同步優(yōu)化設計2024年高中數(shù)學第三章空間向量與立體幾何4.3第2課時空間中的距離問題課后篇鞏固提升含解析北師大版選擇性必修第一冊

第三章空間向量與立體幾何§4向量在立體幾何中的應用4.3用向量方法探討立體幾何中的度量關系第2課時空間中的距離問題課后篇鞏固提升合格考達標練1.在空間直角坐標系O-xyz中,平面OAB的一個法向量為n=(2,-2,1),已知點P(-1,3,2),則點P到平面OAB的距離d等于()A.4 B.2 C.3 D.1答案B解析點P到平面OAB的距離為d=|OP·n2.已知直線l過點A(1,-1,2),和l垂直的一個向量為n=(-3,0,4),則點P(3,5,0)到l的距離為()A.145 B.2 C.3 D.答案A3.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=22,E為CC1的中點,則直線AC1與平面BED的距離為()A.2 B.3 C.2 D.1答案D解析如圖,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,22),E(0,2,2),DB=(2,2,0),DE=(0,2,2),易知AC1∥平面BED.設n=(x,y,z)是平面BED的法向量.則n取y=1,則n=(-1,1,-2)為平面BED的一個法向量.又DA=(2,0,0),所以點A到平面BDE的距離是d=|n·DA故直線AC1到平面BED的距離為1.4.如圖,點C在圓錐PO的底面圓O上,AB是直徑,AB=8,∠BAC=30°,圓錐的母線與底面成的角為60°,則點A到平面PBC的距離為()A.855 B.2C.8515 D答案C解析如圖,過點O作AB的垂線Ox,以Ox,OB,OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,由題意可得A(0,-4,0),B(0,4,0),C(-23,2,0),P(0,0,43),CB=(23,2,0),BP=(0,-4,43).設平面PBC的法向量為m=(x,y,z),則m·CB取y=3,所以m=(-1,3,1).因為AP=(0,4,43),所以d=|AP所以點A到平面PBC的距離為855.若O為坐標原點,OA=(1,1,-2),OB=(3,2,8),OC=(0,1,0),則線段AB的中點P到點C的距離為()A.1652 B.214 C.53 D.答案D解析∵OP=12(OA+OB)∴PC=∴|PC|=4+16.如圖,P為矩形ABCD所在平面外一點,PA⊥平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,則點P到直線BD的距離為.

答案13解析如圖,以A為坐標原點,分別以AB,AD,AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),∴PB=(3,0,-1),BD=(-3,4,0),∴點P到直線BD的距離d=|PB∴點P到直線BD的距離為1357.如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的側棱AA1=3,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,則點B1到平面A1BC的距離為.

