充要條件課時作業(yè) 高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

充要條件課時作業(yè)（原卷+答案）一、選擇題(單選每小題5分，多選每小題6分，共37分)1．“a＝481”是“a是質(zhì)數(shù)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．“a2＋b2＝2ab”是“a＝b”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．已知集合M，N，則M?N是M∩N＝M的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件4．“x≠0且y≠0”是“xy≠0”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．關(guān)于x的方程x2＋ax＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根的充要條件是()A．a(chǎn)>2或a<－2B．a(chǎn)≥2或a≤－2C．a(chǎn)<1D．a(chǎn)>26.設(shè)a，b∈R，集合A＝{a，a2＋1}，B＝{b，b2＋1}．則“A＝B”是“a＝b”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件7．(多選)已知p，q都是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，則()A．p是q的充分條件B．p是s的必要條件C．r是q的必要不充分條件D．s是q的充要條件8．(多選)在下列結(jié)論中，正確的有()A．x2＝9是x3＝－27的必要不充分條件B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC為直角三角形”的充要條件C．若a，b∈R，則“a2＋b2≠0”是“a，b全不為0”的充要條件D．若a，b∈R，則“a2＋b2≠0”是“a，b不全為0”的充要條件二、填空題9．p：b2－4ac＝0,q：方程ax2＋bx＋c＝0只有一個實根，則p是q的________條件(充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要).9．若集合A＝{－2，m2}，集合B＝{2，4}，則“A∩B＝{4}”的充要條件是________．10.若a，b都是實數(shù)，試從①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中選出滿足下列條件的式子，用序號填空：(1)使a，b都不為0的充分條件是________．(2)使a，b至少有一個為0的充要條件是________．三、解答題11.判斷下列命題的真假，并說明理由．(1)“a>1000”是“|a－1000|＝a－1000”的必要不充分條件；(2)“A＝?”是“?RA＝R”的充要條件．13.求證：x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一個根的充要條件是a＋b＋c＝0(a≠0).14．已知△ABC的三邊長為a，b，c，其中a＝2.求證：△ABC為等邊三角形的充要條件是b2＋c2－2(b＋c)＝bc－4.參考答案選擇題1．“a＝481”是“a是質(zhì)數(shù)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：D解析：因為481＝13×37，所以481不是質(zhì)數(shù)，故“a＝481”是“a是質(zhì)數(shù)”的既不充分也不必要條件．2．“a2＋b2＝2ab”是“a＝b”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：C解析：因為a2＋b2＝2ab，所以(a－b)2＝0，即a＝b，又因為a＝b也能推出a2＋b2＝2ab，故“a2＋b2＝2ab”是“a＝b”的充要條件．3．已知集合M，N，則M?N是M∩N＝M的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件答案：C解析：由M?N?M∩N＝M，又M∩N＝M?M?N，所以“M?N”是“M∩N＝M”的充要條件．4．“x≠0且y≠0”是“xy≠0”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：C解析：由x≠0且y≠0可知xy≠0一定成立，故“x≠0且y≠0”是“xy≠0”的充分條件；又由xy≠0可知x，y中都不能為0，否則若x＝0，則必有xy＝0，不滿足xy≠0，故“x≠0且y≠0”是“xy≠0”的必要條件．綜上，即有“x≠0且y≠0”是“xy≠0”的充要條件．5．關(guān)于x的方程x2＋ax＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根的充要條件是()A．a(chǎn)>2或a<－2B．a(chǎn)≥2或a≤－2C．a(chǎn)<1D．a(chǎn)>2答案：A解析：由關(guān)于x的方程x2＋ax＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則滿足a2－4>0，解得a>2或a<－2，即方程有兩個不相等的實數(shù)根的充要條件是a>2或a<－2.6.設(shè)a，b∈R，集合A＝{a，a2＋1}，B＝{b，b2＋1}．則“A＝B”是“a＝b”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：C解析：因為A＝{a，a2＋1}，B＝{b，b2＋1}，當A＝B時，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b，,a2＋1＝b2＋1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b2＋1，,a2＋1＝b，))若eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b，,a2＋1＝b2＋1，))顯然解得a＝b；若eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b2＋1，,a2＋1＝b，))則(b2＋1)2＋1＝b，整理得(b2－b＋1)(b2＋b＋2)＝0，因為b2－b＋1＝(b－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，b2＋b＋2＝(b＋eq\f(1,2))2＋eq\f(7,4)>0，所以(b2－b＋1)(b2＋b＋2)＝0無解．