖北荊州·統(tǒng)考一模）一副三角尺的位置如右圖所示，其中三角尺ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α度，使它的某一邊與BC平行，則α的最小值是（

）A．15°B．30°C．60° D．150°3．（2023下·重慶九龍坡·七年級重慶實驗外國語學校校考期中）如圖，將沿方向平移得到對應(yīng)的，延長，交于點．若，，，，為線段上一動點，連接，則的最小值為（

）．

A． B．5 C． D．6二、填空題4．（2023下·江西景德鎮(zhèn)·九年級景德鎮(zhèn)一中?？茧A段練習）如圖于點D，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使，則的最小值為．5．（2022下·山東聊城·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，且a、b之間相距，點P是直線a上一定點，點Q在直線b上運動，則在Q點的運動過程中，線段的最小值是．6．（2023下·湖南郴州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，且a，b之間相距．點P是直線a上一定點，點Q在直線b上運動，則在Q點的運動過程中，線段的最小值是．

7．（2023下·海南?？凇て吣昙壓煾街行？计谀┤鐖D，在中，，將平移個單位長度得到，點是的中點，的最小值等于．

8．（2023下·湖北宜昌·七年級統(tǒng)考期末）如圖，有三條兩兩相交的公路、、，從地測得公路的走向是北偏東50°，從地測得公路的走向是北偏西40°．若、、的長分別為千米，千米、千米，點是公路上任意一點，則線段的最小值為千米．（用含、、的式子表示）

9．（2023下·陜西西安·七年級校考期中）已知：如圖，，，且，點是線段上的一個動點，則的最大值與最小值的差是．

三、解答題10．（2023下·江蘇宿遷·七年級?？计谥校⒁粔K三角板（，）按如圖①所示放置在銳角內(nèi)，使直角邊落在邊上．現(xiàn)將三角板繞點逆時針以每秒的速度旋轉(zhuǎn)秒（直角邊旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置），過點作交射線于點，平分，其中的值滿足：使代數(shù)式取得最小值．（1）求的值；（2）當秒時，求的度數(shù)；（3）在某一時刻，當時，試求出與之間的數(shù)量關(guān)系．11．（2020下·重慶巴南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，∠l=∠C，∠2+∠D=90°，BE⊥FD，垂足為G．（1）證明：AB//CD．（2）已知CF=3，F(xiàn)D=4，CD=5，點P是線段CD上的動點，連接FP，求FP的最小值．