答案3解析如圖所示,建立空間直角坐標系,則A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0,3),B1(0,1,3),C1(0,0,3),∴A1B=(-1,1,-3),A1C=(-1,0,-3),A1設平面A1BC的法向量為n=(x,y,z),則n令z=1,得x=-3,y=0,∴n=(-3,0,1).∴點B1到平面A1BC的距離d=|n8.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,求平面A1BD與平面B1CD1間的距離.解以點D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,則D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),A1B=(0,1,-1),A1D=(-1,0,-1),A1設平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),則n則y令z=1,得y=1,x=-1,∴n=(-1,1,1),∴點D1到平面A1BD的距離d=|A易證平面A1BD∥平面B1CD1,∴平面A1BD與平面B1CD1間的距離等于點D1到平面A1BD的距離,∴平面A1BD與平面B1CD1間的距離為339.已知正方形ABCD的邊長為1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分別為AB,BC的中點.(1)求點D到平面PEF的距離;(2)求直線AC到平面PEF的距離.解(1)建立如圖所示空間直角坐標系,則P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E1,F12,1所以EF=PE=設平面PEF的法向量n=(x,y,z),則n令x=2,則y=2,z=3,所以n=(2,2,3),所以點D到平面PEF的距離d=|DE因此點D到平面PEF的距離為317(2)因為E,F分別為AB,BC的中點,所以EF∥AC.又因為AC?平面PEF,EF?平面PEF,所以AC∥平面PEF.因為AE=0,12,0,所以點所以直線AC到平面PEF的距離為1717等級考提升練10.如圖,已知正方形ABCD的邊長為4,E,F分別是AB,AD的中點,GC⊥平面ABCD,且GC=2,則點B到平面EFG的距離為()A.1010 B.C.35 D.答案B解析以C為坐標原點,CD所在直線為x軸,CB所在直線為y軸,CG所在直線為z軸,建立空間直角坐標系(圖略),則F(4,2,0),E(2,4,0),G(0,0,2),B(0,4,0),∴BE=(2,0,0),FE=(-2,2,0),EG=(-2,-4,2).設平面EFG的法向量為m=(x,y,z),則m令x=1,則y=1,z=3,則m=(1,1,3),∴點B到平面EFG的距離d=|BE11.已知平面α的一個法向量n=(-2,-2,1),點A(-1,3,0)在平面α內(nèi),則平面α外的點P(-2,1,4)到平面α的距離為()A.10 B.3C.83 D.答案D解析由題意可知PA=(1,2,-4).設點P到平面α的距離為h,則h=|PA12.在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中點,則點A1到平面MBD的距離是()A.6a6 B.3a6 C.答案A解析建立如圖所示的空間直角坐標系,則D(0,0,0),Ma,0,a2,B(a,a,0),A1∴DM=a,0,a2,DB=(a,a設平面MBD的法向量為n=(x,y,z),則n令x=1,則y=-1,z=-2,可得n=(1,-1,-2).∴點A1到平面MBD的距離d=|D13.已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),則點A到直線BC的距離為()A.223 BC.2 D.22答案A解析∵A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),∴AB=(1,0,0),BC=(-1,2,-2),∴點A到直線BC的距離為d=|=1-(-114.已知A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),則點D到平面ABC的距離為.

答案49解析設平面ABC的法向量n=(x,y,z),則n即(∴可取n=-3又AD=(-7,-7,7),∴點D到平面ABC的距離d=|AD15.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=AD=1,則點B1到平面A1BC1的距離為.

答案2解析建立如圖所示空間直角坐標系,由已知,A1(1,0,1),B(1,2,0),C1(0,2,1),則A1B=(0,2,-1),A1C1設平面A1BC1的法向量為n=(x,y,z),則2取x=2,則n=(2,1,2).又BB1=(0,0,1),故d=16.如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=π2,AB=BC=13AD=a,PA⊥平面ABCD,且PA=a,點F在AD上,且CF⊥(1)求點A到平面PCF的距離;(2)求直線AD到平面PBC的距離.解(1)由題意知AP,AB,AD兩兩垂直,建立空間直角坐標系,如圖所示.則A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,3a,0),P(0,0,a).設F(0,m,0),則CF=(-a,m-a,0),CP=(-a,-a,a).∵PC⊥CF,∴CF⊥∴CF·CP=(-a)·(-a)+(m-a)·(-a)+0·a=a2-a(m-a)∴m=2a,即F(0,2a,0).設平面PCF的法向量為n=(x,y,z),則n取x=1,得n=(1,1,2).設點A到平面PCF的距離為d,由AC=(a,a,0),得d=|AC·(2)由于BP=(-a,0,a),BC=(0,a,0),AP=(0,0,a).設平面PBC的法向量為n1=(x0,y0,z0),由n取x0=1,得n1=(1,0,1).設點A到平面PBC的距離為h,∵AD∥BC,AD?平面PBC,∴AD∥平面PBC,∴h為AD到平面PBC的距離,∴h=|AP·新情境創(chuàng)新練17.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,側面PAD⊥底面ABCD,側棱PA=PD=2,底面ABCD為直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,問:線段AD上是否存在一點Q,使得它到平面PCD的距離為32?若存在,求出AQQD的值;若不存在,解取AD的中點O,在△PAD中,∵PA=PD,∴PO⊥AD.又側面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PO⊥平面ABCD.建立如圖所示的空間直角坐標系,易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),