綜上，a＝b，即充分性成立；當a＝b時，顯然A＝B，即必要性成立；所以“A＝B”是“a＝b”的充要條件．7．(多選)已知p，q都是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，則()A．p是q的充分條件B．p是s的必要條件C．r是q的必要不充分條件D．s是q的充要條件答案：AD解析：由p，q都是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，可得p?r，q?r，r?s，s?q，對于A中，由p?q，所以p是q的充分條件，所以A正確；對于B中，由p?s，所以p是s的充分條件，所以B不正確；對于C中，由r?q，所以r是q的充要條件，所以C不正確；對于D中，由s?q，所以s是q的充要條件，所以D正確．8．(多選)在下列結(jié)論中，正確的有()A．x2＝9是x3＝－27的必要不充分條件B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC為直角三角形”的充要條件C．若a，b∈R，則“a2＋b2≠0”是“a，b全不為0”的充要條件D．若a，b∈R，則“a2＋b2≠0”是“a，b不全為0”的充要條件答案：AD解析：對于選項A，由x3＝－27得x＝－3?x2＝9，但是x＝3適合x2＝9，推出x3＝27≠－27，故A正確；對于選項B，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2?△ABC為直角三角形，但△ABC為直角三角形?AB2＋AC2＝BC2或AB2＋BC2＝AC2或BC2＋AC2＝AB2，故B錯誤；對于選項C，由a2＋b2≠0a，b全不為0，由a，b全不為0?a2＋b2≠0，故C錯誤；對于選項D，由a2＋b2≠0?a，b不全為0，反之，由a，b不全為0?a2＋b2≠0，故D正確．二、填空題9．p：b2－4ac＝0,q：方程ax2＋bx＋c＝0只有一個實根，則p是q的________條件(充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要).答案：既不充分也不必要解析：對于命題q，方程ax2＋bx＋c＝0只有一個實根，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0,b≠0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≠0，,b2－4ac＝0，))所以p是q的既不充分也不必要條件．10．若集合A＝{－2，m2}，集合B＝{2，4}，則“A∩B＝{4}”的充要條件是________．答案：m＝±2解析：因為A∩B＝{4}，所以4∈A，又－2≠4，故m2＝4，解得m＝±2，即A∩B＝{4}?m＝±2.當m＝±2時，m2＝4，所以A＝{－2，4}，B＝{2，4}，則A∩B＝{4}，即m＝±2?A∩B＝{4}．綜上所述，“A∩B＝{4}”的充要條件是m＝±2.11.若a，b都是實數(shù)，試從①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中選出滿足下列條件的式子，用序號填空：(1)使a，b都不為0的充分條件是________．(2)使a，b至少有一個為0的充要條件是________．解析：由題意有：①ab＝0?a＝0或b＝0，即a，b至少有一個為0；②a＋b＝0?a，b互為相反數(shù)，則a，b可能均為0，也可能為一正數(shù)一負數(shù)；③a(a2＋b2)＝0?a＝0，b為任意實數(shù)或a，b均為0；④ab>0?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0,b>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0,b<0))，即a，b都不為0.綜上可知：(1)使a，b都不為0的充分條件是④；(2)使a，b至少有一個為0的充要條件是①.答案：④①三、解答題12.判斷下列命題的真假，并說明理由．(1)“a>1000”是“|a－1000|＝a－1000”的必要不充分條件；(2)“A＝?”是“?RA＝R”的充要條件．解析：(1)該命題是假命題．理由如下，充分性：當a>1000時，|a－1000|＝a－1000，充分性成立；必要性：由|a－1000|＝a－1000，得a－1000≥0，a≥1000，必要性不成立．則“a>1000”是“|a－1000|＝a－1000”的充分不必要條件，故該命題是假命題．(2)該命題是真命題．理由如下，充分性：若A＝?，則?RA＝R，充分性成立；必要性：若?RA＝R，則A＝?，必要性成立．故該命題是真命題．13.求證：x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一個根的充要條件是a＋b＋c＝0(a≠0).證明：(1)充分性：由a＋b＋c＝0得a×12＋b×1＋c＝0，即x＝1滿足方程ax2＋bx＋c＝0，∴x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一個根．(2)必要性：∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一個根，將x＝1代入方程ax2＋bx＋c＝0得a＋b＋c＝0.故x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一個根的充要條件是a＋b＋c＝0(a≠0).14．已知△ABC的三邊長為a，b，c，其中a＝2.求證：△ABC為等邊三角形的充要條件是b2＋c2－2(b＋c)＝bc－4.證明：充分性：當a＝2時，多項式b2＋c2－2(b＋c)＝bc－4可化為b2＋c2－a(b＋c)