12．（2021下·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）如圖，直線，點A，D在直線b上，射線AB交直線a于點B，于點C，交射線AB于點E，，，P為射線AB上一動點，P從A點出發(fā)沿射線AB方向運動，速度為1cm/s，設(shè)點P運動時間為t，M為直線a上一定點，連接PC，PD．（1）當時，有最小值，求m的值；（2）當（m為（1）中的取值）時，探究、與的關(guān)系，并說明理由；（3）當（m為（1）中的取值）時，直接寫出、與的關(guān)系．13．（2021下·湖北武漢·七年級武漢市武珞路中學?？计谥校┤鐖D，每個小正方形的邊長為1，利用網(wǎng)格點畫圖和無刻度的直尺畫圖（保留畫圖痕跡）：（I）在方格紙內(nèi)將三角形經(jīng)過一次平移后得到三角形，圖中標出了點的對應(yīng)點，畫出三角形；（2）過點畫線段使且；（3）圖中與的關(guān)系是______；（4）點在線段上，，點是直線上一動點線段的最小值為______．14．（2023下·北京海淀·七年級首都師范大學附屬中學?？奸_學考試）直線，對平面內(nèi)不在上，且不在上的任意一點，若到，的距離分別為，，則記．（1）若，則線段與的公共點個數(shù)可能為______；（2）若取最小值且，則的取值范圍是______．15．（2019上·浙江杭州·七年級期末）如圖，已知線段，第1次平移，將線段沿的方向向右平移7個單位，得到線段，第2次平移，將線段沿的方向向右移平移7個單位，得到線段，…，第n次平移，線段沿的方向平移7個單位，得到線段（的整數(shù)）．在這個移動過程中，（1）求，的長．（2）若的長為66，求n．（3）是否存在的長為2019，若存在請求出n的值，若不存在，說明理由．（4）是否存在線段的長為2020（i，j都是自然數(shù)），若存在請求出的最小值，若不存在，說明理由．參考答案：1．A【分析】求BD的最小值可以轉(zhuǎn)化為求點B到直線AC的距離，當BD⊥AC時，BD有最小值，根據(jù)題意求解即可．解：由題意可知當BD⊥AC時，BD有最小值，此時，AD=CD，∠ABC=90°，∴BD=AD=BD=AC=2，∴BD的最小值為2．故選：A．【點撥】本題考查平行線的性質(zhì)，需結(jié)合圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出相關(guān)角的關(guān)系從而進行求解．2．A【分析】當△ADE繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)時，AE邊最先與BC平行，利用平行線的性質(zhì)即可求解．解：當△ADE繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)時，AE邊最先與BC平行，如圖：∵AE∥BC，∴∠C=∠CAE=60°，∵∠DAE=45°，∴∠CAD=∠CAE∠DAE=15°，則α的最小值是15°，故選：A．【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，直角三角板的角的度數(shù)的知識，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．A【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得，當時，最小，此時有，即，即可求出答案．解：將沿方向平移得到對應(yīng)的，，，，，，，當時，最小，此時有，即，，的最小值為．故選：A．【點撥】本題考查了平移的性質(zhì)和垂線段最短，根據(jù)平移的性質(zhì)得到是解題的關(guān)鍵．4．/25度【分析】過點C作，過點A作，利用平行線的性質(zhì)即可求解．解：如圖，過點C作，則，∴．過點A作，則．∴，故的最小值為．故答案為：【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．5．4【分析】通過平行線之間垂線段最短的理論可知PQ垂直于兩條直線時，PQ的值最小，再根據(jù)a、b之間距離求出PQ即可．解：當時，根據(jù)垂線段最短，可以知道此刻PQ取最小值，且a、b之間的距離為4cm，的最小值是4cm，故答案為：4．【點撥】本題考查了平行線之間的距離的定義，牢記平行線之間距離的定義和垂線段最短是本題的關(guān)鍵．6．8【分析】根據(jù)垂線段最短進行求解即可解：∵直線，點P是直線a上一定點，點Q在直線b上運動，∴根據(jù)垂線段最短可知，在運動過程中，當時，線段有最小值，∵a，b之間相距，∴線段的最小值為，故答案為：8．【點撥】本題考查了平行線之間的距離的定義和垂線段最短，牢記平行線之間距離的定義和垂線段最短是本題的關(guān)鍵．7．【分析】根據(jù)線段中點的性質(zhì)可得，根據(jù)平移的性質(zhì)可得，當在直線上時，取得最小值，進而根據(jù)線段的差即可求解．解：∵點是的中點，，∴，∵將平移個單位長度得到，∴當在直線上時，取得最小值，最小值為，故答案為：．【點撥】本題考查了平移的性質(zhì)，線段中點的性質(zhì)，線段的和差，熟練掌握平移的性質(zhì)，線段中點的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．【分析】過C作于P，依據(jù)，可得在中，得出，代入數(shù)值求解即可．解：如圖，過C作于P，

由題可得，，∴，∴∴中，，∴，即線段的最小值為，故答案為．【點撥】此題是一道方向角問題，結(jié)合生活中的實際問題，將解三角形的相關(guān)知識有機結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學應(yīng)用于實際生活的思想．9．【分析】當點M與點A重合時，取最大值，此時，當時，取最小值，根據(jù)，求出最小值，即可求解．解：∵，，∴，當點M與點A重合時，取最大值，此時，當時，取最小值，∵，∴，解得：，∴的最大值與最小值的差是，故答案為：．【點撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等；垂線段最短．10．（1）m的值為10；（2）的度數(shù)為；（3）．【分析】（1）根據(jù)平方的非負性及代數(shù)式取得最小值，即可求出m的值；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的速度及時間，即可求出的度數(shù)，進一步求出的度數(shù)；根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求出的度數(shù)，進一步求出的度數(shù)；（3）先根據(jù)平行線的性質(zhì)，表示出的度數(shù)，進一步表示出的度數(shù)；再根據(jù)平行線的性質(zhì)，表示出的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義，表示出的度數(shù)；再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，從而可求出答案．（1）解：∵，∴當，即時，代數(shù)式取得最小值，∴代數(shù)式取得最小值時，m的值為10；（2）∵，，∴，當秒時，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的度數(shù)為；（3）∵，，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴．【點撥】本題考查平方的非負性，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識點．11．（1）證明見分析；（2）．【分析】（1）先證明CF∥BE，得到，進而證明，得到即可證明AB∥CD；（2）先確定的最小值是點F到直線CD的垂線段的長度，過點F作，垂足為P，再由等面積法即可計算出FP的值．解：（1）證明：∵，∴CF∥BE，∴．∵，垂足為G，∴，∴．∵，∴，∵，∴，∴AB∥CD．（2）根據(jù)題意，可知的最小值是點F到直線CD的垂線段的長度．過點F作，垂足為P．因為，所以．因為，，，所以，所以．故FP的最小值為．

【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)及判定、三角形的等面積法的運用，解題的關(guān)鍵是熟悉平行線的性質(zhì)以及判定．12．（1）10；（2），見分析；（3）或【分析】（1）根據(jù)P、C、D三點共線時，即點P與點E重合時PC+PD的值最小，解答即可；（2）當t＜m時，過P在AE上，過點P作PH∥a∥b，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）分兩種情況討論，當點P在線段BE上時，當點P在線段AB的延長線上時，然后仿照第（2）問的證明方法，作出輔助線，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得結(jié)論．解：（1）當點P與E不重合時，在中，，當點P與E重合時，此時最小，∴．∵，，∴．∴．故時，值最小；（2），理由如下：如圖，當即時，點P在AE上，過點P作，∵，∴．∴，，∴．∵，∴；（3）當m＜t≤15即10＜t≤15時，點P在線段BE上，過點P作PHa，如圖：又∵ab，∴PHab，∴∠PCM+∠CPH＝180°，∠PDA+∠DPH＝180°，∴∠PCM+∠CPH+∠PDA+∠DPH＝360°，又∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，∴∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°，即當10＜t≤15時，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°；當t＞15時，點P在線段AB的延長線上，過點P作PGa，如圖：又∵ab，∴PGab，∴∠PCM+∠CPG＝180°，∠PDA+∠DPG＝180°，∴∠CPG＝180°－∠PCM，∠DPG＝180°－∠PDA，又∵∠CPD＝∠DPG－∠CPG，∴∠CPD＝（180°－∠PDA）－（180°－∠PCM）＝180°－∠PDA－180°＋∠PCM＝∠PCM－∠PDA，∴∠PCM＝∠CPD+∠PDA．綜上所述，當t＞10時，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°或∠PCM＝∠CPD+∠PDA．【點撥】本題主要考查平行線的性質(zhì)及平行公理的推論，熟練掌握平行線的性質(zhì)及正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．13．（1）見分析；（2）見分析；（3），AD∥；（4）【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，按要求作圖即可；（2）根據(jù)過點A畫線段AD∥BC，AD=BC，即可；（3）由平移的性質(zhì)可得，∥BC，，從而可以得到，AD∥；（4）根據(jù)點到直線的距離垂線段最短，可知當BH⊥CE時BH最短，由此利用三角形面積公式求解即可．解：（1）如圖所示，即為所求：（2）如圖所示，即為所求：（3）平移的性質(zhì)可得，∥BC，由AD=BC，AD∥BC，從而可以得到，AD∥；故答案為：，AD∥；（4）根據(jù)點到直線的距離垂線段最短，可知當BH⊥CE時BH最短，如圖所示：∵AD∥BC，∴，∴，∴，∴點H是直線CE上一動點線段BH的最小值為．故答案為：．【點撥】本題主要考查了平移作圖，點到直線的距離垂線段最短，三角形面積，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．14．（1）0或1；（2）【分析】（1）分兩種情況進行討論：當點A和B均在直線上方且到的距離相等時；當點A和B在直線，之間時，作出相應(yīng)圖形即可求解；（2）根據(jù)題意得出，分兩種情況分析：當點P在上方或下方時，當點P在，之間時，結(jié)合圖形求解即可．（1）解：如圖所示，當點A和B均在直線上方且到的距離相等時，此時線段與的公共點個數(shù)為0；

當點A和B在直線，之間時，如圖所示：此時線段與的公共點個數(shù)為1；

故答案為：0或1；（2）當取最小值且時，如圖所示：此時點A恰好在，的中間直線上，∴，之間的距離為2，即，

當點P在上方或下方時，如圖所示：

此時即為，之間的距離為2；當點P在，之間時，如圖所示：

∵，∴當點P在，的中間直線上時，，當點P不在，的中間直線上時，；綜上可得：，故答案為：．【點撥】題目主要考查垂線的定義及點到直線的距離，理解題意，作出相應(yīng)圖形求解是解題關(guān)鍵．15．（1）A0B1=7，A0B3=31；（2）8；（3）存在，n=287；（4）存在，最小值為290．【分析】（1）由平移得出B0B1=B1B2=B2B3=7，即B0B3=3B0B1=21，即可得出結(jié)論；（2）由平移得出B0B1=B1B2=B2B3=…=Bn1Bn=7，進而得出B0Bn=nB0B1=7n，最后建立方程求解，即可得出結(jié)論；（3）同（2）的方法，求出n的值，再判斷是否為整數(shù)，即可得出結(jié)論；（4）同（2）的方法找出規(guī)律A0Bj=10+7j，A0Ai=7i，進而得出AiBj=|A0BjA0Ai|=|10+7j7i|=|10+7（ji）|，進而建立絕對值方程，求出ij=2019，即可得出結(jié)論．解：由平移知，B0B1=B1B